第三单元分数除法（分层作业设计）-2026-2027学年数学六年级上册人教版

2026—2027学年 人教版六年级上册 第三单元 《分数除法》 作业分层设计 单元知识归纳 课时讲练一体 分层检测 文档构成——单元知识与重难点归纳 7 课时讲练作业 整理和复习 分层检测——基础卷 A（全员必做） 提升卷 B（学有余力） 综合卷 C（思维拓展） 答案解析——课时作业参考答案 三卷逐题答案与解析 人教版六年级上册数学第三单元《分数除法》作业分层设计（2026—2027学年） 本作业设计紧扣人教版六年级上册第三单元《分数除法》教材内容，坚持"讲练一体、分层递进"的设计理念：以单元知识归纳为纲，按课时配备"课前预习—课堂学习—课后巩固"三个环节，例题精讲与即时练习相结合；单元末设置基础卷、提升卷、综合卷三个层次的检测卷，供不同学力学生选用，并附完整参考答案与解析，便于教师布置、批改与学生自查。 目　录 目录内容将在打开文档时自动生成（如未显示，请右键选择"更新域"） 第一部分 单元知识与重难点归纳 本部分系统梳理本单元的知识结构、七条核心结论与重难点、易错点，供课前导航与单元复习对照使用。 一、单元地位与内容结构 本单元承接第一单元《分数乘法》，是小学阶段分数运算体系的收官单元，也为后续学习《比》《百分数》以及六年级下册比例等内容奠定基础。单元内容如下表： 板块 核心内容 关键结论 倒数的认识 乘积是 1 的两个数互为倒数 1 的倒数是 1，0 没有倒数 分数除以整数 分数除以整数（0 除外） 等于分数乘这个整数的倒数 一个数除以分数 整数除以分数、分数除以分数 一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数 分数混合运算 四则混合运算顺序与简便计算 运算顺序与整数相同；乘法运算律同样适用 解决问题（一） 已知一个数的几分之几是多少，求这个数 单位"1"未知，用除法或方程解答 解决问题（二） 已知两个量的和与倍数关系，求两个量 设单位"1"的量为 x，列方程解答 解决问题（三） 工程问题 把工作总量看作单位"1"，用"1"除以工作效率和 二、单元知识点归纳 1. 倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数。倒数是相互依存的关系，不能 单独说某个数是倒数；求一个分数（，a、b 均不为 0）的倒数，把分子、分母调换位置；整数（0 除外）的倒数是分母为该整数的分数单位形式（如 7 的倒数是 ）；小数、带分数求倒数，要先化成分数再调换位置；1 的倒数是 1，0 没有倒数。 2. 分数除法的意义：分数除法与整数除法的意义相同，已知两个因数的积与 其中一个因数，求另一个因数的运算。如 ÷ 表示已知两个因数的积是 ，其中一个因数是 ，求另一个因数。 3. 分数除法的计算法则：甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘乙数的倒 数。写成一般形式： ÷ = × （b、c、d 均不为 0）。 4. 分数混合运算的顺序：与整数混合运算相同——先乘除后加减，有括号先 算括号里面的；整数乘法的交换律、结合律、分配律对分数同样适用，可用来简便计算。 5. "已知一个数的几分之几是多少，求这个数"：抓住含有分率的句子确定单 位"1"。单位"1"的量未知时，用具体数量 ÷ 对应分率，或根据单位"1"的量 × 分率 = 具体数量列方程解答。 6. "和倍"问题：已知两个量的总和与其中一个量是另一个量的几分之几，设单位"1"的量为 x，另一个量为（分率 × x），依据"和"列方程。 7. 工程问题：把工作总量看作单位"1"，工作时间已知时工作效率为 ；合作时间 = 1 ÷ 工作效率之和。 三、单元重难点与易错点 重点：理解倒数的意义；掌握分数除法的计算法则并能正确计算；能找准单位"1"，正确解决"已知一个数的几分之几是多少求这个数"的实际问题。 难点：理解"除以一个不为 0 的数等于乘这个数的倒数"的算理；区分"单位'1'已知"（用乘法）与"单位'1'未知"（用除法或方程）两类问题；工程问题中把工作总量抽象为单位"1"。 易错点提醒 除号变乘号后，忘记把除数取倒数，或除数取倒数后仍保留除号； 整数除以分数时误将除数的分子、分母位置不调换（如 4 ÷ 应等于 4 × = 10，而不是 4 × ）； 0 没有倒数，1 的倒数是它本身； 计算结果未化成最简分数，假分数未按题目要求化成带分数或整数； 解决问题时单位"1"判断错误——分率"是、占、相当于、比"后面的量才是单位"1"； "和倍"问题中把"设 x"设在非单位"1"的量上，导致分率出现分数而计算繁琐出错。 第二部分 课时作业设计（讲练一体） 本部分按课时设计“课前预习—课堂学习—课后巩固”三个环节，例题精讲与分层练习相结合，可按课时整页布置。 第 1 课时 倒数的认识 【课前预习】 预习目标：结合乘法算式初步理解倒数的意义，会求整数、分数的倒数，并思考 0 与 1 的倒数问题。 1. 先计算，再观察每组算式的因数有什么特点。 3 × =（　　） × =（　　） 0.5 × 2 =（　　） 2. 填一填：乘积是（　　）的两个数互为倒数。 3. 尝试写出下面各数的倒数。 的倒数是（　　） 的倒数是（　　） 6 的倒数是（　　） 4. 想一想：1 的倒数是多少？0 有倒数吗？为什么？ 【课堂学习】 知识要点：①乘积是 1 的两个数互为倒数，倒数描述的是两个数之间的关系；②求分数的倒数只要交换分子、分母的位置；③1 的倒数是 1；因为 0 与任何数相乘都得 0，所以 0 没有倒数。 例题 1　写出下面各数的倒数。 （1）　（2）　（3）0.75　（4）5 解析：求倒数的方法是"交换分子、分母"，但带分数和小数不能直接交换，必须先化成（假）分数。 （1） 的分子、分母交换位置，倒数是 ； （2） 先化为 ，其倒数是 ； （3）0.75 先化为 ，其倒数是 ； （4）5 可以看作 ，其倒数是 。 例题 2　辨一辨（对的画"√"，错的画"×"）。 （1）因为 × = 1，所以 是倒数。（　　） （2）真分数的倒数都大于 1。（　　） （3）假分数的倒数一定小于 1。（　　） （4）0.2 的倒数是 5。（　　） 解析：（1）倒数是两个数相互依存的关系，应说 与 互为倒数，或 是 的倒数，故错；（2）真分数小于 1，交换分子分母位置后所得的数一定大于 1，正确（分子小于分母，交换后分子大于分母）；（3）假分数大于或等于 1，当假分数等于 1（如 ）时，其倒数仍是 1，并不小于 1，故错；（4）0.2 = ，其倒数是 5，正确。 课堂练习： 1. 填空。 ×（　　）= 1　　（　　）× = 1 1 ÷ =（　　）　　9 ×（　　）= 1 2. 写出下面各数的倒数。 　　　　　　0.125　　12　　1 3. 将互为倒数的两个数连起来（口答）。 、、、0.2 —— 5、、、 4. 最小的合数与最大的一位数的倒数之和是多少？ 5. 一个数与它的倒数的和是 4.25，这个数是多少？ 6. 如果 a × = 1（a 不为 0），那么 a 是多少？a 的倒数又是多少？ 【课后巩固】 基础题（全体必做）： 1. 填空： 的倒数是（　　）； 的倒数是（　　）；（　　）的倒数是 ；（　　）与 0.4 互为倒数。 2. 判断。 1 的倒数是 1，0 的倒数是 0。（　　） 所有的数都有倒数。（　　） 互为倒数的两个数的乘积是 1。（　　） 因为 × = 1，所以 是倒数。（　　） 3. 写出下面各数的倒数：、、1.5、、23。 4. 直接写出得数（巩固"乘倒数等于 1"的口算）。 × =　　 × =　　0.5 × 2 =　　 × 6 = 5. 小明说："任何一个数的倒数都比它本身大。"你同意吗？请举例说明。 提升题（学有余力选做）： 6. 三个连续自然数依次为 a、b、c，已知 a × = 1，那么 b、c 的倒数各是多少？ 7. 已知 A × = B × = 1（A、B 均不为 0），比较 A 与 B 的大小。 8. 一个分数的分子是 8，它与 互为倒数，这个分数是多少？它化成带分数是多少？ 第 2 课时 分数除以整数 【课前预习】 预习目标：借助"平均分"的操作活动，理解分数除以整数的意义，初步掌握计算方法。 1. 把 4 个苹果平均分给 2 人，每人分得（　　）个，列出算式：（　　）÷（　　）=（　　）。 2. 把 米长的彩带平均分成 2 段，每段长多少米？请尝试折一折、画一画，并列式计算。 3. 猜想：分数除以整数，可以怎样计算？ 【课堂学习】 知识要点：分数除以整数（0 除外），等于分数乘这个整数的倒数。当分子能被除数整除时，也可以直接用分子除以整数、分母不变，两种方法结果相同；当分子不能被除数整除时，"乘倒数"的方法更具一般性。 例题 1　计算： ÷ 2。 解析：方法一（利用分数的意义）： 里面有 4 个 ，平均分成 2 份，每份是 2 个 ，即 ；方法二（乘倒数）： ÷ 2 = × = = 。两种方法结果一致。 例题 2　把 升果汁平均装在 2 个杯子里，每个杯子里有多少升？ 解析： ÷ 2 = × = （升）。本题分子 3 不能被 2 整除，因此只能用"乘倒数"的方法，体现了一般方法的必要性。 课堂练习： 1. 填一填。 ÷ 3 =（　　），想： 里面有（　　）个 ，平均分成 3 份，每份是（　　）个 。 2. 计算下面各题。 ÷ 4　　 ÷ 5　　 ÷ 2　　 ÷ 3 3. 填空： ÷ 5 = ×（　　）=（　　）； ÷ 3 = ×（　　）=（　　）。 4. 一个正方形的周长是 米，它的边长是多少米？ 5. 一个数的 3 倍是 ，这个数是多少？ 6. 把 千克糖果平均分装在 5 个袋子里，每袋装多少千克？ 【课后巩固】 基础题（全体必做）： 1. 直接写出得数。 ÷ 2 =　　 ÷ 2 =　　 ÷ 3 =　　 ÷ 3 = ÷ 2 =　　 ÷ 5 =　　 ÷ 4 =　　 ÷ 6 = 2. 计算下面各题，结果化成最简分数。 ÷ 5　　 ÷ 4　　 ÷ 6　　 ÷ 7 3. 在 ○ 里填上">""<"或"="。 ÷ 5 ○ 　　 ÷ 2 ○ 　　 ÷ 1 ○ 4. 填空：把 米平均分成 7 份，每份是（　　）米，每份是全长的（　　）。 5. 一辆自行车 小时行驶 千米……这道题能用今天学的"分数除以整数"解决吗？为什么？ 提升题（学有余力选做）： 6. 已知 ÷ □ = ，□ 里应填几？ 7. 一根绳子长 米，第一次剪去它的 ，第二次剪去 米，还剩多少米？（提示：注意两个分数含义不同） 8. 按规律填数：、、、（　　）、（　　）——想一想，相邻两个数之间有什么关系？（后一个数 = 前一个数 ÷ 2） 第 3 课时 一个数除以分数 【课前预习】 预习目标：理解"一个数除以分数"的算理，掌握整数除以分数、分数除以分数的计算方法。 1. 填一填：2 米长的丝带，每 米剪成一段，可以剪成几段？先画一画，再列式：（　　）÷（　　）=（　　）。 2. 猜想：一个数除以分数，能不能也转化为乘法来计算？ 3. 回顾：分数除以整数，等于分数乘整数的（　　）。 【课堂学习】 知识要点：一个数除以一个不为 0 的分数，等于这个数乘分数的倒数。无论是整数除以分数还是分数除以分数，都可统一用"除以一个数（0 除外）等于乘这个数的倒数"来计算。其算理可借助"包含除法"理解：如 2 ÷ 表示 2 里面包含多少个 ，因为 1 里面有 3 个 ，所以 2 里面有 (2 × 3) 个 ，即 2 ÷ = 2 × 3 = 6。 例题 1　计算：4 ÷ ； ÷ 。 解析：4 ÷ = 4 × = 10； ÷ = × = 2。注意"一变二倒"：除号变乘号，除数分子分母颠倒位置，被除数不变。 例题 2　小明 小时走了 4 千米，他平均每小时走多少千米？ 解析：路程 ÷ 时间 = 速度，4 ÷ = 4 × = 6（千米）。也可以这样想： 小时走 4 千米，先求 小时走的千米数（4 ÷ 2 = 2），再求 3 个 小时（即 1 小时）走的千米数（2 × 3 = 6），两种思路一致。 课堂练习： 1. 算一算、填一填。 3 ÷ =（　　）　　5 ÷ =（　　）　　 ÷ =（　　） 2. 计算下面各题。 6 ÷ 　　 ÷ 　　 ÷ 　　 ÷ 3. 在 ○ 里填上">""<"或"="。 5 ÷ ○ 5　　 ÷ ○ 　　7 ÷ ○ 7 × 4. 一辆汽车 小时行驶 45 千米，照这样的速度，1 小时行驶多少千米？ 5. 哪个数的 是 16？请列式解答。 6. 一根铁丝剪成每段 米的小段，正好剪了 12 段，这根铁丝原来长多少米？ 【课后巩固】 基础题（全体必做）： 1. 直接写出得数。 1 ÷ =　　2 ÷ =　　 ÷ =　　0 ÷ = 6 ÷ =　　 ÷ =　　 ÷ =　　9 ÷ = 2. 计算下面各题。 ÷ 　　 ÷ 　　 ÷ 　　 ÷ 3. 填空。 （　　）的 是 12；一个数的 是 ，这个数是（　　）。 千米是 千米的（　　）倍（结果可以不是整数）。 4. 王师傅 小时加工 15 个零件，他 1 小时能加工多少个零件？ 5. 一瓶矿泉水，喝了 升，正好是这瓶水的 ，这瓶矿泉水原有多少升？ 提升题（学有余力选做）： 6. 已知 a ÷ = b ÷ = c ÷ （a、b、c 均不为 0），比较 a、b、c 的大小（提示：设商为 1 分别求出 a、b、c）。 7. 一台收割机 小时收割 公顷小麦，照这样计算，收割 3 公顷小麦需要多少小时？ 8. 计算：1 ÷ (1 ÷ ) ÷ (1 ÷ )，你发现了什么规律？ 第 4 课时 分数混合运算 【课前预习】 预习目标：掌握分数四则混合运算的运算顺序，会用乘法运算律进行简便计算。 1. 回顾整数混合运算的顺序：先算（　　）法，后算（　　）法，有括号的先算（　　）里面的。 2. 用字母表示乘法分配律：a × (b + c) =（　　）。 3. 猜一猜：这些运算顺序和运算律，对分数还适用吗？ 【课堂学习】 知识要点：①分数混合运算的顺序与整数混合运算完全相同；②"除以一个数（0 除外）等于乘这个数的倒数"，所以分数乘除混合运算可以先一次性把除法转化为乘法，再统一约分计算；③整数的乘法交换律、结合律、分配律对分数运算同样适用，灵活运用可以使计算简便。 例题 1　计算： + ÷ ；( + ) ÷ 。 解析：第一题先算除法： ÷ = × = ，再加： + = 1；第二题先算括号里的加法： + = ，再算除法： × = 。两题数字相同、括号不同，结果不同，说明运算顺序非常重要。 例题 2　简便计算： ÷ + × 。 解析： ÷ = × ，于是原式 = × + × = ( + ) × = 1 × = 。先把除法转化为乘法，才能发现"相同因数 "，逆用乘法分配律简算。 课堂练习： 1. 先说一说运算顺序，再计算。 − × 　　 ÷ ( × )　　( − ) ÷ 2. 简便计算（写出运用了什么运算律）。 12 × ( + )　　 × + ÷ 9　　 × 101 − 3. 计算下面各题。 ÷ × 　　 × ( ÷ )　　 ÷ − 4. 下面的计算对吗？把不对的改正过来。 + ÷ = 1 ÷ = 2（　　） × ÷ × = （　　） 5. 列式计算： 除以 与 的和，商是多少？ 6. 一个数减去它的 后等于 12，这个数是多少？（用方程解） 【课后巩固】 基础题（全体必做）： 1. 计算下面各题，能简算的要简算。 ÷ × 　　( − ) × 　　 ÷ + ÷ × + × 　　24 × ( − )　　 × 7 + 2. 解方程。 3x = 　　x ÷ = 　　 x = 15　　x × = 3. 一本书，明明第一天看了全书的 ，第二天看了全书的 ，两天一共看了 70 页，这本书共多少页？（注意：本题需先想"两天分率之和"） 4. 甲数是 45 的 ，乙数的 是 45，甲数与乙数各是多少？ 5. 在 ○ 里填上">""<"或"="，并说说你的发现。 ÷ ○ 　　 ÷ ○ 　　 ÷ 1 ○ 提升题（学有余力选做）： 6. 简便计算：( + ) × 8 × 。 7. 一个分数，分子与分母的和是 21，若分子加上 7，分数值就等于 1，原分数是多少？ 8. 定义新运算：a ☆ b = a ÷ − b × ，求 ☆ 的值。 第 5 课时 解决问题（一）：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【课前预习】 预习目标：会找单位"1"，能区分"单位'1'已知"与"单位'1'未知"两类问题，初步学会用除法或方程解决"已知一个数的几分之几是多少，求这个数"的问题。 1. 找出下面各句中的单位"1"，并说说你是根据哪个词判断的。 男生人数占全班人数的 。 已修的长度是全长的 。 一本书，已看的页数相当于总页数的 。 2. 六（1）班有 40 人，其中男生占 ，男生有多少人？（先解答，再想想单位"1"是否已知） 3. 如果把第 2 题改成"六（1）班男生有 16 人，占全班的 ，全班有多少人？"你会解答吗？试着做一做。 【课堂学习】 知识要点：解答分数除法应用题的关键是找准单位"1"（分率句中"是、占、相当于、比"后面的量）。单位"1"的量已知时，求它的几分之几用乘法；单位"1"的量未知时，用除法（具体数量 ÷ 对应分率）或方程（设单位"1"的量为 x，根据"单位'1'的量 × 分率 = 具体数量"列方程）。画线段图可以帮助理清数量关系。 例题 1　小明的体重是爸爸体重的 ，小明体重 30 千克，爸爸体重是多少千克？ 解析：把爸爸的体重看作单位"1"，画线段图：爸爸的体重平均分成 5 份，小明的体重相当于其中 2 份。单位"1"（爸爸体重）未知。 方法一（方程法）：设爸爸体重为 x 千克，根据"爸爸体重 × = 小明体重"列方程： x = 30，x = 30 ÷ = 30 × = 75。 方法二（算术法）：30 ÷ = 30 × = 75（千克）。验算：75 × = 30（千克），符合题意。 例题 2　一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了全程的 ，正好行驶了 180 千米。甲、乙两地相距多少千米？ 解析：全程是单位"1"，未知。已行驶的 180 千米对应分率 。全程 = 180 ÷ = 180 × = 420（千米）。验算：420 × = 180（千米），正确。 课堂练习： 1. 先找出单位"1"，再说一说已知的是"具体数量"还是"单位'1'的量"。 一桶油，用去了 ，正好用去 12 千克。 果园里苹果树的棵数是梨树的 。 一根钢管截去全长的 后，剩下 6 米。 2. 解答下面各题。 一个数的 是 36，这个数是多少？（用方程解） 学校图书馆有故事书 480 册，正好是科技书册数的 ，科技书有多少册？ 水果店运来一批水果，其中苹果有 240 千克，占这批水果的 ，这批水果共多少千克？ 3. 一瓶果汁，喝掉 后还剩 300 毫升，这瓶果汁原有多少毫升？（提示：先求剩下的对应分率 1 − ） 4. 一根绳子，第一次用去全长的 ，第二次用去全长的 ，两次共用去 13 米。这根绳子全长多少米？ 5. 一条线段表示一本书的总页数，已看部分标注 是 80 页，求总页数。 【课后巩固】 基础题（全体必做）： 1. 填一填（先找单位"1"，再写数量关系式）。 "白兔只数是黑兔的 "：（　　）× =（　　）。 "一箱苹果吃了 正好是 8 千克"：（　　）× =（　　）。 2. 解答下面各题。 六（2）班参加兴趣小组的有 24 人，占全班人数的 ，六（2）班共有多少人？ 一袋大米，吃去 后还剩 5 千克，这袋大米原有多少千克？ 工程队修一条路，已经修了 ，还剩 15 千米没修，这条路全长多少千米？ 3. 动物园里大熊猫有 8 只，正好是金丝猴只数的 ，金丝猴有多少只？（画线段图并解答） 4. 一本故事书，小华第一天读了全书的 ，第二天读了全书的 ，第二天比第一天多读 6 页，这本书共多少页？ 5. 选择：一台电视机降价 后售价为 896 元，原价是多少元？正确算式是（　　）。 A. 896 × 　　B. 896 ÷ 　　C. 896 ÷ (1 − )　　D. 896 × (1 − ) 提升题（学有余力选做）： 6. 一桶油，第一次倒出总数的 ，第二次倒出总数的 ，第二次比第一次多倒出 2 千克，这桶油原有多少千克？ 7. 两根绳子共长 24 米，第一根用去 后，剩下的长度恰好等于第二根的长度，第二根长多少米？ 8. 商场销售一种上衣，先提价 ，再降价 ，现在售价是 396 元。这种上衣的原价是多少元？（提示：先提价，单位"1"是原价；再降价，单位"1"变成了提价后的价格） 第 6 课时 解决问题（二）：两个未知数的和倍问题 【课前预习】 预习目标：学会用方程解决"已知两个量的和与其中一个量是另一个量的几分之几"的问题。 1. 果园里有梨树 x 棵，苹果树的棵数是梨树的 ，苹果树有（　　）棵，梨树和苹果树一共有（　　）棵（用含 x 的式子表示）。 2. 五年级植树，杨树棵数是松树的 2 倍，两种树共 120 棵。松树、杨树各多少棵？（先用算术法解，再想想能不能用方程解） 3. 想一想：如果把第 2 题的"2 倍"改成""，你觉得设哪个量为 x 比较方便？ 【课堂学习】 知识要点：解决"和倍"问题的关键是设单位"1"的量为 x，这样另一个量就可以直接用"分率 × x"表示，再根据"两个量的和"列出方程：x + 分率 × x = 和，即 (1 + 分率) x = 和。解这类方程要用到五年级学过的"逆用乘法分配律"。 例题　学校科技小组和美术小组共有 84 人，美术小组的人数是科技小组的 。科技小组和美术小组各有多少人？ 解析：把科技小组人数看作单位"1"（"是"后面的量），设科技小组有 x 人，则美术小组有 x 人。 根据"科技小组人数 + 美术小组人数 = 84"列方程：x + x = 84，即 (1 + ) x = 84， x = 84，x = 84 ÷ = 84 × = 48。 美术小组：48 × = 36（人）。验算：48 + 36 = 84（人）√，36 ÷ 48 = √。 课堂练习： 1. 填空。 甲数是乙数的 ，设乙数为 x，则甲数为（　　），甲、乙两数的和为（　　）。 白兔有 x 只，黑兔只数是白兔的 ，黑兔有（　　）只，两种兔共（　　）只。 2. 解方程。 x + x = 24　　x + x = 55　　x − x = 18　　x + x = 70 3. 六年级同学向灾区小朋友捐赠图书，故事书和连环画共 180 本，故事书的本数是连环画的 。两种书各捐了多少本？ 4. 一套运动服共 240 元，其中裤子的价钱是上衣的 。上衣和裤子各多少元？ 5. 甲、乙两队合修一条长 360 米的公路，甲队修的米数是乙队的 。两队各修了多少米？ 【课后巩固】 基础题（全体必做）： 1. 解方程。 x + x = 49　　x + x = 132　　x − x = 40 2. 妈妈买来苹果和梨共 35 千克，苹果的质量是梨的 。苹果和梨各买了多少千克？ 3. 学校田径队和足球队共有队员 110 人，田径队人数是足球队的 。两个队各有队员多少人？ 4. 用一根长 48 米的彩绳编一个大中国结和一个小中国结（彩绳恰好用完），大中国结所用的彩绳长度是小中国结的 。两个中国结各用彩绳多少米？ 5. 果园里桃树和杏树共 160 棵，桃树的棵数是杏树的 。桃树比杏树少多少棵？ 提升题（学有余力选做）： 6. 六（1）班图书角的故事书比科技书多 30 本，科技书的本数是故事书的 。故事书和科技书各有多少本？（提示：这是"差倍"问题，设故事书为 x，根据"差"列方程 x − x = 30） 7. 甲、乙两数之和是 140，甲数的 等于乙数的 ，求甲、乙两数各是多少。提示：设乙数为 x，则甲数为 (140 − x)，根据"甲数 × = 乙数 × "列方程 8. 淘气家和笑笑家相距 1500 米，淘气从家出发步行去笑笑家，已走的路程是剩下路程的 ，淘气已经走了多少米？ 第 7 课时 解决问题（三）：工程问题 【课前预习】 预习目标：理解把工作总量看作单位"1"的抽象方法，掌握工程问题的数量关系。 1. 一项工作，甲单独做 5 天完成，甲每天完成这项工作的（　　）；乙单独做 8 天完成，乙每天完成这项工作的（　　）。 2. 甲、乙合作，每天共完成这项工作的（　　）（用算式表示）。 3. 想一想："工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率"，当工作总量不知道具体数量时，可以把它看作多少？ 【课堂学习】 知识要点：工程问题中，把工作总量看作单位"1"；谁单独做 a 天完成，他的工作效率就是每天 ；合作时"工作效率之和 = 各人效率相加"；合作时间 = 1 ÷ 工作效率之和。这种"设总量为 1"的抽象方法使得不知道具体总量的工程问题也能求解，是数学抽象思想的重要体现。 例题　修一条公路，甲队单独修 12 天完成，乙队单独修 24 天完成。如果两队合修，多少天可以修完？ 解析：把这条公路的总量看作单位"1"。甲队每天修 ，乙队每天修 ，两队合修每天完成 + = + = = 。 合作时间 = 1 ÷ ( + ) = 1 ÷ = 8（天）。 验算：8 × + 8 × = + = 1 √。思考：为什么两队合修的时间 8 天比甲队单独修的 12 天还少？（因为效率相加，合作效率高于任何一方单独效率。） 课堂练习： 1. 填空。 打一份稿件，小明单独 6 小时打完，每小时打这份稿件的（　　）；小红单独 3 小时打完，每小时打（　　）；两人合打，每小时打（　　），合打（　　）小时完成。 2. 一批货物，甲车单独运 6 次运完，乙车单独运 12 次运完。两车一起运，几次运完？ 3. 一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作，几天完成？ 4. 加工一批零件，师傅单独 4 小时完成，徒弟单独 12 小时完成。师徒二人合做，几小时可以完成这批零件的一半？ 5. 一块菜地，甲拖拉机单独耕 6 小时耕完，乙拖拉机单独耕 3 小时耕完。两台拖拉机同时耕，耕完这块菜地的一半需要几小时？ 【课后巩固】 基础题（全体必做）： 1. 填空：一项工程，甲队单独做需要 20 天，甲队每天完成全工程的（　　）；乙队每天完成全工程的 ，乙队单独做需要（　　）天；两队合作每天完成（　　），合作需要（　　）天。 2. 修一条水渠，甲工程队单独修 15 天完成，乙工程队单独修 30 天完成。两队合修多少天可以完成？ 3. 一个水池装有甲、乙两个进水管，单开甲管 6 小时注满，单开乙管 12 小时注满。两管齐开，几小时注满水池？ 4. 一批布料，做上衣可以做 10 件，做裤子可以做 15 条（全部做同一种）。如果上衣和裤子配套做（一套用一份布料的合适分率），这批布料可以做多少套？（提示：每套用去布料的 + ） 5. 客车从甲地到乙地要行 3 小时，货车从乙地到甲地要行 6 小时。两车同时从两地相向开出，经过几小时相遇？（想一想：本题把什么看作单位"1"？） 提升题（学有余力选做）： 6. 一份稿件，打字员甲单独打 10 小时完成，打字员乙单独打 15 小时完成。甲先打 4 小时，剩下的由乙单独完成，乙还需要几小时？ 7. 一项工程，甲队单独做 12 天完成，乙队单独做 18 天完成。两队合作若干天后，乙队调走，剩下的由甲队单独做 3 天完成。两队合做了多少天？ 8. 一批货物共 240 吨，甲车单独运 8 次运完，乙车单独运 12 次运完。两车同时运，运完这批货物时，甲车共运了多少吨？ 整理和复习 【知识梳理】 请同学们自己先画一画本单元的知识结构图，再对照下面的表格查漏补缺： 知识板块 核心公式或方法 提醒 倒数 乘积为 1；交换分子分母 1 的倒数是 1，0 没有倒数 分数除法 a ÷ b = a × （b ≠ 0） "一变二倒"，结果最简 混合运算 先乘除后加减，有括号先算括号内 除法先转化为乘法再约分 应用题一 具体数量 ÷ 对应分率 = 单位"1"的量 先判断单位"1"是否已知 应用题二 (1 + 分率) x = 和 设单位"1"的量为 x 工程问题 1 ÷ ( + ) 总量看作"1" 【综合练习】 1. 口算。 ÷ 3 =　　 × =　　 ÷ =　　1 ÷ = ÷ =　　 × =　　 ÷ =　　0 ÷ = 2. 计算下面各题，能简算的要简算。 × + ÷ 　　 × ( − )　　 ÷ × 　　99 × 3. 解方程。 x = 18　　x ÷ = 　　x + x = 45 4. 一列火车 小时行驶 90 千米，照这样的速度，从甲城到乙城共行驶 小时，甲、乙两城相距多少千米？ 5. 一桶油连桶共重 18 千克，用去 的油后，连桶共重 13 千克。桶里原来有油多少千克？桶重多少千克？ 6. 学校买来一批图书，分给五年级 ，分给六年级 ，六年级比五年级多分 12 本，这批图书共多少本？ 7. 甲、乙两个工程队合修一条 1200 米长的公路，甲队单独修需要 20 天，乙队单独修需要 30 天。两队合修需要多少天修完？（先按工程问题的思路解，再用具体数量验证） 8. 某工厂十月份计划生产一批零件，上半月完成计划的 ，下半月完成计划的 ，结果超产 60 个。十月份计划生产零件多少个？ 第三部分 分层测试卷 本部分提供三个层次的单元检测卷——基础卷 A 面向全体学生，提升卷 B 面向学有余力者，综合卷 C 面向思维拓展。各卷独立成页，可单独印发检测。 测试卷 A：基础卷 （时间：60 分钟，满分：100 分。面向全体学生，重点考查基础知识与基本技能。） 一、填空题。（每题 2 分，共 20 分） 1. ×（　　）= 1；（　　）× = 1。 2. 12 的倒数是（　　）； 的倒数是（　　）。 3. ÷ 3 = ×（　　）=（　　）。 4. 一个数的 是 15，这个数是（　　）。 5. 在 ○ 里填上">""<"或"="： ÷ ○ 1； ÷ 3 ○ 。 6. 米是 米的（　　）。 7. 小红 小时走了 2 千米，她 1 小时走（　　）千米。 8. 一项工程 8 天可以完成，每天完成这项工程的（　　），3 天完成这项工程的（　　）。 9. 一个数除以 ，商是 25，这个数是（　　）。 10. 甲数的 等于乙数的 （甲、乙均不为 0），甲数（　　）乙数。 二、判断题。（对的画"√"，错的画"×"，每题 2 分，共 10 分） 1. 0 没有倒数，1 的倒数是它本身。（　　） 2. 一个数（0 除外）除以 ，等于这个数乘 4。（　　) 3. 假分数的倒数一定小于 1。（　　） 4. 分数除法的意义与整数除法的意义相同。（　　） 5. 两个数相除（被除数不为 0），商一定小于被除数。（　　） 三、选择题。（把正确答案的序号填在括号里，每题 2 分，共 10 分） 1. 一个非 0 的数除以真分数，商（　　）被除数。　A. 大于　B. 小于　C. 等于 2. 与 12 ÷ 相等的式子是（　　）。　A. 12 × 　B. 12 × 　C. 12 ÷ 3. "一本书，已看了全书的 正好是 45 页"，求全书页数列式为（　　）。　A. 45 × 　B. 45 ÷ 　C. 45 ÷ (1 − ) 4. 一项工作，甲单独做 6 天完成，乙单独做 3 天完成，两人合做（　　）天完成。　A. 2　B. 4.5　C. 9 5. 解方程 x × = 28，x =（　　）。　A. 16　B. 49　C. 46 四、计算题。（共 24 分） 1. 直接写出得数。（每小题 1 分，共 8 分） ÷ =　　6 × =　　 ÷ 3 =　　 × = 1 ÷ =　　0 ÷ =　　 ÷ =　　 ÷ = 2. 计算下面各题。（每小题 2 分，共 8 分） ÷ × ( + ) ÷ − × ÷ ( × ) 3. 简便计算。（每小题 2 分，共 4 分） × + × 24 × ( − ) 4. 解方程。（每小题 2 分，共 4 分） x = 16 x + x = 28 五、看图列式计算。（共 6 分） 一根绳子，剪去部分占全长的 ，正好是 80 米，这根绳子全长多少米？（画线段图表示数量关系，再列式解答） 六、解决问题。（每题 6 分，共 30 分） 1. 一个数的 是 40，求这个数。（用方程解） 2. 水果店运来苹果 150 千克，正好是梨的 ，运来梨多少千克？ 3. 一本书共 180 页，小红第一天读了全书的 ，第二天读了全书的 ，还剩多少页没读？ 4. 一批货物，甲车单独运 6 次运完，乙车单独运 3 次运完，两车一起运，几次可以运完？ 5. 六（1）班参加美术小组的人数是参加科技小组人数的 ，两个小组共有 48 人。参加两个小组的各有多少人？ 测试卷 B：提升卷 （时间：60 分钟，满分：100 分。面向学有余力的学生，重点考查灵活运用与变式能力。） 一、填空题。（每题 2 分，共 20 分） 1. a × = 1（a 不为 0），a =（　　）。 2. 0.25 的倒数是（　　）；2.5 与它的倒数的积是（　　）。 3. 甲数是乙数的 （两数均不为 0），乙数是甲数的（　　）。 4. 一根绳子剪去 后还剩 9 米，这根绳子原来长（　　）米。 5. 比 90 的 多 12 的数是（　　）。 6. 一个数除以 ，商是 20，这个数是（　　）。 7. 若 x − x = 16，则 x =（　　）。 8. 一项工作，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成，两人合做（　　）天完成。 9. 要使 ÷ □ 的商大于 ，□ 里应填（　　）（填"真分数"或"假分数"）。 10. 一杯糖水中糖占糖水的 ，糖有 20 克，这杯糖水中水有（　　）克。 二、判断题。（每题 2 分，共 10 分） 1. 1 除以一个非 0 的数，等于这个数的倒数。（　　） 2. 甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘乙数的倒数。（　　） 3. 若 a > b > 0，则 a ÷ < b ÷ 。（　　） 4. "降价 "与"售价是原价的 "意思相同。（　　） 5. 两个真分数的商一定是假分数。（　　） 三、选择题。（每题 2 分，共 10 分） 1. 一双运动鞋降价 后售价 90 元，原价是（　　）元。　A. 99　B. 100　C. 81 2. 已知 a × = b ÷ （a、b 均大于 0），那么 a（　　）b。　A. 大于　B. 小于　C. 等于 3. 一个非 0 的数除以假分数（商不为 1），所得的商（　　）被除数。　A. 大于　B. 小于　C. 等于 4. 一桶油重 x 千克（x > 1），第一次用去 ，第二次用去 千克，两次相比，（　　）。　A. 第一次用得多　B. 第二次用得多　C. 一样多 5. 甲绳长 12 米，乙绳比甲绳长 ，丙绳比甲绳短 ，乙绳比丙绳长（　　）米。　A. 6　B. 3　C. 1 四、计算题。（共 20 分） 1. 简便计算。（写出主要过程，每小题 2 分，共 8 分） × 7 + ÷ + × ( + ) × 6 × 101 − 2. 解方程。（每小题 2 分，共 6 分） x − x = 10 x ÷ = 18 x + 8 = 20 3. 列式计算。（每小题 3 分，共 6 分） 1 减去 与 的和，差是多少？ 一个数的 比 20 少 4，求这个数。 五、操作与实践。（共 6 分） "水果店运来一批水果，其中苹果占 ，苹果有 240 千克，这批水果共多少千克？"请先画线段图表示题中的数量关系，再列式（不计算）。 六、解决问题。（共 34 分） 1. 商场促销，一台冰箱降价 后售价 2240 元，这台冰箱原价多少元？（5 分） 2. 一桶油，第一次用去 ，第二次用去 ，第二次比第一次少用 2 千克，这桶油原有多少千克？（6 分） 3. 图书角的故事书本数是连环画的 ，两种书共 550 本，两种书各有多少本？（6 分） 4. 挖一条水渠，甲队单独挖 20 天完成，乙队单独挖 30 天完成，两队合挖，多少天可以完成？（5 分） 5. 一个水池单开甲水管 8 小时注满，单开乙水管 12 小时注满，两管齐开，多少小时可以注满？（6 分） 6. 一批货物，甲车单独运 9 次运完，乙车单独运 18 次运完。甲车先运 3 次后，两车一起运剩下的货物，还需要运几次？（6 分） 测试卷 C：综合卷 （时间：60 分钟，满分：100 分，其中附加题 12 分。面向数学能力突出的学生，重点考查综合运用与思维拓展。） 一、填空题。（每题 2 分，共 16 分） 1. 的倒数是（　　）；0.8 的倒数是（　　）。 2. 若 A × = B × = 1（A、B 均不为 0），则 A 与 B（　　）。 3. 一根绳子剪成两段，第一段长 米，第二段占全长的 ，第（　　）段长。 4. 甲数是乙数的 （两数均不为 0），乙数是甲数的（　　），甲数比乙数少（　　）。 5. 若 x + x = 28，则 x 的 是（　　）。 6. 一个分数除以 ，商是 1，这个分数是（　　）。 7. 一辆汽车 小时行驶 60 千米，这辆汽车行驶 1 千米需要（　　）小时。 8. 一项工程，甲、乙两队合做 6 天完成，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做（　　）天完成。 二、选择题。（每题 2 分，共 12 分） 1. "皮球的个数比足球多 "，把（　　）看作单位"1"。　A. 皮球个数　B. 足球个数　C. 两种球总数 2. 下列说法错误的是（　　）。　A. 一个非 0 的数除以真分数，商一定大于被除数　B. 一个非 0 的数除以假分数，商一定小于被除数　C. 一个非 0 的数除以 1，商等于被除数本身 3. 一堆煤重 12 吨，第一次用去 ，第二次用去 吨，两次共用去（　　）吨。　A. 8　B. 4　C. 4. 已知 a > 0，比较 a ÷ 与 a × ，（　　）。　A. a ÷ 大　B. a × 大　C. 相等 5. 桃树的棵数是梨树的 ，桃树和梨树共有 120 棵，设梨树为 x 棵，下列方程正确的是（　　）。　A. x + x = 120　B. x − x = 120　C. x = 120 6. 计算 ( + + ) × 24 的结果是（　　）。　A. 12　B. 24　C. 20 三、计算题。（共 20 分） 1. 简便计算。（每小题 3 分，共 12 分） ( + − ) × 12 ÷ ( + ) 999 × × + ÷ 2. 解方程。（每小题 4 分，共 8 分） x − x = 30 (1 − ) x = 27 四、综合应用。（每题 8 分，共 40 分） 1. 书店运来一批故事书共 480 本，上午卖出总数的 ，下午卖出总数的 ，还剩多少本没有卖出？ 2. 六年级同学植树，六（1）班种了总数的 ，六（2）班种了总数的 ，六（2）班比六（1）班多种了 12 棵。六年级一共植树多少棵？ 3. 学校书法小组的人数比绘画小组少 ，已知书法小组比绘画小组少 12 人。两个小组各有多少人？（用方程解） 4. 一份稿件，甲打字员单独打 9 小时完成，乙打字员单独打 18 小时完成。甲先打 3 小时后，剩下的由两人合打，还需要多少小时完成？ 5. 客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需要 6 小时，货车行完全程需要 3 小时。相遇时客车行驶了 120 千米，甲、乙两地相距多少千米？ 五、附加题。（12 分） 一批零件，师傅单独做 8 小时完成，徒弟单独做 10 小时完成。现在师徒二人合做，中途师傅休息了 1 小时，完成这批零件共用了多少小时？提示：设完成时共用 x 小时，师傅实际做了 (x − 1) 小时，徒弟做了 x 小时，根据"工作总量 = 1"列方程 第四部分 参考答案与解析 本部分给出全部课时作业与三份测试卷的参考答案，计算题附关键过程，便于教师批改与学生自查。 课时作业答案 第 1 课时 倒数的认识 课前预习：1. 三个算式的积都是 1；每组算式中两个因数的分子、分母正好交换了位置。 2. 1。 3. ；；。 4. 1 的倒数是 1（1 × 1 = 1）；0 没有倒数（0 乘任何数都得 0，不可能等于 1）。 课堂练习：1. ；；8；。 2. ；（ = ，其倒数为 ）；；8（0.125 = ）；；1。 3. ↔ ； ↔ ；（= ）↔ ；0.2（= ）↔ 5。 4. 最小的合数是 4，最大的一位数是 9； + = 。 5. 这个数是 4，它的倒数是 （4 + = 4.25）。 6. a = ；a 的倒数是 。 课后巩固：基础题：1. ；9；；。 2. ×（0 没有倒数）；×（0 没有倒数）；√；×（应说"互为倒数"）。 3. ；（ = ）；（1.5 = ）；100；。 4. 1；1；1；1。 5. 不同意。小于 1 的数的倒数比它本身大（如 的倒数是 3）；大于 1 的数的倒数比它本身小（如 的倒数是 ）；1 的倒数等于它本身。 提升题：6. a = 8，则 b = 9、c = 10，其倒数分别为 、。7. A = = 1.2，B = ≈ 1.11，A > B。8. 与 互为倒数的数是 ；这个分数分子是 8 则应满足分子为 8 且值为 ——按题意这个分数就是 （分子 9、分母 8 与 互为倒数），化成带分数是 。（说明：与 互为倒数的分数是 ，即分子分母交换位置。） 第 2 课时 分数除以整数 课前预习：1. 4 ÷ 2 = 2（个）。 2. ÷ 2 = （米），画图略。 3. 可以转化为乘整数的倒数来计算。 课堂练习：1. ； 里有 6 个 ；每份 2 个 。 2. ；；；。 3. 、；、。 4. ÷ 4 = （米）。 5. ÷ 3 = 。 6. ÷ 5 = （千克）。 课后巩固：基础题：1. ；；；；；；；。 2. ；；；。 3. <（一个非 0 数除以大于 1 的数，商小于被除数）；<；=（除以 1 商不变）。 4. 每份 米；每份是全长的 （全长被平均分成 7 份）。 5. 不能。"求 1 小时行驶多少千米"是 ÷ ，属于"分数除以分数"（下一课时内容），不属于"分数除以整数"。 提升题：6. □ = ÷ = 4。7. × (1 − ) − = − = （米）（提示：剪去"它的 "是分率，剪去" 米"是具体数量）。8. ；（规律：后一个数是前一个数除以 2）。 第 3 课时 一个数除以分数 课前预习：1. 2 ÷ = 6（段）。 2. 可以，乘这个分数的倒数。 3. 倒数。 课堂练习：1. 12；6；2。 2. 8；2；4；2（ = ， × = 2）。 3. >（5 ÷ = 15 > 5）；<（ ÷ = < ）；=（7 ÷ = 8 = 7 × ）。 4. 45 ÷ = 60（千米）。 5. 16 ÷ = 40。 6. × 12 = 3（米）。 课后巩固：基础题：1. 5；4；1；0；9；4；1；12。 2. 2；9（ = ， × = 9）；；3（ × = 3）。 3. 32；（ ÷ = ）；（即 2.5 倍）。 4. 15 ÷ = 25（个）。 5. ÷ = （升）。 提升题：6. 设商为 1，则 a = 、b = 、c = ；因为 < < ，所以 a < b < c。7. 工作效率： ÷ = （公顷/时）；需要时间：3 ÷ = 2（小时）。8. 1 ÷ (1 ÷ ) ÷ (1 ÷ ) = 1 ÷ 2 ÷ 3 = ；规律：1 ÷ (1 ÷ a) = a，即"1 除以一个数的倒数等于这个数本身"。 第 4 课时 分数混合运算 课前预习：1. 乘除；加减；括号。 2. ab + ac。 3. 适用。 课堂练习：1. （原式 = − = ，或先乘除后加减）； （先算括号 × = ，再 ÷ ）； 1（括号内 − = ， ÷ = 1）。 2. 7（分配律：4 + 3 = 7）； 除法转化为 × ，逆用分配律 ( + ) × ； 5（分配律：3 + 2 = 5）； 80（ × 100 = 80）。 3. ；1；。 4. 第 1 题错，应先算除法： ÷ = ， + = ；第 2 题错，应从左往右： × = ， ÷ = ， × = 。 5. ÷ ( + ) = ÷ = 。 6. 设这个数为 x：x − x = 12， x = 12，x = 16。 课后巩固： 基础题：1. × = ， × = ； ； 两式都等于除以 ，( + ) ÷ = ； （分配律）；5 解析：24 × − 24 × = 9 − 4=5； 7（ × 8）。 2. x = ；x = ；x = 24；x = 。 3. 70 ÷ ( + ) = 70 ÷ = 120（页）。 4. 甲数：45 × = 25；乙数：45 ÷ = 81。 5. >（除以真分数变大）；<（除以大于 1 的假分数变小）；=（除以 1 不变）。 提升题：6. ( + ) × 8 × = × 8 × = 3 × = 。7. 设分子为 a、分母为 b，则 a + b = 21，a + 7 = b；解得 b = 14、a = 7，原分数是 = （按题意原分数为 ，化简为 ）。8. ☆ = ÷ − × = − = 。 第 5 课时 解决问题（一） 课前预习：1. 单位"1"依次是：全班人数（占）；全长（是）；总页数（相当于）。 2. 40 × = 16（人），单位"1"（全班人数）已知，用乘法。 3. 16 ÷ = 40（人），单位"1"未知，用除法。 课堂练习：1. 桶中油的质量 × = 12（千克），单位"1"是油的质量，未知；梨树棵数 × = 苹树棵数，单位"1"是梨树棵数；全长 × (1 − ) = 6（米），单位"1"是全长。 2. 设这个数为 x： x = 36，x = 45；480 ÷ = 800（册）；240 ÷ = 840（千克）。 3. 300 ÷ (1 − ) = 500（毫升）。 4. 13 ÷ ( + ) = 13 ÷ = 20（米）。 5. 80 ÷ = 128（页）。 课后巩固：基础题：1. 黑兔只数 × = 白兔只数；一箱苹果的质量 × = 8（千克）。 2. 24 ÷ = 36（人）；5 ÷ (1 − ) = 25（千克）；15 ÷ (1 − ) = 40（千米）。 3. 8 ÷ = 36（只），画线段图略。 4. 6 ÷ ( − ) = 6 ÷ = 120（页）。 5. C 896 ÷ (1 − ) = 1024 元。 提升题：6. 2 ÷ ( − ) = 2 ÷ = 24（千克）。7. 设第一根长 x 米，则第二根长 x 米：x + x = 24， x = 24，x = 15；第二根：15 × = 9（米）。8. 设原价 x 元：x × (1 + ) × (1 − ) = 396，即 x = 396，x = 400（元）。 第 6 课时 解决问题（二） 课前预习：1. x 棵；(1 + ) x = x 棵。 2. 松树：120 ÷ 3 = 40（棵），杨树：40 × 2 = 80（棵）。 3. 设单位"1"的量（松树）为 x 更方便。 课堂练习：1. x；(1 + ) x = x； x；(1 + ) x = x。 2. x = 18；x = 40；x = 24；x = 45。 3. 设连环画 x 本：x + x = 180， x = 180，x = 140；故事书：140 × = 40（本）。 4. 设上衣 x 元：x + x = 240， x = 240，x = 140；裤子：140 × = 100（元）。 5. 设乙队修 x 米：x + x = 360， x = 360，x = 200；甲队：200 × = 160（米）。 课后巩固：基础题：1. x = 35；x = 72；x = 56。 2. 设梨 x 千克：x + x = 35， x = 35，x = 20；苹果：20 × = 15（千克）。 3. 设足球队 x 人：x + x = 110， x = 110，x = 60；田径队：60 × = 50（人）。 4. 设小中国结用绳 x 米：x + x = 48， x = 48，x = 36；大中国结：36 × = 12（米）。 5. 设杏树 x 棵：x + x = 160， x = 160，x = 100；桃树：100 × = 60（棵）；桃树比杏树少 100 − 60 = 40（棵）。 提升题：6. 设故事书 x 本：x − x = 30， x = 30，x = 75；科技书：75 × = 45（本）。7. 设乙数为 x，则甲数为 (140 − x)：(140 − x) × = x × ， − = ，两边同乘 12：560 − 4x = 3x，x = 80；甲数：140 − 80 = 60。8. 设剩下 x 米： x + x = 1500， x = 1500，x = 900；已走：900 × = 600（米）。 第 7 课时 解决问题（三） 课前预习：1. ；。 2. + = 。 3. 看作单位"1"。 课堂练习：1. ；；；2（1 ÷ = 2 小时）。 2. 1 ÷ ( + ) = 1 ÷ = 4（次）。 3. 1 ÷ ( + ) = 1 ÷ = 6（天）。 4. ÷ ( + ) = ÷ = （小时）。 5. ÷ ( + ) = ÷ = 1（小时）。 课后巩固：基础题：1. ；30；；12（天）。 2. 1 ÷ ( + ) = 1 ÷ = 10（天）。 3. 1 ÷ ( + ) = 4（小时）。 4. 每套用去布料的 + = ，可做 1 ÷ = 6（套）。 5. 把全程看作单位"1"：1 ÷ ( + ) = 1 ÷ = 2（小时）。 提升题：6. 甲先打 4 小时完成 = ，剩下 1 − = ；乙还需要 ÷ = 9（小时）。7. 设两队合做 x 天，则合做完成 ( + ) x，甲队单独 3 天完成 = ： x + = 1， x = ，x = 6（天）。8. 两车合运次数：1 ÷ ( + ) = 4（次）；甲车 4 次共运 4 × = ，甲车共运 240 × = 160（吨）。 整理和复习 1. ；；1；；；；；0。 2. 两式都有 因数，( + ) × ； 括号内 − = ；； 88解析： × 100 − = 88。 3. x = 30；x = ；x = 36。 4. 速度：90 ÷ = 135（千米/时）；距离：135 × = 315（千米）。 5. 用去油的 后质量减少 18 − 13 = 5（千克），即油的 是 5 千克；油：5 ÷ = 15（千克）；桶：18 − 15 = 3（千克）。 6. 12 ÷ ( − ) = 12 ÷ = 180（本）。 7. 1 ÷ ( + ) = 1 ÷ = 12（天）；用具体数量验证：1200 ÷ 20 = 60（米/天），1200 ÷ 30 = 40（米/天），60 + 40 = 100（米/天），1200 ÷ 100 = 12（天），结果一致。 8. 上、下半月共完成计划的 + = ，超产部分对应 − 1 = ；计划生产：60 ÷ = 800（个）。 分层测试卷参考答案 测试卷 A：基础卷 一、1. ；。 2. ；。 3. ；。 4. 25。 5. =；<。 6. 。 7. 5。 8. ；。 9. 5。 10. =（甲、乙的 相等，则甲、乙相等）。 二、1. √； 2. √； 3. ×（等于 1 的假分数如 的倒数仍是 1）； 4. √； 5. ×（除以真分数时商大于被除数，如 1 ÷ = 2）。 三、1. A； 2. B； 3. B（45 页对应分率 ，直接相除）； 4. A 1 ÷ ( + ) = 2； 5. B x = 28 × = 49。 四、 1. 2；；；；；0；1；。 2. （ ÷ = 2，2 × = ）； 1（ ÷ ）； × (1 − ) = × ； 3（括号内 ， ÷ ）。 3. ( + ) × = ；24 × − 24 × = 9 − 4 = 5。 4. x = 20；x = 20（ x = 28，x = 28 × = 20）。 五、 线段图（把全长平均分成 5 份，剪去 2 份是 80 米）；80 ÷ = 80 × = 200（米）。 六、1. 设这个数为 x： x = 40，x = 40 × = 64。 2. 150 ÷ = 150 × = 200（千克）。 3. 180 × (1 − − ) = 180 × = 80（页）。 4. 1 ÷ ( + ) = 1 ÷ = 2（次）。 5. 设科技小组 x 人：x + x = 48， x = 48，x = 30；美术小组：30 × = 18（人）。 测试卷 B：提升卷 一、1. 。 2. 4；1（互为倒数的两数乘积为 1）。 3. 。 4. 12 解析:9 ÷ (1 − )。 5. 48（90 × = 36，36 + 12 = 48）。 6. 16（20 × ）。 7. 20（ x = 16）。 8. 6。 9. 真分数（除以真分数商变大）。 10. 160（糖水 20 ÷ = 180 克，水 180 − 20 = 160 克）。 二、1. √； 2. √； 3. ×（a ÷ = 5a，b ÷ = 5b，a > b 则 5a > 5b）； 4. √； 5. ×（如 ÷ = ，商仍是真分数）。 三、1. B 90 ÷ (1 − ) = 100 元。 2. A（a × = b × ，两边同乘 5、同除以 4 化简得 a = b > b）。 3. B。 4. A（x > 1 时 x > 千克）。 5. A 乙：12 × (1 + ) = 15 米， 丙：12 × (1 − ) = 9 米，15 − 9 = 6 米。 四、 1. × (7 + 1) = 7； × + × = ；( + ) × 6 = 3 + 2 = 5； × (101 − 1) = 90。 2. x = 10，x = 40；x = 18 × = 15； x = 12，x = 18。 3. 1 − ( + ) = 1 − = ；(20 − 4) ÷ = 16 × = 40。 五、 画线段图：把"这批水果"平均分成 8 段，其中 3 段表示苹果 240 千克；列式：240 ÷ （= 640 千克）。 六、1. 2240 ÷ (1 − ) = 2240 × = 2560（元）。 2. 2 ÷ ( − ) = 2 ÷ = 24（千克）。 3. 设连环画 x 本：x + x = 550， x = 550，x = 300；故事书：300 × = 250（本）。 4. 1 ÷ ( + ) = 1 ÷ = 12（天）。 5. 1 ÷ ( + ) = 1 ÷ = = （小时）（即 4.8 小时）。 6. 甲车先运 3 次完成 = ，剩下 ；两车合运效率 + = ；还需 ÷ = 4（次）。 测试卷 C：综合卷 一、1. ；。 2. 互为倒数（A = ，B = ）。 3. 一（第二段占全长的 ，则第一段占全长的 ，第一段 = 全长 > 全长 > 米，可举例验证：全长 1 米时第一段 米 > 米）。 4. ；（把乙数看作单位"1"平均分成 4 份，甲数是 3 份，甲比乙少 1 份即 ）。 5. 15（x = 28 ÷ = 24，24 × = 15）。 6. 。 7. （ ÷ 60 = = 小时）。 8. 15（ − = ）。 二、1. B。 2. B（除以等于 1 的假分数时商等于被除数本身，"一定小于"错误）。 3. C（12 × = 4 吨，4 + = 吨）。 4. A（a ÷ = 2a > ）。 5. A。 6. B（12 + 8 + 4 = 24）。 三、 1. 2 + 3 − 1 = 4； ÷ = ；999 × = (1000 − 1) × = 888； × + × = 2 × × = 。 2. x = 30，x = 42； x = 27，x = 36。 四、1. 480 × (1 − − ) = 480 × = 140（本）。 2. 12 ÷ ( − ) = 12 ÷ = 144（棵）。 3. 设绘画小组 x 人，则书法小组 (1 − ) x 人：x − (1 − ) x = 12， x = 12，x = 36；书法小组：36 × = 24（人）。 4. 甲先打 3 小时完成 = ，剩下 ；两人合打效率 + = ；还需 ÷ = 4（小时）。 5. 相遇时间：1 ÷ ( + ) = 1 ÷ = 2（小时）；相遇时客车行了全程的 2 × = ；全程：120 ÷ = 360（千米）。 五、附加题 设完成时共用 x 小时，师傅实际做了 (x − 1) 小时，徒弟做了 x 小时： + = 1；两边同乘 40：5(x − 1) + 4x = 40；5x − 5 + 4x = 40；9x = 45；x = 5（小时）。答：完成这批零件共用了 5 小时。 学科网（北京）股份有限公司 $