第48练　直线的倾斜角与斜率、直线的方程-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习同步练，聚焦直线的倾斜角与斜率、直线的方程，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到创新应用的知识进阶，培养数学抽象与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|倾斜角与斜率概念、直线方程基本形式|单选（1-5）、填空（7-8），直接考查定义与公式应用，夯实基础| |提升层|斜率比较、截距关系、垂直平分线|多选（6、12）、填空（13），结合图形与分类讨论，提升推理能力| |综合层|面积最值、定点问题、创新算法|解答（9、14）、单选（15-16），融合函数与几何，培养数学建模与创新意识|

第48练　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1.直线y=-x+30的倾斜角为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.30° B.60° C.120° D.150° 2.如图,若直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 (　 ) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 3.过点(1,2)且与直线y=2x-3斜率相等的直线方程为 (　 ) A.y-2=2(x-1) B.y-1=-2(x-2) C.y-2=-2(x-1) D.y-1=2(x-2) 4.已知直线l过点(1,-2),且在两个坐标轴上的截距互为相反数,则直线l的方程为 (　 ) A.x+y+1=0 B.x+y+1=0或2x+y=0 C.x-y-3=0 D.x-y-3=0或2x+y=0 5.过点P(1,2)且斜率小于0的直线与x轴,y轴围成的封闭图形的面积的最小值为 (　 ) A.2 B.2 C.4 D.4 6.(多选题)已知直线l过点(0,2),(,1),则 (　 ) A.点C(2,-1)在直线l上 B.直线l的两点式方程为= C.直线l的一个方向向量的坐标为(1,-) D.直线l的截距式方程为+=1 7.已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则AB边所在直线的方程是　　　　,BC边上的垂直平分线所在直线的方程是　　　　.  8.若直线l:ax+2by=1在两坐标轴上的截距之和为2,且ab>0,则2a+b的最小值为　　　　.  9.已知直线l的方程为(m+1)x+y-5-2m=0(m∈R). (1)求直线l过的定点P的坐标; (2)直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A,B,当△AOB(O为原点)的面积最小时,求直线l的方程. 10.直线4x+3y-12=0与x轴、y轴分别交于A,B两点,则∠BAO(O为坐标原点)的平分线所在直线的方程为 (　 ) A.2x-y-6=0 B.x+2y-3=0 C.x+2y+3=0 D.2x-y-6=0或x+2y-3=0 11.设直线l的方程为x-ycos θ+2=0,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　 ) A.[0,π) B. C. D.∪ 12.(多选题)在平面直角坐标系中,M(-1,-1),N(1,3),P(3,-3),Q(2,5),下列说法正确的是 (　 ) A.△MPQ为直角三角形 B.M,N,Q,P依次连起来是一个四边形 C.cos∠MPQ= D.S△PQN=5 13.过点P(-,1),Q(0,m)的直线的倾斜角α∈∪,那么m的取值范围是　　　　.  14.已知直线l过点(1,2),且直线l的倾斜角比直线x-3y+1=0的倾斜角大. (1)求直线l的方程; (2)若点M(x1,y1)在直线l上,且x1∈[-2,1),求的取值范围. 15.中国古代近似计算方法源远流长,早在八世纪,我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法:若函数y=f(x)在x=x1,x=x2,x=x3(x1<x2<x3)处的函数值分别为y1=f(x1),y2=f(x2),y3=f(x3),则在区间[x1,x3]上f(x)可以用二次函数来近似代替:f(x)=y1+k1(x-x1)+k2(x-x1)(x-x2),其中k1=,k=,k2=.若令x1=0,x2=,x3=π,则依据上述算法,估算sin的值是 (　 ) A. B. C. D. 16.已知直线l:sin α+cos α=1,其中m,n都是正实数,α∈[0,2π),下列结论正确的是 (　 ) A.当α=时,直线l的一个方向向量为(1,0) B.当α变化时,所对应的直线均过同一个定点 C.当m≤n时,坐标原点(0,0)到直线l的距离的最小值为m D.所有直线l组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面 第48练　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1.C　[解析] 由直线方程y=-x+30,可得直线的斜率k=tan α=-(α为直线的倾斜角),则α=120°,即直线的倾斜角为120°.故选C. 2.D　[解析] 设l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,由图知,α1>90°>α2>α3>0°,所以k2>k3>0>k1.故选D. 3.A　[解析] 由题知所求直线的斜率为2且过点(1,2),由点斜式方程得直线的方程为y-2=2(x-1).故选A. 4.D　[解析] 方法一:当直线过原点时,斜率为k==-2,则直线方程为2x+y=0;当直线不过原点时,设直线方程为+=1,代入点(1,-2)的坐标,得+=1,解得a=3,故直线方程为x-y-3=0.综上所述,直线方程为x-y-3=0或2x+y=0. 方法二:因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数,所以直线过原点或直线的斜率为1.当直线过原点时,直线斜率为k=-2,则直线方程为2x+y=0;当直线的斜率为1时,直线方程为y-(-2)=x-1,即x-y-3=0.综上所述,直线方程为x-y-3=0或2x+y=0.故选D. 5.C　[解析] 设直线的方程为y=kx+b(k<0),将点P(1,2)的坐标代入得2=k+b,即b=2-k,b>2,设直线与x轴的交点为A,与y轴的交点为B(0,b),则所围成封闭图形的面积为S=··|b|=-=-=--+2≥2+2=4,当且仅当-=-,即k=-2时等号成立,所以所围成封闭图形面积的最小值为4.故选C. 6.BD　[解析] 对于A,因为直线l过点(0,2),(,1),所以直线l的斜率k==-,设A(0,2),则kAC==-≠k,故点C(2,-1)不在直线l上,故A错误;对于B,直线l的两点式方程为=,故B正确;对于C,若直线l的一个方向向量的坐标为(1,-),则直线l的斜率为-,与A中分析不符,故C错误;对于D,由B中两点式方程,整理得截距式方程为+=1,故D正确.故选BD. 7.y=-x-　y=x- [解析] 由题知kAB==-,所以直线AB的方程为y=-(x+5),即y=-x-,线段BC的中点为D,kBC==-,所以BC边上的垂直平分线所在直线的方程为y+=,即y=x-. 8.　[解析] 将直线l的方程转换为截距式,即+=1,则+=2,故2a+b=(2a+b)=≥+=,当且仅当=,即a=b=时取等号,故2a+b的最小值为. 9.解:(1)由题意,直线l的方程可化为(x-2)m+x+y-5=0, 由解得 所以直线l过定点P(2,3). (2)设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,b), 由(1)知,直线l过定点P(2,3),可得+=1,因为a>0,b>0,所以1=+≥2,解得ab≥24, 当且仅当=且+=1,即a=4,b=6时,等号成立,所以△AOB的面积S=|a||b|=ab≥×24=12,当S=12时,直线l的方程为+=1,即3x+2y-12=0. 10.B　[解析] 根据题意,直线4x+3y-12=0与x轴、y轴分别交于A,B两点,令x=0,可得y=4,则B的坐标为(0,4),令y=0,可得x=3,则A的坐标为(3,0),如图,设∠BAO=2α(α为锐角), 则-tan 2α==-,即tan 2α=,则=,即2tan2α+3tan α-2=0,解得tan α=或tan α=-2(舍),则∠BAO的平分线所在直线的斜率k=-,其方程为y=-(x-3),变形可得x+2y-3=0.故选B. 11.C　[解析] 当cos θ=0时,直线l的方程为x=-2,此时直线l的倾斜角α=.当cos θ≠0时,直线l的斜率为tan α=,因为cos θ∈[-1,0)∪(0,1],所以∈(-∞,-1]∪[1,+∞),即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又因为α∈[0,π),所以结合正切函数的图象可得α∈∪.综上可得,直线l的倾斜角α的取值范围是.故选C. 12.ACD　[解析] 对于A,直线MP的斜率kMP==-,直线MQ的斜率kMQ==2,所以kMPkMQ=-1,即MP⊥MQ,故△MPQ为直角三角形,故A正确;对于B,直线MN的斜率kMN==2,所以点M,N,Q共线,故B错误;对于C,在Rt△MPQ中,|MP|=2,|PQ|=,则cos∠MPQ==,故C正确;对于D,|NQ|==,S△PQN=|NQ|·|MP|=5,故D正确.故选ACD. 13.(-∞,-2]∪[4,+∞)　[解析] 因为直线PQ的倾斜角α的取值范围为∪,所以直线PQ的斜率k的取值范围为k≥或k≤-.又k=,由≥,得m≥4;由≤-,得m≤-2.所以m的取值范围是(-∞,-2]∪[4,+∞). 14.解:(1)因为直线x-3y+1=0的斜率k=,所以其倾斜角α=, 则直线l的倾斜角为+=,可知直线l的斜率kl=tan=1, 所以直线l的方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. (2)表示M(x1,y1)与点A(1,-2)连线的斜率kAM, 又M(x1,y1)在直线l上,且x1∈[-2,1),如图所示,所以kAC==-,直线AB的斜率不存在,则kAM≤kAC,即的取值范围为. 15.C　[解析] 设y=f(x)=sin x,且x1=0,x2=,x3=π,则y1=0,y2=1,y3=0,所以k1==,k==-,k2=-,由f(x)≈y1+k1(x-x1)+k2(x-x1)(x-x2)=-x2+x,可得sin x≈-x2+x,所以sin≈-×+×=.故选C. 16.C　[解析] 对于A,当α=时,直线l的方程为x=1,即x=m,直线l平行于y轴,直线l的方向向量与(0,1)平行,故A不正确;对于B,当α=0时,得=1,即y=n;当α=时,得+=1,由 解得x=(-1)m,y=n,则两直线交于点((-1)m,n),当α=时,得x=m,显然点((-1)m,n)不在直线x=m上,此时三条直线交于一点不成立,故当α变化时,所对应的直线均过同一个定点不成立,故B不正确;对于C,当m≤n时,坐标原点(0,0)到直线l的距离d=,而≤,则+≤,故d=≥m,即最小值为m,故C正确;对于D,由于点(0,0)不在直线l上,所以所有直线l组成的平面区域不可能覆盖整个直角坐标平面,故D不正确.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $