第一讲:平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质质 讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第一讲：平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质 一、平行四边形的判定与性质 1.判定（如何判断图形是不是平行四边形）： 两组对边分别平行 ⇒ 平行四边形（定义） 两组对边分别相等 ⇒ 平行四边形 一组对边平行且相等 ⇒ 平行四边形 两组对角分别相等 ⇒ 平行四边形 对角线互相平分 ⇒ 平行四边形 易错坑：一组对边平行，另一组对边相等，不能判定平行四边形（可能是等腰梯形） 2.性质（知道图形是平行四边形后，我们可以推出什么）： 对边平行且相等； 对角相等，邻角互补； 对角线互相平分（重点！过对角线交点的直线平分平行四边形面积）； 是中心对称图形，对称中心是对角线交点；不是轴对称图形 (中心对称：图形绕一个点旋转180°，旋转后的图形与原图形重合) 二、矩形的判定与性质 1.判定： 有一个角是直角的平行四边形 ⇒ 矩形（定义） 三个角是直角的四边形 ⇒ 矩形 对角线相等的平行四边形 ⇒ 矩形 易错坑：对角线相等的四边形≠矩形（例如：等腰梯形），必须先是平行四边形 2.性质（包含平行四边形全部性质，额外增加） 四个角都是直角（90°）； 对角线相等且互相平分； 中心对称，也是轴对称（2 条对称轴：对边中点连线）。 推论：直角三角形斜边中线 = 斜边的一半（由矩形对角线推导，高频考点） 三、菱形的判定与性质 1.判定 定义：一组邻边相等的平行四边形 ⇒ 菱形 四条边都相等的四边形 ⇒ 菱形 对角线互相垂直的平行四边形 ⇒ 菱形 易错坑：对角线垂直的四边形≠菱形（例如风筝形），必须先为平行四边形 2.性质（包含平行四边形全部性质，额外增加） 四条边全都相等； 对角线互相垂直平分； 对角线平分一组对角； 中心对称，轴对称（2 条对称轴：两条对角线）； 面积公式： 四、正方形的判定与性质 1.判定（多条路径，任选一条） 定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形 ⇒正方形 矩形 + 一组邻边相等 ⇒正方形 矩形 + 对角线互相垂直 ⇒正方形 菱形 + 有一个角是直角 ⇒正方形 菱形 + 对角线相等 ⇒正方形 2.性质（平行四边形 + 矩形 + 菱形全部性质） 四边相等，对边平行； 四个角都是直角； 对角线相等、互相垂直平分，对角线平分内角； 中心对称、轴对称（4 条对称轴：2 条对边中线 + 2 条对角线） 面积： 图形 边 角 对角线 平行四边形 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 互相平分 矩形 对边平行且相等 四个角 90° 互相平分且相等 菱形 四边都相等，对边平行 对角相等，邻角互补 互相垂直平分，平分内角 正方形 四边相等，对边平行 四个角 90° 垂直平分且相等，平分内角 考试高频结论（压轴常用） 1.平行四边形对角线交点：过交点任意直线平分面积（你刚才那道湿地压轴题核心） 2.矩形对角线相等，推出直角三角形斜边中线定理 3.菱形面积可以直接用对角线乘积一半 4.正方形对角线夹角 45°，大量全等、相似模型来源（半角模型、十字模型） 初三（上）—— 第一章 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 例题： 1. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，B的坐标为，点D在y轴上，则点C的坐标为___________． 2. 如图，四边形是一个正方形，是延长线上的一点，且，求的度数． 3. 如图，已知菱形，画一个矩形，使得四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形面积的2倍，并说明你画图的正确性． 4. 如图，在菱形中，将两点沿对角线分别移动到的位置，得到正方形．已知菱形的面积为，正方形的面积为，求的长． 练习： 1. 如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为． (1)求线段长； (2)连接，并求的长． 2. 如图，菱形纸片中，，将菱形沿剪开，不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应． (1)如图1，当时，、的延长线交于点． ①用表示的度数； ②如图2，当时，求证：四边形是菱形； (2)如图3，连接、，当______时，． 3. 如图，在矩形中，点O为对角线的中点，过点O作交边于点E，交边于点F，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求线段的长 4. 如图，正方形和正方形中，D在上，，，H是的中点，则长为 ． 5. 如图，正方形中，，是对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：． (2)设和的面积分别为和，若，直接写出的长． 6. 如图，在正方形中，分别在边，上取点，，使，分别作，的中垂线，垂足分别为，交于点于点，对角线分别交，于点，得轴对称图形． (1)设，则______，______（都用含的代数式表示） (2)连接，，求证：； (3)设，四边形，的面积分别为，，，当，时，求的值． 7. 如图，在中，O是边上一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角的平分线于点F，连接，，． (1)探究与之间的数量关系并加以证明； (2)当点O在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，请说明理由； (3)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形，请说明理由； (4)在（3）的基础上，当满足什么条件时，四边形是正方形？为什么？ $