精品解析：广东省梅州市五华县华西中学2026-2027学年九年级上学期开学数学试题

2026-2027学年第一学期九年级开学学习能力检测题 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断时需先确认方程为整式方程，再结合未知数个数与最高次数分析，其中D选项需先化简再判断． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合要求； B、方程分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求； C、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合要求； D、将右边展开得，移项合并同类项后得，未知数最高次数为1，不符合要求． 2. 已知下列各数：，其中是一元二次方程的解的是（ ） A. B. C. 3，4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接求出一元二次方程的解，然后进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 3. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先排除非整式方程，再结合未知数个数、最高次数筛选符合条件的选项． 【详解】解：A选项化简得，是一元一次方程，不符合题意； B选项分母含未知数，是分式方程，不符合题意； C选项是整式方程，仅含一个未知数，且的最高次数为，符合题意； D选项含两个未知数，不符合题意． 4. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，需保证二次项系数不为0，列不等式求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数不为0， 即， 解得． 5. 方程的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论去掉绝对值符号，将原方程转化为一元二次方程求解，结合的取值范围舍去增根． 【详解】解：当时，原方程化为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去； 当时，原方程化为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去． 综上，方程的解为或． 6. 将一元二次方程化成的形式，则（ ） A. 1 B. C. 2025 D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，求出,的值后代入计算. 【详解】解：， ， ， ， ， ∴，， ∴. 7. 已知二次函数的图象，当时，y随x的增大而（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 【答案】B 【解析】 【详解】解：二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∵在对称轴左侧， ∴当时，随的增大而减小． 8. 已知二次函数的图象与轴交于点，点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的关系，结合的取值范围推导的范围， 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵点，是函数图象与轴的交点， ∴这两点关于对称轴对称，即， ∴ ∵， ∴， ∴． 9. 将抛物线向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得． 10. 已知二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次函数的顶点坐标为. 将变形为. ∴顶点坐标为. 二、填空题（本大题共5小体，每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】将已知根代入原一元二次方程，整理即可得到的值． 【详解】解：∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入方程得 ， 整理得 ． 12. 关于x的方程的一个根是2，则方程的另一个根是_______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系即可求出另一个根和参数的值． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，，， 解得，． 13. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义得二次项系数不为0，再结合无实数根的条件，利用根的判别式小于0求解即可． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴ 解得， ∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴的取值范围是． 14. 已知二次函数的图象经过点，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】点在二次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将已知点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵ 点在二次函数的图象上， ∴ 将，代入解析式，得， 计算得， 解得． 15. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到抛物线________． 【答案】（或） 【解析】 【分析】利用抛物线平移规律“左加右减，上加下减”求解，先将原抛物线配方为顶点式简化计算． 【详解】解：先将原抛物线配方得：， 抛物线向左平移个单位长度，根据平移规律“左加右减”，给加得： ． 再向上平移个单位长度，根据平移规律“上加下减”，给整体加得： ，展开整理得：． 即得到的抛物线为：（或）． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）运用完全平方公式以及二次根式乘法法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 17. 在同一平面直角坐标系中，画出和的图象． 【答案】 和的图象如下图所示即为所求： 【解析】 【详解】解：当时，；当时，，则为过和的直线； 当时，；当时，，，则为过和的直线，图象绘制如答图． 18. 用配方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） ，. （2） ，. 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方得，  整理得， 开方得，  解得 ，； 【小问2详解】 解：， 两边同乘得， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方得， 整理得， 开方得， 解得 ，. 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为m，求m的值． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴方程总有两个实数根； （2）2 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）把代入方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入方程得： 解得：． 20. 某食品店将进价为16元/千克的奶糖按20元/千克的价格出售，每天可销售．老板发现，这种奶糖的售价每涨1元/千克，日销售量就减少．如果食品店想使每天的平均销售利润达到504元，并尽快售完这种奶糖，那么这种奶糖的售价应定为多少？ 【答案】这种奶糖的售价应定为22元/千克. 【解析】 【分析】根据总利润=每千克利润×日销售量列一元二次方程，结合尽快售完的要求选取涨价幅度更小的解． 【详解】解：设这种奶糖的销售单价应定为x元/千克， 则：， 解得：，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 答：这种奶糖的销售单价应定为22元/千克． 21. 已知二次函数的图像经过点，，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 【答案】（1） （2） 开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为；有最高点 【解析】 【分析】（1）设二次函数的表达式为，将A、B、C三点坐标代入进行求解即可； （2）根据a与0的大小判断开口方向和最值，将一般式化为顶点式，可以得到对称轴，顶点坐标． 【小问1详解】 解：设二次函数的表达式为， 将，，代入得：， 解得：， 所以，二次函数的表达式为：； 【小问2详解】 ， ，， 所以，抛物线开口向下，有最高点； 根据， 可知对称轴为，顶点坐标为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，且与轴交于点、，与轴正半轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点A、B、C的坐标，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，将点代入中，得， 解得， ∴抛物线的解析式是； 【小问2详解】 解：当时，，则, ∴， 令，由得，， ∴，， ∴， ∴． 23. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为； （2）顶点坐标为，对称轴为直线； （3）点的横坐标为． 【解析】 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 【小问3详解】 解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级开学学习能力检测题 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知下列各数：，其中是一元二次方程的解的是（ ） A. B. C. 3，4 D. 3. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 将一元二次方程化成的形式，则（ ） A. 1 B. C. 2025 D. 7. 已知二次函数的图象，当时，y随x的增大而（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 8. 已知二次函数的图象与轴交于点，点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小体，每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为_________． 12. 关于x的方程的一个根是2，则方程的另一个根是_______，______． 13. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是______． 14. 已知二次函数的图象经过点，则的值是_______． 15. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到抛物线________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算： （1） （2） 17. 在同一平面直角坐标系中，画出和的图象． 18. 用配方法解下列方程： （1） （2） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为m，求m的值． 20. 某食品店将进价为16元/千克的奶糖按20元/千克的价格出售，每天可销售．老板发现，这种奶糖的售价每涨1元/千克，日销售量就减少．如果食品店想使每天的平均销售利润达到504元，并尽快售完这种奶糖，那么这种奶糖的售价应定为多少？ 21. 已知二次函数的图像经过点，，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，且与轴交于点、，与轴正半轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． 23. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $