精品解析：广东佛山市南海区桂城街道平洲第二初级中学2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

九年级数学科第一次备课组练习 一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 3. 如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程两实数根的和为2的是（ ） A. B. C. D. 6. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 7. 若方程是关于的一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 8. 在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（ ） A. 6支 B. 7支 C. 8支 D. 9支 9. 如图，在四边形中，，，，，点分别是的中点，连接．，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形中，对角线 与 相交于点O， ， ，点P为线段 上的一个动点（不与端点重合），过点P作 于点M， 于点N，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分 11. 一元二次方程的一次项系数为___________． 12. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为__________． 13. 如图，菱形的面积为，，则菱形的边长为___________． 14. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 15. 如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为______． 三、解答题：本大题共8小题，16-18题每题7分，19-21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分 16. 解方程： （1）． （2） 17. 阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 ． 问题： （1）上述解答过程中，从第_____步开始出现了错误，发生错误的原因是_______________； （2）请写出正确的解答过程． 18. 如图，，，连接． （1）尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） （2）连接，求证：四边形是菱形． 19. 如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并说明理由． 20. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，，且，求k的值． 21. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 22. 定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： （1）“快乐方程”的“快乐数”为______； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． （3）对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 23. 如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，两点同时出发，当点返回点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． （1）当以为顶点的四边形是矩形时， ； （2）当时，求的值； （3）若点是边上的一点，且，如图②，是平面内一点，是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学科第一次备课组练习 一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 2. 根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于，一个大于，从而可判断当的某个值时，代数式的值为． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解的取值范围为：， 故选：B． 3. 如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】明确基础图形是平行四边形，需回忆平行四边形判定为矩形的定理，包括对角线相关、内角相关的判定条件。逐一分析各选项对应的几何性质，结合判定定理匹配符合要求的选项． 【详解】解：选项A：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中对角线，满足条件，可以判定它是矩形，该选项正确． 选项B：邻边相等（）的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，该选项错误． 选项C：平行四边形本身就具有对边平行的性质，本来就是平行四边形的已有性质，无法判定它是矩形，该选项错误． 选项D：对角线互相垂直（）的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项错误． 4. 如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意可得， 是的中点，， ，两点间的距离为， 故选：C． 5. 下列一元二次方程两实数根的和为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需同时满足有两实数根、两根和为2，结合根与系数的关系及判别式判断； 【详解】解：A选项：方程，两根和为，不符合； B选项：方程，两根和为，，有两个实数根，符合； C选项：方程，，无实数根，不符合； D选项：方程，两根和为，不符合． 6. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵平行四边形具有对角线互相平分、对角相等的性质，故C、D不符合题意． ∵菱形是特殊的平行四边形，对角线互相垂直，该性质平行四边形不一定具有，故A符合题意． ∵对角线相等不是菱形和平行四边形的必然性质，故B不符合题意． 7. 若方程是关于的一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 8. 在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（ ） A. 6支 B. 7支 C. 8支 D. 9支 【答案】C 【解析】 【分析】根据双循环赛制得到总比赛场数与球队数量的关系，列方程求解即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为． 根据题意得． 整理得． 解得，． ∵球队数量为正整数，舍去． ∴，即参加小组赛的球队有8支． 9. 如图，在四边形中，，，，，点分别是的中点，连接．，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作交延长线于点．根据题意，证明四边形是矩形，在中解得的长，再利用直角三角形斜边中线定理得出的长，从而得到，，的长，最后在中利用勾股定理求解得到的长． 【详解】解：如图，连接，过点作交延长线于点． ，点是的中点， ， 又即，， 四边形是矩形， ，即， 在中，，， ， ． 点是的中点，， ． ，， ， ， 在中，， ． 在中，， ． 10. 如图，菱形中，对角线 与 相交于点O， ， ，点P为线段 上的一个动点（不与端点重合），过点P作 于点M， 于点N，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形性质和已知条件可证四边形为矩形，所以，则的最小值为最小值，因为点P为线段 上的一个动点，所以时，最小，根据面积法求出最小值即可． 【详解】解：连接， ∵在菱形中， ∴，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， 则的最小值为最小值， ∵点P为线段 上的一个动点， ∴时，最小， 此时， ∵， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分 11. 一元二次方程的一次项系数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，再确定一次项系数． 【详解】解：原方程移项整理得：， 因此一次项为，一次项系数为． 12. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 13. 如图，菱形的面积为，，则菱形的边长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】设与相交于点O，然后根据菱形的面积可求，进而根据勾股定理可求解． 【详解】解：设与相交于点O，如图所示： ∵四边形是菱形，面积为24，且， ∴， ∴在中，； 故答案为5． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【答案】1或5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 15. 如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，由矩形的性质及勾股定理得，，，又由折叠的性质得，，再在中，利用勾股定理构造方程即可求解，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，同理可得的长． 【详解】解：如下图，当在的上方时，连接，则过的中点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴即， 解得， 如下图，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点， 同理可得：，，，， ，， ∴即， 解得， 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 三、解答题：本大题共8小题，16-18题每题7分，19-21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分 16. 解方程： （1）． （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程； （2）先将方程移项整理为一元二次方程一般形式，再利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： 因式分解得： 或， 解得：，． 【小问2详解】 解： 移项整理得：， 即， 因式分解得： 或， 解得：，． 17. 阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 ． 问题： （1）上述解答过程中，从第_____步开始出现了错误，发生错误的原因是_______________； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）二，等号右边没有加 （2） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即或 ∴，． 【解析】 【分析】（）观察解答过程可得答案； （）用配方法解方程即可； 本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：从第二步开始出现了错误，发生错误的原因是等号右边没有加， 故答案为：二，等号右边没有加； 【小问2详解】 略 18. 如图，，，连接． （1）尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） （2）连接，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2） 证明：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵，即 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据作角平分线的尺规作图方法作出的平分线与的交点即为点； （2）先根据平行线+角平分线证明，然后进行等量代换结合平行证明四边形是平行四边形，再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴； 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵在中，平分， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，由线段中点的定义可得，即可证得结论； （2）由三线合一定理得到，可得，结合全等三角形的性质可得，由已知可得，可得四边形是平行四边形，结合矩形的判定即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）求出即可证明； （2）根据根与系数的关系得出，，结合已知等式得出关于k的一元二次方程，解方程可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有两个实数根，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：，． 21. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【答案】（1）车道宽度符合标准 （2）每个车位月租金上涨25元 【解析】 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． 【小问2详解】 解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 22. 定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： （1）“快乐方程”的“快乐数”为______； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． （3）对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 【答案】（1） （2）， （3）所有可能的快乐数为和 【解析】 【分析】（1）根据“快乐数”的定义求解； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）首先表示出 ，得到，然后利用根与系数的关系得到，，表示出 ，得到，根据题意求出或4，进而求解即可． 【小问1详解】 解：方程的“快乐数”为 ； 【小问2详解】 解：方程， ∴， ∵， ∴， 又∵方程是“快乐方程”，且m为整数， ∴方程的根为整数， ∴为完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， ∴， ∴其“快乐数”数是； 【小问3详解】 解：根据题意得， ， ∴， ∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵是“快乐方程”， ∴，是整数， ∴是整数， ∵n为正整数， ∴n为完全平方数， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或4， ∴ 或． 23. 如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，两点同时出发，当点返回点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． （1）当以为顶点的四边形是矩形时， ； （2）当时，求的值； （3）若点是边上的一点，且，如图②，是平面内一点，是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）的值为或或或 （3）存在；的值为5或或 【解析】 【分析】（1）根据题意，分类讨论：当时；当时；结合矩形的性质列方程求解即可； （2）分四种情况：当，点P在点Q左侧时，当，点P在点Q右侧时，当，点P在点Q右侧时，当，点P在点Q左侧时，分别画出图形进行求解即可； （3）根据题意，分类讨论：当四边形是菱形时；当四边形是菱形时；当四边形是菱形时；结合菱形的性质，数形结合分析即可求解． 【小问1详解】 解：，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动， ∴点P运动到点D的时间为秒， ，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动， ∴点Q从的运动时间为秒，点Q从的运动时间为秒， ∴当点Q返回点C时总运动时间为秒， 设点的运动时间为秒， 当时，，，则， 若时，由得到此时的四边形是矩形， ∴， 解得：； 当时，，，， 若时，由得到此时的四边形是矩形， ∴， 解得：； 综上，当以为顶点的四边形是矩形时，的值为或； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 如图所示，过点作于点G，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当，点P在点Q左侧时，，，，如图所示，过点作于点H， 同理可得，四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：； 当，点P在点Q右侧时，，，，如图所示，过点作于点H， 同理可得：，则，， ∴， 又， ∴， 解得：； 当，点P在点Q右侧时，如图所示，过点作于点H，则四边形是矩形，， 同理可得，，则， ∴， 又， ∴， 解得：； 当，点P在点Q左侧时，过点作于点H，如图所示： 同理可得：四边形为平行四边形，则， ∴， 解得：； 综上，的值为或或或； 【小问3详解】 解：存在； 点是边上的一点，且， 如图所示，当四边形是菱形时， ∴； 如图所示，当四边形是菱形时，设交于点F， 则，， 同理可得，四边形是矩形， ∴， ∴； 如图所示，当四边形是菱形时，， 在中，， ∴， 在中，； 综上，的值为5或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $