3.5图形的位似第2课时（教学设计）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦平面直角坐标系中的位似变换，核心为坐标变换规律（顶点横纵坐标乘k）及位似图形画法。课堂导入通过回顾位似定义性质，联系已学坐标变换（平移等），以问题“坐标变化与位似的关系”引入，搭建新旧知识支架。 特色在于以“乘2、乘-2、乘k”实例递进探究，引导学生归纳规律，培养抽象能力和几何直观。通过对比k正负的图形位置，发展推理意识，综合例题结合平移与位似中心确定，提升应用意识。帮助学生建立数形结合思维，为教师提供清晰教学流程与分层练习，提升课堂实效。

3.5图形的位似第二课时 年级 九年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版九年级上册 教学目标 1.理解位似图形的坐标变换规律； 2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形。 教学重点 在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形，掌握画图步骤。 教学难点 理解位似图形坐标变换规律的推导过程，以及的符号对位似图形位置的影响。 教材分析 本课选自北师大版初中数学九年级上册第三章《图形的相似》第五节《图形的位似》（第2课时）。核心知识点为平面直角坐标系中的位似变换：将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心为坐标原点，相似比为。同时包括利用坐标变化规律在坐标系中画位似图形的方法与步骤。 本节内容是在学生已掌握位似图形概念、性质及相似变换的基础上，进一步将位似与坐标相结合，探索“数”与“形”之间的对应关系。通过将顶点坐标同乘一个数，观察对应点位置的变化，归纳出位似变换的坐标规律，体现了从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想。该规律不仅是画位似图形的简便工具，也为后续学习图形变换的综合应用奠定了基础。教学重点在于让学生熟练运用坐标变化规律作出位似图形，并能根据的正负判断位似图形的位置；教学难点在于理解坐标变化与位似中心、相似比之间的内在联系，尤其是当时，图形位于原点两侧的情况。 学情分析 学生在此之前已经学习了相似图形、位似图形的概念与性质，能够利用位似中心画位似图形，也熟悉平面直角坐标系中点的坐标表示，以及平移、轴对称、旋转等坐标变换。因此，将位似与坐标结合，学生具备一定的知识基础。但学生对于“坐标同时乘同一个数”与“位似变换”之间的联系可能缺乏直观感知，容易忽略时对应点位于原点另一侧的情况，导致画图时遗漏一种情形。此外，由坐标变化规律抽象出一般结论，并用表示相似比，对学生而言有一定难度。教学中应通过类比、实验操作和对比正负的实例，帮助学生突破难点，建立数形结合的思维。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情境，引入新课】 【知识回顾】 教师引导学生回顾位似多边形的定义与性质。 定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 ， 所在的直线都经过同一点 ，且 （），那么这样的两个多边形叫作位似多边形，点 叫作位似中心， 就是这两个相似多边形的相似比。 位似图形的性质： 对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 每组对应点和位似中心在同一条直线上； 对应线段平行或在同一条直线上； 位似图形具有相似图形的一切性质。 【情境引入】 教师出示问题：在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ，，。若要以点 为位似中心，将 放大为原来的 倍，放大后的三角形三个顶点的坐标会变成多少？ 学生尝试猜想： 教师追问：坐标的变化有什么规律？相似变换（位似）能否用坐标变化来表示？由此引出课题。 从已学“用坐标表示平移、轴对称、旋转”出发，引出“用坐标表示位似”，激发学生探究兴趣，明确学习方向。 探究点1：平面直角坐标系中的位似变换 【问题引入】 教师引导：将 各顶点横坐标、纵坐标都乘 ，得到新三角形。 学生观察发现：对应点 与 ， 与 的连线都经过原点 ，新三角形与原三角形位似，位似中心为原点 ，相似比为 。 追问：如果将点 ，， 的横坐标、纵坐标都乘 呢？ 学生归纳：新三角形与原三角形仍然位似，位似中心仍为原点 ，相似比为 ，但两个位似图形分别在原点两侧。 教师继续引导：再观察四边形的坐标变化。 四边形 的顶点坐标分别为 ，，，。 结论：两种情况下，新四边形都与原四边形位似，位似中心为原点 ，相似比为 。 追问：还能提出更一般性的问题吗？ 学生提出：如果把每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数 呢？ 【规律归纳】 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数 （），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 。 注意： 当 时，两个位似图形在原点同侧； 当 时，两个位似图形在原点两侧； 当 时，图形扩大为原来的 倍； 当 时，图形缩小为原来的 。 【即时练习】 在平面直角坐标系中，将某个图形各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是（ C ） A. 将各点的纵坐标乘 ，横坐标不变 B. 将各点的横坐标除以 ，纵坐标不变 C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘 D. 将各点的纵坐标减去 ，横坐标加上 通过“乘 、乘 、乘 、乘 ”的层层递进，引导学生从具体坐标运算中归纳位似变换坐标规律，培养观察、归纳和抽象能力。 探究点2：平面直角坐标系中位似图形的画法 【问题引入】 教师出示例题：在平面直角坐标系中，四边形 的顶点坐标分别为 ，，，。以原点 为位似中心，画出四边形 的位似图形，使它与四边形 的相似比是 。 学生思考：以原点为位似中心，位似图形可以在原点同侧，也可以在原点两侧，因此有两种画法。 画法一：将四边形 各顶点的坐标都乘 。 描出点 ，，，依次连接 ，，，，，则四边形 就是符合要求的图形。 画法二：将四边形 各顶点的坐标都乘 。 描出点 A''，B''，C''，依次连接 ，A''，B''，C''，，则四边形 OA''B''C''也是符合要求的图形。 【归纳】 在平面直角坐标系中画位似图形的步骤 ①根据相似比确定 的值； ②根据位似中心与两个图形的位置关系，确定 的值； ③把已知图形顶点的横、纵坐标均乘 ，得到对应的顶点坐标； ④描出各对应顶点，并顺次连接，则所得图形即为所求。 注意：一般情况下，若没有限定象限，画已知图形关于某点的位似图形有 个。 【例题巩固】 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ，，。 （1）以原点 为位似中心，在 轴的右侧画出 的一个位似 ，使它与 的相似比为 ，并写出点 ， 的对应点 ， 的坐标。 （2）画出将 向左平移 个单位，再向上平移 个单位后得到的 ，并写出点 ， 的对应点 ， 的坐标。 （3） 和 是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心 ，并写出点 的坐标。 解：（1）在 轴右侧作位似图形，取 。 答案： 为所作图形，，。 （2）横坐标减 ，纵坐标加 。 答案：，。 （3）连接对应点 ，，其交点即为位似中心。 由 ， 可得直线 的方程为 ；由 ， 可得直线 的方程为 。两直线交点坐标为 。 答案： 与 是位似图形，位似中心 的坐标为 。 通过“画位似图形”的操作性任务，让学生掌握在坐标系中利用坐标变化规律作图的方法；通过综合例题，将位似与平移、中心确定等问题结合，提升综合运用能力。 课堂小结 板书设计 3.5图形的位似第二课时 一、位似变换的坐标变化规律 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，相似比为|k|。 注意：k＞0时，位似图形在原点同侧；k＜0时，在原点两侧。 |k|＞1，图形放大；|k|＜1，图形缩小。 原图形点A（的对应点坐标为（）或。 二、在平面直角坐标系中画位似图形的步骤 根据相似比确定|k|的值； 根据位似中心与两个图形的位置关系，确定k的值； 把已知图形顶点的横、纵坐标均乘k，得到对应顶点； 描出各对应顶点，顺次连接。 三、典型例题 例：以原点O为位似中心，将△OAB放大或缩小，求对应点坐标并画图。 随堂练习 1.如图，在平面直角坐标系中，以原点 为位似中心，将 扩大到原来的 倍，得到 。若点 的坐标是 ，则点 的坐标是（ C ） A. B. C. D. 2.如图，线段 两个端点的坐标分别为 ，，以原点 为位似中心，在第一象限内将线段 缩小为原来的 后得到线段 ，则端点 的坐标为（ A ） A. B. C. D. 3.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫作格点三角形。在如图所示的平面直角坐标系中，格点三角形 与格点三角形 成位似关系，则位似中心的坐标为（ A ） A. B. C. D. 4.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 ，，以原点 为位似中心，相似比为 ，把 缩小，则点 的对应点 的坐标是（ C ） A. B. C. 或 D. 或 5.如图，将 以 为位似中心，扩大得到 ，其中 ，，则 与 的相似比为______． 答案： 6. 三个顶点 ，，，以原点为位似中心，得到的位似图形 三个顶点分别为 ，，，则 与 的相似比是______． 答案： 7.如图所示， 的顶点坐标是 ，，，以点 为位似中心，将 缩小为原来的 ，得到 ，则点 的坐标为______． 答案： 或 8.原点 是 和 的位似中心，点 与点 是对应点， 的面积是 ，则 的面积是______． 答案： 9.如图，已知 的三个顶点的坐标分别为 ，，。 (1)请直接写出点A关于x轴对称的点A′的坐标； (2)以C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A1B1C，使放大前后相似比为1∶2， 请画出图形，并求出△A1B1C的面积. 解：(1)点A′的坐标为（-1，-2）. (2)如图所示.△A1B1C的面积=1/2×6×4=12. 10.如图所示，已知点O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3,-1)，(2,1). (1)以点O为位似中心,在y轴的左侧将△OBC放大到原来的2倍(即新图形与原图形的相似比为2:1),分别写出B，C两点的对应点B',C'的坐标，并画出图形。 (2)如果将△OBC内一点M的坐标记为(x,y)，写出点 M的对应点M'的坐标。 解:(1)已知B，C两点的坐标分别为(3，-1)，(2，1)，以点O为位似中心，在y轴的左侧画与△OBC的相似比为2:1的位似图形，此时的k=-2. 所以点 B'，C'的坐标分别为(-6，2)，(-4，-2). 描出点 B'，C'，连接 OB'，OC'，B'C'， 得到的△OB'C'就是要画的图形，如图所示. (2)点M(x，y)的对应点M'的坐标为(-2x，-2y)。 教学反思 本节课教学目标基本达成，学生能正确理解位似图形坐标变换规律，并能利用坐标变化画出位似图形。通过对比“乘2”与“乘－2”、“乘k”与“乘－k”的辨析，学生对k的符号与图形位置的关系有了较清晰的认识。但在实际画图时，部分学生对“位似中心在原点”的坐标变换掌握较好，而当位似中心不在原点或需要判断两个图形是否位似时，仍存在困难。今后可增加一类“先平移后位似”或“找位似中心”的变式训练，帮助学生进一步理解位似变换的本质。同时，应留出更多时间让学生小组合作交流作图方法，互相纠错，提升课堂参与度和实效性。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $