15.3 等腰三角形 同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

2026-2027 学年度第一学期 15.3 等腰三角形 同步练习 （人教版·数学八年级上册） 满分：100 分　　考试时间：45 分钟 学校：__________________　　班级：__________　　姓名：__________　　座号：__________ 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 注意事项： 1．本卷共六大题、29 小题，满分 100 分，考试时间 45 分钟。 2．答题前请将学校、班级、姓名、座号填写完整。 3．选择题答案填在题后括号内；解答题须写出必要的推理与演算过程，只写结果不得分。 4．多选题全部选对得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。 一、单项选择题（第 1~10 题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，在 △ABC 中，AB = AC，则下列结论正确的是（　　） A．∠B = ∠C B．∠A = ∠B C．AB = BC D．∠A = 90° 2．等腰三角形的一个底角为 50°，则它的顶角为（　　） A．50° B．60° C．80° D．100° 3．等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，则它的周长为（　　） A．13 B．17 C．13 或 17 D．20 4．等腰三角形的一个角为 70°，则它的底角为（　　） A．70° B．55° C．70° 或 55° D．40° 5．在 △ABC 中，∠A = 40°，∠B = 70°，则 △ABC 是（　　） A．AB = AC 的等腰三角形 B．AB = BC 的等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 5，则 AB 的长为（　　） A．5 B．10 C．5√3 D．15 7．等边三角形的两条高相交所成的锐角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．在等腰 △ABC 中，AB = AC，BD 是 AC 边上的中线。若 △ABD 的周长比 △BCD 的周长大 4，且 AB = 10，则 BC 的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 9．在 △ABC 中，AB = AC，∠A = 36°，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如果一个等腰三角形有一个角是 60°，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 二、多项选择题（第 11~15 题，每小题 4 分，共 20 分） （说明：全部选对得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。） 11．下列命题中正确的有（　　） A．等腰三角形的两底角相等 B．等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 C．有两个角相等的三角形是等腰三角形 D．等腰三角形的三条边都相等 12．如图，在 △ABC 中，∠B = ∠C，则下列结论正确的有（　　） A．AB = AC B．△ABC 是等腰三角形 C．∠A 是顶角 D．AB = BC 13．关于等边三角形，下列说法正确的有（　　） A．三条边都相等 B．三个角都是 60° C．每条边上的中线、高、角平分线互相重合 D．是轴对称图形，有 3 条对称轴 14．如图，△ABC 是等边三角形，下列条件中能判定 △ABC 是等边三角形的有（　　） A．AB = AC，且 ∠A = 60° B．AB = AC，且 ∠B = 60° C．∠A = ∠B = ∠C D．AB = AC，且 AB = BC 15．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，下列说法正确的有（　　） A．BC = AB/2 B．AC = √3 · BC C．AB = 2BC D．∠B = 60° 三、填空题（第 16~20 题，每小题 2 分，共 10 分） 16．等腰三角形的一个底角为 65°，则顶角为 ＿＿＿＿。 17．等腰三角形的顶角为 80°，则它的一个底角为 ＿＿＿＿。 18．等边三角形的边长为 4 cm，则它的周长为 ＿＿＿＿ cm。 19．如图，在 △ABC 中，AB = AC，AD ⊥ BC 于 D，若 ∠BAD = 30°，则 ∠C = ＿＿＿＿。 20．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，若 AB = 8 cm，则 BC = ＿＿＿＿ cm。 四、判断题（第 21~25 题，每小题 2 分，共 10 分） （正确的在括号内打“√”，错误的打“×”。） 21．等腰三角形的两个底角相等。（　　） 22．有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。（　　） 23．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合。（　　） 24．等腰三角形的腰一定大于底边的一半。（　　） 25．在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。（　　） 五、简答题（第 26~27 题，每小题 8 分，共 16 分） 26．如图，在 △ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，AD ⊥ BC 于 D，AB = 8。求 BC 的长和 △ABC 的面积。 27．如图，在等边 △ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在 AC 上，且 AE = AD，求 ∠EDC 的度数。 六、材料分析题（第 28~29 题，每小题 7 分，共 14 分） 28．材料：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角问题（注意分类讨论）。 如图，等腰 △ABC 中，AB = AC，BD 是腰 AC 上的高，且 ∠ABD = 30°，求顶角 ∠BAC 的度数。 29．材料：含 30° 角的直角三角形的实际应用。 如图，一段斜坡 AB 长 12 m，坡角 ∠A = 30°，求坡高 BC 和水平距离 AC 的长。 《15.3 等腰三角形 同步练习》参考答案与评分标准 （人教版·数学八年级上册　　满分 100 分　　时间 45 分钟） 一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．A　【解析】等腰三角形两底角相等，即 ∠B = ∠C。 2．C　【解析】顶角 = 180° - 2 × 50° = 80°。 3．B　【解析】若腰为 3，则 3 + 3 = 6 < 7，不能构成三角形；故腰为 7，周长为 7 + 7 + 3 = 17。 4．C　【解析】70° 可为顶角，则底角为 (180° - 70°)/2 = 55°；70° 也可为底角，所以底角为 70° 或 55°。 5．A　【解析】∠C = 180° - 40° - 70° = 70° = ∠B，所以 AB = AC。 6．B　【解析】在含 30° 角的直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半，故 AB = 2BC = 10。 7．C　【解析】两条高（所在直线）的夹角等于它们所对顶角的补角关系，此处锐角为 60°。 8．C　【解析】AB = AC = 10，D 为 AC 中点，AD = DC = 5。由周长差得 (AB + AD + BD) - (BC + CD + BD) = AB - BC = 4，故 BC = 6。 9．C　【解析】∠ABC = ∠C = 72°，BD 平分后 ∠ABD = ∠DBC = 36°，∠BDC = 72°，所以 △ABC、△ABD、△BCD 均为等腰三角形。 10．C　【解析】有一个角是 60° 的等腰三角形必为等边三角形。 二、多项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 11．ABC　【解析】D 错：等腰三角形只有两腰相等，底边不一定等于腰。 12．ABC　【解析】∠B = ∠C 可得 AB = AC，即 △ABC 为等腰三角形，∠A 为顶角；D 不一定成立。 13．ABCD　【解析】等边三角形三边相等、三角均为 60°，每条边上三线合一，有 3 条对称轴。 14．ABCD　【解析】A、B 为“有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形”；C、D 直接得三边相等或三角相等。 15．ABCD　【解析】由含 30° 角的直角三角形性质及勾股定理可得各选项均正确。 三、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 16．50° 17．50° 18．12 19．60°　【解析】AD 为顶角平分线，∠BAD = 30°，则 ∠BAC = 60°，所以 ∠B = ∠C = 60°。 20．4 四、判断题（每小题 2 分，共 10 分） 21．√ 22．√ 23．×　【解析】只有底边上的高、中线、顶角平分线互相重合。 24．√ 25．√ 五、简答题（每小题 8 分，共 16 分） 26．解：∵ AB = AC，∠BAC = 120°， 　　 ∴ ∠B = ∠C = (180° - 120°)/2 = 30°。　　　　　　　　　　　　（2 分） 　　 在 Rt△ABD 中，∠ADB = 90°，∠B = 30°，AB = 8， 　　 ∴ AD = AB/2 = 4。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2 分） 　　 由勾股定理，BD = √(AB² - AD²) = √(64 - 16) = 4√3。　　　　（2 分） 　　 ∴ BC = 2BD = 8√3，S△ABC = (1/2) × BC × AD = (1/2) × 8√3 × 4 = 16√3。　（2 分） 27．解：∵ △ABC 为等边三角形，D 为 BC 中点， 　　 ∴ AD 平分 ∠BAC，AD ⊥ BC，∠DAE = 30°，∠ADC = 90°。　　　（3 分） 　　 又 ∵ AE = AD， 　　 ∴ ∠ADE = ∠AED = (180° - 30°)/2 = 75°。　　　　　　　　　　（3 分） 　　 ∴ ∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 90° - 75° = 15°。　　　　　　　　　（2 分） 六、材料分析题（每小题 7 分，共 14 分） 28．解：分两种情况讨论。 　　 情况①：高 BD 在 △ABC 内部。 　　 在 Rt△ABD 中，∠ADB = 90°，∠ABD = 30°， 　　 ∴ ∠BAD = 90° - 30° = 60°，即顶角 ∠BAC = 60°。　　　　　　（3 分） 　　 情况②：高 BD 在 △ABC 外部，垂足在 CA 的延长线上。 　　 在 Rt△ABD 中，∠ADB = 90°，∠ABD = 30°， 　　 ∴ ∠BAD = 60°，于是顶角 ∠BAC = 180° - 60° = 120°。　　　　（3 分） 　　 综上，顶角 ∠BAC 为 60° 或 120°。　　　　　　　　　　　　　（1 分） 29．解：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 12 m。 　　 ∵ 30° 角所对的直角边等于斜边的一半， 　　 ∴ BC = AB/2 = 6 m。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3 分） 　　 由勾股定理，AC = √(AB² - BC²) = √(144 - 36) = √108 = 6√3（m）。　（3 分） 　　 答：坡高 BC = 6 m，水平距离 AC = 6√3 m。　　　　　　　　　　（1 分） 评分标准速查 题型 题号 分值 说明 单项选择 1 ~ 10 30 分 每小题 3 分 多项选择 11 ~ 15 20 分 每小题 4 分；选对但不全得 2 分，错选得 0 分 填空题 16 ~ 20 10 分 每小题 2 分 判断题 21 ~ 25 10 分 每小题 2 分 简答题 26 ~ 27 16 分 每小题 8 分，按步骤给分 材料分析题 28 ~ 29 14 分 每小题 7 分，按步骤给分 合计 1 ~ 29 100 分 30 + 20 + 10 + 10 + 16 + 14 = 100 分 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $