专题13概率的进一步认识精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“概率的进一步认识”，在简单概率基础上，系统梳理两步及多步随机事件概率计算，涵盖列表法、树状图法等列举方法，重点区分放回与不放回试验，明确频率与概率的联系及区别，构建从古典概型到实际应用的学习支架。 资料通过10类分层题型（含基础到综合难度）、易错点提示及解题思路指导，结合摸球、转盘等生活实例，培养学生抽象能力、推理意识与数据观念，课中助力教师高效授课，课后帮助学生强化练习，弥补知识盲点。

专题13概率的进一步认识精讲学案 课堂核心立意 本章在简单概率基础上，深化两步、多步随机事件的概率计算。学会用列表、树状图完整列举所有等可能结果，重点区分放回与不放回试验；理解频率的稳定性，分清频率与概率的联系和区别，会用大量重复试验的频率估计概率。能够利用概率判断游戏公平性，建立数据分析与随机观念，会用概率知识解决生活实际问题。 列举法求概率（树状图、列表法） 适用条件： 试验结果有限，每一种结果发生的可能性相等，属于古典概型。概率计算公式：P(A)=。 列表法： 适合两步试验，把两次试验结果分别写在行、列中，表格内为组合结果，做到不重复、不遗漏。 树状图法： 两步、三步及以上多步试验都可以使用，按照试验顺序分层写出每一步全部结果。 放回与不放回试验（本章重难点） 放回试验：每次抽取后物体放回，前后两次可选的总数量不变； 不放回试验：抽取之后不再放回，下一次总数量减少，总结果数发生改变。摸球、抽卡片题型必须看清条件。 游戏公平性判断： 计算游戏各方获胜的概率，概率相等则游戏公平；概率不相等则不公平，可依据概率修改游戏规则。 常见模型：配紫色游戏、转盘、掷硬币、掷骰子、抽卡片、摸球。 频率与概率区别： 频率是试验实际统计出来的数据，少量试验下频率存在波动；概率是事件本身固有的理论常数。 核心规律： 只有大量重复试验时，事件发生的频率才会稳定在对应概率的附近，此时可以用稳定的频率估计概率。 使用场景： 无法列举全部等可能结果的事件，比如掷图钉；也可以用来估算总体数量，如估计池塘鱼的数量。  不能用少量几次试验的频率直接当做事件的概率。 ①审题忽略放回、不放回条件，总结果数算错，直接造成概率计算错误。 ②列表法只适合两步试验，三步及以上试验不要使用列表，应当选用树状图。 ③列举结果时出现重复、遗漏，或者忽略事件的先后顺序。 ④混淆频率和概率，误认为做几次试验得到的频率就是概率，记住只有试验次数足够多，频率才趋近概率。 ⑤判断游戏公平，只凭主观感觉，不计算双方获胜的概率。 ⑥用频率估计总体时，样本数量太少，样本不具备代表性。 ⑦计算概率时分母、分子写颠倒，结果没有化成最简分数。 题型 考察方向 难度 题型一 几何概率 ★★ 题型二 列举法求概率 ★★ 题型三 列表法或树状图法求概率 ★★★ 题型四 游戏的公平性 ★★★ 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 ★★★ 题型六 概率在转盘抽奖中的应用 ★★★ 题型七 概率在比赛中的应用 ★★★★ 题型八 求某事件的频率 ★ 题型九 由频率估计概率 ★★ 题型十 用频率估计概率的综合应用 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★综合 题型一： 几何概率 解题思路： ①判断试验是否属于几何概型：结果是连续无限的，利用长度、面积、角度比求概率； ②P(A)=； ③转盘题重点确认各个区域面积是否相等，不等不能直接数份数； ④常和配紫色结合，再搭配列表/树状图计算。 1．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针指在阴影部分内（指针指在分界线上时重转）的概率为（     ） A． B． C． D． 2．汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 3．在如图所示三个半径分别为、和的同心圆组成的图形中随机撒一把豆子，计算豆子落在A，B，C（B，C为环形区域）三个区域中的概率．把“在图形中随机撒豆子”作为实验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率的值为（     ） A． B． C． D． 题型二：列举法求概率 解题思路： ①确认满足古典概型：所有结果等可能； ②把全部等可能结果一一列举，做到不重不漏； ③数出事件A包含的结果数量； ④代入公式：P(A)=计算概率； ⑤适合结果数量较少的两步试验。 4．剪纸是我国传统文化中的一块瑰宝，春节来临之际，某校开展了“剪纸迎春”活动．现有两张“福”字剪纸和一张“春”字剪纸，将它们分别放入完全相同的三个信封中．小华从中随机抽取两个信封，则恰好抽到放有一张“福”字和一张“春”字的信封的概率为_________． 5．某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个大小相同质地均匀的小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额之和小于50元的概率是（     ） A． B． C． D． 6．“冰裂纹”“云头纹”“方胜纹”“浪花纹”是中国传统建筑常见的吉祥装饰纹样，寓意绵延不断、祥瑞圆满．现有工匠需要为一座亭子的栏杆雕刻纹饰，计划从这四种纹样中随机选用两种，其中包含“方胜纹”的概率为__________． 7．为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形试验田分成A，B，C，D四部分给学生种白菜，茄子，辣椒，毛豆四种蔬菜（如表所示），每部分试验田只能种一种蔬菜，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（     ） A B C D A． B． C． D． 题型三：列表法或树状图法求概率 解题思路： ①读题分清是放回还是不放回试验； ②两步试验：优先列表；两步以上，只能用树状图； ③按顺序写出每一步全部可能结果，完整罗列所有组合； ④统计总结果数与目标事件结果数； ⑤代入公式算概率； ⑥不放回试验注意：第二次总样本数量要减少。 8．从红、黄、蓝三顶不同的帽子和黑、白两条不同的围巾中，任取一顶帽子和一条围巾搭配，恰好取到红帽子和白围巾的概率是（     ） A． B． C． D． 9．航天主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”四个航天工程中，随机选一个主题进行介绍，班长制作了正面印有此四种航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这张卡片背面向上，洗匀，放好．若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请求出两人介绍的航天工程主题相同的概率________． A．嫦娥探月    B．天问探火 C．北斗组网    D．神舟飞天 10．某设备的电路图如图所示，随机闭合三个开关，，中的两个，则灯泡亮的概率为______． 11．从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 题型四：游戏的公平性 解题思路： ①分别算出游戏双方获胜的理论概率； ②比较双方概率大小； ③概率相等→游戏公平；概率不相等→游戏不公平； ④若不公平，根据概率给出合理修改游戏规则的方案。 12．娜娜和欣欣玩掷骰子游戏，骰子各面上的数字分别是1、2、3、4、5、6，下面（　　）游戏规则是公平的． A．上面是质数娜娜胜，上面是合数欣欣胜 B．上面是偶数娜娜胜，上面是奇数欣欣胜 C．上面的数小于3娜娜胜，上面的数大于3欣欣胜 D．上面的数小于4娜娜胜，上面的数大于4欣欣胜 13．小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（　　） A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定 14．在课后服务时间，甲乙两班进行篮球比赛，在选择比赛场地时，裁判员采用了同时掷两枚完全相同硬币的方法：如果两枚硬币朝上的面不同，则甲班优先选择场地；否则乙班优先选择场地．这种选择场地的方法对两个班级___________（填“公平”或“不公平”）． 15．小刚和小丽一起玩一种转盘游戏．转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示，固定指针转动转盘，任其自由停止．若指针所指的数字为奇数，小刚获胜；否则小丽获胜．此规则（    ） A．公平 B．对小丽有利 C．对小刚有利 D．公平性不可预测   题型五：利用概率计算随机事件发生的平均次数 解题思路： ①先求出该事件发生的概率P； ②总试验次数 × 事件发生的概率 = 事件平均发生次数； ③注意：算出的是理论平均次数，不是实际一定会发生这么多次。 16．事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每次发生的次数是_____． 17．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 18．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 题型六：概率在转盘抽奖中的应用 解题思路： ①先看转盘各区域面积是否相等，算出每一部分对应概率； ②若是双转盘，用列表或树状图列举全部组合； ③统计中奖对应的结果个数； ④计算中奖概率，求解中奖平均次数等问题； ⑤注意不等面积转盘，不能直接数扇形个数。 19．如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（     ） A． B． C． D． 20．如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 21．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 题型七：概率在比赛中的应用 解题思路： ①分析比赛每一局所有等可能结果； ②用树状图梳理多局比赛胜负情况； ③筛选出符合获胜条件的全部情况； ④代入公式计算获胜概率； ⑤看清题目条件，区分需要赢几局才算取得整场胜利。 22．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 23．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 24．某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 题型八：求某事件的频率 解题思路： ①找到事件发生的次数，以及总的试验次数； ②频率公式：频率=； ③频率是试验得到的实际值，为比值，可化为小数或者分数； ④频率会随试验次数改变而发生波动。 25．一个袋子中有黑色、红色和黄色三种颜色的球，这些球除颜色外其他都相同，若从中任意摸出一球，记下颜色后再放回去，重复这样的试验600次，有120次摸出了黄球，则这次试验中随机摸出的一球为黄球的频率为_____． 26．在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（    ）． 类型 健康 亚健康 不健康 数据（人） 32 7 1 A．32 B．7 C． D． 27．八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 28．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 题型九：由频率估计概率 解题思路： ①只有大量重复试验的前提下，频率才稳定在概率附近； ②取多次试验稳定后的频率，作为事件概率的估计值； ③注意：不能拿少数几次试验的频率当作概率。 29．在一个不透明的口袋中，装有黑色、白色的小球共个，小球除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是_________个． 30．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个．将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下表是试验中统计的数据．若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率约为（     ） 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率（结果保留三位小数） A． B． C． D． 31．不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是___________． 32．如图，面积为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积大小，进行了模拟试验．通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（）． A． B． C． D． 题型十：用频率估计概率的综合应用 解题思路： ①根据表格数据，观察频率的变化趋势，找到稳定的频率； ②用稳定的频率估计事件发生的概率； ③利用估计出来的概率，求解总体数量（例如估算池塘鱼的数目）； ④公式：总体数量≈频数÷估计得到的概率； ⑤注意样本要有足够数量，保证估计合理。 33．在一个不透明的口袋中，红色，黑色，白色的小球共有50个，这些小球除颜色外其它完全相同，小明每次摸球前先将口袋里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回口袋，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在0.36和0.22，则可估计口袋中白色球的个数可能为________个． 34．为了估计椭圆的面积，小实在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 35．某公司生产的4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．若在这4件产品中加入件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则的值是______． 36．我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率，随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计．用计算机随机产生m个有序数对（是实数，且0≤≤1，0≤≤1），他们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部，如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，则据此可估计π的值为（    ）． A． B． C． D． 解答题 1．亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 2．如图，有一个可以自由转动的均匀转盘，转盘被平均分成6等份，3，4，5，6，7，8这六个数字，转动转盘，指针指向的数字即为转出的数字（指针停在边界线时重新操作），请回答下列问题： (1)随机转动一次转盘，转出数字2是 事件，转出数字7是 事件；（从“随机”，“必然”，“不可能”中选一个，填空） (2)随机转动转盘，转出的数字大于5的概率是 ； (3)现有甲、乙两人做转盘游戏，每人随机转动一次转盘，转盘停止转动后，转出数字为3的倍数时乙获胜，这个游戏公平吗？为什么？ 3．一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 4．某商场为了吸引顾客，设立了一个如图所示的转盘，转盘被等分成16份，指针停在每个扇形区域的机会相等．活动规则如下：顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准打折区域，那么顾客就可以获得此项待遇（若指针停在分界线上，则需重新转动，直至指针落在扇形区域为止）． (1)甲顾客消费150元，求甲顾客获得打折待遇的概率． (2)乙顾客消费120元，求乙顾客获得八折待遇的概率． 5．甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 6．如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔沙包，并记录沙包落在不规则图案上的次数（沙包扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果记录如表． 试验次数 120 240 360 480 600 720 840 960 落在不规则图案的次数 40 67 115 149 174 223 252 298 落在不规则图案内的频率 a 结合试验结果，完成下列问题： (1)上表中的______； (2)根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是______（结果精确到）； (3)请帮小明估计出不规则图案的面积大约为多少？    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13概率的进一步认识精讲学案 课堂核心立意 本章在简单概率基础上，深化两步、多步随机事件的概率计算。学会用列表、树状图完整列举所有等可能结果，重点区分放回与不放回试验；理解频率的稳定性，分清频率与概率的联系和区别，会用大量重复试验的频率估计概率。能够利用概率判断游戏公平性，建立数据分析与随机观念，会用概率知识解决生活实际问题。 列举法求概率（树状图、列表法） 适用条件： 试验结果有限，每一种结果发生的可能性相等，属于古典概型。概率计算公式：P(A)=。 列表法： 适合两步试验，把两次试验结果分别写在行、列中，表格内为组合结果，做到不重复、不遗漏。 树状图法： 两步、三步及以上多步试验都可以使用，按照试验顺序分层写出每一步全部结果。 放回与不放回试验（本章重难点） 放回试验：每次抽取后物体放回，前后两次可选的总数量不变； 不放回试验：抽取之后不再放回，下一次总数量减少，总结果数发生改变。摸球、抽卡片题型必须看清条件。 游戏公平性判断： 计算游戏各方获胜的概率，概率相等则游戏公平；概率不相等则不公平，可依据概率修改游戏规则。 常见模型：配紫色游戏、转盘、掷硬币、掷骰子、抽卡片、摸球。 频率与概率区别： 频率是试验实际统计出来的数据，少量试验下频率存在波动；概率是事件本身固有的理论常数。 核心规律： 只有大量重复试验时，事件发生的频率才会稳定在对应概率的附近，此时可以用稳定的频率估计概率。 使用场景： 无法列举全部等可能结果的事件，比如掷图钉；也可以用来估算总体数量，如估计池塘鱼的数量。  不能用少量几次试验的频率直接当做事件的概率。 ①审题忽略放回、不放回条件，总结果数算错，直接造成概率计算错误。 ②列表法只适合两步试验，三步及以上试验不要使用列表，应当选用树状图。 ③列举结果时出现重复、遗漏，或者忽略事件的先后顺序。 ④混淆频率和概率，误认为做几次试验得到的频率就是概率，记住只有试验次数足够多，频率才趋近概率。 ⑤判断游戏公平，只凭主观感觉，不计算双方获胜的概率。 ⑥用频率估计总体时，样本数量太少，样本不具备代表性。 ⑦计算概率时分母、分子写颠倒，结果没有化成最简分数。 题型 考察方向 难度 题型一 几何概率 ★★ 题型二 列举法求概率 ★★ 题型三 列表法或树状图法求概率 ★★★ 题型四 游戏的公平性 ★★★ 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 ★★★ 题型六 概率在转盘抽奖中的应用 ★★★ 题型七 概率在比赛中的应用 ★★★★ 题型八 求某事件的频率 ★ 题型九 由频率估计概率 ★★ 题型十 用频率估计概率的综合应用 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★综合 题型一： 几何概率 解题思路： ①判断试验是否属于几何概型：结果是连续无限的，利用长度、面积、角度比求概率； ②P(A)=； ③转盘题重点确认各个区域面积是否相等，不等不能直接数份数； ④常和配紫色结合，再搭配列表/树状图计算。 1．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针指在阴影部分内（指针指在分界线上时重转）的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知：指针指在阴影部分内（指针指在分界线上时重转）的概率为． 2．汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 【答案】/ 【分析】设两直角边分别为，，表示出大正方形的面积和小正方形面积，根据针尖落在阴影区域的概率就是小正方形的面积与大正方形面积的比求解． 【详解】解：∵四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为， ∴设两直角边分别为，， ∴大正方形的面积为，小正方形的边长为， ∴小正方形面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 3．在如图所示三个半径分别为、和的同心圆组成的图形中随机撒一把豆子，计算豆子落在A，B，C（B，C为环形区域）三个区域中的概率．把“在图形中随机撒豆子”作为实验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算各个区域的面积，然后根据概率公式可进行求解． 【详解】解：由题意可知：A区域的面积为，B区域的面积为，C区域的面积为，图形总面积为， ∴． 题型二：列举法求概率 解题思路： ①确认满足古典概型：所有结果等可能； ②把全部等可能结果一一列举，做到不重不漏； ③数出事件A包含的结果数量； ④代入公式：P(A)=计算概率； ⑤适合结果数量较少的两步试验。 4．剪纸是我国传统文化中的一块瑰宝，春节来临之际，某校开展了“剪纸迎春”活动．现有两张“福”字剪纸和一张“春”字剪纸，将它们分别放入完全相同的三个信封中．小华从中随机抽取两个信封，则恰好抽到放有一张“福”字和一张“春”字的信封的概率为_________． 【答案】 【分析】先对三个信封内的剪纸进行标记，列举出随机抽取两个信封所有等可能的结果，找出符合要求的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：将两张“福”字剪纸分别标记为，，将“春”字剪纸标记为 随机抽取两个信封，所有等可能的结果为：，，，共种，其中恰好抽到一张“福”字和一张“春”字的结果有种 根据概率公式可得，所求概率为． 5．某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个大小相同质地均匀的小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额之和小于50元的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一次性随机摸出两个小球，所有等可能的结果共3种： ①10元和20元，和为元； ②10元和30元，和为元； ③20元和30元，和为元； ∴其中两球金额之和小于元的结果共有种， 因此所求概率为． 6．“冰裂纹”“云头纹”“方胜纹”“浪花纹”是中国传统建筑常见的吉祥装饰纹样，寓意绵延不断、祥瑞圆满．现有工匠需要为一座亭子的栏杆雕刻纹饰，计划从这四种纹样中随机选用两种，其中包含“方胜纹”的概率为__________． 【答案】 /0.5 【分析】首先列举出从四种纹样中随机选用两种的所有等可能结果，再找出其中包含“方胜纹”的结果数，最后利用概率公式计算即可. 【详解】解：设“冰裂纹”为，“云头纹”为，“方胜纹”为，“浪花纹”为.从这四种纹样中随机选用两种，所有可能出现的结果如下：，，，，，.共有种等可能的结果.其中包含“方胜纹”的结果有，，，共种， 包含“方胜纹”的概率． 7．为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形试验田分成A，B，C，D四部分给学生种白菜，茄子，辣椒，毛豆四种蔬菜（如表所示），每部分试验田只能种一种蔬菜，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（     ） A B C D A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定所有等可能的安排结果数，再确定白菜与辣椒不相邻的结果数，代入概率公式求解． 【详解】解：所有可能的种植情况如下表： 种植方案 A B C D 1 白菜 茄子 辣椒 毛豆 2 白菜 茄子 毛豆 辣椒 3 白菜 辣椒 茄子 毛豆 4 白菜 辣椒 毛豆 茄子 5 白菜 毛豆 茄子 辣椒 6 白菜 毛豆 辣椒 茄子 7 茄子 白菜 辣椒 毛豆 8 茄子 白菜 毛豆 辣椒 9 茄子 辣椒 白菜 毛豆 10 茄子 辣椒 毛豆 白菜 11 茄子 毛豆 白菜 辣椒 12 茄子 毛豆 辣椒 白菜 13 辣椒 白菜 茄子 毛豆 14 辣椒 白菜 毛豆 茄子 15 辣椒 茄子 白菜 毛豆 16 辣椒 茄子 毛豆 白菜 17 辣椒 毛豆 白菜 茄子 18 辣椒 毛豆 茄子 白菜 19 毛豆 白菜 茄子 辣椒 20 毛豆 白菜 辣椒 茄子 21 毛豆 茄子 白菜 辣椒 22 毛豆 茄子 辣椒 白菜 23 毛豆 辣椒 白菜 茄子 24 毛豆 辣椒 茄子 白菜 由表可得，总共有24种等可能的种植方案，其中白菜与辣椒不相邻的结果数有8种（方案2，5，7，9，16，18，20，23），所以白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率． 题型三：列表法或树状图法求概率 解题思路： ①读题分清是放回还是不放回试验； ②两步试验：优先列表；两步以上，只能用树状图； ③按顺序写出每一步全部可能结果，完整罗列所有组合； ④统计总结果数与目标事件结果数； ⑤代入公式算概率； ⑥不放回试验注意：第二次总样本数量要减少。 8．从红、黄、蓝三顶不同的帽子和黑、白两条不同的围巾中，任取一顶帽子和一条围巾搭配，恰好取到红帽子和白围巾的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画树状图列举出所有可能的情况和恰好取到红帽子和白围巾的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 一共有6种等可能的情况，其中恰好取到红帽子和白围巾的情况有1种， ∴恰好取到红帽子和白围巾的概率是． 9．航天主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”四个航天工程中，随机选一个主题进行介绍，班长制作了正面印有此四种航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这张卡片背面向上，洗匀，放好．若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请求出两人介绍的航天工程主题相同的概率________． A．嫦娥探月    B．天问探火 C．北斗组网    D．神舟飞天 【答案】 【分析】列表可得出所有等可能的情况数以及他们两人介绍的航天工程主题相同的情况数，再利用概率公式计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可列表如下： 由表可知总共有种等可能的情况，其中两人介绍的航天工程主题相同的有种等可能的情况， ∴他们两人介绍的航天工程主题相同的概率为． 10．某设备的电路图如图所示，随机闭合三个开关，，中的两个，则灯泡亮的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用树状图法或列表法求概率，正确分析电路图得出灯泡发光的条件是解题的关键，先画出树状图展示所有等可能的结果，再确定使灯泡发光的结果数，最后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图，如图， 一共有种等可能的结果，分别为，，，，， 由电路图可知，开关在干路上，灯泡也在干路上，要使灯泡亮，必须闭合开关，且与中至少闭合一个 符合条件的结果有，，，，共种 灯泡亮的概率是． 11．从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，概率公式求概率．简化不等式组得到解集范围，求整数解个数为，令其等于2得，再计算满足条件的概率． 【详解】解：∵不等式组 简化得和 ∴解集为 整数解个数为 令 得 从中选两个不同的数作为和， 总情况数 满足的对为、、，共3种 ∴概率 故选：C． 题型四：游戏的公平性 解题思路： ①分别算出游戏双方获胜的理论概率； ②比较双方概率大小； ③概率相等→游戏公平；概率不相等→游戏不公平； ④若不公平，根据概率给出合理修改游戏规则的方案。 12．娜娜和欣欣玩掷骰子游戏，骰子各面上的数字分别是1、2、3、4、5、6，下面（　　）游戏规则是公平的． A．上面是质数娜娜胜，上面是合数欣欣胜 B．上面是偶数娜娜胜，上面是奇数欣欣胜 C．上面的数小于3娜娜胜，上面的数大于3欣欣胜 D．上面的数小于4娜娜胜，上面的数大于4欣欣胜 【答案】B 【分析】本题主要考查了游戏是否公平，先确定质数和合数，再说明可能性的大小，进而判断A，再确定偶数和奇数，并说明可能性的大小，判断B，然后确定大于3（4），小于3（4）的个数，说明可能性，判断C，D 即可．一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数除了1和它本身，还有其它因数，这样的数叫做合数；不能被2整除的数叫做奇数；能被2整除的数叫做偶数． 【详解】A.质数有2，3，5一共3个；合数有4，6一共2个；3>2，娜娜获胜的机会多，游戏不公平； B.偶数有2，4，6一共3个，奇数有1，3，5一共3个，3=3，获胜的机会相同，游戏公平； C．小于3的数有1，2一共2个；大于3的数有4，5，6一共3个，2＜3，欣欣获胜的机会多，游戏不公平； D．小于4的数有1，2，3一共3个；大于4的数有5，6一共2个；3>2，娜娜获胜的机会多，游戏不公平． 娜娜和欣欣玩掷骰子游戏，骰子各面上的数字分别是1、2、3、4、5、6，上面是偶数娜娜胜，上面是奇数欣欣胜游戏规则是公平的． 故选：B． 13．小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（　　） A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定 【答案】A 【分析】先利用概率公式计算出小颖胜的概率为，小明胜的概率为，然后再利用两者的概率相等可判断游戏公平． 【详解】解：掷一枚硬币，共有2种等可能的结果，其中正面朝上的结果数为1，反面朝上的结果数为1， ∴小颖胜的概率为，小明胜的概率为， ∵， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 【点睛】本题考查了游戏公平性和概率公式，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则不公平． 14．在课后服务时间，甲乙两班进行篮球比赛，在选择比赛场地时，裁判员采用了同时掷两枚完全相同硬币的方法：如果两枚硬币朝上的面不同，则甲班优先选择场地；否则乙班优先选择场地．这种选择场地的方法对两个班级___________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】要判断这种方法是否公平，只要看所选取的方法，使这两个队优先选择比赛场地的可能性是否相等即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由上图可知， 甲班优先选择场地的概率， 乙班优先选择场地的概率， 故这两个队优先选择比赛场地的可能性相等， 这种选择场地的方法对两个班级公平． 【点睛】本题主要考查了游戏规则公平性的判断，会画树状图求等概率事件的概率是做出本题的关键． 15．小刚和小丽一起玩一种转盘游戏．转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示，固定指针转动转盘，任其自由停止．若指针所指的数字为奇数，小刚获胜；否则小丽获胜．此规则（    ） A．公平 B．对小丽有利 C．对小刚有利 D．公平性不可预测   【答案】C 【分析】用奇数的个数除以总个数即可得出答案． 【详解】解：∵转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”，“2”，“3”表示，其中奇数有2个， ∴在该游戏中小刚获胜的概率是，小丽获胜的概率是， ∵＞， ∴对小刚有利， 故选：C． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝． 题型五：利用概率计算随机事件发生的平均次数 解题思路： ①先求出该事件发生的概率P； ②总试验次数 × 事件发生的概率 = 事件平均发生次数； ③注意：算出的是理论平均次数，不是实际一定会发生这么多次。 16．事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每次发生的次数是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了概率的意义及概率的简单应用，熟练掌握大量重复试验中事件发生的平均次数等于试验次数乘以事件发生的概率是解题的关键． 根据概率的意义，在大量重复试验中，事件发生的频率趋近于其概率．因此，计算事件平均每次发生的次数，可直接用试验总次数乘以事件的概率． 【详解】解：， 故答案为：． 17．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【答案】B 【分析】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可． 【详解】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确． 故选：B． 18．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 【详解】设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 题型六：概率在转盘抽奖中的应用 解题思路： ①先看转盘各区域面积是否相等，算出每一部分对应概率； ②若是双转盘，用列表或树状图列举全部组合； ③统计中奖对应的结果个数； ④计算中奖概率，求解中奖平均次数等问题； ⑤注意不等面积转盘，不能直接数扇形个数。 19．如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用能获得购物券的区域数除以区域总数即可得到答案． 【详解】解：， 故她获得购物券的概率是． 20．如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 【答案】 【分析】转盘被平均分成9等份，共有9种等可能结果，小于7的数字有6个，利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字， ∴共有9种等可能的结果， ∵小于7的数字有1，2，3，4，5，6，共6个， ∴小明转出的数字小于7的概率为． 21．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（     ） A．共有12种等可能的结果 B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D．顾客获得5元奖金的概率为 【答案】C 【详解】画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能结果，故A选项不正确； 顾客获得的奖金金额有8种不同的可能，故B选项不正确； 顾客获得4元或6元奖金的等可能结果数均为3，高于其它金额，故顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为，故C选项正确； 顾客获得5元奖金的可能结果数均为2，其概率为，故D选项不正确． 题型七：概率在比赛中的应用 解题思路： ①分析比赛每一局所有等可能结果； ②用树状图梳理多局比赛胜负情况； ③筛选出符合获胜条件的全部情况； ④代入公式计算获胜概率； ⑤看清题目条件，区分需要赢几局才算取得整场胜利。 22．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 23．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 24．某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案． 【详解】解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快． 根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）． ∴“破浪”队获胜的概率为 ． 题型八：求某事件的频率 解题思路： ①找到事件发生的次数，以及总的试验次数； ②频率公式：频率=； ③频率是试验得到的实际值，为比值，可化为小数或者分数； ④频率会随试验次数改变而发生波动。 25．一个袋子中有黑色、红色和黄色三种颜色的球，这些球除颜色外其他都相同，若从中任意摸出一球，记下颜色后再放回去，重复这样的试验600次，有120次摸出了黄球，则这次试验中随机摸出的一球为黄球的频率为_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知，这次试验中随机摸出的一球为黄球的频率为． 26．在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（    ）． 类型 健康 亚健康 不健康 数据（人） 32 7 1 A．32 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】结合题意，根据频率的定义计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得测试结果为“健康”的频率是 故选：D． 【点睛】本题考查了抽样调查的知识；解题的关键是熟练掌握频率的性质，从而完成求解． 27．八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【详解】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 28．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的稳定范围，即可估计的值． 【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在事件发生的概率附近，观察表格给出的频率，可知发芽频率稳定在附近，范围在之间， ∴时，频率应接近该稳定范围，选项中只有符合要求． 题型九：由频率估计概率 解题思路： ①只有大量重复试验的前提下，频率才稳定在概率附近； ②取多次试验稳定后的频率，作为事件概率的估计值； ③注意：不能拿少数几次试验的频率当作概率。 29．在一个不透明的口袋中，装有黑色、白色的小球共个，小球除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是_________个． 【答案】 【分析】根据大量重复试验中频率可估计概率，用总小球数乘以摸到白球的频率即可估计白球个数． 【详解】解： 小球总个数为，摸到白色小球的频率稳定在， 口袋中白球的个数估计为， 可估计口袋中白球的个数是个． 30．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个．将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下表是试验中统计的数据．若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率约为（     ） 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率（结果保留三位小数） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】大量重复试验后，频率会稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生的概率，观察表格中频率的稳定趋势即可求解． 【详解】解：观察表格可得，随着摸球次数不断增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为． 31．不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是___________． 【答案】红球 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在左右， 即抽到该球的概率为， 球的总个数为：（个）， 抽到黑球的概率为， 抽到红球的概率为， 抽到白球的概率为， 抽到黄球的概率为， 所以此球的颜色最有可能是红球． 32．如图，面积为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积大小，进行了模拟试验．通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】随着试验总次数不断增加，点落在不规则图案内的频率逐渐稳定在0.3附近，用稳定的频率估计概率，再结合长方形总面积，即可求出不规则图案的估计面积． 【详解】解：由频率折线图可知，随着试验次数增多，点落在不规则图案内的频率稳定在0.3左右，因此可估计点落在阴影不规则图案内的概率． 已知长方形总面积为，设不规则图案面积为，根据几何概型： ， 计算得： ． 题型十：用频率估计概率的综合应用 解题思路： ①根据表格数据，观察频率的变化趋势，找到稳定的频率； ②用稳定的频率估计事件发生的概率； ③利用估计出来的概率，求解总体数量（例如估算池塘鱼的数目）； ④公式：总体数量≈频数÷估计得到的概率； ⑤注意样本要有足够数量，保证估计合理。 33．在一个不透明的口袋中，红色，黑色，白色的小球共有50个，这些小球除颜色外其它完全相同，小明每次摸球前先将口袋里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回口袋，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在0.36和0.22，则可估计口袋中白色球的个数可能为________个． 【答案】21 【分析】先根据频率之和为求出摸到白色球的频率，再根据“总数频率频数”计算白色球的个数． 【详解】解：摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和， 摸到白色球的频率为. 口袋中白色球的个数为（个）． 34．为了估计椭圆的面积，小实在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用频率估计概率的 “几何概型” 应用，涉及知识点：频率稳定性（大量实验后频率近似概率）、几何图形面积的比例关系．解题方法是利用 “椭圆面积与长方形面积的比值点落在椭圆内的频率” 计算椭圆面积；解题关键是理解频率与面积比例的对应关系，易错点是混淆频率与面积的计算关系． 【详解】大量实验后，点落在椭圆内的频率稳定在 ，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为 ． 已知长方形面积为， 因此椭圆面积为：． 故选 ． 35．某公司生产的4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．若在这4件产品中加入件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则的值是______． 【答案】16 【分析】根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值． 【详解】解：∵通过大量重复试验后发现抽到合格品的频率稳定在0.95， ∴抽到合格品的概率等于0.95， ∴＝0.95， 解得x＝16， 经检验：x＝16是所列方程的根， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了用频率估计概率和分式方程，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率，根据概率的意义列方程． 36．我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率，随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计．用计算机随机产生m个有序数对（是实数，且0≤≤1，0≤≤1），他们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部，如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，则据此可估计π的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据落在扇形内的点的个数与正方形内点的个数之比等于两者的面积之比列出，可得答案． 【详解】解：根据题意，点的分布如图所示： 则有， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，几何概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．频率=所求事件发生的次数与总次数之比． 解答题 1．亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜，即可求解； （2）转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5，根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜， 胡胡所得数字为5的概率为， 即胡胡获胜的概率为； （2）解：转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5， 画树状图如下： 由图可得，共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种， ∴亮亮获胜的概率为． 2．如图，有一个可以自由转动的均匀转盘，转盘被平均分成6等份，3，4，5，6，7，8这六个数字，转动转盘，指针指向的数字即为转出的数字（指针停在边界线时重新操作），请回答下列问题： (1)随机转动一次转盘，转出数字2是 事件，转出数字7是 事件；（从“随机”，“必然”，“不可能”中选一个，填空） (2)随机转动转盘，转出的数字大于5的概率是 ； (3)现有甲、乙两人做转盘游戏，每人随机转动一次转盘，转盘停止转动后，转出数字为3的倍数时乙获胜，这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1)解：不可能；随机 (2)解： (3)解：不公平 理由：∵数字为3的倍数的数字为3和6，共2个， ∴乙获胜的概率为，甲获胜的概率为， 由于， ∴这个游戏不公平． 【分析】（1）根据不可能发生的事件为不可能事件，可能发生也可能不发生的事件为随机事件进行判断； （2）确定3的倍数的数据的个数，再利用概率公式求解； （3）分别计算甲、乙获胜的概率即可求解． 【详解】（1）解：因为转盘上没有数字2，所以转出数字2是不可能事件； 因为转盘上既有数字7又有其它数字，所以转出数字7是随机事件． （2）解：因为转盘上共6个数字，大于5的数字有6、7和8，一共有3个，所以转出的数字大于5的概率是． （3）略 3．一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 【答案】支 【分析】将集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段获得新图案平均需要购买的雪糕数，再求和得到总的平均购买数． 【详解】解 我们把集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段的平均购买数量再求和. 获得第一种不同图案阶段： 此时没有任何图案，买1支一定能得到第一种图案，该阶段平均需要买1支； 获得第二种不同图案阶段： 已经获得1种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第三种不同图案阶段： 已经获得2种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第四种不同图案阶段： 已经获得3种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 总平均购买次数为： （支）． 答：平均要买支雪糕才能得奖． 4．某商场为了吸引顾客，设立了一个如图所示的转盘，转盘被等分成16份，指针停在每个扇形区域的机会相等．活动规则如下：顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准打折区域，那么顾客就可以获得此项待遇（若指针停在分界线上，则需重新转动，直至指针落在扇形区域为止）． (1)甲顾客消费150元，求甲顾客获得打折待遇的概率． (2)乙顾客消费120元，求乙顾客获得八折待遇的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）直接利用概率公式进行计算即可. 【详解】（1）解：总共分成16份，其中打折区域有6份， 故甲顾客获得打折待遇的概率为； （2）解：总共分成16份，其中八折区域有2份； ∴乙顾客获得八折待遇的概率为. 5．甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率； （2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论． 【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：    共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种， 所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为． （2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：    共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种， 根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人． 【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 6．如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔沙包，并记录沙包落在不规则图案上的次数（沙包扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果记录如表． 试验次数 120 240 360 480 600 720 840 960 落在不规则图案的次数 40 67 115 149 174 223 252 298 落在不规则图案内的频率 a 结合试验结果，完成下列问题： (1)上表中的______； (2)根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是______（结果精确到）； (3)请帮小明估计出不规则图案的面积大约为多少？    【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据落在不规则图案内的频率落在不规则图案的次数试验次数，计算即可得出结果； （2）由频率估计概率，并结合表格分析即可得出结果； （3）先求出长方形的面积，再结合沙包落在阴影区域的概率是，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是； （3）解：长方形的面积为， 故不规则图案的面积大约． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $