专题03正方形的性质与判定知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题03正方形的性质与判定知题通关讲义 知识点01:正方形的定义 1.三种等价定义（课本核心） 2. 从属关系（重中之重） 正方形是最特殊的平行四边形 它同时是：特殊的矩形 + 特殊的菱形 + 特殊的平行四边形 层级关系： 四边形 → 平行四边形 → 矩形、菱形 → 正方形 一句话总结： 矩形中邻边相等就是正方形；菱形中有一个直角就是正方形。 知识点02:正方形的性质（最全、必考） 知识点03:正方形周长与面积 周长：C=4a（a为边长） 面积两种公式 S=a2（边长平方） S=对角线 ²（对角线乘积一半） 知识点04:判定四种思路（考试实用） 知识点05:四种特殊四边形性质对比表 知识点06:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 1. 正方形与矩形、菱形的性质互相混淆 提醒：正方形兼具矩形、菱形的全部性质；矩形对角线不互相垂直，菱形对角线不相等，解题不可随意混用三类图形的独有性质。 2. 正方形判定时出现条件不足或条件冗余 提醒：正方形两条判定思路：①先证四边形是矩形，再证一组邻边相等；②先证四边形是菱形，再证有一个内角为直角。判定时避免缺少必要条件，也不要堆砌多余条件。 3. 仅凭对角线垂直且相等判定四边形为正方形 提醒：对角线互相垂直且相等的四边形不能直接判定为正方形；还需要满足对角线互相平分。对角线同时平分、垂直、相等的四边形，才可判定是正方形。 4. 解题遗漏正方形对角线产生的45°隐含角 提醒：正方形对角线将图形分成四个全等的等腰直角三角形，存在45°角；做题时要主动识别该隐含角度，防止忽略此条件。 5. 正方形边长与对角线之间换算计算错误 提醒：设正方形边长为a，对角线长度为a；已知对角线求边长，应当用对角线除以，不能直接用对角线除以2。 6. 判定正方形未审题关注题干的基础图形 提醒：注意题干给出的原始图形是普通四边形、矩形还是菱形；已知为矩形，只需补充邻边相等或者对角线互相垂直；已知为菱形，只需补充一个直角或者对角线相等，不要全部套用完整判定条件。 7. 正方形折叠问题漏找折叠带来的等量关系 提醒：正方形折叠前后对应边相等、对应角相等；折叠经常形成等腰直角三角形，计算前标记所有折叠带来的相等线段与相等角，不能主观猜测线段、角度大小。 题型 考察方向 难度 题型一 正方形性质理解 ★ 题型二 根据正方形的性质求角度 ★ 题型三 根据正方形的性质求线段长 ★ 题型四 根据正方形的性质求面积 ★ 题型五 根据正方形的性质证明 ★★ 题型六 正方形折叠问题 ★★★ 题型七 求正方形重叠部分面积 ★★★ 题型八 正方形的判定定理理解 ★ 题型九 添一个条件使四边形是正方形 ★★ 题型十 证明四边形是正方形 ★★ 题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 ★★★ 题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 ★★★ 题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 ★★★ 题型十四 根据正方形的性质与判定证明 ★★★ 题型十五 中点四边形 ★★ 题型十六 （特殊）平行四边形的动点问题 ★★★★ 题型十七 由（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 ★★ 题型十八 四边形中的线段最值问题 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 正方形性质理解 1．正方形具有而菱形不一定有的性质是（     ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．邻边相等 【答案】A 【详解】正方形的性质为：四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分且相等； 菱形的性质为：四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，对角线不一定相等； ∴正方形具有而菱形不一定有的性质是对角线相等． 2．如图，正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上一点，于点G，连接AF，，，．当时，y关于x的函数解析式是________． 【答案】 【分析】先证明可得再利用勾股定理可得函数关系式. 【详解】解： 正方形ABCD， ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，灵活应用以上知识解题是解题的关键. 3．如图，把含角的直角三角尺放置在正方形中，，直角顶点在正方形的对角线上，点，分别在边和上，与交于点，且为的中点，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据正方形性质得，再求出，再根据直角三角形斜边中线性质得，则是等边三角形，进而得，由此得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴， ∵点是MN的中点，， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 题型二 根据正方形的性质求角度 4．如图，在正方形中，若为延长线上一点，则的度数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，三角外角的性质，熟练掌握正方形的性质，三角外角的性质是解题的关键．利用正方形性质得出，利用外角可知，再结合越往右越小，但不能小于，即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵为延长线上一点， ∴， 当点沿着射线运动时，可知越往右越小，但不能小于， ∴， ∴， 故答案为：． 5．已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可知平分，再由条件平分即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，平分， ， 平分， ． 6．如图，在中，点为边上一点，连接，以为边在左侧作正方形，若，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质可得，求出，再结合三角形内角和定理得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵点为边上一点，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 题型三 根据正方形的性质求线段长 7．如图，数轴上点表示的数为2，点表示的数为3，以为边在数轴上方作一个正方形，以为圆心，为半径作圆与数轴交于、两点（点在点的左侧）若点、表示的数分别是、，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是实数与数轴和代数式求值，熟练掌握数轴上的两点间的距离公式是解题的关键．根据题意，可得，即，因此，，再计算即可． 【详解】解：连接， 点表示的数为2，点表示的数为3，四边形是正方形， ， ， ， ，， ， 故选：C． 8．小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为如图2所示的正方形，则相对于图1，图2中对角线的长度（    ） A．保持不变 B．增加了 C．增加了 D．减少了 【答案】C 【分析】根据菱形性质及判定为等边三角形，求出木条长度；再根据正方形性质及勾股定理求出图2中对角线的长，最后计算差值即可． 【详解】解：图1中， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 图2中， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴相对于图1，图2中对角线的长度增加了． 9．如图，在正方形中，点是上一点，过点作于点，于点，连结，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，证明四边形是矩形，得，根据“垂线段最短”可求出的最小值为，从而可得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 根据“垂线段最短”，当时，取得最小值，即取得最小值． 当时， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴ ∴的最小值为． 题型四 根据正方形的性质求面积 10．在等腰直角三角形中，，，以为边作正方形，则正方形的面积为______． 【答案】8 【分析】利用勾股定理求出正方形边长的平方，根据正方形面积等于边长的平方，即可得出结果． 【详解】解：是等腰直角三角形，，， 由勾股定理得， 正方形的边长为，正方形面积等于边长的平方， 正方形的面积为． 11．如图1是一幅“鸟”形镶嵌图，其中每一只“鸟”都是由一个正方形经过适当的分割、平移得到，如图2所示，从左到右的图形变化是“鸟”的形成过程．已知正方形边长为，则一只“鸟”的面积为_________． 【答案】 【分析】由题意得一只“鸟”的面积与正方形的面积相等． 【详解】解：正方形边长为， 该正方形面积为， 一只“鸟”的面积为． 12．如图，小明把长为，宽为的两个长方形沿对角线剪开，围成如图所示的一个大正方形，则空白部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得小长方形的面积和大正方形的面积即可求解． 【详解】解：由题意，小长方形的面积为，大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴空白部分的面积是． 题型五 根据正方形的性质证明 13．如图，阴影部分为正方形，，，则四边形的面积为（   ） A．146 B．76 C．84 D．60 【答案】D 【分析】本题考查求四边形面积，涉及正方形性质、勾股定理及梯形面积公式等知识，熟记正方形性质、勾股定理及梯形面积公式等知识是解决问题的关键． 先由正方形性质得到，，在中，由勾股定理求出正方形边长，最后由梯形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：在正方形中，，， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 四边形的面积为， 故选：D． 14．如图，在正方形中，E，F分别为，上的点，连接，，若于点G，，则的长为________． 【答案】2 【分析】根据正方形的性质和得到，进而得到，求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 15．如图，F是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点E，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】过点作，，垂足分别为．证明得到，进而推导出，结合和等腰直角三角形的性质，易得答案． 【详解】解：如图所示，过点作，，垂足分别为． ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 题型六 正方形折叠问题 16．如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别在边AB，CD上，．若将四边形EBCF沿EF折叠，点恰好落在AD边上．则BE的长度为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，由直角三角形的性质可得：2（3-x）=x，解方程求出x即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∠A=90°， ∴∠EFD=∠BEF=60°， ∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B‘恰好落在AD边上， ∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E， ∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°， ∴B'E=2AE， 设BE=x，则B'E=x，AE=6-x， ∴2（6-x）=x， 解得x=4． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键． 17．如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 【答案】/0.6 【分析】连接，利用折叠性质和正方形性质证明，得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵， ∴． ∵沿对折至， ∴，，． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． 设，则，，． 在中，由勾股定理得：， 即． 解得． ∴的长是． 18．如图，用正方形纸片进行如下操作： 第一步：对折正方形纸片使得点和点重合，展开，折痕为，连接； 第二步：过点折叠纸片，使点落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点和点重合，展开，折痕为； 则矩形的长宽比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用折叠的性质得出，结合正方形对角线平分对角的性质求出，过点作于点，在中，由勾股定理可求出的长，进而求出点到的距离即的长；进而计算比值即可． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ， ， 过点作于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由第二步折叠可知，， 在中，， 即， ∴（负值已舍去）， ∵四边形是矩形， ∴， ，， ∴等于点到的距离， 即， ∴． 题型七 求正方形重叠部分面积 19．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 20．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 21．如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】证明重叠部分的面积恒等于正方形面积的，通过证明，将重叠部分（四边形）的面积转化为的面积求解. 【详解】解：设交于点，交于点， 四边形是正方形，边长， ，，，， 四边形是正方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 图中重叠部分的面积是1 . 题型八 正方形的判定定理理解 22．我们知道，当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般图形变为特殊图形．下图是小颖从“对角线”的角度对平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线垂直且相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定方法，根据图形即可得到答案，熟记正方形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由图可得，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形， 故选：． 23．下列各命题中，正确的是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．四条边相等的四边形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】D 【详解】解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故A错误； 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故B错误； 四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故C错误； 菱形的四条边已经相等，若有一个角是直角，则四个角均为直角，满足正方形的判定条件，因此有一个角是直角的菱形是正方形，故D正确． 24．对课本中下列现象中蕴含的数学原理阐述正确的个数有（    ） ①如图（1），剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成一个平行四边形．其依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②如图（2），工人师傅在做矩形门窗时，不仅测量出两组对边的长度是否相等，还要测量出两条对角线的长度相等，以确保图形是矩形．其依据是对角线相等的四边形是矩形． ③如图（3），将两张等宽的纸条放在一起，重合部分构成的四边形一定是菱形．其依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形． ④如图（4），把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形．其依据是一组邻边相等的矩形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． ①平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形； ③首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则重叠部分为菱形； ④根据折叠定理得：所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，所以可以裁出正方形纸片． 【详解】解：①由题意得：，， ∵两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形，故正确； ②∵两组对边的长度相等， ∴四边形是平行四边形， ∵对角线相等， ∴此平行四边形是矩形， 对角线相等的四边形不一定是矩形，故错误； ③∵四边形是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）； 过点D分别作，边上的高为，．如图所示： 则（两纸条相同，纸条宽度相同）； ∵平行四边形的面积， ∴． ∴平行四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），故正确； ④根据折叠原理，对折后可得： 所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等， 所以可以裁出正方形纸片，故正确． 综上①③④正确， 故答案为：C． 题型九 添一个条件使四边形是正方形 25．菱形添加一个条件，能使菱形成为正方形的是（     ） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 【答案】B 【详解】解：∵菱形本身具有的性质为：对角线平分一组对角，对角线互相垂直平分，四条边相等， ∴A，C，D都是菱形本身就有的性质，不能使菱形变为正方形， 又∵对角线相等的菱形是正方形， ∴添加条件对角线相等能使菱形成为正方形． 26．如图，在中，对角线与相交于点．小欣同学欲添加两个条件使四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是___________（只需填一种组合即可）． 【答案】 ①②或②③（填写一组即可） 【分析】根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴菱形是正方形； 当选择②；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴菱形是正方形； 当选择①；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是菱形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或②③均可以． 27．如图，四边形的对角线，相交于点O，，，，则添加下列一个条件能判定四边形是正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对角线互相平分判定四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直判定四边形是菱形，最后根据正方形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 选项A、，这是菱形的性质，不能判定是正方形，故本选项不符合题意； 选项B、∵，∴，又四边形是菱形， ∴四边形是正方形，故本选项符合题意； 选项C、，这是菱形的性质，不能判定是正方形，故本选项不符合题意； 选项D、，这是平行四边形的性质，不能判定是正方形，故本选项不符合题意． 题型十 证明四边形是正方形 28．如图，有下列条件：，；③，；④，，其中，能判定是正方形的有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定是解题的关键．根据平行四边形的性质，矩形、菱形以及正方形的判定方法对各组条件进行判断即可得出答案． 【详解】解：①，   根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确； ②，； 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确； ③，； 由是平行四边形，可得与互相平分，而， 所以，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确； ④，， 由，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形； 由是平行四边形，可得与互相平分，，则， 所以，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确． 则①②③④均能判定是正方形． 故选：D． 29．如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为____________． 【答案】0.5 【分析】连接，交于点，由，可知四边形是平行四边形，进而推断出四边形是正方形，然后利用正方形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点． ，， 四边形是平行四边形． 在正方形中，，， ， 四边形是正方形， ，． ， ， ， 即点到边的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，掌握正方形的性质与判定是解决本题的关键． 30．如图，四边形是菱形，要使四边形是正方形．则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的判定定理，在菱形的基础上，只要添加条件或者即可证明四边形为正方形，逐一判断即可． 【详解】解：选项A：，该条件无法推出它是正方形，不符合题意； 选项B：，不能直接让菱形成为正方形，不符合题意； 选项C：四边形是菱形，添加条件后，直接符合正方形的判定要求，因此选项C正确； 选项D：和四边形成为正方形没有必然关系，不符合题意． 题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 31．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 32．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于___． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴直线AC是正方形ABCD的对称轴， ∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，△AIE的面积＝△AEG的面积， ∴S阴＝S正方形ABCD＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 33．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 34．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 35．如图，在正方形中，是对角线上一点，过点分别作于点，于点，是上一点，且．若，则四边形的面积为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，角平分线的性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 由四边形是正方形，可得，平分，由，，可得，，得出四边形是正方形，确定，则，由勾股定理得，，然后求解作答即可． 【详解】解：四边形是正方形， ∴，平分， ，， ∴，， 四边形是正方形； ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ∴正方形的面积为3， 故答案为：3． 36．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，则，根据折叠性质得出四边形为正方形，求出和的长，再根据第二次折叠求出，进而得出的长，最后计算长方形的长宽比． 【详解】解：设， 长方形的长与宽比值为， ， 由折叠可知， ，，， ， 四边形为正方形， ，， ∵长方形 ∴ ∴， ∴点共线， ∴， 同理可得，三点共线， 由折叠可得，， ∴ 长与宽的比值为． 题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 37．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再证明四边形是正方形，即可作答． 【详解】在中，，，则：， ∵，，，全等， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 则四边形面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的性质是解答本题的关键． 38．课外活动时，黄老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝（如图），其面积为，则两条对角线所用的竹条长度为（不计损耗）（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明矩形是正方形，再利用面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：∵矩形对角线互相垂直， ∴矩形是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴两条对角线所用的竹条长度为． 39．如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 【答案】 3 或 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）作，，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （2）分两种情况讨论即可，①当与的夹角为时，②当与的夹角为时，从而可得答案． 【详解】如图，作于P，于Q， 四边形为正方形， ∵， ∴， 矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ∵ ∴正方形的面积为：， 故答案为：3； （2）①当与的夹角为时， 如图2， ∵，， ∴， ②当与的夹角为时，如图3，即交于， ， 综上所述：或． 故答案为：或 题型十四 根据正方形的性质与判定证明 40．如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分，据此可判断A、B、D，根据矩形的判定方法可判断C． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形不一定是矩形， ∴不一定成立， 故选：C． 41．如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，如图所示： ∵四边形和是正方形，且正方形的面积是4， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积， ∵， ∴两个正方形重叠部分的面积等于． 42．如图，在一张矩形纸片中，，，点E，F分别在，上，将沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处．设线段的长度为m，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，正方形的性质，当点H与点A重合时，有最小值，由勾股定理可求的最小值，若点与点重合时，有最大值，由正方形的性质可求的最大值． 【详解】解：当点H与点A重合时，有最小值， ，则， 在中，， 即， 解得， ∴， 若点与点重合时，有最大值， ∴四边形是正方形， ∴， ∴最大值为4， ∴， 故答案为：． 题型十五 中点四边形 43．学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图所示．则绳子围成的四边形的形状一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．对角线相等的四边形 【答案】A 【分析】根据三角形中位线，菱形的判定解答即可； 【详解】解：连接， 因为矩形操场的四条边中点各立一个篮球架， ，， 故， 故四边形是菱形； 44．如图，在任意四边形中，E，F，G，H分别是边的中点，连接，对于四边形的形状，下列说法中错误的是（   ） A．若，则四边形为菱形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为正方形 D．若与互相平分，且，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵在任意四边形中，E，F，G，H分别是边的中点， ， ∴四边形为平行四边形； A．当E，F，G，H是四边形各边中点，且时，则，故四边形为菱形，故本选项不符合题意； B、当E，F，G，H是四边形各边中点，且时，则，则，故四边形为矩形，故本选项不符合题意； C、当E，F，G，H是四边形各边中点，，且时，存在，故四边形为正方形，故本选项不符合题意； D、当E，F，G，H是四边形各边中点，且与互相平分，且时，故四边形为菱形，故本选项符合题意． 45．如图，在四边形中，，为对角线，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，．若，，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理求出的长及位置关系，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，如图 点，分别是边的中点， 是的中位线， ∴，， 同理是的中位线， ，， ，，， 在中，． 题型十六 （特殊）平行四边形的动点问题 46．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，四边形是平行四边形，列方程求解即可． 【详解】由题意可得，，， 当时， 由可得四边形是平行四边形 ∴，解得， 故选：C． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，表示出对应边的长度是解本题的关键． 47．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为________． 【答案】 【分析】由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 48．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 由题意得，则， 当，时，， ∴， ∴； 当，时，， ∴， ∴， 综上，的值为2或4． 故选：C． 题型十七 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 49．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 50．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】过点作，利用矩形对角线将矩形分成面积相等的两部分这一性质，证明，再结合矩形对边相等求出的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点，交于点， 四边形是矩形，， 四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形． 是矩形的对角线， ， 同理可得，， ， 即． ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 51．在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的中心对称性得到经过对角线交点的直线平分平行四边形面积，进而求出阴影部分的面积. 【详解】解：， 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心， 根据中心对称的性质：经过对称中心的直线，会把平行四边形分成完全全等（面积相等）的两部分，且关于对称中心对称的两个图形，面积一定相等， 本题中、、都经过对角线的交点（对称中心），因此每一块阴影区域，都存在一块和它关于对称中心中心对称的空白区域，二者面积相等； 由此可推：所有阴影部分的面积之和平行四边形面积的一半， . 题型十八 四边形中的线段最值问题 52．如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明出是的中位线，得出，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 四边形是正方形，， ， 当最大时，最大，此时最大， 点是上的动点， 当点和点重合时，最大，即的长度， 此时， ， 的最大值为． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 53．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作于点E，过点P作于点F，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用勾股定理得出，证明四边形是矩形，从而得到，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， ， ， ， ． 54．如图，正方形的边长为是边上的一动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到，使，连接，，证明，得，根据，，得是线段的垂直平分线，则，由此得，因此当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此得当点，，共线时，为最小，最小值为线的长，继而得的最小值为线段的长，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：延长到，使，连接，，如图所示: ∵四边形是正方形，且边长为3， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长， ∴的最小值为线段的长， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的最小值是， 解答题 1．已知：如图，在正方形中，是等边三角形．求证：． 【答案】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理，， ∴． 【分析】结合正方形的性质以及等边三角形的性质，推出，结合等边对等角以及三角形内角和，算得，最后求得，同理可求得，即可得证． 【详解】略 2．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为． (1)求线段长； (2)连接，并求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设线段长为，利用折叠性质得到，在中，根据勾股定理列方程求解的长度； （2）连接，先在中用勾股定理算出的长，再由折叠性质，得到的长． 【详解】（1）解：设，则， 由翻折的性质可知：， 为中点， ， 在中，由勾股定理可知：，， 解得：，即； （2）解：如图所示，连接， 由（1）得， ， 在中，， 由翻折的性质可知． 3．如图，在正方形中，分别在边，上取点，，使，分别作，的中垂线，垂足分别为，交于点于点，对角线分别交，于点，得轴对称图形． (1)设，则______，______（都用含的代数式表示） (2)连接，，求证：； (3)设，四边形，的面积分别为，，，当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ，分别是，的垂直平分线， ∴点O在的垂直平分线上， ∵， ∴垂直平分， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴三点共线， ∵， ∴． ∴． ∴，， ∴， 由（1）知，，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴． (3)14 【分析】（1）首先利用正方形性质和，证明，得到，，结合直角三角形性质得，由正方形性质得，由等腰三角形性质得，得，由四边形内角和性质得．根据正方形性质和三角形外角性质，得． （2）连接，证明点O在的垂直平分线上，点D在的垂直平分线上，得到三点共线，由斜边中线性质得．由三角形外角性质和等腰三角形性质得，，结合正方形性质得，得，由，得．结合，得． （3）由，得，证明，得，再证明，得，由对称性得，得，代入已知数据计算即得结果． 【详解】（1）解：正方形中，，且， ∴， ∴，． ∴，． ∴， ∴， ∵是的中垂线， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵正方形对角线平分， ∴， ∴． （2）略； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴在正方形的对角线上， ∵垂直平分， ∴四边形与四边形关于对称， ∴， ∴ ． 4．如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标，满足． (1)求点的坐标． (2)求证：四边形为正方形． (3)若点为正方形边上的动点，连接，过E点作，且，连接，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：由（1）可得点的坐标为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴矩形为正方形； (3)的大小为定值，恒为 【分析】（1）根据非负数的性质计算得出，，从而即可得出结果； （2）由（1）可得，再结合正方形的判定定理证明即可； （3）在上截取，连接，先证明为等腰直角三角形，得出，从而可得，再证明，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为； （2）略 （3）解：的大小为定值，恒为， 如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的大小为定值，恒为． 5．如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用（1）中积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在梯形中，，，，，是上一点，且，，则______ 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； (2) 解：成立，理由： 由（1）得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即； 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴； (3)5 【分析】（1）由正方形的性质可得四边相等，四个角都为直角，且，易证，再由全等三角形对应边相等即可求证； （2）由（1）可得与，再推导得出，由可得，所以，进而得出结论； （3）作垂线构造正方形，套用 (2) 结论，设未知数，由勾股定理列出方程，再求解即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3） 过点作，交延长线于点，取，连接． ∵，，， ∴四边形是矩形，又， ∴四边形是正方形，； 由（1）（2）模型结论：， ∵， ∴， 设，则， 即， 在中，有勾股定理， 即， ∴解得， ∴． 6．正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是__________； (2)当正方形绕点旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论； (3)在正方形绕着点旋转的过程中，请直接写出的最短长度是多少． 【答案】(1) (2)解：四边形的面积不发生变化．证明如下： 四边形和四边形都为正方形， ，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积为 ， 即四边形的面积不发生变化． (3) 【分析】（1）先得出四边形是正方形，再求出的长即可； （2）证出，则，进而可得重叠部分四边形的面积等于的面积，由此即可得； （3）先求出的长，再取的中点，连接，，则，，然后根据（当且仅当三点共线时，等号成立）求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形和都是正方形，且这两个正方形的边长都是1， ∴，，，， ∵，即， ∴四边形是矩形， 又∵，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴重叠部分四边形的面积是． （2）解：略． （3）解：∵四边形和都是正方形，且这两个正方形的边长都是1， ∴，，， ∴在中，， ∴， 如图，取的中点，连接，，， ∴在中，；在中，， 又∵，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴，即， ∴的最短长度是． 7．如图1，在四边形中，，，，，．点P从点A出发以的速度向点D运动：点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为． (1)如图，从运动开始，当t为何值时，； (2)如图，从运动开始，当t为何值时，； (3)如图，从运动开始，当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用两组对边分别平行得到平行四边形，对边相等列方程求解即可； （2）过D、Q作垂线构造矩形，利用等腰三角形三线合一，F是的中点建立等式解方程即可； （3）对的直角顶点分两种情况讨论，分别构造直角，利用矩形性质、勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ，， ， ， ， 当时，四边形为平行四边形， ， ，解得； （2）解：如图，过点D作，过点Q作， ， ，， ， 四边形和均为矩形， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ，解得； （3）解：①如图，当时， ，，， ， 四边形为矩形， ， ， ，解得； ②如图，当时，过点D作， ， ，， ， 四边形为矩形， ，， ， ，， 在中，， 在中，， ， ，解得； 综上所述，或． 8．如图，在矩形中，，，点是边上一点，过点作于点，交于点，连接，． (1)如图1，当四边形为菱形时，求长； (2)如图2，①在运动过程中，线段的长度是否不变，若不变，求出该定值；若改变，请说明理由； ②在运动过程中，四边形的周长是否有最小值，如果有，求出当四边形的周长最小时，线段的长． 【答案】(1)3 (2)①定值，；②有，四边形的周长最小值为20， 【分析】（1）利用菱形的性质，求出，设参数，则，根据矩形的性质求出度数，最后根据勾股定理求出的值即可求出的长度． （2）①先根据平行四边形的判定推出平行四边形，求出，再根据三角形全等和平行线的性质推出，利用平行且相等两边是平行四边形推出平行四边形，再利用对角线互相垂直的平行四边形为菱形，推出以及，设，利用勾股定理求出的值，从而求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，从而知道的长度，最后再结合勾股定理即可求出长度，从而知道的长度且是定值．②过点作，利用矩形的性质和勾股定理求出的长度为2，设，通过未知数表达和长度，即可求出为固定值10，即可说明周长最小即是说明最小，过点作，且，连接，，通过平行四边形的性质将转换为，利用三点共线即是线段最短判断最小即是，根据勾股定理求出长度，利用和勾股定理推出和，结合二者之和为10，即可求出的长度． 【详解】（1）解：为矩形， ， ，， 设，则， 为菱形， ， 在中，， ， ． （2）解：①取中点，过点作，交于点，交于点，连接，，如图所示， 为矩形， ， ， 为平行四边形， ． ， ， ， ． ， ， ，， ， ， ， 为平行四边形， ， 为菱形， ，． 设，则， ， 在中，， ， ． 在中，， ， 在中，， ． ②过点作，过点作，且，连接，，如图所示， 为矩形，， ， 为矩形，为矩形， ，，. 由①可知，， ， 在中， 设，则，，， ， 周长最小， 为最小， ，， 为平行四边形， ，， 为最小， 三点共线时，最小，即最小值为， ，， ， ，由①知， 在中，． ，四边形的周长最小值为， ，， 在中，， 在中，， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03正方形的性质与判定知题通关讲义 知识点01:正方形的定义 1.三种等价定义（课本核心） 2. 从属关系（重中之重） 正方形是最特殊的平行四边形 它同时是：特殊的矩形 + 特殊的菱形 + 特殊的平行四边形 层级关系： 四边形 → 平行四边形 → 矩形、菱形 → 正方形 一句话总结： 矩形中邻边相等就是正方形；菱形中有一个直角就是正方形。 知识点02:正方形的性质（最全、必考） 知识点03:正方形周长与面积 周长：C=4a（a为边长） 面积两种公式 S=a2（边长平方） S=对角线 ²（对角线乘积一半） 知识点04:判定四种思路（考试实用） 知识点05:四种特殊四边形性质对比表 知识点06:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 1. 正方形与矩形、菱形的性质互相混淆 提醒：正方形兼具矩形、菱形的全部性质；矩形对角线不互相垂直，菱形对角线不相等，解题不可随意混用三类图形的独有性质。 2. 正方形判定时出现条件不足或条件冗余 提醒：正方形两条判定思路：①先证四边形是矩形，再证一组邻边相等；②先证四边形是菱形，再证有一个内角为直角。判定时避免缺少必要条件，也不要堆砌多余条件。 3. 仅凭对角线垂直且相等判定四边形为正方形 提醒：对角线互相垂直且相等的四边形不能直接判定为正方形；还需要满足对角线互相平分。对角线同时平分、垂直、相等的四边形，才可判定是正方形。 4. 解题遗漏正方形对角线产生的45°隐含角 提醒：正方形对角线将图形分成四个全等的等腰直角三角形，存在45°角；做题时要主动识别该隐含角度，防止忽略此条件。 5. 正方形边长与对角线之间换算计算错误 提醒：设正方形边长为a，对角线长度为a；已知对角线求边长，应当用对角线除以，不能直接用对角线除以2。 6. 判定正方形未审题关注题干的基础图形 提醒：注意题干给出的原始图形是普通四边形、矩形还是菱形；已知为矩形，只需补充邻边相等或者对角线互相垂直；已知为菱形，只需补充一个直角或者对角线相等，不要全部套用完整判定条件。 7. 正方形折叠问题漏找折叠带来的等量关系 提醒：正方形折叠前后对应边相等、对应角相等；折叠经常形成等腰直角三角形，计算前标记所有折叠带来的相等线段与相等角，不能主观猜测线段、角度大小。 题型 考察方向 难度 题型一 正方形性质理解 ★ 题型二 根据正方形的性质求角度 ★ 题型三 根据正方形的性质求线段长 ★ 题型四 根据正方形的性质求面积 ★ 题型五 根据正方形的性质证明 ★★ 题型六 正方形折叠问题 ★★★ 题型七 求正方形重叠部分面积 ★★★ 题型八 正方形的判定定理理解 ★ 题型九 添一个条件使四边形是正方形 ★★ 题型十 证明四边形是正方形 ★★ 题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 ★★★ 题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 ★★★ 题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 ★★★ 题型十四 根据正方形的性质与判定证明 ★★★ 题型十五 中点四边形 ★★ 题型十六 （特殊）平行四边形的动点问题 ★★★★ 题型十七 由（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 ★★ 题型十八 四边形中的线段最值问题 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 正方形性质理解 1．正方形具有而菱形不一定有的性质是（     ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．邻边相等 2．如图，正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上一点，于点G，连接AF，，，．当时，y关于x的函数解析式是________． 3．如图，把含角的直角三角尺放置在正方形中，，直角顶点在正方形的对角线上，点，分别在边和上，与交于点，且为的中点，则的度数为________． 题型二 根据正方形的性质求角度 4．如图，在正方形中，若为延长线上一点，则的度数的取值范围是___________． 5．已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则________． 6．如图，在中，点为边上一点，连接，以为边在左侧作正方形，若，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 题型三 根据正方形的性质求线段长 7．如图，数轴上点表示的数为2，点表示的数为3，以为边在数轴上方作一个正方形，以为圆心，为半径作圆与数轴交于、两点（点在点的左侧）若点、表示的数分别是、，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为如图2所示的正方形，则相对于图1，图2中对角线的长度（    ） A．保持不变 B．增加了 C．增加了 D．减少了 9．如图，在正方形中，点是上一点，过点作于点，于点，连结，若，则的最小值为________． 题型四 根据正方形的性质求面积 10．在等腰直角三角形中，，，以为边作正方形，则正方形的面积为______． 11．如图1是一幅“鸟”形镶嵌图，其中每一只“鸟”都是由一个正方形经过适当的分割、平移得到，如图2所示，从左到右的图形变化是“鸟”的形成过程．已知正方形边长为，则一只“鸟”的面积为_________． 12．如图，小明把长为，宽为的两个长方形沿对角线剪开，围成如图所示的一个大正方形，则空白部分的面积是（     ） A． B． C． D． 题型五 根据正方形的性质证明 13．如图，阴影部分为正方形，，，则四边形的面积为（   ） A．146 B．76 C．84 D．60 14．如图，在正方形中，E，F分别为，上的点，连接，，若于点G，，则的长为________． 15．如图，F是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点E，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D．不确定 题型六 正方形折叠问题 16．如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别在边AB，CD上，．若将四边形EBCF沿EF折叠，点恰好落在AD边上．则BE的长度为（    ） A．2 B． C． D．4 17．如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 18．如图，用正方形纸片进行如下操作： 第一步：对折正方形纸片使得点和点重合，展开，折痕为，连接； 第二步：过点折叠纸片，使点落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点和点重合，展开，折痕为； 则矩形的长宽比为（     ） A． B． C． D． 题型七 求正方形重叠部分面积 19．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 20．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 21．如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 题型八 正方形的判定定理理解 22．我们知道，当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般图形变为特殊图形．下图是小颖从“对角线”的角度对平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线垂直且相等 D．对角线互相垂直 23．下列各命题中，正确的是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．四条边相等的四边形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 24．对课本中下列现象中蕴含的数学原理阐述正确的个数有（    ） ①如图（1），剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成一个平行四边形．其依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②如图（2），工人师傅在做矩形门窗时，不仅测量出两组对边的长度是否相等，还要测量出两条对角线的长度相等，以确保图形是矩形．其依据是对角线相等的四边形是矩形． ③如图（3），将两张等宽的纸条放在一起，重合部分构成的四边形一定是菱形．其依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形． ④如图（4），把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形．其依据是一组邻边相等的矩形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型九 添一个条件使四边形是正方形 25．菱形添加一个条件，能使菱形成为正方形的是（     ） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 26．如图，在中，对角线与相交于点．小欣同学欲添加两个条件使四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是___________（只需填一种组合即可）． 27．如图，四边形的对角线，相交于点O，，，，则添加下列一个条件能判定四边形是正方形的是（     ） A． B． C． D． 题型十 证明四边形是正方形 28．如图，有下列条件：，；③，；④，，其中，能判定是正方形的有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 29．如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为____________． 30．如图，四边形是菱形，要使四边形是正方形．则（     ） A． B． C． D． 题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 31．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 32．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于___． 33．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 34．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 35．如图，在正方形中，是对角线上一点，过点分别作于点，于点，是上一点，且．若，则四边形的面积为_____． 36．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 37．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 38．课外活动时，黄老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝（如图），其面积为，则两条对角线所用的竹条长度为（不计损耗）（     ） A． B． C． D． 39．如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 题型十四 根据正方形的性质与判定证明 40．如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 41．如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 42．如图，在一张矩形纸片中，，，点E，F分别在，上，将沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处．设线段的长度为m，则m的取值范围是_________． 题型十五 中点四边形 43．学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图所示．则绳子围成的四边形的形状一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．对角线相等的四边形 44．如图，在任意四边形中，E，F，G，H分别是边的中点，连接，对于四边形的形状，下列说法中错误的是（   ） A．若，则四边形为菱形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为正方形 D．若与互相平分，且，则四边形是正方形 45．如图，在四边形中，，为对角线，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，．若，，则线段的长为_________． 题型十六 （特殊）平行四边形的动点问题 46．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（    ）    A． B． C． D． 47．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为________． 48．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 题型十七 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 49．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 50．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为___________． 51．在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 题型十八 四边形中的线段最值问题 52．如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 53．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作于点E，过点P作于点F，连接，则的最小值为______． 54．如图，正方形的边长为是边上的一动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 解答题 1．已知：如图，在正方形中，是等边三角形．求证：． 2．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为． (1)求线段长； (2)连接，并求的长． 3．如图，在正方形中，分别在边，上取点，，使，分别作，的中垂线，垂足分别为，交于点于点，对角线分别交，于点，得轴对称图形． (1)设，则______，______（都用含的代数式表示） (2)连接，，求证：； (3)设，四边形，的面积分别为，，，当，时，求的值． 4．如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标，满足． (1)求点的坐标． (2)求证：四边形为正方形． (3)若点为正方形边上的动点，连接，过E点作，且，连接，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 5．如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用（1）中积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在梯形中，，，，，是上一点，且，，则______ 6．正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是__________； (2)当正方形绕点旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论； (3)在正方形绕着点旋转的过程中，请直接写出的最短长度是多少． 7．如图1，在四边形中，，，，，．点P从点A出发以的速度向点D运动：点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为． (1)如图，从运动开始，当t为何值时，； (2)如图，从运动开始，当t为何值时，； (3)如图，从运动开始，当t为何值时，为直角三角形． 8．如图，在矩形中，，，点是边上一点，过点作于点，交于点，连接，． (1)如图1，当四边形为菱形时，求长； (2)如图2，①在运动过程中，线段的长度是否不变，若不变，求出该定值；若改变，请说明理由； ②在运动过程中，四边形的周长是否有最小值，如果有，求出当四边形的周长最小时，线段的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $