第二十七章 反比例函数（单元自测卷·广东专用）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册反比例函数单元卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合气体压强、消毒等真实情境，考查定义、图像性质及与几何综合应用，适配单元复习，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例函数定义、图像性质|基础辨析，如第1题函数类型判断| |填空题|5/15|解析式、象限分布|简单应用，如第13题压强与体积关系| |解答题（一）|3/24|解析式求解、图像绘制|基础综合，如18题双曲线与直线交点| |解答题（二）|3/27|一次函数综合、实际应用|情境探究，如20题消毒含药量问题| |解答题（三）|2/24|几何综合、新定义|创新拓展，如23题平行四边形“k”函数|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十七章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（   ） A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义：形如（其中且k为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可． 【详解】解：由得，，故反比例函数有：①③⑥； 2．已知反比例函数过点，则的值为（    ）． A．9 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】将代入中得到，进行计算即可得到答案． 【详解】解：反比例函数过点， ， 解得：， 3．关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数的解析式，将点的坐标代入解析式中，可判断A； 根据反比例函数的解析式，可得出其图象的位置，可判断B； 根据反比例函数的解析式，结合增减性，可判断C； 根据反比例函数的解析式，可判断其对称性，可判断D． 【详解】解：反比例函数， 当时，， ∴点不在它的图象上， 故A错误； ∵， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大反而减小， 故B错误，C错误； 由反比例函数的对称性可知，图象的两个分支关于原点对称，故D正确． 4．如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择． 【详解】解：如图： ∵的图象在第二象限， ∴， ∵ 的图象都在第一象限， ∴， 当时，，由图象可知，， ∴， 5．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 6．已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案． 【详解】解： 点，在反比例函数的图象上， ，， ， ，， ． 7．充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强与气体体积是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（    ） A．这个反比例函数解析式为 B．当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小 C．若压强由减压到，则气体体积增加了 D．若气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据题意可知P与V的函数的表达式为，利用待定系数法即可求得函数解析式可判断A；根据图象可判断B；求出压强为和时的函数值可判断C；求出压强为时的函数值，结合反比例函数的性质可判断D． 【详解】解：A．设P与V的函数关系式为：， 则， 解得，∴函数关系式为，故A正确； B．由图象可知，当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小，故B正确； C．将代入得，将代入得，，故C正确； D．将代入得， ∵当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的减小而增大，球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应大于，故D不正确． 8．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】考查函数图象和性质．解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质． 根据二次函数的图象开口向下可知，，则，而根据反比例函数的图象性质可判断出a的正负；由一次函数的图象与性质可知和c的正负，即可得到答案． 【详解】解∵二次函数的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴， ∴． A、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴A不符合： B、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴B不符合： C、∵在反比例函数中，，在一次函数中， ，， ∴C符合： D、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴D不符合． 故选：C． 9．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 【答案】B 【分析】联立方程组可求得点C坐标，可判断A；由一次函数图象与反比例函数图象相对点C坐标的位置关系可判断B；根据一次函数图象的平移，结合反比例函数图象的位置可判断C；先求得点A、B的坐标，再利用坐标与图形性质求得的面积可判断D，进而可得答案． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点C， ∴联立方程组，解得或（舍去）， ∴点C的坐标为，故A正确； 由图象知，当时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值，故B错误； ∵将直线向上平移k个单位后，直线始终经过第一象限，又反比例函数的图象位于第一象限， ∴将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点， 故C正确； ∵点A在反比例函数的图象上，且点A的横坐标为1． ∴当时，，则点A坐标为， 又∵过点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B， ∴点B坐标为， ，如图， 则，故D正确． 10．如图，平行四边形的边在x轴上，O为坐标原点，点A的坐标为，D为的中点，连接，直线的函数表达式为，反比例函数经过点C，D，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数，平行四边形的性质和中点坐标，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 根据一次函数的解析式，设点D坐标为，然后根据中点坐标公式得点B坐标，然后根据平行四边形的性质得出点C坐标，运用待定系数法代入反比例函数即可解答． 【详解】解：∵直线的函数表达式为， 设点D坐标为， ∵D为的中点，点A的坐标为， ∴点B坐标为， 在平行四边形中，， ∴，， ∴点C坐标为， ∵反比例函数经过点C，D， ∴ 解得：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 12．已知反比例函数（是常数，）的图象有一支在第二象限，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】由于反比例函数的图象有一支在第二象限，可得1-k＜0，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支在第二象限， ∴1-k＜0， 解得k＞1． 故答案为：k＞1． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 13．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 【答案】50 【分析】设p关于V的函数关系式为，利用待定系数法求出函数关系式，再求出时对应的自变量值即可． 【详解】解：设p关于V的函数关系式为， 由题意可知，点在反比例函数图象上， 则， 解得：， 则p关于V的函数关系式为， 当时，汽缸内气体的体积． 14．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，，设与轴交于点，将面积转化为的面积，然后结合反比例函数系数的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， 轴， ，轴， 点A，B分别为反比例函数与图象上的点， ，， ． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，下面三个结论：①；②点和点在反比例函数的图象上，若，则；③不等式的解集是，其中正确的结论是________（只填序号） 【答案】① 【分析】根据题意，得，，解得，，结合函数的性质，求解即可； 【详解】解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ， ， 直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点， ， 故① 正确； 点和点在反比例函数的图象上，但是没有说明是否是在同一支上，故当，则不一定成立； 故②错误； 根据题意，得， 解得，， 根据图象，知当或时，直线在反比例函数图象的下方， 故不等式的解集是或， 故③错误． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 17．已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 【详解】（1）解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； （2）解：当时，． 18．已知双曲线经过点． (1)求这个双曲线的函数表达式； (2)在所给平面直角坐标系中画出该双曲线的简图； (3)若直线也经过点，问该直线与双曲线还有其它交点吗？若有，请直接写出其它交点的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) 画图如下： (3)有其它交点， 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）通过列表，描点，连线画出函数图象即可； （3）求出直线的解析式，联立求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； ∴； （2）列表如下： 1 2 4 1 2 4 （3）解：∵直线也经过点， ∴， ∴， 联立，解得：或， ∴直线与双曲线还有其它交点，坐标为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及函数图象的作图方法，是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为__________； (3)点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的关系式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的关系式即可； （2）根据函数图象找到一次函数的图象在反比例函数的图象上方时自变量的取值范围即可； （3）设直线交x轴于点D，求出点D的坐标，根据建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的关系式为， 把点B的坐标代入得， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：由（1）和函数图象可得不等式的解集为或； （3）解：如图所示，设直线交x轴于点D， 在中，当时，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或， ∴点P的坐标为或． 20．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 21．如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象． (1)求a的值及反比例函数的表达式； (2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． (3)在x轴存在点Q，使得，请求出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)点P坐标为 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题． （1）先求出，再利用待定系数法进行解答即可； （2）先求出，根据，又，解得：，则，即可求出答案； （3）分两种情况：①当点Q在x轴正半轴上时，②当点Q在x轴负半轴上时，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：把代入得， ， ， 把代入， 得， 反比例函数的函数表达式为 （2）解：当时， ， ， ， ， ， 又， 解得：， ， 点P坐标为； （3）解：①当点Q在x轴正半轴上时， 如图，过点A作轴交x轴于， 则， 点； ②当点Q在x轴负半轴上时， 如图，设与y轴交于点， ∵， ∴， 则， 解得：，               ∴， 设直线表达式为，则有 ， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 即点的坐标为， 综上所述，点Q的坐标为或． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台（水平）与x轴的距离为8，与y轴交于B点，与滑道交于A，且，轴，测得，P到x轴的距离为4，设． (1)k的值为________，点P的坐标是________，________； (2)一小球从B点出发沿抛物线运动，落在滑道上P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道是否还能相交； ②在x轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ 【分析】（1）由题意得到点A的坐标，代入即可求出k值，得到，将点P的纵坐标和分别代入求解即可； （2）①由抛物线G的最高点Q的坐标写出抛物线的顶点式，将代入求出a值，即可得到抛物线的解析式；求出抛物线上时对应的y值，判断此点在点M的上方还是下方，即可得出抛物线与是否相交； ②首先得到，然后得到点和在抛物线上，然后判断即可． 【详解】(1)24，，12 解：∵平台（水平）与x轴的距离为8，， ∴， 将代入得，， ∴； ∴， 当时，， 解得， ∴， ∵，， ∴， 将代入得， 解得； （2）解：①∵最高点Q的坐标为， 设抛物线G的解析式为， ∵点在抛物线G上， ∴． 解得， ∴抛物线G的解析式为； 抛物线G与滑道不能再相交，理由如下： ∵，轴， ∴当时，， ∴抛物线G与滑道不能再相交； ②∵， ∴， 当时，， 若小球恰好能被点N接住， ∵抛物线G上有点， ∴向上平移距离； 若小球恰好能被点C接住， ∵抛物线G上有点， ∴向上平移距离； ∴向上平移距离d的最大值为，最小值为4． 23．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数．    (1)已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数． ①求的值及点的坐标； ②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (2)已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数． ①请在图2中画出平行四边形； ②若，求平行四边形的面积； ③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由． 【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，平行四边形的性质等知识；正确理解题意是解答本题的关键． （1）①先判断函数的图象经过点B，求出m的值，设点D的坐标为，代入可得，从而可得点D的坐标；②求出点C的坐标为，可判断点A，点C在反比例函数图象上，从而可得结论； （2）①根据反比例函数图象是中心对称图形，可画出平行四边形； ②由可求出点B的坐标，根据中心对称的性质可得出点C的坐标，过点A作于点E，过点B作于点F，根据可得结论； ③根据两点间距离公式求出的长，根据得出，结合求出的值即可． 【详解】（1）解：①若函数过点A，则当时，， 所以，函数不过点A， ∵函数是平行四边形的“”函数， ∴函数过点， 把点的坐标代入得，； ∵轴， ∴设点D的坐标为，代入得，， 解得，， ∴； ②∵四边形是平行四边形，，， ∴点C可以看作是点D向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到的， 所以，点C的坐标为， ∵， ∴点A，C在反比例函数的图象上， ∴反比例函数是平行四边形的“”函数，此时； （2）解：①如图，即为所画；    ②如图，过点A作于点E，过点B作于点F，    根据中心形的性质得， ∵ ∴， 又 ∴， ∴ ； ③平行四边形可以成为矩形， ∵， ∴， 若四边形是矩形，则有：， ∴ 整理得， 又， ∴， ∵， ∴， 联立， 解得，，或（舍去） ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十七章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（   ） A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥ 2．已知反比例函数过点，则的值为（    ）． A．9 B． C．3 D． 3．关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 4．如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 7．充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强与气体体积是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（    ） A．这个反比例函数解析式为 B．当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小 C．若压强由减压到，则气体体积增加了 D．若气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于 8．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（   ） A． B． C． D． 9．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 10．如图，平行四边形的边在x轴上，O为坐标原点，点A的坐标为，D为的中点，连接，直线的函数表达式为，反比例函数经过点C，D，则k的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 12．已知反比例函数（是常数，）的图象有一支在第二象限，那么的取值范围是______． 13．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 14．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 15．如图在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，下面三个结论：①；②点和点在反比例函数的图象上，若，则；③不等式的解集是，其中正确的结论是________．（只填序号） 题13图 题14图 题15图 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 17．已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 18．已知双曲线经过点． (1)求这个双曲线的函数表达式； (2)在所给平面直角坐标系中画出该双曲线的简图； (3)若直线也经过点，问该直线与双曲线还有其它交点吗？若有，请直接写出其它交点的坐标；若没有，请说明理由． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，,,为常数． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为__________； (3)点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标． 20．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 21．如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象． (1)求a的值及反比例函数的表达式； (2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． (3)在x轴存在点Q，使得，请求出点Q的坐标． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台（水平）与x轴的距离为8，与y轴交于B点，与滑道交于A，且，轴，测得，P到x轴的距离为4，设． (1)k的值为________，点P的坐标是________，________； (2)一小球从B点出发沿抛物线运动，落在滑道上P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道是否还能相交； ②在x轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ 23．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数．    (1)已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数． ①求的值及点的坐标； ②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (2)已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数． ①请在图2中画出平行四边形； ②若，求平行四边形的面积； ③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十七章 反比例函数 （参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A C A D C B D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．-3 12． 13. 50 14. 6.5 15.① 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．（8分） 解：（1） 反比例函数为， 且，................2分 解得：．................4分 （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得：................6分 点不在该反比例函数图象上．................8分 17．（8分） （1）解：设 ，................2分 则 ， 依题意得 ，................4分 解得 ， ；................6分 （2）解：当时，．................8分 18．（8分） （1）解：由题意，得：； ∴；................2分 （2）列表如下： 1 2 4 1 2 4 ................3分 画图如下： ................4分 （3）解：∵直线也经过点， ∴， ∴，................5分 联立，................6分 解得：或，................7分 ∴直线与双曲线还有其它交点，坐标为． ................8分 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．（9分） （1）解：把点A的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的关系式为，................2分 把点B的坐标代入得， ∴， 把点A和点B的坐标代入得，解得， ∴一次函数的关系式为；................4分 （2）解：由（1）和函数图象可得不等式的解集为或；................6分 （3）解：如图所示，设直线交x轴于点D， 在中，当时，， ∴；................7分 ∵， ∴， ∴， ∴，................8分 ∴点P的横坐标为或， ∴点P的坐标为或．................9分 20．（9分） （1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为................2分 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为...............4分 （2）解：将代入中得：，................5分 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室．................6分 （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：，................7分 把代入得：， 解得：，................8分 ∴， ∴此次消毒有效．................9分 21．（9分） （1）解：把代入得， ， ，................1分 把代入， 得， 反比例函数的函数表达式为................2分 （2）解：当时， ， ，................3分 ， ， ，................4分 又， 解得：， ， 点P坐标为；................5分 （3）解：①当点Q在x轴正半轴上时， 如图，过点A作轴交x轴于， 则， 点；................7分 ②当点Q在x轴负半轴上时， 如图，设与y轴交于点， ∵， ∴， 则， 解得：，               ∴， 设直线表达式为，则有 ，解得， 直线的表达式为， 当时，， 即点的坐标为， 综上所述，点Q的坐标为或．................9分 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．（12分） 解：(1)24，，12 ................6分 （2）解：①∵最高点Q的坐标为， 设抛物线G的解析式为， ∵点在抛物线G上， ∴． 解得， ∴抛物线G的解析式为；................6分 抛物线G与滑道不能再相交，理由如下： ∵，轴， ∴当时，， ∴抛物线G与滑道不能再相交；................8分 ②∵， ∴， 当时，，................10分 若小球恰好能被点N接住， ∵抛物线G上有点， ∴向上平移距离； 若小球恰好能被点C接住， ∵抛物线G上有点， ∴向上平移距离； ∴向上平移距离d的最大值为，最小值为4．................12分 23．（12分） （1）解：①若函数过点A，则当时，， 所以，函数不过点A， ∵函数是平行四边形的“”函数， ∴函数过点， 把点的坐标代入得，；................1分 ∵轴， ∴设点D的坐标为，代入得，， 解得，， ∴；................2分 ②∵四边形是平行四边形，，， ∴点C可以看作是点D向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到的， 所以，点C的坐标为， ∵， ∴点A，C在反比例函数的图象上， ∴反比例函数是平行四边形的“”函数，此时；................4分 （2）解：①如图，即为所画；   ................6分 ②如图，过点A作于点E，过点B作于点F，    根据中心形的性质得， ∵ ∴， 又 ∴， ∴ ；................8分 ③平行四边形可以成为矩形， ∵， ∴， 若四边形是矩形，则有：， ∴ 整理得， 又， ∴， ∵， ∴，................10分 联立， 解得，，或（舍去） ∴．................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十七章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（   ） A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥ 2．已知反比例函数过点，则的值为（    ）． A．9 B． C．3 D． 3．关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 4．如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 7．充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强与气体体积是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（    ） A．这个反比例函数解析式为 B．当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小 C．若压强由减压到，则气体体积增加了 D．若气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于 8．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（   ） A． B． C． D． 9．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 10．如图，平行四边形的边在x轴上，O为坐标原点，点A的坐标为，D为的中点，连接，直线的函数表达式为，反比例函数经过点C，D，则k的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 12．已知反比例函数（是常数，）的图象有一支在第二象限，那么的取值范围是______． 13．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 14．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 15．如图在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，下面三个结论：①；②点和点在反比例函数的图象上，若，则；③不等式的解集是，其中正确的结论是________．（只填序号） 题13图 题14图 题15图 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 17．已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 18．已知双曲线经过点． (1)求这个双曲线的函数表达式； (2)在所给平面直角坐标系中画出该双曲线的简图； (3)若直线也经过点，问该直线与双曲线还有其它交点吗？若有，请直接写出其它交点的坐标；若没有，请说明理由． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，,,为常数． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为__________； (3)点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标． 20．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 21．如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象． (1)求a的值及反比例函数的表达式； (2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． (3)在x轴存在点Q，使得，请求出点Q的坐标． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台（水平）与x轴的距离为8，与y轴交于B点，与滑道交于A，且，轴，测得，P到x轴的距离为4，设． (1)k的值为________，点P的坐标是________，________； (2)一小球从B点出发沿抛物线运动，落在滑道上P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道是否还能相交； ②在x轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ 23．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数．    (1)已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数． ①求的值及点的坐标； ②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (2)已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数． ①请在图2中画出平行四边形； ②若，求平行四边形的面积； ③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $