3.3相似三角形判定定理的证明 第2课时 教学设计 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

《3.3 相似三角形判定定理的证明（第2课时）》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本节课是北师大版九年级上册第四章《图形的相似》中3.3节的第2课时，主要内容是证明“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理，并能运用该定理判定两个三角形相似。 学生在第1课时已经学习了“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理及其证明，掌握了利用平行线判定三角形相似的方法。本节课在此基础上，通过类比和转化，证明第二个判定定理，是相似三角形判定体系的重要组成部分。 教材通过“操作—观察—猜想—证明”的探究过程，引导学生经历从合情推理到演绎推理的思维过程，进一步发展学生的几何直观和逻辑推理能力。 学习者分析 学生已经学习了相似三角形的定义、平行线分线段成比例定理，以及“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，具备了一定的几何证明基础。 对于“两边成比例且夹角相等”的判定，学生容易与全等三角形的“SAS”判定混淆，需要通过对比加深理解。同时，证明过程中需要添加辅助线，学生可能会有困难，需要教师引导。 教学目标 1. 理解并掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理。 2. 经历判定定理的证明过程，进一步发展逻辑推理能力，体会类比和转化的数学思想。 3. 能运用该判定定理判定两个三角形相似，并解决简单的证明和计算问题。 教学重点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理及其应用。 教学难点 判定定理的证明过程，以及定理的灵活应用。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 1. 复习提问：上节课我们学习了相似三角形的哪个判定定理？内容是什么？ 2. 类比引导：我们知道全等三角形有SAS判定，那么相似三角形有没有类似的判定方法呢？如果两个三角形有两边成比例，再加上一个角相等，能判定它们相似吗？ 3. 引出课题：今天我们就来探究这个问题——两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 活动意图说明：通过复习旧知，类比全等三角形的SAS判定，引导学生猜想相似三角形的判定方法，自然引入新课。 学生活动1： 学生回忆上节课内容：两角分别相等的两个三角形相似。 学生思考教师提出的问题，大胆猜想相似三角形的SAS判定。 环节二：新知探究 【探究】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 教师：如下图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A = ∠A′，AB:A′B′ = AC:A′C′ = k。 求证：△ABC∽△A′B′C′ 教师引导学生分析证明思路： 我们已经知道“两角分别相等的两个三角形相似”，能不能把这个新问题转化为已经解决的问题呢？ 证明过程： 在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD = A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E。 则 △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似） ∴ AB:AD = AC:AE 又∵ AB:A′B′ = AC:A′C′，AD = A′B′ ∴ AE = A′C′ 又∵ ∠A = ∠A′ ∴ △ADE ≌ △A′B′C′（SAS） ∴ △ABC∽△A′B′C′ 【归纳总结】 判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 注意：必须是“夹角”相等，不是其中一边的对角相等。 活动意图说明：通过添加辅助线，把新问题转化为已学的判定定理，体现转化的数学思想。让学生经历完整的证明过程，培养逻辑推理能力。 学生活动2： 1. 学生思考证明思路，尝试添加辅助线。 2. 学生跟随教师引导，完成证明过程。 3. 小组讨论：为什么必须是“夹角”相等？如果是“对角”相等会怎么样？ 4. 师生共同归纳总结判定定理。 环节三：典例精析 例1：如下图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点。AE=1.5，AC=2，BC=3，且AD:AB=3:4，求DE的长。 解：∵ AE=1.5，AC=2 ∴ AE:AC = 1.5:2 = 3:4 又∵ AD:AB = 3:4 ∴ AD:AB = AE:AC 又∵ ∠A = ∠A（公共角） ∴ △ADE∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） ∴ DE:BC = AD:AB = 3:4 即 DE:3 = 3:4 解得 DE = 2.25 例2：判断下图中的两个三角形是否相似，并说明理由。 甲三角形：两边长分别为3和4，夹角为40°； 乙三角形：两边长分别为6和8，夹角为40°。 解：相似。 ∵ 3:6 = 1:2，4:8 = 1:2 ∴ 两边成比例 又∵ 夹角都为40°，即夹角相等 ∴ 这两个三角形相似（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） 活动意图说明：通过例题巩固判定定理的应用，培养学生灵活运用知识解决问题的能力。 学生活动3： 1. 学生独立完成例1，先找两边的比例关系，再找夹角。 2. 学生思考例2，判断两个三角形是否相似。 3. 学生展示解题过程，互评纠错。 板书设计 3.3 相似三角形判定定理的证明（第2课时） 判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 条件： 1. 两边成比例 2. 夹角相等（注意：必须是夹角，不是对角） 证明思路：转化为“两角分别相等”的判定 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列条件中，能判定△ABC∽△A′B′C′的是（ ） A. ∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′ B. ∠A=∠A′，AB:A′B′=AC:A′C′ C. AB:A′B′=AC:A′C′，∠B=∠B′ D. ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′ 2. 已知△ABC和△A′B′C′，AB=3，BC=4，A′B′=6，B′C′=8，当∠______=∠______时，△ABC∽△A′B′C′。 选做题： 3. 如图，在△ABC中，D在AC上，AD=2，AC=5，AB=4。当AE=______时，△ADE∽△ACB。 【综合拓展类作业】 4. 已知：如图，BD、CE是△ABC的高。求证：△ADE∽△ABC。 课堂总结 课堂小结，自我完善 教师引导学生畅谈本节课的收获： 1. 本节课学习了哪个相似三角形的判定定理？内容是什么？ 2. 这个判定定理的条件是什么？需要注意什么？（必须是夹角相等） 3. 证明过程中用到了什么数学思想方法？（转化思想、类比思想） 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列条件中，不能判定两个直角三角形相似的是（ ） A. 一个锐角对应相等 B. 两条直角边对应成比例 C. 斜边和一条直角边对应成比例 D. 两边成比例且其中一边的对角相等 2. 如图，△ABC与△ADE相似，∠A为公共角，AD:AB=2:3，AE=4，则AC的长为______。 选做题： 3. 已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′=60°，AB=4，AC=6，A′B′=2，求A′C′为多少时，△ABC∽△A′B′C′？ 【综合拓展类作业】 4. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且AB²=DB·CE。求证：△ADB∽△EAC。 答案： 【课堂练习】 1. B 2. B，B′（或∠ABC=∠A′B′C′） 3. 1.6 4. 证明：∵ BD、CE是△ABC的高 ∴ ∠ADB=∠AEC=90° 又∵ ∠A=∠A ∴ △ADB∽△AEC（两角分别相等） ∴ AD:AE = AB:AC 即 AD:AB = AE:AC 又∵ ∠A=∠A ∴ △ADE∽△ABC（两边成比例且夹角相等） 【作业设计】 1. D 2. 6 3. 解：∵ ∠A=∠A′=60°，要使△ABC∽△A′B′C′ ∴ AB:A′B′ = AC:A′C′ 即 4:2 = 6:A′C′ 解得 A′C′=3 4. 证明略。 教学反思 本节课是相似三角形判定定理的第2课时，主要内容是证明“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。教学中通过类比全等三角形的SAS判定，引导学生猜想并证明新的判定定理，体现了类比和转化的数学思想。 教学难点是证明过程中辅助线的添加，学生可能会有困难，需要教师引导学生思考“如何把新问题转化为已解决的问题”。同时，要特别强调“必须是夹角相等”，可以通过反例让学生加深理解，避免与“SSA”混淆。 学科网（北京）股份有限公司 $