3.3相似三角形判定定理的证明第1课时（教学设计）数学新教材北师大版九年级上册

3.3相似三角形判定定理的证明第1课时 年级 九年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版九年级上册 教学目标 1.探索并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论； 2.会运用平行线分线段成比例的事实及其推论解决相关的计算和证明问题。 教学重点 平行线分线段成比例的基本事实及其推论。 教学难点 在较复杂图形或变式图形中准确找出对应线段，正确建立比例关系并完成计算与证明。 教材分析 本课为北师大版初中数学九年级上册第三章《图形的相似》第三节《相似三角形判定定理的证明》（第1课时）。核心内容是平行线分线段成比例的基本事实及其推论，这是后续证明相似三角形判定定理的重要基础。 本节从梯子实例出发，借助方格纸引导学生计算线段比值，经历由特殊到一般的探索过程，归纳出基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。通过平移平行线、过定点作平行线等方式，将基本事实特殊化，得到平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得对应线段成比例的推论，形成“A”型、“X”型等基本图形。该内容既是对比例线段知识的延伸，又为相似三角形判定定理的证明提供理论依据，具有承上启下的作用。教学重点是理解并掌握基本事实及推论的探索过程与符号表达，难点是灵活识别对应线段并运用于计算和证明。 学情分析 学生已学过比例线段、比例的基本性质、合比性质与等比性质，也熟悉平行线的性质，具备一定的观察、类比和归纳能力，这为探究平行线分线段成比例提供了知识基础和方法支撑。但学生初次接触“一组平行线截两条直线所得对应线段成比例”，容易在对应线段的识别上出错，尤其是当图形位置变化（如涉及延长线）或图形较复杂时，难以准确建立比例关系。因此，教学中应借助方格纸、动态平移等直观手段，帮助学生形成“A”型、“X”型等基本模型，并通过变式训练逐步突破难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情景，引入新课】 【知识回顾（口答）】 在四条线段 中，如果 与 的比等于 与 的比，即 ，那么这四条线段 叫做成比例线段，简称比例线段。 比例的基本性质：如果 ，那么 ； 如果 （ 都不等于 0），那么 。 合比性质：如果 ，那么 。 等比性质：如果 （），那么 。 【情境引入】 下图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道：，， 互相平行，若 ，你能猜想出什么结果呢？ 猜想：。 追问：你是如何得到的呢？——这就需要用我们今天学习的“平行线分线段成比例”来解释。 从熟悉的梯子情境出发，引起认知冲突，激发学生兴趣；同时复习比例的基本性质、合比性质和等比性质，为用比例式刻画“线段的比”扫清障碍，明确学习方向。 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） 【问题引入】 问题1 如图所示，方格纸中每个小方格的边长均为 1，直线 ，分别交直线 于格点 、。 计算： 学生计算可得： 发现：对应线段的比值相等。 问题2 将 向下平移到其他位置，上述结论还成立吗？ 成立。在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例。 【师生活动】 教师：演示方格图，引导学生计算三组线段的比。 学生：独立计算，小组交流，发现 组线段比与 组线段比相等。 教师：平移 ，追问“结论还成立吗？”学生猜想并验证。 教师：引导学生将结论用文字语言和符号语言进行概括。 【新知归纳】 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图，若 ，直线 被 分别截于点 和 ，则 记忆口诀：＝，＝，＝。 【例题巩固】 例1 如图，已知直线 ，分别交直线 于点 和 ，，，，求 的长。 解析： 练习1 如图，已知 ，下列比例式中错误的是（ D ） A. B. C. D. 通过“数方格—比比值—平移验证—归纳概括”的过程，让学生经历平行线分线段成比例基本事实的形成过程，培养合情推理和几何直观能力；通过典型例题和选择辨析，巩固对应线段的找准方法。 探究点2：平行线分线段成比例的推论 【问题引入】 问题 如图①，直线 ，分别交直线 于 、。过点 作直线 的平行线，分别交直线 于点 ，得到图②。图②中有哪些成比例线段？ 【师生活动】 教师：在基本事实的图形上添加平行线，构造图②，提出问题。 学生：观察图形，尝试用基本事实写出比例式。 教师：引导学生在 中寻找平行线，发现“三角形内平行于一边的直线”的比例关系。 学生：小组讨论，归纳出推论。 【新知导出】 在图②中， 内，，所以 由此抽象出一般结论： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 【新知归纳】 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 如图，若 ，则 注意：推论中“与其他两边相交”也包括与其他两边的延长线相交。 常见变形图形：上述基本事实和推论的图形经平移、特殊化可得到“A”型和“X”型等常见图形，解题时可直接利用对应线段成比例。 【例题巩固】 练习2 如图，已知 ，，，，则 （ B ） A. 2 B. 4.5 C. 6 D. 8 【例2】 如图，在 中， 分别是 上的点，且 。 （1）如果 ，，，那么 的长是多少？ （2）如果 ，，，那么 的长是多少？ 解析：（1）， （2）， 通过构造平行线，把基本事实“嵌入”三角形中，使学生直观看到“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例”，突破本课难点；同时为后续“相似三角形判定定理的证明”提供依据和方法原型。 课堂小结 板书设计 3.3相似三角形判定定理的证明第1课时 一、知识回顾 成比例线段：a:b = c:d 比例基本性质：ad = bc 合比性质、等比性质 二、平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 符号语言：如图，若 ，直线 被 所截，则＝，＝，＝ 三、常见变形图形 “A”型：平行于三角形一边的直线截其他两边。 “X”型：平行于三角形一边的直线截两边的延长线。 四、推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 即：DE∥BC → = 等。 五、典例分析 例1：利用基本事实求线段长（已知部分线段比，求另一条线段）。 例2：在三角形中，利用EF∥BC求AF、FC的长。 随堂练习 1.如图，已知，下列比例式成立的是（ C ） A. B. C. D. 2.右图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（ D ） A. 1 B. C. D. 5 3.如图，在中，点，分别在边，上，。已知，，则（ B ） A. 4.5 B. 8 C. 10.5 D. 14 4.如图所示，，是边，上的两点，下列条件中，能够判定的是（ D ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 5.如图，，直线，与，，分别相交于点，，和点，，。若，，则的长是______。 答案：6 6.如图，，，，，则______。 答案：15 7.如图，，，，，则______。 答案：12 8. 如图，在中，，，，，。求和的长。 解： ，，。 ， 。 ， ， ，。 。 9. 如图，，，如果，则的长为多少？ 解： ， 。 ， ，， 。 10. 如图，已知菱形内接于，，，求菱形的边长。 解： 四边形为菱形， ， 。 设菱形的边长为，则，， ，解得。 菱形的边长为。 教学反思 本课教学目标基本达成。通过方格纸计算、平移直线等活动，学生能直观理解平行线分线段成比例的基本事实，多数学生能准确说出推论内容。但在“对应线段”的辨别中，部分学生在“X”型或非标准图形中仍容易找错对应线段，需要借助图形变式加强训练。在运用比例式求线段长时，学生列方程意识薄弱，尤其对含未知数的比例式计算存在困难。今后应增加“一题多解”和小组合作探究活动，让学生多画图、多标注，强化对应线段的位置关系，并补充适量设未知数求解的练习，逐步提高建模能力。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $