解析几何：斜率定值问题、向量定值问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解析几何中斜率与向量定值问题，通过精选例题与变式构建从方程求解到定值证明的逻辑链条，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |斜率定值问题|3例+3变式|定值证明、存在性探究|双曲线/椭圆方程与几何性质关联，直线与曲线位置关系的代数表达| |向量定值问题|3例+3变式|向量运算、定点存在性|向量数量积与坐标运算结合，圆锥曲线定义的应用拓展|

2027届高三数学一轮复习专项训练 解析几何：斜率定值问题、向量定值问题专项训练 考点目录 斜率定值问题 向量定值问题 考点一 斜率定值问题 例1．（2026·海南三亚·一模）已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据离心率公式、已知条件及的关系求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理及三角形的形公式可得，，从而可得，由，可得，即，解此不等式组，即可得答案； （3）设存在满足条件的点，其坐标为，由中点坐标公式得，从而得，由，求解即可. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为， 所以，， 所以， 又因为点在双曲线上， 所以，解得，所以， 所以求双曲线的方程为； （2）由题意可得， 所以直线的方程为， 由，得， ， 设， 则， 由此可得， 因为， 所以， 令，则， 所以， 消去，得， 因为，所以，， 所以， 即，解得， 即的取值范围为； （3）因为， 即， 所以， 又因为为线段的中点，所以， 设存在满足条件的点，其坐标为， 则， 所以， 要使此值为定值，则，解得， 所以存在，使得恒为定值4. 例2．（2026·河南南阳·三模）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)由题意知．设直线， 与双曲线方程联立得． ， 设、，则， 故直线、的斜率之积为 ． (3)存在， 【分析】（1）根据离心率的定义及求解即可. （2）设直线，与双曲线方程联立，结合韦达定理求解即可. （3）根据向量垂直的坐标表示得到，即，结合即韦达定理求解即可. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c． 由题意知．故， 所以，双曲线C的方程为． （2）略 （3）由题意知，得． 设，则． 即． 又，即，解得． 所以， 因此在x轴上存在定点，使得恒成立． 例3．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知直角坐标系中满足，，，动点A的轨迹为曲线T． (1)求曲线T的方程； (2)若半径为的圆的圆心M在曲线T上运动，过原点O作圆M的两条切线，分别与曲线T交于E，F，射线，的斜率存在，并记为，． ①求证：为定值； ②求的最大值． 【答案】(1) (2)①设，则，即， 设过原点的圆的切线的方程为， 由得， 所以； ② 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后结合椭圆定义即可得； （2）①设，结合圆的切线的性质与点到直线距离公式计算即可得；②法一：结合①中所得，分别用表示出、，可得的值，再利用基本不等式计算即可得；法二设，，结合①中所得，可用表示出、，即可表示出，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】（1）设点，因为，所以， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去与直线的交点）， 所以，所以，，． 所以曲线的方程为； （2）①略 ②法一：由①知，，，设，， 由，得，， 所以，同理， 所以 ， 所以（当且仅当时等号成立）. 法二：设，， 由①知，，所以， 由，， 所以 （当且仅当时等号成立）， 所以． 变式1．（2026·四川自贡·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，短轴长为． (1)求E的方程； (2)过点F的直线与E交于两点，点．证明：直线与的斜率之和为定值，求该定值． 【答案】(1) (2)定值为 【分析】(1)根据短轴长求，根据右焦点为，，求； (2) 分直线斜率为 0和直线斜率不为 0两种情况讨论. 【详解】（1）因为右焦点为，故半焦距， 因为短轴长为，所以， 由，得， 因此，椭圆的标准方程为； （2） 证明: 设，，点， 直线的斜率分别为，， 情况 1：当直线斜率为 0时， 此时直线为 x 轴，方程为，与椭圆的交点为，， ，故 ，成立； 情况 2：当直线斜率不为 0时， 设直线 的方程为，与椭圆方程联立， 消去 并整理：， 故方程有两个不等实根，由韦达定理得 , 由，， 得 ，，代入得： 将代入分子 因此 ， 综上，无论直线的斜率是否为 0，直线与的斜率之和恒为定值. 变式2．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，已知椭圆的方程为，直线与椭圆交于两点（点在第一象限）．当时，在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．    (1)求的标准方程； (2)若轴于点，连接BM并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）如图，设，，    则，由题意有． 直线的斜率，即的斜率为， 所以直线的方程，所以． 又在椭圆上，． ． （ⅱ）． 【分析】（1）由椭圆标准方程确定，结合时在轴上的射影为椭圆焦点的条件，将点代入椭圆方程，结合的关系求解，即可得到椭圆的标准方程. （2）（i）联立直线与椭圆方程，求解得到两点坐标，由轴得到点坐标，进而求出直线的方程，将直线与椭圆方程联立求得点坐标，计算直线的斜率，验证为定值即可. （ii）利用两点间距离公式分别计算与的长度，将表示为关于的函数，结合的取值范围，分析函数的取值特征，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意有，所以． 设椭圆焦距为，易知椭圆过点，所以． 又，所以， 所以，即，解得， 所以，故的标准方程为． （2）（ⅰ）略 （ⅱ）解： ， 而， 由（ⅰ）知 ． 又， ． 当且仅当，即时等号成立，所以． 变式3．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，原点到直线的距离为. （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （ⅱ）求的面积的最大值及此时直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）的面积的最大值为1，直线的方程为或或或. 【分析】（1）根据、、之间的关系与离心率即可求解 （2）（i）利用坐标表示出、，根据韦达定理，将表示为、之间的关系式，结合距离即可证明； （ii） 利用弦长公式，表示出三角形面积，讨论范围即可； 【详解】（1）由题意知，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）当斜率不为时，设直线的方程为， ，， 联立得，， ， 点到的距离，所以， ， 根据韦达定理代入得，， 当斜率为时，不妨设横坐标大于0，则此时、两点坐标为，或，， 所以， 综上，为定值. （ii）当斜率为时，， 当斜率不为时，， 所以， 因此， 则， 当且仅当，即时取等，所以的最大值为， 当时，，当时，， 所以直线的方程为或或或. 考点二 向量定值问题 例1．（2026·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，焦距为. (1)求的方程； (2)设点为的左顶点，直线：与轴交于点，过且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，分别与交于，两点 （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）是否存在使得，，，四点在同一个圆上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）由题意得，，设，，直线的斜率显然存在， 设所在直线方程为， 与联立，可得， 可得，，， 则， 设，，由，，三点共线得，所以， 则，同理可得， 所以，为定值. （ii）存在， 【分析】（1）由题设求出，即可得解； （2）（ⅰ）设所在直线方程为，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理、平面向量的数量积的坐标表示求解即可； （ⅱ）分析可得，进而得到，可得，结合（ⅰ）可得，进而建立方程求解即可. 【详解】（1）由题意得：，所以， 又因为焦距，所以， 由，可得， 所以的方程为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）如图，由，，，四点在同一个圆上可知，， 因为，所以， 故，所以，即，则， 由（ⅰ）知，，故， 所以，解得或（舍去）， 所以存在，使得，，，四点在同一个圆上.    例2．（2026·上海·三模）已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点. (1)设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围； (2)设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值； (3)过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)设直线的方程为，设， 由消去，得，， 解得，，， 因此 ， 所以是定值，该定值为0. (3). 【分析】（1）求出双曲线焦点坐标并设点，利用数量积的坐标表示，结合双曲线范围求出范围. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用数量积的坐标表示及韦达定理计算得证. （3）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出点的横坐标差，再由面积相等列式求解. 【详解】（1）双曲线的焦点，设点，则， ，因此， 而或，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以的取值范围是. （2）略 （3）设直线的方程为，点， 由消去，得，， 解得，，直线的方程为， 令，得点的横坐标，同理得的横坐标， 则 ，而，， 由、面积相等，得，则， 解得，即，所以直线的方程为. 例3．（2026·四川成都·三模）已知椭圆：，离心率为，圆：． (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，是曲线的两个公共顶点，过点作一直线与曲线交于两点（在的上方）．过作与轴平行的直线与圆在轴上方交于点． ①证明； ②若直线，交于，求证：为定值． 【答案】(1) (2)①直线的斜率不为0，设的方程为，，． 联立，得， ，则，， 由在椭圆上，在圆上，易知， 则，， 因为，， 所以， 代入韦达定理得， 则，从而． ②直线的方程为，直线的方程为， 则， 所以 由①中韦达定理可知， 代入可得， 即，可解得． 由题意，可设，则， 又，从而，所以为定值． 【分析】（1）由椭圆顶点、离心率条件列式算出，直接写出椭圆标准方程； （2）①设直线，并联立椭圆方程，借助韦达定理，用向量坐标乘积为零证明两直线平行； ②写出直线方程并联立求横坐标，再代入坐标算向量数量积得到定值． 【详解】（1）由题意知，，则， 所以， 所以椭圆的方程为． （2）①略；②略． 变式1．（2026·河北·模拟预测）已知双曲线：（，）的焦距为，其中的一条渐近线与直线垂直． (1)求的方程； (2)记的右顶点为，横坐标为4的点在上，射线上的点满足，求点的坐标； (3)直线：与交于，两点，为坐标原点．是否存在常数，使恒为定值？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在常数，使恒为定值.理由如下： 如图： 将直线代入，整理得：. 由可得， 设，，则，， 则. 则 . 要使为定值，不随的改变而改变，须使， 该方程在实数范围内无解，故不存在常数，使为定值. 【分析】（1）根据焦距确定，确定渐近线斜率可得的关系，再结合可求的值，进而得到双曲线的方程. （2）先确定，点坐标，利用向量方法，结合即可确定点坐标. （3）将直线方程与双曲线方程联立，消去，可得关于的一元二次方程，利用韦达定理得到，，再表示出，根据为定值，探索的存在情况. 【详解】（1）直线的斜率为，双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以这条渐近线的斜率为. 依题意，可得解得. 所以双曲线的标准方程为：. （2）由题意，对于，当时，，即或. ① 当时，，则， 设，，由， 即，解得，所以，则 ② 当时，同法可得. 所以点坐标为或. （3）略 变式2．（2026·宁夏银川·三模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标； 【详解】（1）解：因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. （2）证明：设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且， 所以，又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. 变式3．（25-26高三上·山西运城·阶段检测）已知椭圆的离心率是，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与交于两点． （i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长； （ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，最小值为. 【分析】（1）由得，又得，由在椭圆上，利用待定系数法即可求解； （2）（i）由题意可得直线的方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理得，利用弦长公式即可求解； （ii）可设，与椭圆方程联立，由韦达定理得，由为定值得，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，得，得， 又，所以， 又，两式联立，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）设； （i）由题意可得直线的方程为， 联立，得， 所以， 所以； （ii）存在点 ，使得为定值， 的最小值为； 由题意，可设，联立， 得， 则， 且， 因为， 所以 ， 因为为定值， 所以，得， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故 的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 解析几何：斜率定值问题、向量定值问题专项训练 考点目录 斜率定值问题 向量定值问题 考点一 斜率定值问题 例1．（2026·海南三亚·一模）已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 例2．（2026·河南南阳·三模）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 例3．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知直角坐标系中满足，，，动点A的轨迹为曲线T． (1)求曲线T的方程； (2)若半径为的圆的圆心M在曲线T上运动，过原点O作圆M的两条切线，分别与曲线T交于E，F，射线，的斜率存在，并记为，． ①求证：为定值； ②求的最大值． 变式1．（2026·四川自贡·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，短轴长为． (1)求E的方程； (2)过点F的直线与E交于两点，点．证明：直线与的斜率之和为定值，求该定值． 变式2．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，已知椭圆的方程为，直线与椭圆交于两点（点在第一象限）．当时，在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．    (1)求的标准方程； (2)若轴于点，连接BM并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的取值范围． 变式3．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，原点到直线的距离为. （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （ⅱ）求的面积的最大值及此时直线的方程. 考点二 向量定值问题 例1．（2026·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，焦距为. (1)求的方程； (2)设点为的左顶点，直线：与轴交于点，过且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，分别与交于，两点 （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）是否存在使得，，，四点在同一个圆上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例2．（2026·上海·三模）已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点. (1)设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围； (2)设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值； (3)过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由. 例3．（2026·四川成都·三模）已知椭圆：，离心率为，圆：． (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，是曲线的两个公共顶点，过点作一直线与曲线交于两点（在的上方）．过作与轴平行的直线与圆在轴上方交于点． ①证明； ②若直线，交于，求证：为定值． 变式1．（2026·河北·模拟预测）已知双曲线：（，）的焦距为，其中的一条渐近线与直线垂直． (1)求的方程； (2)记的右顶点为，横坐标为4的点在上，射线上的点满足，求点的坐标； (3)直线：与交于，两点，为坐标原点．是否存在常数，使恒为定值？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由． 变式2．（2026·宁夏银川·三模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 变式3．（25-26高三上·山西运城·阶段检测）已知椭圆的离心率是，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与交于两点． （i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长； （ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $