专题11二次函数的应用精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的应用这一核心知识点，从通用六步解题法（审题、设元、列式、定范围、求解、作答）出发，衔接面积最值、销售利润、抛物线轨迹三类必考题型，落实“实际问题→建函数→求最值→检验”完整逻辑，构建从理论到实践的学习支架。 该资料以中考高频考点为设计核心，通过8类分层题型（如图形问题、销售问题等）结合常见错误警示（如忽略自变量范围），培养学生数学眼光（抽象实际问题）、数学思维（推理最值条件）和数学语言（规范建模过程）。课中辅助教师聚焦重点教学，课后助力学生查漏补缺，强化应用能力。

专题11二次函数的应用精讲学案 课堂核心立意 本节课核心是学会用二次函数解决生活实际问题，掌握建模步骤、三类必考应用题型、区间最值判断方法，落实“实际问题→建函数→求最值→检验实际意义”的完整解题逻辑，是中考大题高频考点。 1.二次函数应用题通用解题步骤 ①审题，梳理题目已知条件与数量关系，区分已知量、未知量。 ②设元，选取合适的量作为自变量，其余相关数量利用代数式进行表示。 ③列式，根据题目内部等量关系，整理得到二次函数解析式。 ④定范围，结合现实实际意义，确定自变量的有效取值范围。 ⑤求解，在自变量取值范围之内，利用函数性质求最值或者对应函数值。 ⑥作答，检验计算结果，舍弃不符合实际的解，规范书写答句。 2.面积最值问题（必考） ①常见题型包含矩形围栏、几何拼接、图形内接等问题。 ②利用自变量表达图形各条边长，套用面积公式列出二次函数。 ③借助抛物线顶点求解面积最值，边长必须大于0，严格遵守图形约束条件。 3.销售利润最值问题（中考大题压轴） ①核心关系式：总利润=单件利润×销售数量。 ②跟随售价变动，分别表示调整之后的单件利润与对应销售量。 ③整理得到二次函数，开口向下时顶点对应理论最大利润。 ④售价、销售量均不能为负数，受题干条件约束，不能脱离自变量范围求结果。 4.抛物线轨迹建模问题（拱桥、投篮、喷泉、滑行） ①常见场景：拱桥、投篮、喷泉、物体滑行。 ②优先选择简便的方式建立平面直角坐标系。 ③将图像已知点代入，求解抛物线函数解析式。 ④依靠解析式计算高度、水平距离等所求量，完成问题解答。 5.二次函数最值核心规则（学生最容易混淆） ①自变量不受实际条件限制，直接利用顶点坐标求取函数最值。 ②自变量存在限定区间，若顶点落在取值范围内，顶点可取到最值。 ③自变量存在限定区间，若顶点不在取值范围内，最值只能在区间两个端点处取得。 6.自变量取值范围硬性原则 ①长度、售价、销量等实际物理量，数值不能取负数。 ②必须结合题干附加条件，进一步压缩自变量的有效区间。 ③实际应用题必须标注自变量取值范围，缺少会造成考试扣分。 1.求最值时直接套顶点，忽略自变量取值区间，导致答案不符合实际。 2.利润问题列式错误，分不清单件利润和总利润，符号整理出错。 3.轨迹问题建系混乱、点位找错，导致解析式整体错误。 4.面积问题忽略边长大于0的限制，算出无效数值。 5.应用题最后不检验、不作答，步骤不完整丢失步骤分。 6.误以为所有二次函数顶点都是最值，不清楚区间限制优先于顶点。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★ 题型二 图形运动问题 ★★★ 题型三 拱桥问题 ★★★ 题型四 销售问题 ★★★ 题型五 投球问题 ★★★ 题型六 喷水问题 ★★ 题型七 增长率问题 ★★ 题型八 其他实际应用问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一：图形问题 解题思路 ①一般为矩形围栏、图形面积、内接多边形；用自变量表示图形的边长。 ②套用面积公式，建立二次函数。 ③注意边长＞0，由此确定自变量取值范围。 ④求最大（小）面积，一定要看顶点是否在自变量取值区间内。 1．如图，把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积与剪去的小正方形边长之间的函数表达式是_______（不需要写自变量取值范围）． 2．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（    ） A．先增大后减小，最大面积为32 B．先减小后增大，最小面积为24 C．始终不变，面积为32 D．始终不变，面积为24 3．某环保包装公司正在开发一款新型智能包装盒，需要以边长为的正方形纸板为原材料制作出既美观又实用的包装盒（每张纸板制作一个包装盒）．公司的设计部门提出了两种方案：无盖长方体纸盒（适用于展示型商品包装）和有盖长方体纸盒（适用于保护型商品包装）． 项目要求： ●原材料：边长为的正方形纸板． ●设计约束：需要通过翻折制作，不能有额外拼接． ●优化目标：在满足基本功能的前提下，使包装盒的容积最大化． ●材料利用率及其计算公式：材料利用率是指在制作过程中，最终成品（包装盒）所包含的材料面积占原始材料（正方形纸板）总面积的百分比，即材料利用率． (1)公司要求制作一款有盖长方体纸盒，使得材料利用率为，已知纸盒的长为、宽为，求纸盒的高以及此时的容积． (2)请你根据给定的边长为的正方形纸板，通过翻折制作一款无盖长方体纸盒，使得纸盒的底面为正方形．设该款纸盒的高为，试探究该款纸盒的材料利用率 与之间的函数关系式，并说明材料利用率随的变化而变化的情况． 4．某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称，，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，与相交于轴上点（点在地面）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长； (3)一辆满载装修材料的货车，顶部离地面的高度为，其横截面是一个长方形，宽为，试说明这辆货车能否顺利通过门洞？ 题型二：图形运动问题 解题思路 ①动点、图形平移翻转，用自变量表示运动后线段长度。 ②结合面积、勾股定理列函数关系式。 ③重点：根据运动时间，找准自变量时间的取值边界。 ④常考：求面积最大值，或者面积等于某特定值时求时间。 5．如图1，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度相等，连接．设点M运动的路程为，的面积为S，则S与x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为________． 7．如图，在四边形中，，，点P，Q同时出发，点P从点B出发以的速度向点A运动，到点A停止，点Q以的速度沿A→D→C运动，到点C停止，设点P的运动时间为，的面积为， (1)求的长： (2)求S关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，点P在线段上沿方向以每秒的速度匀速运动，点Q在线段上沿方向以每秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)写出的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S的值最大？最大值是多少？ (2)当t为何值时，？ (3)在运动过程中，与能否相似？如果相似，求出P点位置，如果不相似，说明理由． 题型三：拱桥问题 解题思路 ①建立平面直角坐标系，优先把顶点放在坐标原点或者y轴上，简化计算。 ②把桥上关键点坐标找出来，代入求抛物线解析式。 ③已知高度求宽度，或者已知宽度求高度，代入解析式计算。 ④注意：坐标数值≠实际长度，分清坐标系和实际物理量。 9．某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为______． 11．某市政工程修建的排水管道截面如图所示，其轮廓为抛物线的一部分，以管道底面截得的线段的中点O为坐标原点，直线为x轴，过原点的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．已知管道底面的宽，管道顶部D（抛物线顶点）距离底面的高度．为提升排水效率，需在管道内安装两层水平滤网和，上层滤网距离底面，下层滤网距离底面，滤网两端均与管道内壁贴合． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若滤网的材料价格为100元（按滤网水平长度计价，不考虑管道纵深长度），上下两层滤网单价相同，求出两层滤网的材料总费用． 12．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 题型四：销售问题 解题思路 ①核心公式：总利润 = 单件利润 × 销售量 ②售价上涨/下降，分别写出变化后的单件利润、变化后的销量。 ③整理得到二次函数，开口向下顶点对应最大利润。 ④自变量范围：售价、销量必须大于0，看清题目有没有售价上限、下限。 ⑤⚠顶点不在取值区间时，最值要取端点。 13．《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题．今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹．已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 14．某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶元，当销售单价定为元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为x（元），每天的销售量为（瓶）． （1）每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 _____； （2）销售这款“洗手液”每天的最大利润为 _____． 15．某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，每天房间的出租率不低于，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如下表： 客房日租金x（元） 160 170 180 190 客房出租数量y（间） 120 114 108 102 (1)观察表格中的数据，求出客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？ 16．在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现该商品每天的销售量（支）与销售单价（元支）之间存在如图所示的关系． (1)请求出与的函数关系式； (2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 题型五：投球问题 解题思路 ①建立坐标系，篮球出手点、篮筐、最高点为关键点位。 ②代入已知点求出抛物线解析式。 ③求解：求最大高度；判断球能否投进；求落地水平距离。 ④自变量范围：从投出到落地，高度y≥0。 17．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 18．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．则小明此次试投的成绩（线段的长度）是________米． 19．为弘扬伟大抗战精神，在抗日阅兵主题实践活动中，某兴趣小组模拟抗战时期的武器原理，设计了“水流导弹”演示装置（图1）．该装置发射的水流导弹运动轨迹呈抛物线形状，象征着中华民族抵御外敌的坚定轨迹．经过精准测量，水流导弹发射后，距离发射点水平距离40米时达到最大高度20米．活动场地模拟抗战时期山地战场，将“水流导弹”发射装置稳固安置在山坡底部的点处（模拟我军阵地），山坡上点处模拟敌军碉堡遗址，碉堡底部点与点的水平距离为50米，与地面的竖直距离为12米；为还原战场标识场景，在碉堡顶端设置了模拟敌军信号旗，旗帜顶端比碉堡底部高出3米．以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求水流导弹运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)判断水流导弹能否越过旗帜顶端，以此检验装置模拟打击的有效性？请说明理由； (3)若要使水流导弹恰好击中旗帜顶端（模拟精准打击目标），在抛物线形状不变的情况下，“水流导弹”发射装置应该向后移动多少米？ 20．中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 题型六：喷水问题 解题思路 ①把喷水口放在y轴上建立坐标系，水流轨迹是抛物线。 ②喷水口、最高点、落水点是关键坐标。 ③求解析式，计算喷水最大高度、喷水的最远距离。 ④y≥0，水落到地面y=0，对应水平距离。 21．随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．喷灌器与围墙的距离为（　　） A． B． C． D． 22．某公园新建了一个音乐喷泉，喷泉喷出的水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于轴对称，其中左侧的喷泉可用表示． （1）请写出的函数表达式：_________． （2）这两个喷泉最高点之间的距离是________m． 23．综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 24．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 题型七：增长率问题 解题思路 ①核心公式：a(1+x)2=b；a为初始量，x为增长率。 ②连续两次增长（降低），列出函数或者方程。 ③注意增长率x>0；降低率 0<x<1。 ④大多列方程求解，偶尔求最值。 25．某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 26．为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 27．某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 28．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 题型八：其他问题 解题思路 ①材料、造价、车辆运输等综合实际应用题。 ②读懂题意，找准题目隐藏等量关系。 ③严格执行通用六步法，特别重视自变量实际取值。 ④求出结果之后检验，舍去无实际意义的解。 29．一次聚会共有n个人参加，参加聚会的每两个人都握一次手，则所有人握手的总次数y与n满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 30．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 31．综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 32．为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作水电站的模型，模型包含多个水轮发电机等组件，如图，制作一个水轮发电机需配备个铜线圈、组叶片和若干其他基础配件．已知购买一个铜线圈需元，购买一组叶片需元（其它基础配件库存充足，无需购买）． (1)现有经费元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作多少个水轮发电机？ (2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行．兴趣小组测试时发现：若同时工作的发电机不超过个，每个发电机发电功率为每秒焦耳；若超过个，每增加个发电机同时工作，每个发电机的功率每秒将减少焦耳．（总发电功率工作的发电机个数每个发电机的功率） 设同时工作的发电机有个，当时，求总发电功率（单位：焦耳秒）关于的函数关系式； 在（）的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11二次函数的应用精讲学案 课堂核心立意 本节课核心是学会用二次函数解决生活实际问题，掌握建模步骤、三类必考应用题型、区间最值判断方法，落实“实际问题→建函数→求最值→检验实际意义”的完整解题逻辑，是中考大题高频考点。 1.二次函数应用题通用解题步骤 ①审题，梳理题目已知条件与数量关系，区分已知量、未知量。 ②设元，选取合适的量作为自变量，其余相关数量利用代数式进行表示。 ③列式，根据题目内部等量关系，整理得到二次函数解析式。 ④定范围，结合现实实际意义，确定自变量的有效取值范围。 ⑤求解，在自变量取值范围之内，利用函数性质求最值或者对应函数值。 ⑥作答，检验计算结果，舍弃不符合实际的解，规范书写答句。 2.面积最值问题（必考） ①常见题型包含矩形围栏、几何拼接、图形内接等问题。 ②利用自变量表达图形各条边长，套用面积公式列出二次函数。 ③借助抛物线顶点求解面积最值，边长必须大于0，严格遵守图形约束条件。 3.销售利润最值问题（中考大题压轴） ①核心关系式：总利润=单件利润×销售数量。 ②跟随售价变动，分别表示调整之后的单件利润与对应销售量。 ③整理得到二次函数，开口向下时顶点对应理论最大利润。 ④售价、销售量均不能为负数，受题干条件约束，不能脱离自变量范围求结果。 4.抛物线轨迹建模问题（拱桥、投篮、喷泉、滑行） ①常见场景：拱桥、投篮、喷泉、物体滑行。 ②优先选择简便的方式建立平面直角坐标系。 ③将图像已知点代入，求解抛物线函数解析式。 ④依靠解析式计算高度、水平距离等所求量，完成问题解答。 5.二次函数最值核心规则（学生最容易混淆） ①自变量不受实际条件限制，直接利用顶点坐标求取函数最值。 ②自变量存在限定区间，若顶点落在取值范围内，顶点可取到最值。 ③自变量存在限定区间，若顶点不在取值范围内，最值只能在区间两个端点处取得。 6.自变量取值范围硬性原则 ①长度、售价、销量等实际物理量，数值不能取负数。 ②必须结合题干附加条件，进一步压缩自变量的有效区间。 ③实际应用题必须标注自变量取值范围，缺少会造成考试扣分。 1.求最值时直接套顶点，忽略自变量取值区间，导致答案不符合实际。 2.利润问题列式错误，分不清单件利润和总利润，符号整理出错。 3.轨迹问题建系混乱、点位找错，导致解析式整体错误。 4.面积问题忽略边长大于0的限制，算出无效数值。 5.应用题最后不检验、不作答，步骤不完整丢失步骤分。 6.误以为所有二次函数顶点都是最值，不清楚区间限制优先于顶点。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★ 题型二 图形运动问题 ★★★ 题型三 拱桥问题 ★★★ 题型四 销售问题 ★★★ 题型五 投球问题 ★★★ 题型六 喷水问题 ★★ 题型七 增长率问题 ★★ 题型八 其他实际应用问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一：图形问题 解题思路 ①一般为矩形围栏、图形面积、内接多边形；用自变量表示图形的边长。 ②套用面积公式，建立二次函数。 ③注意边长＞0，由此确定自变量取值范围。 ④求最大（小）面积，一定要看顶点是否在自变量取值区间内。 1．如图，把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积与剪去的小正方形边长之间的函数表达式是_______（不需要写自变量取值范围）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由剪去小正方形的边长，可得出折叠成的盒子的底面长为，宽为，利用矩形的面积公式，可得出S关于x的函数关系式 【详解】解：∵剪去小正方形的边长为， ∴折叠成的盒子的底面长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 2．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（    ） A．先增大后减小，最大面积为32 B．先减小后增大，最小面积为24 C．始终不变，面积为32 D．始终不变，面积为24 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点，全等三角形的判定和性质，证明，得到，同理可得：，即可求解． 【详解】解：令，则或6， 即点A、B的坐标分别为：、， ∴， 设点P的横坐标为：m， 分别过点P、G作x轴的垂线，垂足分别为点N、H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， 则与的面积之和， 即与的面积之和始终不变，面积为32． 故选：C． 3．某环保包装公司正在开发一款新型智能包装盒，需要以边长为的正方形纸板为原材料制作出既美观又实用的包装盒（每张纸板制作一个包装盒）．公司的设计部门提出了两种方案：无盖长方体纸盒（适用于展示型商品包装）和有盖长方体纸盒（适用于保护型商品包装）． 项目要求： ●原材料：边长为的正方形纸板． ●设计约束：需要通过翻折制作，不能有额外拼接． ●优化目标：在满足基本功能的前提下，使包装盒的容积最大化． ●材料利用率及其计算公式：材料利用率是指在制作过程中，最终成品（包装盒）所包含的材料面积占原始材料（正方形纸板）总面积的百分比，即材料利用率． (1)公司要求制作一款有盖长方体纸盒，使得材料利用率为，已知纸盒的长为、宽为，求纸盒的高以及此时的容积． (2)请你根据给定的边长为的正方形纸板，通过翻折制作一款无盖长方体纸盒，使得纸盒的底面为正方形．设该款纸盒的高为，试探究该款纸盒的材料利用率 与之间的函数关系式，并说明材料利用率随的变化而变化的情况． 【答案】(1)纸盒的高为 ，容积为 (2)函数关系式为 ，当时，随的增大而减小 【分析】（1）设纸盒的高为，根据长方体的表面积公式以及题干所给的材料利用率计算公式建立方程求解； （2）根据材料利用率计算公式建立二次函数关系式，然后由于长方体的底面正方形边长为，求出的取值范围，再由二次函数的性质求解材料利用率随的变化而变化的情况． 【详解】（1）解：设纸盒的高为， 由题意得，， 解得， 则纸盒的容积为：； （2）解：由题意得，， ∵长方体的底面正方形边长为， ∴ ∴， ，对称轴为直线， ∴当时， 随的增大而减小． 4．某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称，，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，与相交于轴上点（点在地面）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长； (3)一辆满载装修材料的货车，顶部离地面的高度为，其横截面是一个长方形，宽为，试说明这辆货车能否顺利通过门洞？ 【答案】(1) (2) (3)这辆货车能顺利通过门洞， 理由如下： 抛物线的函数表达式为， 门洞的最高点离的距离为， 当时，，即， 门洞的最高点到地面的距离为； 思路一：货车顶部离门洞最高点的距离为， 当时，， 解得，， ， 这辆货车能顺利通过门洞； 思路二：假设这辆货车能从门洞的正中间通过，则货车右侧离的距离为， 当时，， 货车顶部离门洞最高点的距离为， 这辆货车能顺利通过门洞． 【分析】（1）由顶点设顶点式，代入求解析式； （2）为同横坐标下两抛物线纵坐标之差，列方程求，利用轴对称求长度； （3） 算出顶点离地高度，代入货车对应高度求横向宽度，和车宽对比判断能否通行． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ， 结合二次函数的对称性得， 将代入得，， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）由（1）得抛物线的函数表达式为， ，，，且抛物线的函数表达式为， ； 解得， ； （3）略． 【点睛】本题依托二次函数实际应用，巧用顶点式求解析式，借助纵坐标差构造方程、轴对称求线段长，通过代入定值算横向跨度解决实际通行问题． 题型二：图形运动问题 解题思路 ①动点、图形平移翻转，用自变量表示运动后线段长度。 ②结合面积、勾股定理列函数关系式。 ③重点：根据运动时间，找准自变量时间的取值边界。 ④常考：求面积最大值，或者面积等于某特定值时求时间。 5．如图1，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度相等，连接．设点M运动的路程为，的面积为S，则S与x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的图象与性质．先根据，求出S与x之间函数关系式，再判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得，则， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴S与x之间的函数图象为开口向上的抛物线的一段， 当时，有最小值，最小值为6， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 6．如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的应用．结合图形得到动点P在各个拐点时S与t的值是解决本题的关键． 当点P在上时，易得，整理可得S与t的函数关系式，求得当时，t的值，即可求得当点P在点B时时，．进而根据图2中的顶点坐标为，用顶点式表示出图2中S与t的关系式，把代入可得a的值，进而取．求得t的值，得到点P在点A时面积为，进而求出t的值，则可以求得的长，根据勾股定理可得的长，则可求得的周长． 【详解】解：当点P在上时，在中，，， ． 当时，． 解得 (取正值)， ． 图2中的抛物线经过点． 由图象可知，图2中的抛物线顶点为． 设抛物线解析式为：． 将代入，得，解得：． ． 当时，， 解得或 (舍去)． ． 在中，由勾股定理得：． 的周长为． 故答案为；． 7．如图，在四边形中，，，点P，Q同时出发，点P从点B出发以的速度向点A运动，到点A停止，点Q以的速度沿A→D→C运动，到点C停止，设点P的运动时间为，的面积为， (1)求的长： (2)求S关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图1，作辅助线，构建梯形的高线，根据勾股定理可得的长； （2）分两种情况：①当时，在上，在上；②当时，在上，在上；根据三角形面积公式可得求出． 【详解】（1）解：如图1，过点D作，垂足为E． ． ∵，， ． ． ∴四边形为矩形． ，， ∴． 在中，． （2）解：当和重合时，；当和重合时，；当和重合时，； ①如图，当时．在上，在上，此时，，过点Q作于， ． 又， ． ， ． 解得． ． ②如图2，当时，在上，在上，过点Q作．此时， ． ∴四边形为矩形． ． ． 综上所述：． 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，点P在线段上沿方向以每秒的速度匀速运动，点Q在线段上沿方向以每秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)写出的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S的值最大？最大值是多少？ (2)当t为何值时，？ (3)在运动过程中，与能否相似？如果相似，求出P点位置，如果不相似，说明理由． 【答案】(1)，当时，的值最大，最大值为 (2) (3)解：能相似，理由如下： 由题意可知， 矩形中，，， ①若， 则， 解得，（舍去） 故， ， ②若， 则， ， 解得，（舍去） 故， ， 综上可知与能相似，P点位置为或． 【分析】（1）分别用t表示，，再利用三角形面积公式即可求出函数关系式，把关系式变形为顶点式，即可解答； （2）由，根据平行线分线段成比例列式计算； （3）由题意可知，分和两种情况进行讨论，利用相似比列式计算即可，注意，根据t的值确定点P的位置． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ，． 是直角三角形， ， ， 当时，的值最大，此时， 故的面积与时间之间的函数关系式为， 当时，的值最大，最大值为． （2）解：连接， ， ， ， 解得， 故当时，． （3）略． 题型三：拱桥问题 解题思路 ①建立平面直角坐标系，优先把顶点放在坐标原点或者y轴上，简化计算。 ②把桥上关键点坐标找出来，代入求抛物线解析式。 ③已知高度求宽度，或者已知宽度求高度，代入解析式计算。 ④注意：坐标数值≠实际长度，分清坐标系和实际物理量。 9．某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故选：A． 10．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意可得，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得出点的坐标即可求解，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， 设抛物线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．某市政工程修建的排水管道截面如图所示，其轮廓为抛物线的一部分，以管道底面截得的线段的中点O为坐标原点，直线为x轴，过原点的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．已知管道底面的宽，管道顶部D（抛物线顶点）距离底面的高度．为提升排水效率，需在管道内安装两层水平滤网和，上层滤网距离底面，下层滤网距离底面，滤网两端均与管道内壁贴合． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若滤网的材料价格为100元（按滤网水平长度计价，不考虑管道纵深长度），上下两层滤网单价相同，求出两层滤网的材料总费用． 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据宽可得点A与点B的坐标，再由可得点D的坐标，设出函数的顶点式代入求解即可； （2）分别求解出点E，点F，点G，点H的横坐标，再结合价格求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，点，点，点， ∵点为抛物线的顶点， 设函数的顶点式为，即， 将点代入可得，，解得， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵上层滤网距离底面， ∴令，则， 即，解得， ∴点E的横坐标为，点F的横坐标为， ∴， ∵下层滤网距离底面， ∴令，则， 即，解得， ∴点G的横坐标为，点H的横坐标为， ∴， ∴总长度为， ∵滤网的材料价格为100元，且上下两层滤网单价相同， ∴材料总费用为元． 12．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． 题型四：销售问题 解题思路 ①核心公式：总利润 = 单件利润 × 销售量 ②售价上涨/下降，分别写出变化后的单件利润、变化后的销量。 ③整理得到二次函数，开口向下顶点对应最大利润。 ④自变量范围：售价、销量必须大于0，看清题目有没有售价上限、下限。 ⑤⚠顶点不在取值区间时，最值要取端点。 13．《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题．今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹．已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，找出等量关系是解题的关键．根据题意，每日利润等于每匹利润乘以日销售量，每匹利润为售价减成本，即文；日销售量为基础销售量30匹加上因降价增加的销售量，降价额为文，因此日销售量为匹，从而求得答案． 【详解】解：设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，根据题意可知， ， 即， 故选：C． 14．某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶元，当销售单价定为元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为x（元），每天的销售量为（瓶）． （1）每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 _____； （2）销售这款“洗手液”每天的最大利润为 _____． 【答案】 360元 【分析】（1）根据销售单价每降低元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），列出函数关系式即可； （2）根据题意列出函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）解：由题意，得：； 故答案为：； （2）设每天的销售利润为w元，则有： ， ∵， ∴二次函数图象开口向下， ∵， 解得， ∴， ∴当时，w有最大值，最大值为360元． 故答案为：360元． 【点睛】本题考查一次函数及二次函数的应用．找准等量关系，正确的列出相应的函数关系式是解题的关键． 15．某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，每天房间的出租率不低于，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如下表： 客房日租金x（元） 160 170 180 190 客房出租数量y（间） 120 114 108 102 (1)观察表格中的数据，求出客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？ 【答案】(1) (2)每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高收入为19440元 【分析】（1）根据图表可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由已知表格可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间， ∴设， 把代入得， 解得：， ∴客房每天的出租数量y（间）与每间房日租金x（元）的函数关系式为， ∵每天房间的出租率不低于， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：由已知表格可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间， ∴设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间． 则， 即． ∵，且， ∴． 当时，的最大值为． 这时每间客房的日租金为（元）． 答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高为元． 16．在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现该商品每天的销售量（支）与销售单价（元支）之间存在如图所示的关系． (1)请求出与的函数关系式； (2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 【答案】(1) (2)该款电动牙刷销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大销售利润为810元； (3)当该款电动牙刷的销售单价每支不低于元，且不高于元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于 元 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天的销售利润为W元，根据每天的利润每支电动牙刷的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意可得，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 由题意得， ∴， ∴； （2）解：设每天的销售利润为W元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为810， 答：该款电动牙刷销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大销售利润为810元； （3）解：由（2）和题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解不等式组得， 解不等式组，可知该不等式组无解， 综上所述，， 答：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于元，且不高于元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于 元． 题型五：投球问题 解题思路 ①建立坐标系，篮球出手点、篮筐、最高点为关键点位。 ②代入已知点求出抛物线解析式。 ③求解：求最大高度；判断球能否投进；求落地水平距离。 ④自变量范围：从投出到落地，高度y≥0。 17．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】C 【分析】此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米． 18．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．则小明此次试投的成绩（线段的长度）是________米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据图中信息可设抛物线表达式为，再将点A坐标代入表达式中可求出a值，以此即可求出抛物线的表达式，再根据题意解方程即可解答． 【详解】解：根据图中信息可设抛物线表达式为， 由抛物线过点， 得， 解得：， ∴铅球路径所在抛物线的表达式为； 令，则， 解得：， ∵点C在x轴正半轴上， ∴， ∴米， 故答案为： 19．为弘扬伟大抗战精神，在抗日阅兵主题实践活动中，某兴趣小组模拟抗战时期的武器原理，设计了“水流导弹”演示装置（图1）．该装置发射的水流导弹运动轨迹呈抛物线形状，象征着中华民族抵御外敌的坚定轨迹．经过精准测量，水流导弹发射后，距离发射点水平距离40米时达到最大高度20米．活动场地模拟抗战时期山地战场，将“水流导弹”发射装置稳固安置在山坡底部的点处（模拟我军阵地），山坡上点处模拟敌军碉堡遗址，碉堡底部点与点的水平距离为50米，与地面的竖直距离为12米；为还原战场标识场景，在碉堡顶端设置了模拟敌军信号旗，旗帜顶端比碉堡底部高出3米．以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求水流导弹运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)判断水流导弹能否越过旗帜顶端，以此检验装置模拟打击的有效性？请说明理由； (3)若要使水流导弹恰好击中旗帜顶端（模拟精准打击目标），在抛物线形状不变的情况下，“水流导弹”发射装置应该向后移动多少米？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3)向后移动米 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是关键． （1）根据题意设设抛物线的解析式为，再把代入即可得到答案； （2）把代入解析式，可得，再进一步进行判断即可； （3）设此时抛物线的解析式为．把点代入，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，点是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 即， 解得， 水流导弹运动轨迹所在抛物线的解析式为． （2）解：能，理由如下： 由题可知，点的横坐标为50，纵坐标为， 点． 依题意，把代入解析式， 得， ∴水流导弹能越过旗帜顶端． （3）解：由（1）得， ∵水流导弹恰好击中旗帜顶端，且抛物线形状不变， ， 设“水流导弹”发射装置应该向后移动米， 此时抛物线的解析式为． 把点代入， ∴ ∴ 得． 当时，； 当时，（舍去）． “水流导弹”发射装置应该向后移动米． 20．中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 【答案】(1) (2)足球第二次落地点到点的距离为米 (3) 【分析】（1）当时，依题意得，设抛物线解析式为，代入，即可求解； （2），得出足球第一次落地点距点的距离为米，过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点，则，令，进而求得，进而求得的长； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为，代入，得出，根据题意可得点，点，分别代入解析式，求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：当时，依题意得， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）令，则， 解得（舍去）， ∴足球第一次落地点距点的距离为米， 如图， ∵弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点， ， ∴令，则， 解得， 则， ， ∴足球第二次落地点到点的距离为米； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线开口向下， ，即， ． 若球落在区域内（含点）， ，， 点，点， 当时，，解得， 当时，，解得， ． 题型六：喷水问题 解题思路 ①把喷水口放在y轴上建立坐标系，水流轨迹是抛物线。 ②喷水口、最高点、落水点是关键坐标。 ③求解析式，计算喷水最大高度、喷水的最远距离。 ④y≥0，水落到地面y=0，对应水平距离。 21．随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．喷灌器与围墙的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意，求出相应的函数解析式． 先建立平面直角坐标，再求出相应的函数解析式，再令求出的值，即可得到的值． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴ 故选：C． 22．某公园新建了一个音乐喷泉，喷泉喷出的水流呈抛物线型．如图是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于轴对称，其中左侧的喷泉可用表示． （1）请写出的函数表达式：_________． （2）这两个喷泉最高点之间的距离是________m． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求出的顶点坐标，再根据对称性求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴y轴左侧喷泉最高点坐标为 ∵两个喷泉关于轴对称， ∴轴右侧喷泉最高点坐标为， 即右侧喷泉的解析式为； ∴两个喷泉最高点之间的距离是． 故答案为:； ． 23．综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出乙组喷泉的抛物线的表达式，再令求解即可； （3）对于两组抛物线，分别令求出值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 故设抛物线表达式为 代入可得，， 解得 ∴抛物线表达式为 （2）解：由于两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为， 故设抛物线的表达式为， 代入可得， 解得或（舍去） ∴抛物线的表达式为 当时， ∴喷水管的高度为 （3）解：由题意得， 对于，当时，则， 解得； 对于，当时，则， 解得， ∴安全通道的宽度为． 24．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 题型七：增长率问题 解题思路 ①核心公式：a(1+x)2=b；a为初始量，x为增长率。 ②连续两次增长（降低），列出函数或者方程。 ③注意增长率x>0；降低率 0<x<1。 ④大多列方程求解，偶尔求最值。 25．某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的应用，设每个月增长的百分率都是，根据题意列出函数表达式即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：设每个月增长的百分率都是，依题意得：， 故选：． 26．为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系，理解在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上增长2次得到y是解题的关键． 在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上，增长2次即可得到y，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：第二个月投放单车数量， 第三个月投放单车数量． 故选A． 27．某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 【答案】，y是x的函数 【分析】根据题意可得一年后的产量是，再经过一年后的产量是，由此求解即可． 【详解】解：这种产品的原产量是，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量， 即① ①式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数． 【电锯】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍． 28．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可； （2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算． 题型八：其他问题 解题思路 ①材料、造价、车辆运输等综合实际应用题。 ②读懂题意，找准题目隐藏等量关系。 ③严格执行通用六步法，特别重视自变量实际取值。 ④求出结果之后检验，舍去无实际意义的解。 29．一次聚会共有n个人参加，参加聚会的每两个人都握一次手，则所有人握手的总次数y与n满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，握手问题，正确列出二次函数表达式是解题的关键． 每个人与其他人握手次，但每次握手被计算两次，因此总次数为，即可解答． 【详解】解：∵ 每个人握手次， ∴ 初步计算总次数为， 但每次握手被两个人各计算一次， ∴ 实际握手次数， 即 ， 故选C． 30．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 【答案】8 【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，利用顶点横坐标公式求解即可． 【详解】解：函数关系式为， ，， ∴对称轴 ， 抛物线开口向下，有最大值 当时，竖直高度达到最大值 当她与跳台边缘的水平距离为时，竖直高度达到最大值． 31．综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 【答案】(1)（） (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15 【分析】（1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解； （2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解； ②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 32．为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作水电站的模型，模型包含多个水轮发电机等组件，如图，制作一个水轮发电机需配备个铜线圈、组叶片和若干其他基础配件．已知购买一个铜线圈需元，购买一组叶片需元（其它基础配件库存充足，无需购买）． (1)现有经费元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作多少个水轮发电机？ (2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行．兴趣小组测试时发现：若同时工作的发电机不超过个，每个发电机发电功率为每秒焦耳；若超过个，每增加个发电机同时工作，每个发电机的功率每秒将减少焦耳．（总发电功率工作的发电机个数每个发电机的功率） 设同时工作的发电机有个，当时，求总发电功率（单位：焦耳秒）关于的函数关系式； 在（）的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？ 【答案】(1)； (2)；． 【分析】设兴趣小组最多能制作个水轮发电机，根据题意，得，然后解不等式即可； 当时，每个发电机每秒的发电功率，则； 分为当时和当时两种情况，然后通过二次函数的性质分别求出的最大值，再比较即可． 【详解】（1）解：设兴趣小组最多能制作个水轮发电机，根据题意，得， 解得， ∴兴趣小组最多能制作个水轮发电机； （2）解：当时，每个发电机每秒的发电功率， ∴； 当时，， ∵，， ∴时，总发电功率最大值：（焦耳秒）， 当时，最大总发电功率（焦耳秒）， ∵， ∴模型的总发电功率最大是每秒焦耳． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $