专题04一元二次方程的认识及解法知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题04一元二次方程的认识及解法知题通关讲义 知识点01：一元二次方程的定义 1.定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫做一元二次方程。 2.三个必备条件（缺一不可） 整式方程：分母不含未知数、根号内不含未知数； 只含 1 个未知数（通常用x表示）； 未知数最高次数为 2，且二次项系数不能为 0。 3.辨析对比 知识点02：一元二次方程的一般形式 1.标准形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 2.各项名称 ax2：二次项，a为二次项系数； bx：一次项，b为一次项系数； c：常数项（不含未知数）。 3.关键要求：a≠0 若a=0，方程变为bx+c=0，是一元一次方程，不再是二次方程。 4.特殊形式（一般形式的变形） 缺一次项：ax2+c=0(b=0)； 缺常数项：ax2+bx=0(c=0)； 缺一次项、常数项：ax2=0(b=0,c=0)。 5.化为一般形式步骤 去分母→去括号→移项（全部移到等号左边，右边为 0）→合并同类项，按降幂排列。 知识点03：一元二次方程的解（根） 1.概念：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 2.检验方法：把数值代入方程左右两边，若两边相等，则该数是方程的根。 3.简单应用：已知方程的根，将根代入方程，可求方程中未知参数的值。 知识点04：根据实际问题列一元二次方程（建模） 通用步骤 审题，找出题目中的等量关系； 设未知数（直接设 / 间接设）； 用含未知数的代数式表示相关量； 根据等量关系列出等式，整理得到一元二次方程。 知识点 05 直接开平方法解一元二次方程 1.非负数 a 的算术平方根为 ，平方根为 。 例如：144 的算术平方根为 =12，平方根为 =12。 2.根据 平方根的意义 直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。 例如 x2=25，解得 x=5。 一般地，对于方程 x2=p： 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1) 将方程化为 x2 = p 或(mx + n)2 = p(p 0,m 0)的形式； (2) 直接开平方化为两个一元一次方程； (3) 解两个一元一次方程得到原方程的解。 知识点 06 配方法解一元二次方程 （1）解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为 (x + a)2 = b 的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解。这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 （2）配方法解一元二次方程的一般步骤（示例） 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根。 （3）解题依据：(ab)2 = a2 2ab + b2把公式中的 a 看作未知数 x，并用 x 代替，则 (x b)2 = x2 2bx + b2 知识点07：因式分解法（最简便，优先选用） 1. 适用条件 方程整理后右边为 0，左边二次三项式能分解成两个一次因式乘积。 2. 核心原理 若 A·B=0，则 A=0 或 B=0 3. 解题步骤 （1）移项，把所有项移到左边，右侧化为 0； （2）对左边因式分解（提公因式、十字相乘、平方差）； （3）令每个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程； （4）解一次方程，得到两根。 4. 常见分解类型 提公因式：x2-3x=0 x(x-3)=0 平方差：x2-4=0 (x+2)(x-2)=0 十字相乘：x2-5x+6=0(x-2)(x-3)=0 易错提醒 不能两边同时约去含未知数的因式，容易丢根。 知识点08：公式法（通用万能解法） 1. 求根公式推导来源 由配方法对一般式配方推出 (a≠0) 2. 判别式Δ=b2−4ac（判断根的情况） Δ>0：方程有两个不相等实数根； Δ=0：方程有两个相等实数根； Δ<0：方程无实数根。 3. 公式法解题步骤 （1）先把方程整理为标准形式 ax2+bx+c=0(a≠0)； （2）确定 a、b、c，注意携带前面正负符号； （3）计算判别式Δ ，判断有无实数根； （4）Δ0 时代入求根公式计算两根。 知识点09:一元二次方程.四大方法・择优解题 知识点10:换元法（整体换元，针对高次 / 重复结构方程） 1.适用题型：方程中出现重复的代数式，形如(ax+b)2+p(ax+b)+q=0，整体重复出现，直接展开会产生四次等高次式子，计算繁琐。 2.核心思路：把重复的整体设为新未知数y，将复杂高次方程转化为标准一元二次方程，求解后再回代求原未知数。 3.完整解题步骤： ①观察方程，找出重复出现的整体，设(y=)重复代数式； ②将原方程替换为关于y的一元二次方程； ③选用因式分解 / 公式法解出y的取值； ④把y回代换元式，解关于x的一元一次方程； ⑤检验，写出原方程所有根。 4.举例：解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0 解：设y=x2+x，原方程变为y2-4y-12=0，因式分解求出y，再分情况回代求x。 5.补充说明：换元法属于转化降次的拓展方法，课本例题、课后拓展题常出现，.是中考高频简便运算技巧。 知识点11:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即 a0，含参数题目必须分类讨论。 1. 判定一元二次方程忽略二次项系数不为零的条件 提醒：一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0，必须满足a≠0}。方程含有字母参数时，不能仅依据未知数最高次数为2判定，务必检验二次项系数不等于0。 2. 整理方程移项时未改变项的符号 提醒：将方程整理为一般形式进行移项操作时，越过等号的项需要改变符号，只移动位置不更改符号属于典型错误。 3. 读取各项系数前未化为方程一般形式 提醒：读取二次项、一次项、常数项的数值前，先要把方程整理成ax2+bx+c=0的标准形式，不可直接读取原始方程中的各项系数。 4. 实际问题求解后未检验方程根的合理性 提醒：由实际情境列出的一元二次方程，求出方程的全部根之后，需要检验根是否符合实际意义，数学上的解不一定满足现实条件。 5. 方程两边直接除以含未知数的整式造成丢根 提醒：解方程不可以直接在等式两边同时除以含有未知数的整式，该操作会丢失方程的一个根；优先移项后因式分解求解。 6. 配方法解方程未先将二次项系数化为1 提醒：运用配方法解方程，如果二次项系数不等于1，先等式两边同除以二次项系数，再实施配方；配方增加的数是一次项系数一半的平方。 7. 配方法只在等式一侧添加配方常数 提醒：配方时，等式一侧加上一次项系数一半的平方，另一侧必须同步加上相同数值，保证等式两边仍然相等。 8. 使用求根公式前没有化为一般形式，系数符号代入出错 提醒：套用求根公式之前，先化成一般形式，准确确定a、b、c；b为负数时注意符号不要代入错误。 9. 因式分解法解方程错误令两个因式相等 提醒：若A·B=0，可得A=0或者B=0；不能写成A=B，不可通过使两个因式相等的方式求解方程。 10. 判别式描述根的个数表述不规范 提醒：判别式 =b2-4ac；>0，两个不相等实数根；=0，两个相等实数根；<0，无实数根；=0不能说成方程只有一个实数根。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★ 题型二 化成一元二次方程的一般式 ★ 题型三 由一元二次方程的定义求参数 ★★ 题型四 判断是否是一元二次方程的解 ★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 一元二次方程的解的估算 ★★ 题型七 直接开平方法 ★ 题型八 配方法 ★★ 题型九 配方法的应用 ★★★ 题型十 公式法解一元二次方程 ★★ 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★ 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★ 题型十三 因式分解法解一元二次方程 ★★ 题型十四 换元法解一元二次方程 ★★★ 题型十五 解分式方程 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 一元二次方程的定义 1．一元二次方程的二次项系数是________，常数项是________． 【答案】 【详解】解：方程符合一元二次方程的一般形式，对应可得：二次项系数是，常数项是． 2．下列方程为一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，符合要求； 选项B：含两个未知数，不符合； 选项C：未明确，当时不是二次方程，不符合； 选项D：分母含未知数，是分式方程，不符合． 3．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题需要同时满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个实数根要求根的判别式，求解两个不等式后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，即， 又∵方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， 综上，的取值范围是且． 题型二 化成一元二次方程的一般式 4．一元二次方程 的一次项系数和常数项分别是（     ） A．2， B．2，3 C．1，3 D．，3 【答案】D 【详解】解：一元二次方程中， 一次项为， 一次项系数为，常数项为． 5．方程化成一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将方程移项，化为一般形式为，则，，. 6．把一元二次方程化为一般形式，结果是______． 【答案】 【详解】解：利用平方差公式展开方程左侧， 得， 将所有项移到方程左侧，整理得： ． 题型三 由一元二次方程的定义求参数 7．若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义知，未知数的最高次数为2，因此令求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，解得． 故答案为：3． 8．关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，知道一元二次方程的一般形式是解决本题的关键． 由常数项为0可得，再结合一元二次方程二次项系数不为0，确定m的值即可． 【详解】解： ， ∵常数项为且常数项为0， ∴ ， 解得， 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数， 即． ∴． 故答案为：． 9．如果关于x的一元二次方程有一个解是，那么m的值是（     ） A．3 B． C． D．0或 【答案】B 【分析】把代入方程，求m的可能值，结合一元二次方程的定义解答即可 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个解是， ∴ ， 解得； ∵ 该方程是一元二次方程， ∴ ，即， ∴ ． 10．我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 题型四 判断是否是一元二次方程的解 11．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 12．已知关于的一元二次方程的解是，，则另一个关于的方程的解是_____． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 令，则整理为，由题意知，的解是，，即或，计算求解即可． 【详解】解：令， ∴整理为， ∴， ∵关于的一元二次方程的解是，， ∴的解是，， ∴或， 解得，， 故答案为：，． 13．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解决此题的关键是正确的理解方程解的定义． 由方程可以转化为，从表格中我们可以找到当或时，的值为6，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ 由表格可知，当或时，的值为6， ∴或， 故选：D 题型五 由一元二次方程的解求参数 14．若是方程的一个根，则的值为（） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， 解得． 15．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（     ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】将方程的根代入原方程得到的整体值，再代入所求式子计算. 【详解】解：将代入， 得，即， ∴ . 16．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】4 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，展开所求代数式后整体代入求值. 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，整理得， ∵， ∴将代入，原式. 17．若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】将方程的解代入方程得到，化简所求代数式后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 整理得， ∴ ． 题型六 一元二次方程的解的估算 18．由下表可知，关于x的一元二次方程的一个根的取值范围是（   ） x 5.17 5.18 5.19 5.20 0.01 0.04 0.1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，由表格可发现的值，再看对应的的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 则的一个解的取值范围为． 故选：B． 19．在确定一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，计算结果如表： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的十分位上的数字是_______． 【答案】2 【分析】方程的解对应代数式的值为时的取值，根据表格中代数式值的符号变化，确定的取值范围，即可得到十分位数字． 【详解】解：当时，， 当时，， 使的的取值范围是， 这个近似解的十分位上的数字是． 20．根据下表： 确定方程的解的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题考查了估算一元二次方程的近似解．观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，， 时，； 时，； 时，， 可得方程的解取值范围是或． 故选：D． 题型七 直接开平方法 21．方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 两边开平方得． 移项得， ∴，． 22．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】将看作整体，利用换元法结合平方差公式化简方程，根据平方的非负性舍去不符合条件的根即可得到结果． 【详解】解：设， ∵任何数的平方都是非负数， ∴， 将代入原方程得：， 根据平方差公式展开得：，整理得：， 解得或， ∵， ∴舍去，因此． 23．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 题型八 配方法 24．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程常数项移到等号右侧，在等式两边加一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 25．如图，在用配方法解一元二次方程时，有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是_______． 【答案】丁 【分析】根据配方法解方程的基本步骤，正确求解后判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 或 解得或 故丁的解答有错误． 26．用配方法解一元二次方程时，通过配方可以将其化成（，为常数）的形式，则，的值分别为（     ） A．，8 B．3，8 C．，10 D．3，10 【答案】A 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， ． 题型九 配方法的应用 27．已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是将配方后的方程展开，与原方程对比系数求的值． 先将展开为，整理成一般式，再与原方程对比，得到． 【详解】配方后得到 ， 展开得 ， 即 ， 又原方程为 ， ． 故选B 28．当______时，代数式有最______（填“大”或“小”）值为______． 【答案】 小 【分析】对代数式配方后，利用平方数的非负性判断最值，即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 29．多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 30．关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 题型十 公式法解一元二次方程 31．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 32．如图，在中，，，，D是AC上一点，且，E是BC边上一点，将沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为________． 【答案】 【分析】根据题意可知点F的运动轨迹为以D为圆心，CD长为半径的圆．即可知当B、F、D三点共线时，BF的值最小．由勾股定理可求出BC的长，设，则，在中，利用勾股定理解出x，即求出BF的最小值． 【详解】根据题意可知点F的运动轨迹为以D为圆心，CD长为半径的圆．由点F的运动轨迹可知当B、F、D三点共线时，BF的值最小，如图． ∴， 在中，． 设，则， ∴在中，，即， 解得：，（舍）． 故BF的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，圆的基本性质，勾股定理以及解一元二次方程．理解当B、F、D三点共线时，BF的值最小是解答本题的关键． 33．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 【答案】B 【分析】解方程求出或，根据方程根的定义得出，，则整体代入可求出，然后把m、n的值分别代入求解即可. 【详解】解：解方程得，， ∵m，n是方程的两根， ∴或， ∵m，n是方程的两根， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ ， 当时， 原式 ， 当时， 原式 ， 综上，代数式的值为58. 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 34．已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（     ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】计算一元二次方程根的判别式，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 35．已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】由数轴可得，且，则，，再求出，即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得：，且， ∴，， ∴， ∴这个方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 36．已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用求根公式可得，．同理可得：，．再结合和比较大小即可． 【详解】解：将方程整理为． 由求根公式得． ∵， ∴，． 同理，方程的根为． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即． 又∵， ∴． 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 37．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 38．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，方程有两个不相等实数根时判别式大于，分别求解不等式得到的范围． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 计算得， 化简得， 解得． 综上，的取值范围是且． 39．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式大于0两个条件求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 题型十三 因式分解法解一元二次方程 40．方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解法解一元二次方程的方法解答即可. 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴方程的根是，. 41．定义一种新运算，规定：，如：，则方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照新运算规则将方程转化为常规一元二次方程，再用因式分解法求解即可． 【详解】根据题意得，， 原方程可化为， ， 或， 解得，． 42．已知矩形，对角线，相交于点．若，的长是关于的方程的两个根，则的长为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出，，即可得出有两个相等的实数根，利用根的判别式求出的值，进而求出的长，最后根据矩形对角线相等即可求出的长． 【详解】解：∵矩形，对角线，相交于点， ∴，， ∵，的长是关于的方程的两个根， ∴有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得，即， ∴． 题型十四 换元法解一元二次方程 43．已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及换元法求方程的解，熟练掌握换元法求方程的解是解题的关键． 令，即可得出，，计算求解即可． 【详解】解：令， 即， ∵方程的解是，， ∴，， ∴或， 解得，， 故选：A． 44．一元二次方程（）两根分别为1，，则方程（）的两根分别为_________． 【答案】 ， 【分析】将新方程中的看作整体，对应原一元二次方程中的，根据原方程的根即可求出新方程的根． 【详解】解： 一元二次方程的两根分别为和， 方程中，或， 解得或． 45．关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查换元法求一元二次方程的解，令，对于关于的一元二次方程的解为，，则或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：∵方程（m，h，k均为常数，）的解是，， 令， ∴对于关于的一元二次方程的解为，， 即或， 即，， ∴关于的一元二次方程的解是，． 故选：C． 题型十五 解分式方程 46．解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 47．在分式方程中，令，则原方程可化为关于y的整式方程是______________． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据换元法将分式方程化为整式方程，即可求解． 【详解】解：分式方程变形得： 根据，得到 分式方程整理得： ， 整理得：， 故答案为：． 48．下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式方程求解方法，平方的非负性，算术平方根的非负性和分式的性质，逐个判断即可得到结果． 【详解】解：A．， 去分母得，， 整理得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程有实数解； B．变形得， ∵任意实数的平方满足，不可能等于， ∴该方程无实数解； C．方程， ∵分子，分母，分式的值不可能为， ∴该方程无实数解； D．方程变形得， ∵任意实数的算术平方根满足，不可能等于， ∴该方程无实数解． 解答题 1．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得：， （2）解： 解得：， （3）解： 或 解得：， （4）解： 或 解得：， 2．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)原方程无实数解 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， 两边同乘去分母得， 展开得， 整理得， ∵， ∴整式方程无实数解， 综上所述，原方程无实数解． 3．请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程（）有一个实数根为，求方程的一个实数根． 【答案】(1)所求一元二次方程为 (2)方程的一个实数根为 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入得到； 化简得； （2）解：关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ， 两边同除得， 移项得， 对比方程可知，当时，等式成立， 的一个实数根为． 4．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该一元二次方程的一个根，求的值； (2)判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由； (3)若的两边，的长是该一元二次方程的两个实数根，当为何值时，是菱形？求此时菱形的边长． 【答案】(1) (2)解：该一元二次方程总有两个实数根，理由如下： ∵关于的一元二次方程（为常数）， ∴，，， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根． (3)当时，是菱形，此时菱形的边长为 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）根据一元二次方程根情况的判别式求解即可； （3）由菱形的性质得，可知该一元二次方程有两个相等实数根，即，进而可求出的值，再把的值代入方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵是该一元二次方程的一个根， ∴把代入方程得：， 解得：． （2）略 （3）解：若是菱形，则， ∵，的长是该一元二次方程的两个实数根， ∴， 解得：， 把代入方程得：，即， 解得：， ∴此时菱形的边长为2． 5．如图，四边形是证明勾股定理时用到的图形，是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)写出一个“勾系一元二次方程”： (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且的面积是，求四边形的周长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）根据一元二次方程的根的定义，得到，由三角形面积公式，得到，再结合勾股定理，得出，，即可求出四边形的周长． 【详解】（1）解：3、4、5为勾股数， 令，，， 写出一个“勾系一元二次方程”为； （2）解：是“勾系一元二次方程”的一个根， ， ， 的面积是25， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， ， 四边形的周长为：． 6．【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： (1)将配方成的形式为：_________________________； (2)利用配方法分解因式：_________________________； (3)多项式的最小值为_________________________； (4)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 【答案】(1) (2) (3)2026 (4)8 【分析】本题主要考查配方法及因式分解，解题的关键是理解题意； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据配方法进行因式分解即可； （3）先对代数式进行配方，然后再根据偶次幂的非负性进行求解即可； （4）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：； ∴将配方成的形式为：； （2）解：； （3）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为2026； （4）解：如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形面积有最大值，最大值为8． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题04一元二次方程的认识及解法知题通关讲义 知识梳理 知识点01：一元二次方程的定义 1.定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元 二次方程。 2.三个必备条件（缺一不可） 整式方程：分母不含未知数、根号内不含未知数： 只含1个未知数（通常用×表示）； 未知数最高次数为2，且二次项系数不能为0。 3.辨析对比 方程类型 核心判定条件 标准形式 核心区别 ①整式方程；②只含1个未知数： 元二次 未知数最高次数 ③未知数最高次数2；④二次项系ax2+bx+c=0(a≠0) 方程 为2 数≠0 次 ①整式方程；②只含1个未知数： 未知数最高次数 ax+b=0(a≠0) 方程 ③未知数最高次数1 为1 二元 次 ①整式方程；②含有两个未知数： 存在两个不同未 ax+by+c=0 方程 ③未知数次数均为1 知数 知识点02：一元二次方程的一般形式 1.标准形式：ax2+bx+c=0(a≠0) 2.各项名称 试卷第1页（共3页） ax2:二次项，a为二次项系数： bx:一次项，b为一次项系数： C:常数项（不含未知数）。 3.关键要求：a≠0 若ā=0，方程变为bx+c=0,是一元一次方程，不再是二次方程。 4.特殊形式（一般形式的变形） 缺一次项：ax2+c=0(b=0): 缺常数项：ax2+bx=0(c=0): 缺一次项、常数项：ax2=0(b=0,c=0)。 5.化为一般形式步骤 去分母→去括号→移项（全部移到等号左边，右边为0）→合并同类 项，按降幂排列。 知识点03：一元二次方程的解（根） 1概念：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方 程的解，也叫根。 2检验方法：把数值代入方程左右两边，若两边相等，则该数是方程的 根。 3.简单应用：已知方程的根，将根代入方程，可求方程中未知参数的 值。 试卷第2页（共3页） 知识点04：根据实际问题列一元二次方程（建模） 通用步骤 审题，找出题目中的等量关系： 设未知数（直接设/间接设）： 用含未知数的代数式表示相关量： 根据等量关系列出等式，整理得到一元二次方程。 知识点05直接开平方法解一元二次方程 1.非负数a的算术平方根为Va,平方根为±a 。 例如：144的算术平方根为V144=12,平方根为±V144=±12。 2根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接 开平方法。 例如2=25，解得X=±5。 般地，对于方程2=p: 方程有两个不等的实数根x1=厅 p>0 X2= p=0 方程有两个相等的实数根x1=x2=0 p<0 方程无实数根 3.直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为x2=p或(mx+n)2=p(p≥0，m≠0)的形式： 试卷第3页（共3页） (2)直接开平方化为两个一元一次方程： (3)解两个一元一次方程得到原方程的解。 知识点06配方法解一元二次方程 (1)解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有 未知数的完全平方式，即将方程化为(x+)2=b的形式，如果右边是一 个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解。这种通过配成完全 平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 (2)配方法解一元二次方程的一般步骤（示例） 般步骤 方法 实例(9y2-18y-4=0) 移项 将常数项移到方程的右边，含 未知数的项移到方程的左边 9y2-18y=4 方程左、右两边同时除以二次 二化 二次项系数化为1 项系数 y2-2y= y2-2y+1=号+1 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次 项系数一半的平方 即y-)2=号 利用平方根的意义直接开平 四开 开平方 方 -小± =1+ 五解 得出两个根 移项，合并同类项 y,=1-四 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正 数，那么这个方程就有两个不相等的实数根：如果另一边是零，那么这 个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没 试卷第4页（共3页） 有实数根。 (3)解题依据：(ab2=a22ab+b2把公式中的a看作未知数×，并 用×代替，则(x±b)2=x2±2bx+b2 知识点07：因式分解法（最简便，优先选用） 1.适用条件 方程整理后右边为0，左边二次三项式能分解成两个一次因式乘积。 2.核心原理 若AB=0,则A=0或B=0 3.解题步骤 (1)移项，把所有项移到左边，右侧化为0： (2)对左边因式分解（提公因式、十字相乘、平方差）： (3)令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程： (4)解一次方程，得到两根。 4.常见分解类型 提公因式：x23x=0=xx-3)=0 平方差：x2-4=0一(x+2)x-2)=0 十字相乘：×2-5x+6=0一(x-2(x3)=0 易错提醒 不能两边同时约去含未知数的因式，容易丢根。 试卷第5页（共3页） 知识点08：公式法（通用万能解法） 1.求根公式推导来源 由配方法对一般式配方推出X=b±D-4@c0 2a 2.判别式△=b2-4ac(判断根的情况) △>0：方程有两个不相等实数根： △=0：方程有两个相等实数根： △<0：方程无实数根。 3.公式法解题步骤 (1)先把方程整理为标准形式ax2+bx+c=0(a0): (2)确定a、b、c,注意携带前面正负符号： (3)计算判别式△，判断有无实数根： (4)△≥0时代入求根公式计算两根。 知识点09：一元二次方程.四大方法·择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方 不含一次项、平方式等直接对等式两边开平方，注意正 法 于常数 令 最简单 因式分解法 方程易分解为两个整 式乘积形式 移项整理为乘积为0，分别求根 计算快 配方法 所有一元二次方程通 用 配方转化为完全平方式，再开方 步骤多 公式法 所有一元二次方程通 用 套用固定求根公式，代入计算 万能法 试卷第6页（共3页） 知识点10：换元法（整体换元，针对高次/重复结构方程） 1.适用题型：方程中出现重复的代数式，形如(ax+b)2+p(ax+b)+q=0,整体 重复出现，直接展开会产生四次等高次式子，计算繁琐。 2核心思路：把重复的整体设为新未知数y,将复杂高次方程转化为标准 一元二次方程，求解后再回代求原未知数。 3.完整解题步骤： ①观察方程，找出重复出现的整体，设(y=)重复代数式： ②将原方程替换为关于y的一元二次方程； ③选用因式分解/公式法解出y的取值； ④把y回代换元式，解关于×的一元一次方程： ⑤检验，写出原方程所 有根。 4.举例：解方程x2+x2-4(x2+x-12=0 解：设y=x2+x,原方程变为y24y-12=0,因式分解求出Y,再分情况回代 求x。 5补充说明：换元法属于转化降次的拓展方法，课本例题、课后拓展题 常出现，·是中考高频简便运算技巧。 知识点11：一元二次方程根的判别试引秒判根的个数·必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0》，把△=b2-4ac叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b2-4ac) 试卷第7页（共3页） △>0： 两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即a0,含参数题 目必须分类讨论。 高频易错点 1.判定一元二次方程忽略二次项系数不为零的条件 提醒： 元二次方程一般形式ax+bx+c0,必须满足a≠0}。方程含有字 母参数时，不能仅依据未知数最高次数为2判定，务必检验二次项系数 不等于0。 2. 整理方程移项时未改变项的符号 提醒：将方程整理为一般形式进行移项操作时，越过等号的项需要改变 符号，只移动位置不更改符号属于典型错误。 3.读取各项系数前未化为方程一般形式 提醒：读取二次项、一次项、常数项的数值前，先要把方程整理成 ax+bx+c一0的标准形式，不可直接读取原始方程中的各项系数。 4. 实际问题求解后未检验方程根的合理性 提醒：由实际情境列出的一元二次方程，求出方程的全部根之后，需要 检验根是否符合实际意义，数学上的解不一定满足现实条件。 试卷第8页（共3页） 5.方程两边直接除以含未知数的整式造成丢根 提醒：解方程不可以直接在等式两边同时除以含有未知数的整式，该操 作会丢失方程的一个根；优先移项后因式分解求解。 6.配方法解方程未先将二次项系数化为1 提醒：运用配方法解方程，如果二次项系数不等于1，先等式两边同除以 二次项系数，再实施配方：配方增加的数是一次项系数一半的平方。 7. 配方法只在等式一侧添加配方常数 提醒：配方时，等式一侧加上一次项系数一半的平方，另一侧必须同步 加上相同数值，保证等式两边仍然相等。 8.使用求根公式前没有化为一般形式，系数符号代入出错 提醛：套用求根公式xb士D4匹之前，先化成一般形式，准确确定 2a a、b、c:b为负数时注意符号不要代入错误。 9.因式分解法解方程错误令两个因式相等 提醒：若A·B0,可得A0或者B0:不能写成A=B,不可通过使两个 因式相等的方式求解方程。 10.判别式描述根的个数表述不规范 提醒：判别式△=b2-4ac;△>0，两个不相等实数根：△0，两个相等实数 根：△<0，无实数根；△=0不能说成方程只有一个实数根。 题型通关 题型 考察方向 难度 试卷第9页（共3页） ★ 题型一 一元二次方程的定义 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 由一元二次方程的定义求参数 题型四 判断是否是一元二次方程的解 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 一元二次方程的解的估算 题型七 直接开平方法 配方法 ★★ 题型八 ★★★ 题型九 配方法的应用 ★★ 题型十 公式法解一元二次方程 ★★ 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★★ 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★ 题型十三 因式分解法解一元二次方程 ★★★ 题型十四 换元法解一元二次方程 ★★★ 题型十五 解分式方程 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题女★★★★压轴 4 分题型精讲 试卷第10页（共3页) 题型一一元二次方程的定义 1.一元二次方程2x-7x+3=0的二次项系数是 常数项是 2.下列方程为一元二次方程的是（) A.x2+2x-3=0 B.22-y+5=0 C.ax2+bx+c=0 D.4x2-1+7=0 m-2)x2+3x+1=0 3.关于x的一元二次方程 有两个实数根，则”的取值范围是（) A.ms 4且m≠0B.m≤☑ -4 C.2<ms17 D.ms1 4 且m≠2 题型二化成一元二次方程的一般式 4.一元二次方程2x-x+3=0的一次项系数和常数项分别是() A.2,-3 B.2,3 C.1,3 D.-1,3 5.方程2x2+x=5化成一般形式后，其二次项系数a、一次项系数b、常数项C的值分别是 () A.a=2,b=1,c=5 B.a=2,b=1,c=-5 C.a=1,b=2,c=5 D.a=2,b=-5,c=1 6,把一元二次方程-2x+2)=5x, 化为一般形式，结果是一 题型三由一元二次方程的定义求参数 7.若xm-x-5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为一 8.关于*的一元=次方程(m-4)r-3x+m2=16」 的常数项为0，则m的值是一。 9.如果关于x的一元二次方程m-3引r+3+m-3=0 有一个解是x=0,那么m的值是 试卷第11页（共3页） () A.3 B.-3 C.±3 D.0或-3 10,我们将关于的一元二次方程4(-m+n=0与”（任-m广+n=0称为“同构二次方 程”.比如2(x-2-4=0与3(x-2-4=0就是“同构二次方程”.已知两个关于x的 一元二次方程2x--1=0与（a+1r+(b-2)x-2=0 是“同构二次方程”，则4，b的值分 别为() A.1,-1 B.-1,2 C.-2,4 D.-2,0 题型四判断是否是一元二次方程的解 1.已知关于产的一元二次方程“+c+0=000),若9如+3功+e=0,则它的一个根是 () A.x=3 B= C.x=-3 D 12,已知关于产的元二次方程“+-c=0的解是，6-之 ，则另一个关于x的 方程a(r+3+b(x+3)=c 的解是一· 13.列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种 可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：x2-a心-6=0的解 是() -2 -1 0 2 3 x2-ax 6 00 26 A.x=-2 B.x=3 C.x=2 D.x=-2 或x=3 试卷第12页（共3页) 题型五由一元二次方程的解求参数 4.若= 是方程少+m-3=0 一个根，则m的值为() A.-3 B.3 C.2 D.-2 15.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根是x=-1,则1-a+b的值是() A.4 B.-4 C.6 D.6 16,已知"是一元二次方程r-4x-1=0的一个根，则代数式伽-(m-3》的值为 2(a+b)-3b 17.若-2是关于x的方程a2+bx+2=0的一个解，则代数式4a2-4ab+b2的值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 题型六一元二次方程的解的估算 18.由下表可知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根的取值范围是() 5.17 5.18 5.19 5.20 ax2+bx+c -0.03 0.01 0.04 0.1 A. 5<x<5.17 B.5.17<x<5.18 C.5.18<x<5.19 D.5.19<x<5.20 19.在确定一元二次方程x2+2x-4=0的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，计算 结果如表： 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+2x-4 -0.59 -0.16 0.29 0.76 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解.这个近似解的十分位上的数字是 20.根据下表： 6 试卷第13页（共3页） x2-bx-5 135-1 -1 5 13 确定方程x2-br-5=0的解的取值范围是() A.-1<x<5 B.-2<x<-1或5<x<6 C.-3<x<-2或5<x<6 D.-2<x<-1或4<x<5 题型七直接开平方法 21.方程(+=9的解是（) A=3,5=-3 B.=4,=-4 C.=2,5=-4 D.=2,6=-3 2.已知（女++3c+B-3到-16=0，则d2+8的值为 23.若关于x的一元二次方程x-m(x-m)= 的解也是r-3=b(a≠0)的解，则m 与n满足的数量关系为() A.m+n=3 B.m+n=6 C.m+n=6a D.m+n=6b 题型八配方法 24.用配方法解一元二次方程x-6x-5=0,下列配方正确的是() A.(x+3)}2=4 B.(x-3}=9 C.(-3=14D(x+3}=14 25.如图，在用配方法解一元二次方程时，有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同 学是 原方程 甲 乙 丙 x2-2x-8=0 x2-2x=8 x2-2x+1=8+1 (x-1)2=9 X=4 26。用配方法解一元二次方程-6x+1=0时，通过配方可以将其化成x+m=”(m, n为常数)的形式，则m,n的值分别为() 试卷第14页（共3页) A.-3,8 B.3,8 C.-3,10 D.3,10 题型九配方法的应用 27.已知关于*的一元二次方程+2x+c=0配方后得到x+=4 ,则C的值为() A.-1 B.-3 C.-4 D.4 28.当x=时，代数式3x2+6x-5有最一（填“大”或“小”）值为一 2+y2+4x-2y+8 29.多项式 的最小值为() A.-2 B.1 C.3 D.2 30.关于x的一元二次方程的新定义：若关于x的一元二次方程：4x-m+n=0与 a2(x-m)'+n=0 (x-3)2+4=03x-3)}2+4=0 ,称为“同族二次方程”如 与 就是“同族二次方 程”~现有关于x的一元二次方程：2x-+1=0与(a+2)r+(b-4)x+8=0 是“同族二次 方程”·那么代数式ax2+bx+2031能取的最小值是() A.2026 B.2023 C.2028 D.2025 题型十公式法解一元二次方程 -5±V52+4x3x1 31.用公式法解一个一元二次方程的根为 2×3 ，则此方程的二次项系数、 一次项系数、常数项分别为() A.3,5,-1 B.-3,-5,1 C.3,-5,1 D.-3,5 ,-1 32.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,AB=10,D是AC上一点，且CD=2,E是 BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF,则BF的最小值为 试卷第15页（共3页） A F E B 38.己知m,n是方程2-4红+2=0的两根，则代数式2m㎡+5r-16 4的值是() A.57 B.58 c.59 D.60 题型十一根据判别式判断一元二次方程根的情况 34.已知关于x的一元二次方程x2+3x-2=0,下列说法正确的是() A,方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 35.已知关于x的一元二次方程 x2+(m+n)x+mn=0 ,其中m、”在数轴上的对应点如图 所示，则这个方程的根的情况是 0 m 36,已知m>n>-9,若关于*的方程产+6x=m的解为，(：<），关于的方程 r+6x=n的解为，：<) 则下列结论正确的是() A x3<x<x2<x4 B.<为<龙<3 C.<名<< D.<<出<为 题型十二根据一元二次方程根的情况求参数 试卷第16页（共3页） 37.已知关于x的一元二次方程x2-cx+4=0有两个相等的实数根，则k的值为(） A.k=1 B.k=-1 C.k=1 D.k=4 38关于x的-元二次方程m+1)x+2x-1= 有两个不相等的实数根，则m的取值范围 是 a2-2(k+1)x+k=0 39.若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范 围是() A.k>-1 2 B.k>2且k+0 1 C.k2-2且k+0 D.k>-1且k≠0 题型十三因式分解法解一元二次方程 40.方程x(x+2)=0的根是() A=5=0 B.=5=-2 C.=05=2 D.=0,龙=-2 41.定义一种新运算※，规定：※b=b-b2,如：1※3=1×3-32=3-9=6，则方程 2※x=0的解为() A.x=-2 B.=0为=2 C.x=05=-2 D.x=1为=2 42.已知矩形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若AO,CO的长是关于x的方程 x2+2(m-1)x+m2+11=0 的两个根，则BD的长为一 试卷第17页（共3页） 题型十四换元法解一元二次方程 43.已知方程+c+c=0的解是=4，名=-5， a(x+l)2+b(x+)+c=0 ,则方程 的解 是() A.=35=-6 B.X=5为=4 C.x=5与=6 D.=-3为=6 4.一元二次方程(x+m+n=0(a≠0)两根分别为1，-1，则方程 a(x+m-2+n=0(a≠0)的两根分别为 45.关于x的方程m(x+h+k=0(m,么，k均为常数，m≠0)的解是5=-3，名=5 则方程m(2x+h-妒+k=0。 的解是() A.=-25=4 B=-2五=6 C.=15=3 D.=-2为=3 题型十五解分式方程 6解+2-0 xy,那么原方程可化为（） A5=-1 B.3y2+y+8=0 c.3+y-4=0D.3y+y=0 x2-1,3x 4在分式方程x1中，之 一十 =4 x,则原方程可化为关于y的整式方程是 试卷第18页（共3页） 48.下列方程中，有实数解的是() A.1 1 B.x2+1=0 C.x+=0 D. √x+1=0 解答题 1.用适当的方法解下列方程： r2-8r-1=0 2②22-4x-5=0 3)6r-2y2=2x-4 ④0-1少+2y1-y)=0 2.计算 @5-2-a-31a+[9 x+2 1x-3 (2)x2-6x+93-xx+2 x+5+6-3 (3)x(x+1)1-xx 3.请阅读下列材料： 已知方程x2+x-3=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解：设所求方程的根为，则y=2x,所以=， 试卷第19页（共3页） 化简，得广+2y-12=0 2+2y-12=0 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”， (1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数.、 (2)关于x的一元二次方程ar2+bx=c(ac≠0)有一个实数根为2025，求方程cx2+bx=a 的一个实数根. 4.已知关于x的一元二次方程x2-2mx+4m-4=0(m为常数). (1)若x=1是该一元二次方程的一个根，求m的值： (2)判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由： (3)若ABCD的两边AB,AD的长是该一元二次方程的两个实数根，当m为何值时， ABCD是菱形？求此时菱形的边长. 5.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的图形，a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED的 AE =2c 边长，易知 这时我们把关于的形如9 ax2+2cx+b=0 的一元二次方程称为 “勾系一元二次方程” √2c Q Bb D (1)写出一个“勾系一元二次方程”： (②活是“勾系一元二次方程+2©r+h=0的一个根，且△1BC的面积是25，求四 25 边形ACDE的周长. 6.【课内链接】 2±2ab+b2=(a±b)2 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)变形成局部 试卷第20页（共3页） a(x+m)2+n 为完全平方式与一个常数的和的形式： ，我们把这样的变形方法叫做多项式 am2+bx+ca≠0 )的配方法.配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对 一些多项式进行“因式分解”与“求最值”， 【理解新知】 配方法的应用.例如： )将-3x+1 a(x+m)+n 方成 的形式为： (2)利用配方法分解因式：a2-12a+32= (3)多项式3x2+12x+2038的最小值为 (4)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD.若AC+BD=8,则四边形ABCD面积的最大值 为 B 试卷第21页（共3页）