专题01菱形的性质与判断精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦菱形的定义、性质与判定核心知识点，在平行四边形基础上构建特殊平行四边形知识框架，通过对比菱形与矩形、普通平行四边形的性质差异，为后续矩形、正方形学习搭建逻辑支架。 资料按10类题型分级设计，附解题思路与易错批注，如利用对角线垂直构建直角三角形计算线段长，培养学生几何直观与推理意识。课中辅助教师规范证明教学，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，提升应用能力。

专题01菱形的性质与判定精讲学案 核心立意 本节课在平行四边形的已有知识基础上，学习菱形的定义、性质与判定。菱形作为特殊平行四边形，兼具平行四边形基础特征与自身独有的边、对角线特性。通过边角、对角线的性质开展角度、线段、面积计算与几何逻辑证明，对比区分菱形、矩形、普通平行四边形的性质差异，规范菱形判定的证明书写格式，为后续矩形、正方形的系统学习搭建特殊平行四边形的知识框架，锻炼几何图形转化与逻辑推理核心能力。 一、菱形的定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 注解：菱形属于特殊平行四边形，天然具备平行四边形所有性质（对边平行、对角相等、对角线互相平分）。 二、菱形核心性质（大题证明可直接引用） 1. 边：四条边都相等，对边平行；可直接实现线段等量代换。 2. 角：对角相等，邻角互补；菱形内角不一定是直角。 3. 对角线（重中之重，高频命题点）：对角线互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形，计算优先使用该模型。 4. 对称性：既是中心对称图形（对称中心：对角线交点），又是轴对称图形；共2条对称轴，为两条对角线所在直线。 5. 面积两个公式 ① S菱形=底高（通用平行四边形面积公式） ② S菱形=对角线1对角线2（菱形、正方形专用，普通平行四边形、矩形不可直接用） 三、菱形判定（阅卷标准，两类前提务必分清） 1. 定义法（平行四边形为基础）：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2. 边判定（普通四边形直接判定）：四条边相等的四边形是菱形。 3. 对角线判定 ① 平行四边形基础：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 ② 普通四边形基础：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 教师批注：考试最容易跳步扣分：只写对角线互相垂直，直接说四边形是菱形，缺少“平分”或者缺少“已经是平行四边形”条件，直接扣分。 （课堂必强调） 1. 判定逻辑漏洞：对角线互相垂直不能直接判定普通四边形是菱形，必须要有“平分”条件，或者先证它是平行四边形。 2. 面积公式滥用：对角线乘积的一半只用于菱形、正方形，矩形、普通平行四边形不能套用。 3. 对角线性质混淆：菱形对角线互相垂直，但对角线不相等；矩形对角线相等，但不垂直，二者做好对比区分。 4. 对称轴记忆错误：菱形只有2条对称轴，不要和正方形4条对称轴混淆。 5. 证明跳步：证明菱形时，条件推导不完整，直接下菱形结论，造成步骤扣分 题型 考察方向 难度 题型一 利用菱形的性质求角度 ★★★ 题型二 利用菱形的性质求线段长 ★★★★ 题型三 利用菱形的性质求面积 ★★★ 题型四 利用菱形的性质证明 ★★★★ 题型五 添一个条件使四边形是菱形 ★★★★ 题型六 证明四边形是菱形 ★★★★★ 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 ★★★★ 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 ★★★★★ 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 ★★★★ 题型十 菱形与折叠问题 ★★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：利用菱形的性质求角度 解题思路：①运用菱形基础性质：四边相等、对角相等、邻角互补，对角线平分一组对角；②看到对角线优先识别等腰三角形，利用等边对等角推导角度；③结合三角形内角和、外角定理完成计算；④用好对角线平分内角，做角的等量代换。 1．如图，是菱形的对角线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴. 2．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，若，则___________． 【答案】63 【分析】根据菱形的性质推出，再根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：菱形， ，， ， ， ， ， ， ． 3．如图，在菱形中，点E在边上，连接、，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质得，，由等边对等角得，， 结合平行线的性质可推出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 题型二：利用菱形的性质求线段长 解题思路：①利用菱形四条边相等进行线段等量转化；②对角线互相垂直平分，将菱形分成四个全等直角三角形；③把已知边长、对角线一半放入直角三角形，用勾股定理求未知线段，再还原完整对角线长度；④结合全等三角形完成线段转移。 4．如图，在菱形中，，对角线的长为（     ） A．20 B．15 C． D．5 【答案】D 【分析】根据菱形的性质证明为等边三角形即可． 【详解】解：在菱形中，，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴． 5．如图，菱形的周长是，且，菱形的面积为，则______ ． 【答案】 【分析】由菱形的性质和周长求出菱形的边长，再由菱形的面积=底×高，即可得出的长． 【详解】解：∵菱形的周长是， ∴， ∵， ∴菱形的面积， ∴， ∴． 6．如图，菱形中，，对角线、交于点O，平分交于点E，且，菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作于点F，首先利用角平分线的性质定理得到，求出，得到，利用勾股定理求出，得到，然后利用含角直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图，过点E作于点F， ∵四边形是菱形 ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，即 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 题型三：利用菱形的性质求面积 解题思路：①灵活选用两个面积公式：S=底高、S=对角线1对角线2；②已知两条对角线，直接用对角线乘积的一半求解；③仅已知边长，需要作出高，用底乘高计算；④遇到不规则图形，分割成直角、等腰三角形，用面积和差求解。 7．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：菱形的面积为． 8．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作交于点H，若，，则菱形的面积为（     ） A．12 B．20 C．24 D．48 【答案】C 【分析】利用菱形的性质得到，根据平行线的性质推出，由此证得，根据余角的性质推出，得到，勾股定理求出，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 9．如图，在菱形中，，交于点，于点，，，则菱形的面积为_______． 【答案】 【分析】利用菱形的面积公式建立等量关系，结合勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：设菱形的边长为，则， 四边形是菱形，， ，，， 在中，由勾股定理得， ， 菱形的面积， ， 整理得， 两边平方得， 解得， ， ， 菱形的面积为. 题型四：利用菱形的性质证明 解题思路：①直接由菱形性质获取边相等、对角线互相垂直平分、对角线平分内角等条件；②证明线段相等：优先利用菱形边的性质，或构造全等三角形；③证明角相等：利用对角线平分内角、全等三角形对应角相等做代换；④书写证明步骤，条件要写全，不跳关键步骤。 10．如图，菱形的对角线与相交于点．下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在菱形中，，故A正确，不符合题意； 对角线与相互垂直平分，则，，故BD正确，不符合题意； 的大小不能确定，故C错误，符合题意． 11．如图，菱形的对角线相交于点，过点且与边，分别相交于点，．若，，则与的面积之和为_______． 【答案】6 【分析】根据菱形的性质求出，，可求出，然后证明，即，求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在菱形中，，，点是菱形内部一点，且满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称﹣最短问题，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．如图在上取一点E，使得，作，作点C关于的对称点，交于G，连接交于P，连接，此时，的值最小． 【详解】解：如图在上取一点E，使得，作，作点C关于的对称点，交于G，连接交于P，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴此时，，的值最小． 则的最小值， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 故选：D． 题型五：添一个条件使四边形是菱形 解题思路：①先看清题干给出的已知图形，分清已经是平行四边形，还是普通四边形；②若已经是平行四边形：添加一组邻边相等，或对角线互相垂直；③若是普通四边形：可添加四条边都相等，或对角线互相垂直平分；④只补充一个条件，条件必须充分，能够直接推出菱形。 13．在平行四边形中，下列条件能判定这个平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理，即可进行解答． 【详解】解：A、平行四边形中，本来就有，故选项不符合题意； B、平行四边形中，，即对角线相等，则四边形是矩形，故选项不符合题意； C、平行四边形中，，即，则四边形是矩形，故选项不符合题意； D、平行四边形中，，即对角线垂直，则四边形是菱形，故选项符合题意； 14．如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 【答案】（或或或或等） 【分析】根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进行添加条件． 【详解】解：（或） 理由如下：∵，，， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由同上； 理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 15．如图，中，点，，分别为边，，的中点，连接，，，下列条件中，能判断四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形；再根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵点，，分别为边，，的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； 当时，则垂直平分， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故C符合题意； A、B、D三个选项中的条件，结合现有条件无法证明四边形是菱形，故A、B、D不符合题意． 题型六：证明四边形是菱形 解题思路：①路径一：先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等，或者对角线互相垂直；②路径二：直接证明四边形的四条边全部相等；③路径三：证明对角线互相垂直且平分；④严禁跳步，普通四边形只写对角线互相垂直不能判定菱形；⑤规范书写推理链条，每一步要有依据。 16．在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； B、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，不能判定画框为菱形，符合题意； C、根据四边相等的四边形为菱形，能判定画框为菱形，不符合题意； D、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； 故选B． 17．如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形各边中点，，，得到的平行四边形与原四边形关系密切，因此四边形也被称为瓦里尼翁四边形．已知原四边形的对角线，瓦里尼翁平行四边形是_________．（填“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”） 【答案】菱形 【分析】利用三角形中位线的性质结合，证明即可得到结论. 【详解】解：∵点E、F、G、H分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形. 18．数学活动课上，在平行四边形中，对角线相交于点，小颖同学利用尺规按如下步骤操作：①如图，以为圆心，以长为半径画弧；②以为圆心，以长为半径画弧；两弧交于点，分别连接，．小颖认为：若，则四边形是菱形，她最直接的判定依据是（     ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．菱形的四条边相等 【答案】A 【分析】根据菱形的判定定理，即四条边相等的四边形是菱形解答即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 若，则， 由作图可得，， ∴， ∴四边形是菱形，即小颖最直接的判定依据是四条边相等的四边形是菱形． 题型七：根据菱形的性质与判定求角度 解题思路：①先完成判定，证明图形为菱形之后，才可以使用菱形角度相关性质；②利用对角线平分内角、等腰三角形等边对等角，结合三角形内角和、外角求角；③分清解题顺序：先判定，后用菱形性质计算角度，不默认图形是菱形；④结合全等做好角度等量代换。 19．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 20．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交的两边于点，；分别以，为圆心，（或）长为半径作弧，两弧相交于点（非点）；作射线，交前面弧于点，连接，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】易得所作四边形是菱形，是等腰三角形，利用菱形的性质、三角形内角和及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：由作图知，， ∴四边形是菱形，且是菱形的对角线， ∴， 由作图知， ∴， ∴． 21．如图，四边形中，，，，过点B作的平行线，过点D作的平行线，两平行线相交于点E，连接AE，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，是等边三角形，求得，，再求得，再利用等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 题型八：根据菱形的性质与判定求线段长 解题思路：①先判定四边形为菱形，得到四边相等、对角线互相垂直平分的条件；②对角线分割出直角三角形，借助勾股定理求边长、对角线；③题目存在多个特殊四边形时，传递边长等量关系；④结合全等三角形完成线段的转移与代换。 22．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得，之间的距离为，，之间的距离为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由DE=DF得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可． 【详解】解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O， 由题意知，AD//BC，AB//CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵两张纸条等宽， ∴DE=DF． ∵DE•AB=DF•BC， ∴AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 在Rt△AOD中，OA=4cm，OB=3cm， ∴AB==5cm， 故选：A． 【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键． 23．如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，先根据菱形的性质得到线段的长度以及三角形的面积，然后即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的周长为20，面积为24， ∴，， ∵分别作P点到直线、的垂线段、， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 24．菱形与3个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为a，则菱形的边长为（   ） A．2a B． C．3a D．4a 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，涉及等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，先求出正六边形的内角以及外角，可证明为等边三角形，则，然后证明四边形为菱形，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 同理可证明：四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：D． 题型九：根据菱形的性质与判定求面积 解题思路：①先判定图形是菱形，再选用对应面积公式；②已知对角线，用对角线乘积一半；已知边长与高，用底乘高；③不能直接求整体时，借助全等进行面积割补转化；④嵌套图形理清边长、对角线数量关系，再代入公式计算。 25．如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】此题考查菱形的判定与性质及勾股定理，解题关键在于掌握判定定理和作辅助线首先过点作于点，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案 【详解】解：过点作于点，于点， 根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∵在中，，即 ∴， 同理：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴ 故选： 26．如图，在的两边上分别截取，，使，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，，与相交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图过程可知，可得四边形是菱形，则，由勾股定理求得，再求得两条对角线的长，利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图过程可知， 四边形是菱形， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 27．如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，顺次连接E，G，F，H，则四边形面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线可得，，然后可得四边形是菱形，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 要使四边形的面积最大，则需满足， ∴四边形面积的最大值为． 题型十：菱形与折叠问题 解题思路：①抓住折叠核心不变量：折叠前后对应边相等、对应角相等；②设未知线段为x，其余相关线段用含x的代数式表示；③菱形自带对角线垂直，图中多出现直角三角形，列勾股定理方程求解；④结合菱形四边相等、对角相等做边角代换；⑤注意审题，部分题目存在多解情况。 28．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处，折痕为，若，则点到的距离为____________． 【答案】 【分析】过点作于点，先得出是等边三角形，则，进而可得，再设，则，利用将，，，表示出来，在中，利用勾股定理求出的值，据此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， 设，则， ∴，， 由折叠的性质得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 即点到的距离为． 29．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在上，连接，将沿折叠，使的对应线段经过点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，则，根据翻折得出，最后根据即可求解. 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，，， ∴在中，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴. 30．如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据题意可知点在以为圆心，长为半径的圆上运动，连接，由，即，，然后根据点在四边形内部（含边界），可推出当点正好落在边上时，最短，此时易证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求得． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，为定点， 点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接， ，即， ， 点在四边形内部（含边界）， 当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示， 四边形为菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， ． 解答题 1．如图，在菱形中，点分别在边上，且． (1)求证：； (2)设与交于点，则___________°． 【答案】(1)证明：四边形为菱形， ， ∵， ，即． 在和中，， ； (2)26 【分析】（1）利用即可证明； （2）利用全等三角形的性质求得，利用菱形的性质求得，再根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵菱形， ∴， ， ． 2．如图，将边长为的菱形放在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，边与轴重合，且． (1)求点的坐标； (2)求所在直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形性质和勾股定理计算即可求出的坐标． （2）由（1）可知的坐标，利用菱形边长求出的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴轴，， ∴． （2）解：由（1）可知点，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得． ∴直线的解析式为． 3．如图，已知菱形的对角线、相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）由菱形的性质得到，，结合得到，，即可得证结论； （2）根据平行四边形的性质得到，则．根据菱形的性质得到，，，从而得出，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出，得到，再根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴． 4．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在上，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形，是平行四边形的对角线， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． (2)（答案不唯一） 【分析】（1）利用平行四边形的性质“对角线互相平分”以及等量代换证明； （2）根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等”证得四边形是平行四边形，根据菱形的判定得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：当时，四边形为菱形，理由如下： 如图所示， ， 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 5．如图，中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：平行四边形， ． 又， 四边形是平行四边形． 是的平分线， ． ， ， ， ， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）先利用平行四边形的性质证明四边形是平行四边形，利用平行线的性质和角平分线的定义进一步证明，根据等角对等边得出，即可证明四边形是菱形． （2）作于点，由菱形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理得出， 由含30度直角三角形的性质得出， 由勾股定理得出，由线段的和差关系得出，最后由勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点． 四边形是菱形， ． ， ． 在中，，， ， ∴， 在中，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ， ． 6．如图，在四边形中，为上一点且，连接交于点O，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由平行加平分角可得，可得四边形是平行四边形，由已知条件即可证明； （2）设菱形的边长为，在中，利用勾股定理建立方程求出菱形的边长即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：由于四边形为菱形，故设菱形的边长为， 则，， ∵，， ∴由勾股定理得，， 即， 解得， 即， ∴四边形的面积为． 7．如图，在中，D、E分别是、的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵D、E分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． (2) 【分析】（1）根据D、E分别是、的中点，得到，，结合推出，即可证明四边形是平行四边形，再根据即可得证结论； （2）根据菱形的性质得到，，因此是等边三角形，则．过点E作于点N，则，得到，根据勾股定理求出，由菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 过点E作于点N，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在中，，为边上的一点，将沿折叠，点B的对应点为落在边上． (1)如图1，猜想四边形的形状并证明； (2)如图2，在（1）的条件下，以A为圆心，为半径画弧交于点F，若，．求的长． 【答案】(1)解：四边形为菱形，证明如下： 由折叠得，，，， 在中，， ． ， ∴四边形为菱形． (2)5 【分析】（1）根据折叠可得对应边相等，对应角相等，从而可证得四条边相等，即可判定四边形为菱形； （2）设，表示出、的长度，由四边形为菱形可得，，从而可得，，再结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点， 由题意得，，设，则． ， 由（1）得，四边形为菱形． ，， ，， 在中，， ∴，解得，（舍去）， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01菱形的性质与判定精讲学案 核心立意 本节课在平行四边形的已有知识基础上，学习菱形的定义、性质与判定。菱形作为特殊平行四边形，兼具平行四边形基础特征与自身独有的边、对角线特性。通过边角、对角线的性质开展角度、线段、面积计算与几何逻辑证明，对比区分菱形、矩形、普通平行四边形的性质差异，规范菱形判定的证明书写格式，为后续矩形、正方形的系统学习搭建特殊平行四边形的知识框架，锻炼几何图形转化与逻辑推理核心能力。 一、菱形的定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 注解：菱形属于特殊平行四边形，天然具备平行四边形所有性质（对边平行、对角相等、对角线互相平分）。 二、菱形核心性质（大题证明可直接引用） 1. 边：四条边都相等，对边平行；可直接实现线段等量代换。 2. 角：对角相等，邻角互补；菱形内角不一定是直角。 3. 对角线（重中之重，高频命题点）：对角线互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形，计算优先使用该模型。 4. 对称性：既是中心对称图形（对称中心：对角线交点），又是轴对称图形；共2条对称轴，为两条对角线所在直线。 5. 面积两个公式 ① S菱形=底高（通用平行四边形面积公式） ② S菱形=对角线1对角线2（菱形、正方形专用，普通平行四边形、矩形不可直接用） 三、菱形判定（阅卷标准，两类前提务必分清） 1. 定义法（平行四边形为基础）：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2. 边判定（普通四边形直接判定）：四条边相等的四边形是菱形。 3. 对角线判定 ① 平行四边形基础：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 ② 普通四边形基础：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 教师批注：考试最容易跳步扣分：只写对角线互相垂直，直接说四边形是菱形，缺少“平分”或者缺少“已经是平行四边形”条件，直接扣分。 （课堂必强调） 1. 判定逻辑漏洞：对角线互相垂直不能直接判定普通四边形是菱形，必须要有“平分”条件，或者先证它是平行四边形。 2. 面积公式滥用：对角线乘积的一半只用于菱形、正方形，矩形、普通平行四边形不能套用。 3. 对角线性质混淆：菱形对角线互相垂直，但对角线不相等；矩形对角线相等，但不垂直，二者做好对比区分。 4. 对称轴记忆错误：菱形只有2条对称轴，不要和正方形4条对称轴混淆。 5. 证明跳步：证明菱形时，条件推导不完整，直接下菱形结论，造成步骤扣分 题型 考察方向 难度 题型一 利用菱形的性质求角度 ★★★ 题型二 利用菱形的性质求线段长 ★★★★ 题型三 利用菱形的性质求面积 ★★★ 题型四 利用菱形的性质证明 ★★★★ 题型五 添一个条件使四边形是菱形 ★★★★ 题型六 证明四边形是菱形 ★★★★★ 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 ★★★★ 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 ★★★★★ 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 ★★★★ 题型十 菱形与折叠问题 ★★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：利用菱形的性质求角度 解题思路：①运用菱形基础性质：四边相等、对角相等、邻角互补，对角线平分一组对角；②看到对角线优先识别等腰三角形，利用等边对等角推导角度；③结合三角形内角和、外角定理完成计算；④用好对角线平分内角，做角的等量代换。 1．如图，是菱形的对角线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，若，则___________． 3．如图，在菱形中，点E在边上，连接、，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型二：利用菱形的性质求线段长 解题思路：①利用菱形四条边相等进行线段等量转化；②对角线互相垂直平分，将菱形分成四个全等直角三角形；③把已知边长、对角线一半放入直角三角形，用勾股定理求未知线段，再还原完整对角线长度；④结合全等三角形完成线段转移。 4．如图，在菱形中，，对角线的长为（     ） A．20 B．15 C． D．5 5．如图，菱形的周长是，且，菱形的面积为，则______ ． 6．如图，菱形中，，对角线、交于点O，平分交于点E，且，菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 题型三：利用菱形的性质求面积 解题思路：①灵活选用两个面积公式：S=底高、S=对角线1对角线2；②已知两条对角线，直接用对角线乘积的一半求解；③仅已知边长，需要作出高，用底乘高计算；④遇到不规则图形，分割成直角、等腰三角形，用面积和差求解。 7．中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作交于点H，若，，则菱形的面积为（     ） A．12 B．20 C．24 D．48 9．如图，在菱形中，，交于点，于点，，，则菱形的面积为_______． 题型四：利用菱形的性质证明 解题思路：①直接由菱形性质获取边相等、对角线互相垂直平分、对角线平分内角等条件；②证明线段相等：优先利用菱形边的性质，或构造全等三角形；③证明角相等：利用对角线平分内角、全等三角形对应角相等做代换；④书写证明步骤，条件要写全，不跳关键步骤。 10．如图，菱形的对角线与相交于点．下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 11．如图，菱形的对角线相交于点，过点且与边，分别相交于点，．若，，则与的面积之和为_______． 12．如图，在菱形中，，，点是菱形内部一点，且满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型五：添一个条件使四边形是菱形 解题思路：①先看清题干给出的已知图形，分清已经是平行四边形，还是普通四边形；②若已经是平行四边形：添加一组邻边相等，或对角线互相垂直；③若是普通四边形：可添加四条边都相等，或对角线互相垂直平分；④只补充一个条件，条件必须充分，能够直接推出菱形。 13．在平行四边形中，下列条件能判定这个平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 14．如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 15．如图，中，点，，分别为边，，的中点，连接，，，下列条件中，能判断四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 题型六：证明四边形是菱形 解题思路：①路径一：先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等，或者对角线互相垂直；②路径二：直接证明四边形的四条边全部相等；③路径三：证明对角线互相垂直且平分；④严禁跳步，普通四边形只写对角线互相垂直不能判定菱形；⑤规范书写推理链条，每一步要有依据。 16．在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 17．如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形各边中点，，，得到的平行四边形与原四边形关系密切，因此四边形也被称为瓦里尼翁四边形．已知原四边形的对角线，瓦里尼翁平行四边形是_________．（填“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”） 18．数学活动课上，在平行四边形中，对角线相交于点，小颖同学利用尺规按如下步骤操作：①如图，以为圆心，以长为半径画弧；②以为圆心，以长为半径画弧；两弧交于点，分别连接，．小颖认为：若，则四边形是菱形，她最直接的判定依据是（     ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．菱形的四条边相等 题型七：根据菱形的性质与判定求角度 解题思路：①先完成判定，证明图形为菱形之后，才可以使用菱形角度相关性质；②利用对角线平分内角、等腰三角形等边对等角，结合三角形内角和、外角求角；③分清解题顺序：先判定，后用菱形性质计算角度，不默认图形是菱形；④结合全等做好角度等量代换。 19．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 20．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交的两边于点，；分别以，为圆心，（或）长为半径作弧，两弧相交于点（非点）；作射线，交前面弧于点，连接，若，则的度数为________． 21．如图，四边形中，，，，过点B作的平行线，过点D作的平行线，两平行线相交于点E，连接AE，则（     ） A． B． C． D． 题型八：根据菱形的性质与判定求线段长 解题思路：①先判定四边形为菱形，得到四边相等、对角线互相垂直平分的条件；②对角线分割出直角三角形，借助勾股定理求边长、对角线；③题目存在多个特殊四边形时，传递边长等量关系；④结合全等三角形完成线段的转移与代换。 22．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得，之间的距离为，，之间的距离为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 23．如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ________． 24．菱形与3个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为a，则菱形的边长为（   ） A．2a B． C．3a D．4a 题型九：根据菱形的性质与判定求面积 解题思路：①先判定图形是菱形，再选用对应面积公式；②已知对角线，用对角线乘积一半；已知边长与高，用底乘高；③不能直接求整体时，借助全等进行面积割补转化；④嵌套图形理清边长、对角线数量关系，再代入公式计算。 25．如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 26．如图，在的两边上分别截取，，使，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，，与相交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 27．如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，顺次连接E，G，F，H，则四边形面积的最大值为_________． 题型十：菱形与折叠问题 解题思路：①抓住折叠核心不变量：折叠前后对应边相等、对应角相等；②设未知线段为x，其余相关线段用含x的代数式表示；③菱形自带对角线垂直，图中多出现直角三角形，列勾股定理方程求解；④结合菱形四边相等、对角相等做边角代换；⑤注意审题，部分题目存在多解情况。 28．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处，折痕为，若，则点到的距离为____________． 29．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在上，连接，将沿折叠，使的对应线段经过点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 30．如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（     ） A．2 B． C．4 D． 解答题 1．如图，在菱形中，点分别在边上，且． (1)求证：； (2)设与交于点，则___________°． 2．如图，将边长为的菱形放在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，边与轴重合，且． (1)求点的坐标； (2)求所在直线的函数表达式． 3．如图，已知菱形的对角线、相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求菱形的面积． 4．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在上，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 5．如图，中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 6．如图，在四边形中，为上一点且，连接交于点O，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求四边形的面积． 7．如图，在中，D、E分别是、的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 8．如图，在中，，为边上的一点，将沿折叠，点B的对应点为落在边上． (1)如图1，猜想四边形的形状并证明； (2)如图2，在（1）的条件下，以A为圆心，为半径画弧交于点F，若，．求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $