3.2探索三角形相似的条件 第3课时教学设计 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“探索三角形相似的条件”第3课时，核心内容为相似三角形判定定理3（三边成比例的两个三角形相似）。课堂导入通过回忆相似三角形定义及已学判定方法，提出“无角相等如何判定相似”的问题，类比全等三角形SSS，搭建新旧知识联系的学习支架。 该资料亮点在于注重动手操作与几何直观，学生通过画图、测量探究三边成比例与三角形相似的关系，结合多媒体动画验证结论，培养抽象能力与创新意识。总结判定思路时分类讨论不同条件下的方法选择，提升推理能力，帮助学生灵活解题，为教师提供清晰教学流程和多样化实践方法。

第三章 图形的相似 2 探索三角形相似的条件 第3课时   一、教学目标 1.掌握相似三角形的定义及相似三角形的判定方法3. 2.会运用三角形相似的判定定理3判别两个三角形相似，并会运用三角形相似解决简单问题. 3.掌握三角形相似的几种判别方法，能灵活运用这些方法解决三角形相似问题. 4.通过探索相似三角形的判定方法3，体现数学活动充满着探索性和创造性，体会实践是检验真理的唯一标准，培养学生的动手操作能力、总结概括能力.   二、教学重难点 重点：掌握相似三角形的定义及相似三角形的判定方法3. 难点：会运用三角形相似的判定定理3判别两个三角形相似，并会运用三角形相似解决简单问题.   三、教学过程 · 情境导入 教师活动：引导学生回忆上节课学习的内容，提问学生回答下面问题. 问题1：什么叫相似三角形? 预设答案：三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形. 问题2：我们已经学习了哪些相似三角形的判定方法？ 预设答案：定义法：三个角分别相等、三条边对应成比例. 判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 问题3：这些判定方法有没有什么共同特点? 预设答案：都要有角的相等关系，至少要有一个角是相等的. 追问：进一步提出思考：如果没有角相等的条件，要如何判定两个三角形相似？类似于判定三角形全等的 SSS 方法，有两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？ 设计意图：在上一节的基础上，引出本节课内容，继续探究三角形相似的判别方法. · 探究新知 活动：探索三角形相似的条件 做一做：画△ABC与△A′B′C′，使都等于给定的值2.设法比较∠A与∠A′的大小，△A′B′C′与△ABC相似吗？说明你的理由. 预设答案：两个三角形相似. 教师活动：引导学生自主画图探索，让学生展示画出的图形，并说明测量结果及结论. 然后演示两个三角形相似的动画，说明两个三角形相似. 设计意图：类比三角形全等(边边边)的判定定理，探索三角形相似的另一个判定方法. 做一做：画△ABC与△A′B′C′，使都等于给定的值k.设法比较∠A与∠A′的大小，△ABC与△A′B′C′相似吗？说说你的理由.改变k值的大小，再试一试. 并与同伴进行交流. 教师活动：播放已知三边成比例，测量其中一角的演示动画，观察任意改变角度值及k值，另一角仍然相等，指导学生注意观察，判断两个三角形是否相似. 预设答案：两个三角形相似. 设计意图：引导学生通过画图、动手操作，借助几何直观对结论进行初步猜测，然后转入下一环节进行验证.在学生实际动手验证的基础上，用多媒体课件进行演示，可以使学生对这一结论确认不疑. 总结：相似三角形的判定定理3： 三边成比例的两个三角形相似. 符号语言： 已知 △ABC与△A′B′C′，若则有△ABC∽△A′B′C′. 教师活动：说明这个判定定理可以进行证明，会在后面章节的内容中学习. 设计意图：帮助学生在理解的基础上记忆判定定理3. 想一想：我们学习了哪些判断三角形相似的方法？它们各自有哪些特点？ 教师活动：以提问学生回答的形式总结三角形相似的判别方法.并指出定理间的条件相似性. 议一议：如图，已知方格纸中每个小方格的边长均为1，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？与同伴进行交流. 教师活动：指导学生从学习过的相似三角形判定定理出发，强调方法的不唯一性. 预设答案：方法1：通过勾股定理分别计算两个三角形三边的长度，并计算对应边的比值，利用判定定理3判断. 方法2：通过图形可以看出∠A与∠A′均等于45°，计算AB、A′B′、AC、A′C′的长度，求出的值，利用判定定理2判断. 方法3：借助辅助线，先证明∠C=∠C′，再结合∠A=∠A′，利用判定定理1判断. 设计意图：培养学生分类讨论的思想及归纳总结的能力.考察相似三角形判定方法的灵活使用，强调解决问题的灵活多样性. 拓展：教师总结判定两个三角形相似的思路，重点说明不同条件联想不同的判别方法，寻找不同的条件，灵活运用条件和定理解决问题. 具体内容如下： (1)已知一条边平行于另一三角形的一边，找相等的两个角； (2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边对应成比例； (3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边对应成比例； (4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成比例； (5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两组直角边对应成比例，或斜边、一组直角边对应成比例(利用勾股定理可以转化成三边成比例)． 设计意图：三角形相似问题证明的一般思路总结.帮助学生总结规律,灵活运用条件和定理解决问题. 练一练：如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE∽△ABC. 预设答案：①再加一个相等角的条件：∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB ②再加一个边成比例的条件： 教师活动：帮助学生分析已知条件∠DAE=∠CAB.提醒应利用已知一角相等的条件的判定定理. 设计意图：巩固上面总结的规律，选择合理的条件. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【教材例题】 例1 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=20°，求∠CAE的度数． 分析：由已知条件易得 △ABC∽△ADE，则∠BAC=∠DAE.而∠DAC为两等角内都包含的部分角，由此可得∠BAD=∠CAE，从而结合已知求出∠CAE的度数. 解：∵ ∴△ABC∽△ADE（三边成比例的两个三角形相似）. ∴∠BAC =∠DAE. ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE －∠DAC ， 即∠BAD =∠CAE. ∵∠BAD=20°，∴ ∠CAE=20°. 设计意图：通过解决例题让学生体会应用相似三角形判定定理3的具体情境，注意要引导学生阅读理解题意. 解题通法：三边成比例的两个三角形相似，应用这一定理判定两个三角形相似的方法： 首先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边； 再分别计算小、中、大边的比； 最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似． 特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形全等． 可简记为：“一排(排顺序)、二算(算对应边比值)、三判(判断三个比是否相等)”． 设计意图：帮助学生进一步了解判定定理3的使用场景和方法. · 课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【教材练习】 1.如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ 解：(1)不相似，因为三边不成比例； (2)相似，因为三边成比例. 【自选练习】 2.如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是( ) A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA 答案：C 3.一个三角形三边的长分别是3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其他两边的和是(　　) A．19 B．17 C．24 D．21 答案：C 4.如图，△ABC中，点 D，E，F分别是 AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD． 证明：在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴ ∴ ∴ △ABC∽△EFD. 5.如图，在 Rt△ABC与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C′= 90°，且 求证：△A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2A′C′， ∴ BC2=AB2－AC2=( 2A′B′)2－(2 A′C′)2=4A′B′2－4 A′C′2=4(A′B′2－A′C′2)=4B′C′2=(2B′C′ )2. ∴ BC=2B′C′， ∴ △A′B′C′∽△ABC (三边对应成比例的两个三角形相似). 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.相似三角形的判定定理3是什么？ 2.判定两个三角形相似的思路是什么？ 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $