专题12 二次函数与一元二次方程 讲义（核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习) 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的内在联系，系统梳理当y=0时函数转化为方程，抛物线与x轴交点横坐标为方程根，判别式双向对应交点个数，交点求解方法，近似根估计及二次不等式雏形，为后续综合学习搭建支架。 以数形结合为核心，通过判别式建立方程根与抛物线交点的双向对应培养几何直观与推理意识，题型分层设计（基础到压轴）适配不同学生，易错点提示（如区分交点条件）强化精准理解，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题12二次函数与一元二次方程精讲学案 课堂核心立意 本节课以数形结合为核心思想，打通二次函数与一元二次方程的内在联系。让学生理解：把二次函数的函数值赋值为0，就转化为一元二次方程；抛物线与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根。 通过判别式建立“方程根的个数”与“抛物线和x轴交点个数”的双向对应，实现代数问题几何化、几何问题代数化。同时学会利用函数图像估计方程近似根，发展直观想象与数学运算素养，为后续二次函数综合、不等式学习做好铺垫。 对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 当 y=0 时，得到一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 本质：抛物线与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程的实数根 判别式=b2-4ac双向对应： ①>0：方程有两个不相等实数根 ⇔ 抛物线与x轴有2个交点 ②=0：方程有两个相等实数根 ⇔ 抛物线与x轴有1个交点（顶点在x轴） ③<0：方程无实数根 ⇔ 抛物线与x轴无交点 双向互推：既可以用方程判别式判断图像交点；也可以从图像交点个数判断符号。 抛物线交点求解 1. 与x轴交点求法 ①令y=0，解一元二次方程 ax2+bx+c=0 ②若两根x1、x2，则交点坐标(x1,0)、(x2,0)} 2. 与y轴交点求法 令x=0，得y=c，交点固定为(0,c) 利用二次函数求一元二次方程近似根 ★★【教学难点】 1.原理：利用抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标估计方程ax2+bx+c=0的根 2.操作思路：观察交点落在哪两个数值之间，代入函数不断缩小区间，得到近似解 ⚠注意：图像只能得到近似根，精确根必须解方程。 图像视角看函数值正负（二次不等式雏形，中考高频）★★★ 以开口向上 a>0，交点x1<x2为例： ①y>0（图像在x轴上方）：x<x1 或 x>x2 ②y<0（图像在x轴下方）：x1<x<x2 开口向下a<0，解集大小关系反转。 拓展阅读（课本读一读，韦达定理，选讲） 若方程ax2+bx+c=0两根x1、x2 两根之和：x1+x2=-， 两根之积：x1x2= 两交点距离：|x1-x2|= ①=0时，方程是两个相等实数根，不是一个根，抛物线与x轴仅有一个公共点。 ②审题区分表述：“抛物线与x轴有交点”条件为0；“有两个不相等交点”条件为>0，不要漏掉等号。 ③分清近似根与精确根，图像只能估算近似根，求准确结果需要解方程。 ④遇到y=k这类形式，要会转化为一元二次方程，利用判别式判断直线与抛物线交点个数。 ⑤由图像写y>0、y<0的解集，必须留意抛物线开口方向，不能死记结论。 ⑥求坐标轴交点分清操作：求x轴交点令y=0，求y轴交点直接令x=0。 ⑦使用韦达定理、交点距离公式，前提是0，方程要有实数根才能套用。 ⑧应用题中算出方程的根，要结合实际意义检验，舍去不符合题意的解。 题型 考察方向 难度 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★ 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★★ 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★★ 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★ 题型五 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★ 题型六 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★ 题型七 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★ 题型八 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★ 题型十 根据交点确定不等式的解集 ★★★ 题型十一 线段周长问题 ★★★★ 题型十二 面积问题 ★★★★ 题型十三 角度问题 ★★★★ 题型十四 特殊三角形问题 ★★★★ 题型十五 特殊四边形 ★★★★ 题型十六 相似三角形问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：求抛物线与 x 轴的交点坐标 解题思路：①令y=0，得到一元二次方程；②求解方程，得到根，写出交点坐标；③判别式小于0时，抛物线与x轴没有交点。 1．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 2．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 3．在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型二：求抛物线与 y 轴的交点坐标 解题思路：①令x=0；②直接代入解析式计算，得到交点坐标(0,c)。 4．抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 6．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 题型三：已知二次函数的函数值求自变量的值 解题思路：①把已知函数值代入函数，构造一元二次方程；②整理成标准形式；③解方程求出对应的自变量。 7．若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．二次函数的图象经过点，，则关于的一元二次方程的解为 ______． 9．已知二次函数的图象上的部分点的坐标如下表，其中，则b的值为（    ） x … a … y … 2024 2024 … A．5 B．10 C．15 D．25 题型四：抛物线与 x 轴的交点问题 解题思路：①计算判别式；②依据判别式大小判断交点个数；③仔细读题，区分“有交点0”和“有两个不相等交点（>0）”，不要遗漏等号。 10．二次函数的图像上有两点和，则的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．4 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 12．经过点、点的抛物线与轴有两个不同的交点，与轴的交点在轴上方，则当时，的取值范围是（　　 ） A． B． C． D． 13．说明：二次函数，也可以由表示，例如：当时，已知二次函数与轴有交点，且的根与的根完全一致，则的根为（     ） A． B．2 C．或2 D．以上都不对 题型五：求 x 轴与抛物线的截线长 解题思路：①明确截线长是抛物线与x轴两交点之间距离，前提0；②代入交点距离公式进行计算。 14．抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为________． 16．已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 题型六：图象法确定一元二次方程的近似根 解题思路：①画出对应二次函数图像；②锁定交点所在数值区间；③不断代入数值缩小范围得到近似根；④注意图像只能求近似根，精确结果需要解方程。 17．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个负解的范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是___________ 19．下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 题型七：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 解题思路：①观察图像，数抛物线和x轴交点数量；②交点个数对应方程实数根的情况，双向对应判断。 20．已知抛物线的图象如图所示，则方程的实数根的情况是（    ） A．方程没有实数根 B．方程的实数根情况不确定 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有一正一负两个实数根 21．二次函数的部分对应值如下表，则一元二次方程的解为________． x 0 3 5 y 10 0 0 24 22．抛物线 与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线 的图象可能是（    ） A． B． B． C． D． 题型八：图象法解一元二次不等式 解题思路：①观察图像，看清抛物线开口方向；②看图像在x轴上方、下方对应的x取值；③开口改变，解集随之改变，不机械背答案。 23．已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 24．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是___________． 25．已知，，若对于所有的实数，的值始终比的值大，则整数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型九：利用不等式求自变量或函数值的范围 解题思路：①已知y求x：画水平线截取图像，读出自变量范围；②已知x求y：结合对称轴、开口，求出区间内最大、最小值，确定函数值范围。 26．已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（   ） A． B．或 C． D． 27．二次函数图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，当时，x的取值范围为______．        x …． 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 28．已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点，当时，求的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十：根据交点确定不等式的解集 解题思路：①找出抛物线与x轴两个交点，分清大小；②根据开口向上写出对应解集；③开口向下，把解集反向书写。 29．如图，抛物线与直线交于，两点，下列是关于的不等式或方程，结论正确的是（    ）． A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解是或 30．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 31．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点，则能使关于的不等式成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 题型十一：线段周长问题 解题思路：①设动点横坐标，用代数式表示全部点坐标；②区分水平、竖直线段，求出每一段线段长度；③相加得到周长的函数关系式；④结合自变量实际范围求周长最值。 32．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 33．如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 34．如图，点是抛物线的顶点，点、点在抛物线上，轴，，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型十二：面积问题 解题思路：①选用铅锤高水平宽公式或者割补法处理图形面积；②写出面积关于动点的二次函数；③结合自变量取值，求解面积最大、最小值。 35．如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________时，四边形，的面积最小，其最小值是________． 36．在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 37．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P为抛物线的顶点，中，，线段把图形（上半部分以抛物线为边界）分为两部分，则这两部分面积之差的绝对值是____． 题型十三：角度问题 解题思路：①遇到相等角，转化等腰、平行、相似条件；②遇到特殊角度，构造直角三角形；③设动点坐标列方程计算；④检验结果，舍去不符合图像的解。 38．如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 39．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为______． 40．如图，抛物线，顶点为，将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，与相交于点，若，则的值为___________． 题型十四：特殊三角形问题 解题思路：①等腰三角形，分三类讨论，距离公式列方程；②直角三角形，分三个直角顶点，利用勾股定理列式；③把三点共线的无效解舍去。 41．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式___________．（写一个即可） 42．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 43．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，；  ②若且，则；③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的结论是(　　) A．①③④ B．①②③④ C．①③ D．①④ 题型十五：特殊四边形 解题思路：①平行四边形使用中点坐标公式；②菱形、矩形在平行四边形基础上叠加对应条件；③正方形同时满足菱形与矩形条件；④分类讨论求出动点坐标。 44．如图，在平面直角坐标系中，四边形和四边形都是正方形，点A在x轴正半轴上，点C、F在y轴正半轴上，点D在线段上，点B为抛物线的顶点．点E在此抛物线上，则点E的坐标为________． 45．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，四边形为正方形，当抛物线的顶点在边上时，的值为_______． 46．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十六：相似三角形问题 解题思路：①找出图中一组固定相等角；②分类讨论剩余边的对应关系；③把坐标转化线段长，列方程；④检验，筛除不符合题意答案。 47．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为_________． 48．如图1，在平面直角坐标系中，将n个边长为1的正方形并排组成矩形，相邻两边和分别落在x轴和y轴的正半轴上．现将矩形绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上（如图2），设抛物线，如果抛物线同时经过点O、B、C： ①当时，___________ ； ②a关于n的关系式是___________ ． 49．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” (1)判断二次函数是不是“邻交函数” (2)若二次函数是“邻交函数”，求的值． (3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． (1)求b的值，并用含a的式子表示c； (2)已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 3．已知抛物线，（）与轴交于（点在点的左边），与轴交于C点． (1)若， ①求抛物线的对称轴； ②若抛物线上恰好有三个点到x轴距离为2，求抛物线解析式； (2)，是该抛物线上不重合的两点，点在直线上，存在一个的值，对任何符合的恒为定值，求的值及的取值范围． 4．二次函数的图象如图所示，根据图象填空： (1)方程的两个根为________________； (2)不等式的解集为_______________； (3)y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为___________； (4)若方程有实数根，则 k 的取值范围为_________． 5．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数）．已知点，抛物线：经过点． (1)试推算出和的数量关系； (2)若抛物线过点，求抛物线的解析式及顶点坐标； (3)若抛物线使得（为的整数）这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，求的取值范围． 6．活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： … … … … … … 上述表格中：__________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (3)通过观察图象可知，当时，的取值范围__________． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 8．如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 10．如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12二次函数与一元二次方程精讲学案 课堂核心立意 本节课以数形结合为核心思想，打通二次函数与一元二次方程的内在联系。让学生理解：把二次函数的函数值赋值为0，就转化为一元二次方程；抛物线与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根。 通过判别式建立“方程根的个数”与“抛物线和x轴交点个数”的双向对应，实现代数问题几何化、几何问题代数化。同时学会利用函数图像估计方程近似根，发展直观想象与数学运算素养，为后续二次函数综合、不等式学习做好铺垫。 对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 当 y=0 时，得到一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 本质：抛物线与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程的实数根 判别式=b2-4ac双向对应： ①>0：方程有两个不相等实数根 ⇔ 抛物线与x轴有2个交点 ②=0：方程有两个相等实数根 ⇔ 抛物线与x轴有1个交点（顶点在x轴） ③<0：方程无实数根 ⇔ 抛物线与x轴无交点 双向互推：既可以用方程判别式判断图像交点；也可以从图像交点个数判断符号。 抛物线交点求解 1. 与x轴交点求法 ①令y=0，解一元二次方程 ax2+bx+c=0 ②若两根x1、x2，则交点坐标(x1,0)、(x2,0)} 2. 与y轴交点求法 令x=0，得y=c，交点固定为(0,c) 利用二次函数求一元二次方程近似根 ★★【教学难点】 1.原理：利用抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标估计方程ax2+bx+c=0的根 2.操作思路：观察交点落在哪两个数值之间，代入函数不断缩小区间，得到近似解 ⚠注意：图像只能得到近似根，精确根必须解方程。 图像视角看函数值正负（二次不等式雏形，中考高频）★★★ 以开口向上 a>0，交点x1<x2为例： ①y>0（图像在x轴上方）：x<x1 或 x>x2 ②y<0（图像在x轴下方）：x1<x<x2 开口向下a<0，解集大小关系反转。 拓展阅读（课本读一读，韦达定理，选讲） 若方程ax2+bx+c=0两根x1、x2 两根之和：x1+x2=-， 两根之积：x1x2= 两交点距离：|x1-x2|= ①=0时，方程是两个相等实数根，不是一个根，抛物线与x轴仅有一个公共点。 ②审题区分表述：“抛物线与x轴有交点”条件为0；“有两个不相等交点”条件为>0，不要漏掉等号。 ③分清近似根与精确根，图像只能估算近似根，求准确结果需要解方程。 ④遇到y=k这类形式，要会转化为一元二次方程，利用判别式判断直线与抛物线交点个数。 ⑤由图像写y>0、y<0的解集，必须留意抛物线开口方向，不能死记结论。 ⑥求坐标轴交点分清操作：求x轴交点令y=0，求y轴交点直接令x=0。 ⑦使用韦达定理、交点距离公式，前提是0，方程要有实数根才能套用。 ⑧应用题中算出方程的根，要结合实际意义检验，舍去不符合题意的解。 题型 考察方向 难度 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★ 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★★ 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★★ 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★ 题型五 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★ 题型六 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★ 题型七 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★ 题型八 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★ 题型十 根据交点确定不等式的解集 ★★★ 题型十一 线段周长问题 ★★★★ 题型十二 面积问题 ★★★★ 题型十三 角度问题 ★★★★ 题型十四 特殊三角形问题 ★★★★ 题型十五 特殊四边形 ★★★★ 题型十六 相似三角形问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：求抛物线与 x 轴的交点坐标 解题思路：①令y=0，得到一元二次方程；②求解方程，得到根，写出交点坐标；③判别式小于0时，抛物线与x轴没有交点。 1．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】C 【分析】先求出的值，再用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴将代入，可得， ∴整理得， 将代入得原式． 2．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ ∴时，自变量的取值范围是． 3．在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数与坐标轴的交点，先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，进而可得平移方向及平移距离，根据平移的方向和距离确定的最小值． 【详解】解：当时， 可得：， 抛物线经过点， 当时， 可得：， 解得：，， 抛物线经过点和， 抛物线向上平移个单位长度或向右平移个单位长度或向左平移个单位长度可以经过原点， 的最小值为. 故选：B． 题型二：求抛物线与 y 轴的交点坐标 解题思路：①令x=0；②直接代入解析式计算，得到交点坐标(0,c)。 4．抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴交点的横坐标为，将代入抛物线解析式计算出的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：当时， ， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 5．已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 【答案】3 【分析】根据题意得出原点在平移后的抛物线上，将代入平移后的抛物线解析式求解即可； 【详解】解：， 原抛物线判别式， 令得， 则原抛物线与轴交点为， 左右平移不改变抛物线的判别式，因此平移后抛物线始终与轴有2个交点，且一定与轴有1个交点， ∵平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，平移后的抛物线与轴恒有两个不同交点，与轴恒有一个交点，要使总共只有两个公共点，则必然是其中一个轴交点与轴交点重合于原点， 即原点在平移后的抛物线上， 抛物线向右平移个单位，平移后解析式为：， 将代入得：， 解得：（舍去）， 因此的值为． 6．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【答案】或 【分析】先求得的坐标；根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围． 【详解】解：令，可得， ， 令，可得，解得， ， 由图可得关于x的不等式即的解集为或． 题型三：已知二次函数的函数值求自变量的值 解题思路：①把已知函数值代入函数，构造一元二次方程；②整理成标准形式；③解方程求出对应的自变量。 7．若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得的值，比较大小即可． 【详解】解：∵点 ，，在抛物线上， ∴ ∴ 故选C 8．二次函数的图象经过点，，则关于的一元二次方程的解为 ______． 【答案】， 【详解】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据二次函数的图象经过点，，可以得到方程解为，，然后将所求方程变形，即可求得所求方程的解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【解答】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴当时，可以得到方程解为或， ∵方程可以转化为方程， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 9．已知二次函数的图象上的部分点的坐标如下表，其中，则b的值为（    ） x … a … y … 2024 2024 … A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，表格可知，当，，当，，代入解析式可得，，由此即可求解． 【详解】解：由表格可知，当，，当，， ∴，， ∴，， ∴是方程的两根， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 题型四：抛物线与 x 轴的交点问题 解题思路：①计算判别式；②依据判别式大小判断交点个数；③仔细读题，区分“有交点0”和“有两个不相等交点（>0）”，不要遗漏等号。 10．二次函数的图像上有两点和，则的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】A，B两点纵坐标均为0，说明，是方程的两个根，解方程得到两个根后，即可计算的值． 【详解】解：∵点和在二次函数的图像上， ∴，是方程的两个根， 对方程变形得， 解得，， ∴． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 【答案】 【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：． 即点M到直线l的距离为． 12．经过点、点的抛物线与轴有两个不同的交点，与轴的交点在轴上方，则当时，的取值范围是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质及坐标特点，先求对称轴直线，直线，列方程求出，代入原抛物线关系式，根据抛物线与轴有两个公共点及抛物线与轴的交点在轴的上方列不等式，，求出，最后根据抛物线的递增情况求的取值范围． 【详解】 解：∵、， ∴抛物线对称轴是直线， ∵抛物线对称轴是直线， ， ∴抛物线， ∵抛物线与轴有两个公共点， ， ， ， 则或， 解得，或， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ， ， ， 则， 把代入， 得， ，且对称轴是直线， 当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小， ，且， ， 则当时，， 当时，， ． 13．说明：二次函数，也可以由表示，例如：当时，已知二次函数与轴有交点，且的根与的根完全一致，则的根为（     ） A． B．2 C．或2 D．以上都不对 【答案】A 【分析】由两方程根完全一致，推出若是的根，则也是的根，结合二次函数最多2个实根求解. 【详解】解：设是的任意一个根， ∵与的根完全一致， ∴是的根， ∴， 又∵， ∴，即也是的根， ∵ 一元二次方程最多有2个不同的实根， ∴ 对任意根，只能等于或另一个根， 若，解得； 若存在两个不同的根，则， 解得，与两个不同根矛盾； ∴有两个相等的实数根为. 题型五：求 x 轴与抛物线的截线长 解题思路：①明确截线长是抛物线与x轴两交点之间距离，前提0；②代入交点距离公式进行计算。 14．抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长． 【详解】解：由题意得：， 解得：x＝−3或x＝5， 故在直线y＝−9上截得的线段的长为5−（−3）＝8， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 16．已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案． 【详解】解：抛物线与一次函数交于两点， 联立，消元得， ， 故选：A 【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键． 题型六：图象法确定一元二次方程的近似根 解题思路：①画出对应二次函数图像；②锁定交点所在数值区间；③不断代入数值缩小范围得到近似根；④注意图像只能求近似根，精确结果需要解方程。 17．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个负解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格中函数值的变化，确定时的取值范围，再结合负解得出答案即可，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴在与之间，存在使， ∵是方程的负解， ∴， 故选：． 18．已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是___________ 【答案】 【分析】根据时，随的增大而减小，可得答案． 【详解】解：由的增减性，得 时，随的增大而减小． 当时，， 当时，， 的一个近似根， 由于的绝对值比更接近0，所以的一个近似根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 19．下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格数据，发现当时，当时，因此函数在和之间与x轴有交点，即方程有一个根在此区间内． 【详解】∵当时，；当时，， ∴方程的一个根在1.2和1.3之间． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 题型七：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 解题思路：①观察图像，数抛物线和x轴交点数量；②交点个数对应方程实数根的情况，双向对应判断。 20．已知抛物线的图象如图所示，则方程的实数根的情况是（    ） A．方程没有实数根 B．方程的实数根情况不确定 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有一正一负两个实数根 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，由图象可知，抛物线与轴有两个交点，即可得方程有两个不相等的实数根，且一正一负． 【详解】解：由图可得：抛物线与轴有两个交点，一个在负半轴，一个在正半轴， ∴方程有一正一负两个实数根． 故选：D． 21．二次函数的部分对应值如下表，则一元二次方程的解为________． x 0 3 5 y 10 0 0 24 【答案】 0或2/2或0 【分析】一元二次方程的解即为二次函数中函数值为时对应的自变量的值，先根据表格信息确定抛物线的对称轴，再利用二次函数的对称性求出满足条件的，即可得到方程的解. 【详解】解：由表格可知，时，时，两点纵坐标相同，因此两点关于抛物线对称轴对称， 可得抛物线的对称轴为直线， 由表格可知，当时，， 设纵坐标为的另一个点的横坐标为，根据二次函数的对称性，与关于直线对称， 因此，解得， 所以当时，对应的的值为和， 即一元二次方程的解为. 22．抛物线 与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线 的图象可能是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知函数图象得到方程的两根为，，即可得到抛物线 的图象与轴交点横坐标为，，据此判断即可． 【详解】解：由图象可得抛物线 与直线交点的横坐标为，， 即方程的两根为，， 当时，整理得，此时方程的两根为，， ∴抛物线 的图象与轴交点横坐标为，， 各个选项中只有B选项符合题意． 题型八：图象法解一元二次不等式 解题思路：①观察图像，看清抛物线开口方向；②看图像在x轴上方、下方对应的x取值；③开口改变，解集随之改变，不机械背答案。 23．已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，或， 故选：B． 24．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点问题，利用对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，图象法求出时，的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴当时，的取值范围是或； 故答案为：或． 25．已知，，若对于所有的实数，的值始终比的值大，则整数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是熟记二次函数与x轴的交点情况和的关系．本题只需根据题意列出一元二次不等式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得： A的值始终比B的值大， ∴， 即， 即的函数图象与x轴无交点， ∴， ∴， ∴整数的最小值为． 故选：C． 题型九：利用不等式求自变量或函数值的范围 解题思路：①已知y求x：画水平线截取图像，读出自变量范围；②已知x求y：结合对称轴、开口，求出区间内最大、最小值，确定函数值范围。 26．已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数图象对称性是解题的关键．根据二次函数图象的对称性，由图象过点，对称轴为直线，可得图象与x轴的另一个交点坐标为，再由二次函数图象性质得出函数值时，自变量x的取值范围． 【详解】解：∵图象过点，对称轴为直线，且， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为， 由二次函数图象性质可知， 当函数值时， 自变量x的取值范围是． 故选：D． 27．二次函数图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，当时，x的取值范围为______．        x …． 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 【答案】 【分析】利用表格中和时y值相等，根据二次函数的对称性可求得抛物线的对称轴，进而求出抛物线与x轴的另一个交点，根据抛物线的开口方向，即可确定时x的取值范围． 【详解】解：和时，的值都是， 抛物线的对称轴为直线， 时，，根据抛物线的对称性可得时，， ∴抛物线与轴的交点为和， 又抛物线顶点坐标为，顶点纵坐标大于抛物线上其他点的纵坐标， 抛物线开口向下， 当时，的取值范围为． 28．已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点，当时，求的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．先利用抛物线对称轴公式求出的值，再代入已知交点求出的值得到抛物线解析式，通过配方确定顶点（最小值点），结合区间端点函数值与抛物线开口方向，确定的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，，对称轴， ∴，解得， ∵抛物线与轴交于点，代入得：， 解得， ∴抛物线解析式为，配方得， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点为最低点，故的最小值为， 当时，， 当时，， 又∵，在该区间内，的最大值小于，最小值大于， ∴． 故选：B． 题型十：根据交点确定不等式的解集 解题思路：①找出抛物线与x轴两个交点，分清大小；②根据开口向上写出对应解集；③开口向下，把解集反向书写。 29．如图，抛物线与直线交于，两点，下列是关于的不等式或方程，结论正确的是（    ）． A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解是或 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数与不等式（组），掌握通过观察函数图象的方式来求解等式或不等式是解题的关键． 先联立抛物线与直线得：，由函数图象知，上述方程的解为或，进而分析求解． 【详解】解： 当，即求抛物线在直线上方部分的的取值范围，由函数图象可得：或，故选项A、B、C不符合题意； 当，即求抛物线与直线联立方程的解，由函数图象得：方程的解为或，故选项D符合题意； 故选：D． 30．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：联立得，即， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴； 联立得，即， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， 解方程得或， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 31．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点，则能使关于的不等式成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式，解决本题的关键利用数形结合的思想求解．由图像可知在点左侧，点右侧，二次函数的值大于一次函数的值，从而可知不等式的解集是或． 【详解】解：二次函数与一次函数的图象相交于，两点， 由图像可知，在点左侧，点右侧，二次函数的值大于一次函数的值， 不等式的解集是或． 故选：D． 题型十一：线段周长问题 解题思路：①设动点横坐标，用代数式表示全部点坐标；②区分水平、竖直线段，求出每一段线段长度；③相加得到周长的函数关系式；④结合自变量实际范围求周长最值。 32．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数，勾股定理等知识，先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求出，根据垂线段最短得出：当时，最小，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解∶当时，， ∴， ∵轴，轴轴， ∴的纵坐标为3，轴， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 即的最小值为2.4， 故选：B． 33．如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 【答案】 【分析】本题是二次函数的综合题，求最大值的问题．作于点H，作轴于点N，交于点M，先求得直线的解析式为，当取最大值时，P点到直线的距离有最大值，设，．用表示的长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，，， ∵， ∴， 作于点H，作轴于点N，交于点M， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当取最大值时，P点到直线的距离有最大值， 设，． ∴． ∴． ∵， ∴当时，． ∴． 故答案为：． 34．如图，点是抛物线的顶点，点、点在抛物线上，轴，，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把抛物线解析式化成顶点式可得，即点；再结合以及图形可求得点B、点C的纵坐标为，点D的纵坐标为，然后求出、，最后代入求出比例即可． 【详解】解：∵， ∴点， ∵， ∴点B的横坐标为，点C和点D的横坐标为， ∴点B、点C的纵坐标为，点D的纵坐标为， ∴，， ∴． 题型十二：面积问题 解题思路：①选用铅锤高水平宽公式或者割补法处理图形面积；②写出面积关于动点的二次函数；③结合自变量取值，求解面积最大、最小值。 35．如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________时，四边形，的面积最小，其最小值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方法是解题的关键． 根据题意，设运动时间为，可得，，，可得，根据数量关系列式，可得关于的二次函数的解析式，运用配方法求最值即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，即关于的二次函数图像开口线上，则有最小值， ∴当时，有最小值，且最小值为， 故答案为：，． 36．在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算的面积． 【详解】解：∵二次函数经过点，，两点纵坐标相等 ∴二次函数的对称轴为直线 ∵对称轴公式为， ∴，解得 又∵二次函数图象与轴只有一个交点 ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 将代入解析式，得 ∴，， ∴，原点到直线的距离为 ∴． 37．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P为抛物线的顶点，中，，线段把图形（上半部分以抛物线为边界）分为两部分，则这两部分面积之差的绝对值是____． 【答案】1 【分析】连接，先分别求出与的面积，再求出线段与其上方抛物线构成图形的面积与线段与其上方抛物线构成图形的面积相等，则可得两部分面积之差的绝对值是，代入计算即可． 【详解】解：如图，连接， 将代入得：，解得或， ∴，， ∴， 抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，， 由题意，可设点的坐标为，则， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线，即其图象关于轴对称， ∴抛物线在轴上方的图象在轴的左右两侧部分的面积相等， ∴线段与其上方抛物线构成图形的面积与线段与其上方抛物线构成图形的面积相等， ∴两部分面积之差的绝对值是． 题型十三：角度问题 解题思路：①遇到相等角，转化等腰、平行、相似条件；②遇到特殊角度，构造直角三角形；③设动点坐标列方程计算；④检验结果，舍去不符合图像的解。 38．如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 39．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 40．如图，抛物线，顶点为，将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，与相交于点，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，求得的坐标是解题的关键． 根据平移的性质求得交点Q的坐标，得到解析式，代入C求得Q的坐标， 过作交于，利用为等边三角形，则，构建方程求解即可． 【详解】如图，过作交于， 根据题意， 抛物线，代入得， 若，由图易知为等边三角形， ，即， 则，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：． 题型十四：特殊三角形问题 解题思路：①等腰三角形，分三类讨论，距离公式列方程；②直角三角形，分三个直角顶点，利用勾股定理列式；③把三点共线的无效解舍去。 41．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式___________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与几何的综合应用，根据题意易得抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等，由此写出一个符合题意的二次函数解析式即可。 【详解】解：由题意，抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等， ∴满足题意的一个抛物线的解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 42．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 【答案】7 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，点坐标的规律计算，掌握二次函数图象的性质，找出规律是关键． 根据等边三角形的性质，二次函数图象的性质得到，，，由此得到（是正整数），令代入计算即可． 【详解】解：∵，，，…，都为等边三角形， ∴，， ，，， 设， 如图所示，过点作轴于点，轴于点，轴于点， ∴，则， 在中，， ∴，， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图象上， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， 同理，，，， ∴，， ∵点在二次函数位于第一象限的图象上， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴，， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ， ∴（是正整数）， ∴的边长为． 故答案为：7 ． 43．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，；  ②若且，则；③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的结论是(　　) A．①③④ B．①②③④ C．①③ D．①④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确； 故选：A． 题型十五：特殊四边形 解题思路：①平行四边形使用中点坐标公式；②菱形、矩形在平行四边形基础上叠加对应条件；③正方形同时满足菱形与矩形条件；④分类讨论求出动点坐标。 44．如图，在平面直角坐标系中，四边形和四边形都是正方形，点A在x轴正半轴上，点C、F在y轴正半轴上，点D在线段上，点B为抛物线的顶点．点E在此抛物线上，则点E的坐标为________． 【答案】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标为，再结合正方形的性质可得，可求出a的值，设，则点，把点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∵点B为抛物线的顶点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 设，则点， 把点代入得： ， 解得：或2（舍去）， ∴点E的坐标为． 45．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，四边形为正方形，当抛物线的顶点在边上时，的值为_______． 【答案】 【分析】首先根据抛物线解析式求出点的坐标，利用抛物线的对称性求出的长，进而根据正方形的性质求出点的坐标及边所在直线的解析式，再求出抛物线的顶点坐标，根据顶点在边上建立关于的方程求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴点的纵坐标为，即边在直线上， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在边上， ∴， 解得，（舍去）， ∴的值为． 46．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 题型十六：相似三角形问题 解题思路：①找出图中一组固定相等角；②分类讨论剩余边的对应关系；③把坐标转化线段长，列方程；④检验，筛除不符合题意答案。 47．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了阅读运用新知识能力，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．作于G，作于K，由得，从而，即可 求得结果． 【详解】解：如图，作于G，作于K， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 48．如图1，在平面直角坐标系中，将n个边长为1的正方形并排组成矩形，相邻两边和分别落在x轴和y轴的正半轴上．现将矩形绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上（如图2），设抛物线，如果抛物线同时经过点O、B、C： ①当时，___________ ； ②a关于n的关系式是___________ ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和判定，正方形的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，解二元一次方程组，勾股定理等知识点的理解和掌握． ①当时，，设所求抛物线解析式为，过C作于点D，则，得出，设，则，根据勾股定理，求出t，得出C的坐标，把B、C坐标代入抛物线解析式即可得到方程组，求出a即可；②根据和①总结规律，可以得到答案． 【详解】解：①如图当时，， 设所求抛物线解析式为， 过C作于点D， 则， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得， 解得：， 故答案为：； ②当时，， ∴， ∴， 同理①得，， ∴， 设所求抛物线解析式为， ∴， 解得：； 同理当时，； ∴可以得出a关于n的关系式是：． 故答案为：． 49．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，设与交于点，求出，，则有解析式为，设，则，然后证明，由性质得，最后由二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设与交于点， 由得，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则的最大值为， 故选：． 解答题 1．如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” (1)判断二次函数是不是“邻交函数” (2)若二次函数是“邻交函数”，求的值． (3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 【答案】(1)是“邻交函数” (2) (3)的最大值为 【分析】（1）求出二次函数与x轴的两个交点的坐标即可得到答案； （2）设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，由根与系数的关系得到，则可得到，解方程求出m的值，则可求出n的值，进而可得a的值； （3）当时，，解得，根据定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得， ∴二次函数与x轴的两个交点的坐标分别为， ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的距离为1， ∴二次函数是“邻交函数”； （2）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴关于x的一元二次方程有两个不相同的实数根，且两根之差为1， 设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 综上所述，； （3）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的距离为1， 在中，当时，， 解得， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为9． 2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． (1)求b的值，并用含a的式子表示c； (2)已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】（1）利用抛物线过直接得，再套用对称轴公式，化简求出； （2）先写出顶点为的平移后抛物线，代入原点得到关于的一元二次方程，方程无实数根则判别式，解不等式得到范围． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ． 抛物线的对称轴为， ． ； （2）解：设点， 是抛物线上的点， ． 由题意，抛物线， 设抛物线与y轴交于点，则． 无论t为何值，抛物线都不经过点O， 无论t为何值，都有， 关于t的方程没有实数根． ，即． ， 化简得：， 解得：， 且． 3．已知抛物线，（）与轴交于（点在点的左边），与轴交于C点． (1)若， ①求抛物线的对称轴； ②若抛物线上恰好有三个点到x轴距离为2，求抛物线解析式； (2)，是该抛物线上不重合的两点，点在直线上，存在一个的值，对任何符合的恒为定值，求的值及的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)； 【分析】（1）①根据题意得出的横坐标为，即可求得对称轴； ②根据题意得出顶点纵坐标为2，代入，即可求解； （2）设，根据题意两点关于对称，得出，求得直线的解析式，并将点代入得出，根据为定值，得出，根据直线与抛物线相交于不重合的两点，得出代入，进而求得． 【详解】（1）①∵ ∴的横坐标为 ∴对称轴直线 ②∵抛物线上恰好有三个点到x轴距离为2 顶点纵坐标为2， 顶点代 得 （2）设， ∴两点关于对称， ， 令， ∵，点在点的左边 ∴， 当时，，则 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 将代入得， 解得， ， ， ∵为定值 ∴ 解得， ∴； ∵抛物线的解析式为 抛物线的对称轴为，最大值为． 直线与抛物线相交于不重合的两点， ， 方程两边同时除以得， 整理得， ， ． 将代入， 得， ． 4．二次函数的图象如图所示，根据图象填空： (1)方程的两个根为________________； (2)不等式的解集为_______________； (3)y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为___________； (4)若方程有实数根，则 k 的取值范围为_________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）根据图象可知二次函数与x轴的交点坐标，交点的横坐标即为方程的两个根； （2）由图象可知二次函数在x轴上方图象的自变量的取值范围，即可得到不等式的解集； （3）根据二次函数的图象和性质，即可得到答案； （4）由方程有实数根可知，二次函数与直线有一个或两个交点，再利用顶点坐标，即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：由图象可知，二次函数与x轴的交点坐标为，， 即方程的两个根为，； （2）解：由图象可知，二次函数在x轴上方图象的自变量取值范围是，即不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 即y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为； （4）解：∵方程有实数根， ∴二次函数与直线有一个或两个交点， 由图象可知，抛物线的顶点坐标为， ∴，即方程有实数根，k的取值范围为． 5．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数）．已知点，抛物线：经过点． (1)试推算出和的数量关系； (2)若抛物线过点，求抛物线的解析式及顶点坐标； (3)若抛物线使得（为的整数）这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）将点P坐标代入抛物线解析式，通过化简整理，推导出a与b的数量关系． （2）把坐标代入解析式求出a、b，得到函数表达式，再利用配方法化为顶点式，进而写出顶点坐标． （2）先用化简解析式，算出四点横坐标对应的函数值． 分、讨论点位：依据两点在上、两点在下，列不等式求解a范围． 【详解】（1） 抛物线经过点， 将，代入解析式， ， ， ， ． （2） 抛物线经过点， 将，代入解析式， ， ， ， ， ， ，， 抛物线解析式为． ， ， ， 抛物线顶点坐标为． （3）， 抛物线解析式可化为． 该图象是抛物线， ． 由题意可得四个点坐标：，，，． 将各点横坐标代入抛物线解析式， 时，； 时，； 时，； 时，． 当时， ，，， ，，， 、、恒在抛物线上方． 上方已经存在个点，无论在哪一侧，都不能实现两点在上、两点在下， 不符合题意，舍去． 当时， ，，， ，在抛物线上方；，在抛物线上方， 、恒在抛物线上方． 要求四个点恰好两点在上方、两点在下方， 、必须同时在抛物线下方． 点在抛物线下方等价于点的纵坐标小于同横坐标抛物线函数值， 列不等式组： 解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组的解集为． 综上，的取值范围是． 6．活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： … … … … … … 上述表格中：__________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (3)通过观察图象可知，当时，的取值范围__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察表格中数据特点即可； （2）描点连线即可； （3）当时，即在上方的图像所对应的的取值． 【详解】（1）解：观察表格中数据特点，关于对称的自变量所对应的的值相同， ∴与时，的值相同为3， 故； （2）解：略； （3）解：通过观察图象可知，当时，的取值范围． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由一次函数的解析式求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点M作轴，交于点D，设，则，可得，则可得到，据此可得答案； （3）作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接，则，可证明当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长；过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T，求出的长，根据，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴， ∵抛物线经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点M作轴，交于点D， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， 此时， ∴当的面积最大时，点M的坐标为； （3）解：如图3-1所示，作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接， 在中，， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长； 如图3-2所示，当有最小值时，过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T， 由（2）得点M的坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 8．如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明，则，即，即可求解； （3）延长交直线l于点，当时，证明为等腰直角三角形，利用，即可求出点的坐标，再利用点的坐标，求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立即可求出m的值． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得： ，解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点D作轴于点E， 而直线轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设点，则，， ∴，解得（舍去）或， 当时，， 故点D的坐标为； （3）设直线l的表达式为 将，代入得： ，解得： ∴直线l的表达式为， 延长交直线l于点M，设点， ∵，直线， ∴为等腰直角三角形，则， ∴，解得或， ∴点M的坐标为或， 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 综上，或． 9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②最大值，此时 【分析】（1）A，D两点既在直线上又在抛物线上，先通过直线方程求出A，D两点坐标，再代入抛物线方程即可． （2）①根据为直角三角形进行分类讨论，依据不同情况时具有的几何特征找出等量关系列方程求解． ②利用隐含的角度关系，得出，将所求的目标进行转化，将双变量化为单变量再通过函数求出最值． 【详解】（1）解：∵A点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， ∵D点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， 又∵点A，点D在抛物线上， 则有，解得， 故抛物线的解析式为． （2）由题设， ①∵点A，点C为直线与坐标轴的两交点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴当为直角三角形时有两种情况，或， 1）当时，， ∵轴，即， ∴为等腰直角三角形， 则有， ∴，解得或（舍）， ∴， 2）当时，点P与点B重合，即此时点P在x轴上 ， ∴令，解得或（舍）， ∴， 综上为直角三角形时，点P坐标为或． ②∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即，此时符合有． 10．如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)； (2) (3)向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度 【分析】（1）把、两点坐标代入抛物线一般式，解二元一次方程组求得、，即可得到抛物线函数表达式；将表达式配方为顶点式，直接写出顶点的坐标即可； （2）先用待定系数法求直线的解析式，设点横坐标为，用表示、的坐标，通过两点纵坐标差写出关于的二次函数，利用二次函数性质求出的最大值即可； （3）先确定最大时点、的坐标，设平移后顶点，则，根据的位置，分在轴上方、下方两种情况，依据菱形邻边相等列方程求、，舍去无解情况，根据顶点坐标的变化量即可确定抛物线的平移方式． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 化为顶点式，得， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的表达式为，代入、得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 设点的横坐标为，则，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，在取值内， ∴当时，； （3）解：由（2）当的长最大时，，点，点， 设平移后抛物线顶点，抛物线对称轴为直线，对称轴交轴于点， 根据的位置，可分两种情况讨论： ①如图，当点在轴上方时，四边形是菱形，则， ∴， 解得或， ，即， 解得或（不合题意，舍去）； ∴的坐标为或， ∵抛物线的顶点为， ∴当的坐标为时，，，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度； 当的坐标为时，，，抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度； ②当点在轴下方时，四边形是菱形，则， ∴， 两边平方，得， 移项并整理，得， ∴此方程无实数根， 故此情况不成立； 综上，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，能使得以、、、为顶点的四边形是菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $