第二十七章 反比例函数全章高频重点题型突破（六大高频+三大重难题型，专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数全章高频重难点，按概念-性质-综合-应用逻辑分层设计题型，覆盖中考核心考法与易错点，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|6类基础题型|考查概念定义、解析式求解、图象象限与增减性、点坐标关系、k的几何意义、函数图象共存判断|从概念生成到性质应用，构建“定义-解析式-图象性质”认知链| |核心提升|3类重难题型|涉及函数交点、面积综合、实际应用，含易错题与中考链接题|从单一性质到多知识综合，体现“性质拓展-综合应用-模型建构”递进逻辑|

第二十七章 反比例函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 反比例函数得概念与定义 题型2 求反比例函数解析式 题型3 图象所在象限与增减性 题型4 图象上点得坐标关系 题型5 系数k得几何意义 题型6 反比例函数与一次函数图象共存判断 核心提升：重难题型归纳 题型1 反比例函数与一次函数交点问题 题型2 交点与三角形面积综合 题型3 反比例函数的实际应用 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 反比例函数的概念与定义 1.已知函数 （ 为常数）。 （1）若该函数是反比例函数，则 ________； （2）若该函数是正比例函数，则 ________。 【详解】（1）且 且 综上 （2） 且 且 综上 2. 下列函数中， 是 的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【详解】A选项： - 这是 的形式（），是正比例函数，不是反比例函数 B选项： - 这是 的形式（），符合反比例函数定义 ✓ C选项： - 化简： - 这不是 的形式，不是反比例函数 D选项： - 化简： - 这是二次函数，不是反比例函数 ∴ 选 B ◆题型2 求反比例函数解析式 3. 已知反比例函数 的图象经过点 。 （1）求 的值； （2）写出 关于 的函数解析式； （3）当 时，求 的值。 【详解】（1）将点 代入 ： ∴ （2）将 代入 ： ∴ （3）将 代入 ： ∴ 当 时， 4. 已知 是 的反比例函数，当 时，。 （1）求 关于 的函数关系式； （2）当 时，求 的值。 【详解】（1）设反比例函数为 （） 将 ， 代入： 将 代入： ∴ （2）将 代入 ： ∴ 当 时， ◆题型3 图象所在象限与增减性 5. 反比例函数 的图象在第________象限，在每一个象限内， 随 的增大而________。 【详解】对于反比例函数 ： 当 时，图象在第一、三象限 ；当 时，图象在第二、四象限 本题中 ，所以图象在第一、三象限。 判断增减性： - 在第一象限内（，）：当 增大时， 减小，所以 随 的增大而减小 - 在第三象限内（，）：当 增大（从负值趋向0）时， 也减小 ∴ 图象在第一、三象限，在每一个象限内， 随 的增大而减小 6. 函数 的图象在第一、三象限内，则 的取值范围是________。 【详解】图象在第一、三象限，说明 。 解不等式： ∴ ◆题型4 图象上点的坐标关系 7. 【易错题】若点 ， 都在反比例函数 的图象上，则 与 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【详解】将 代入 ： 将 代入 ： 比较大小： ∴ 选 B 8. 已知反比例函数 （）的图象上有两点 ，，当 时， 与 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【详解】已知 ，图象在第二、四象限。 已知 ，说明两点都在第二象限（）。 在第二象限内，对于反比例函数 （）： - 当 时， - 当 增大时， 增大（因为 ， 增大时 从负值趋向0，即增大） 所以 随 的增大而增大。 因为 ，所以 。 ∴ 选 B ◆题型5 系数 的几何意义 9. 如图，点 是反比例函数 图象上的一点， 轴于点 ， 轴于点 ，若矩形 的面积为 ，则 的值为________。 【详解】设点 的坐标为 。 因为 在 上，所以 ，即 。 由题意， 轴于 ， 轴于 。 - 点 的坐标为 - 点 的坐标为 矩形 的面积： 因为 ，所以： 已知矩形面积为 ： 由图可知，点 在第一象限（，），所以 。 ∴ 10. 【易错题】如图，点 在双曲线 上， 轴于点 ，且 的面积是 ，则 的值是________。 【详解】设点 的坐标为 。 因为 在 上，所以 ，即 。 由题意， 轴于 ，所以点 的坐标为 。 的面积： 因为 ，所以： 已知 的面积为 ： 由图可知，点 在第二象限（，），所以 。 ∴ ◆题型6 反比例函数与一次函数图象共存判断 11. 【易错题】函数 与 （）在同一坐标系中的图象可能是（ ） 【详解】情况1： - 反比例函数 （）：图象在第一、三象限 - 一次函数 ： - 斜率 ，图象从左上到右下 - 截距 ，与 轴交于正半轴 - 图象过第一、二、四象限 两个图象的组合：反比例在第一、三象限，一次函数过一、二、四象限。 情况2： - 反比例函数 （）：图象在第二、四象限 - 一次函数 ： - 斜率 ，图象从左下到右上 - 截距 ，与 轴交于负半轴 - 图象过第一、三、四象限 两个图象的组合：反比例在第二、四象限，一次函数过一、三、四象限。 故选 A 12. 【中考链接题】已知反比例函数 （），当 时， 随 的增大而增大，则一次函数 的图象大致是（ ） 【详解】第一步：确定 的符号 已知“当 时， 随 的增大而增大”。 对于反比例函数 ： - 当 时，在第一象限内（）， 随 的增大而减小 - 当 时，在第四象限内（）， 随 的增大而增大 由题意， 时 随 的增大而增大，所以 。 第二步：分析一次函数 的图象 已知 ： - 斜率 ：图象从左上到右下 - 截距 ：因为 ，所以 ，图象与 轴交于正半轴 图象特征：过第一、二、四象限，从左上到右下，与 轴交于正半轴。 故选 C ◆题型1 反比例函数与一次函数交点问题 1．如图，直线 与双曲线 （）相交于 ， 两点，与 轴相交于点 。 （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求点 的坐标。 【详解】（1）求反比例函数解析式： 将 代入 ： ∴ 反比例函数为 求一次函数解析式： 直线 经过 和 ，代入得方程组： ①②得： 将 代入②： ∴ 一次函数为 （2）联立一次函数和反比例函数的方程组： 将①代入②： 两边同乘 （）： 因式分解： 解得： 当 时，，即点 当 时，，即点 ∴ 点 的坐标为 ◆题型2 交点与三角形面积综合 2．【中考链接题】如图，直线 与双曲线 （）相交于 ， 两点，与 轴相交于点 。 （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接 ，，求 的面积； （3）直接写出当 时，关于 的不等式 的解集。 【详解】（1）同第1题（1），已求得： - 反比例函数： - 一次函数： - 点 （2）已知 ，，， 方法：用 计算 ： - 底边 在 轴上， - 高为点 的纵坐标的绝对值 计算 ： - 底边 在 轴上， - 高为点 的纵坐标的绝对值 计算 ： ∴ 的面积为 （3）求 （）的解集。 这等价于求一次函数图象在反比例函数图象下方的部分对应的 的范围。 由图象可知： - 当 时，一次函数图象在反比例函数图象上方 - 当 时，一次函数图象在反比例函数图象下方 - 当 时，一次函数图象在反比例函数图象上方 ∴ 不等式的解集为 ◆题型3 反比例函数的实际应用 3．近视眼镜镜片的度数 （单位：度）是关于镜片焦距 （单位：m）的反比例函数，其图象如图所示。 （1）求近视眼镜镜片的度数 关于镜片焦距 的函数解析式； (2)若某近视眼镜的镜片为 度，求其焦距。 【详解】（1）设反比例函数为 由图象可知，图象经过点 ，即当 时，。 代入 ： 将 代入： ∴ （2）将 代入 ： ∴ 焦距为 米。 4. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防"蚊虫叮咬"，对教室进行"薰药消毒"。已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(mg)与燃烧时间x(min)之间的关系如图所示。根据图象所示信息，解答下列问题： (1) 求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围。 (2) 据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于3mg时，对人体无毒害作用。从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 【详解】（1）由图象可知，图象分两段： - 第一段（）：正比例函数，从 到 - 第二段（）：反比例函数，从 开始 求第一段（）的解析式： 设正比例函数为 将 代入： ∴ 第一段为 （） 求第二段（）的解析式： 设反比例函数为 将 代入： ∴ 第二段为 （） 综上所述： （2）需要求 的时间段。 第一段（）： 解不等式 ： 所以在 时， 第二段（）： 解不等式 ： 所以在 时， 综合两段： 当 时， 不能待在教室的时间： ∴ 至少在 分钟内，师生不能待在教室 一、选择题 1．1.下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】反比例函数的标准形式为 （）。 A： 是正比例函数 B： 符合反比例函数定义 ✓ C： 不是 的形式 D： 是二次函数 ∴ 选 B 2. 反比例函数 的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【详解】，所以图象在第二、四象限。 ∴ 选 D 3. 【易错题】已知点 ，， 都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【详解】分别代入求值： 比较大小： ∴ 选 B 4. 已知反比例函数 ，当 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】当 时， 随 的增大而增大，说明在第四象限内 随 的增大而增大。 对于反比例函数，当 时，在第四象限内 随 的增大而增大。 ∴ 选 B 5. 若点 在反比例函数 的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 在 上，所以 ，即 。 检验各选项，需要满足横纵坐标之积等于 ： A：，不在图象上 B：，不在图象上 C：，在图象上 ✓ D：，不在图象上 ∴ 选 C 6. 如图，点 在反比例函数 （）的图象上， 轴于点 ，若 的面积为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 的面积 已知面积为 ： 由图可知点 在第一象限，所以 。 ∴ ，选 C 二、填空题 7. 已知反比例函数 的图象经过点 ，则 ________。 【答案】 【详解】将 代入 ： ∴ 8.反比例函数 的图象在第二、四象限内，则 的取值范围是________。 【答案】 【详解】图象在第二、四象限，说明 。 解不等式： ∴ 9.已知 与 成反比例，且当 时，，则 关于 的函数解析式为________。 【答案】 【详解】设 将 ， 代入： ∴ 10. 一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点，则 ， 两点的坐标分别为________。 【答案】 ，或 ， 【详解】联立方程组： 将①代入②： 两边同乘 ： 因式分解： 解得： 当 时， 当 时， ∴ ，（或 ，） 三、解答题 11. 已知 与 成反比例，且当 时，。 (1)写出 关于 的函数解析式； (2)当 时，求 的值。 【答案】（1） （2） 【详解】（1）设 将 ， 代入： ∴ （2）将 代入 ： ∴ 当 时， 12. 某蓄水池的排水管的排水速度 （）与排完水池中的水所用的时间 （）成反比例，且当 时，。 (1)写出 关于 的函数解析式； (2)若要 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ (3)如果每小时排水量不超过 ，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？ 【答案】（1） （2）每小时排水量为 （3）至少需要 小时 【详解】（1）设 将 ， 代入： ∴ （2）将 代入 ： ∴ 每小时的排水量为 （3），即： 解不等式： ∴ 至少需要 小时 13.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点。 (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求 的面积； (3)根据图象直接写出不等式 的解集。 【答案】（1）反比例函数：；一次函数： （2） （3） 或 【详解】（1）将 代入 ： ∴ 反比例函数为 求 的值： 将 代入 ： 所以 将 ， 代入 ： ①②得： 将 代入①： ∴ 一次函数为 （2）已知 ，， 一次函数 与 轴交于点 用 计算： 计算 ： - 底边 在 轴上， - 高为点 的横坐标的绝对值 计算 ： - 底边 在 轴上， - 高为点 的横坐标的绝对值 计算 ： ∴ 的面积为 （3)求 的解集。 从图象可知，一次函数在反比例函数上方的部分为： - 当 时 - 当 时 ∴ 不等式的解集为 或 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十七章反比例函数全章高频重点题型突破 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1反比例函数的概念与定义 1.(1)m=0 (2)m=-2 2.B ◆题型2求反比例函数解析式 3.(1)k=-6 (2)y=-6 (3)y=1 4(1)y=16 (2)y=4 ◆题型3图象所在象限与增减性 5.第一、三象限；减小 6.k>2 ◆题型4图象上点的坐标关系 7.【易错题】B 8.B ◆题型5系数k的几何意义 9.k=6 10.【易错题】k=-4 ◆题型6反比例函数与一次函数图象共存判断 11.【易错题】需根据k>0和k<0两种情况判断，选符合以下特征的图：·当k>0时：反比例在第 一、三象限，一次函数过一、二、四象限·当k<0时：反比例在第二、四象限，一次函数过一、三、四 象限 12.【中考链接题】k<0,一次函数y=kx-k斜率为负、y截距为正，图象过第一、二、四象限，选 符合此特征的图 1/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1反比例函数与一次函数交点问题 1.(1)一次函数：y=x+4,反比例函数：y=-3 (2)B(-1,3） ◆题型2交点与三角形面积综合 2.(1)同第1题(1) (2)SAA0B=8 (3)-3<X<-1 ◆题型3反比例函数的实际应用 3.(1)y=100 (2)焦距为0.2米 X (0≤x≤12) 4.(1)y=144 (x>12 (2)至少在45分钟内，师生不能待在教室 题型专练 高频重难特训 1.B 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.k=-6 8.m<1 9y=12 X+2 10.A(3,2,B(-1,-6)或A(-1,-6),B(3,2) 1.(1)y=36 213 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)y=16 12. (1)v=40 t (2)每小时排水量为8m3 (3)至少需要4小时 13.(1)反比例函数：y=-6 一次函数：y=-X+1 (2)SA40B=2.5 (3)X<-2或0<x<3 3/3 第二十七章 反比例函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 反比例函数得概念与定义 题型2 求反比例函数解析式 题型3 图象所在象限与增减性 题型4 图象上点得坐标关系 题型5 系数k得几何意义 题型6 反比例函数与一次函数图象共存判断 核心提升：重难题型归纳 题型1 反比例函数与一次函数交点问题 题型2 交点与三角形面积综合 题型3 反比例函数的实际应用 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 反比例函数的概念与定义 1.已知函数 （ 为常数）。 （1）若该函数是反比例函数，则 ________； （2）若该函数是正比例函数，则 ________。 2. 下列函数中， 是 的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. ◆题型2 求反比例函数解析式 3. 已知反比例函数 的图象经过点 。 （1）求 的值； （2）写出 关于 的函数解析式； （3）当 时，求 的值。 4. 已知 是 的反比例函数，当 时，。 （1）求 关于 的函数关系式； （2）当 时，求 的值。 ◆题型3 图象所在象限与增减性 5. 反比例函数 的图象在第________象限，在每一个象限内， 随 的增大而________。 6. 函数 的图象在第一、三象限内，则 的取值范围是________。 ◆题型4 图象上点的坐标关系 7. 【易错题】若点 ， 都在反比例函数 的图象上，则 与 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 已知反比例函数 （）的图象上有两点 ，，当 时， 与 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 ◆题型5 系数 的几何意义 9. 如图，点 是反比例函数 图象上的一点， 轴于点 ， 轴于点 ，若矩形 的面积为 ，则 的值为________。 10. 【易错题】如图，点 在双曲线 上， 轴于点 ，且 的面积是 ，则 的值是________。 ◆题型6 反比例函数与一次函数图象共存判断 11. 【易错题】函数 与 （）在同一坐标系中的图象可能是（ ） 12. 【中考链接题】已知反比例函数 （），当 时， 随 的增大而增大，则一次函数 的图象大致是（ ） ◆题型1 反比例函数与一次函数交点问题 1．如图，直线 与双曲线 （）相交于 ， 两点，与 轴相交于点 。 （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求点 的坐标。 ◆题型2 交点与三角形面积综合 2．【中考链接题】如图，直线 与双曲线 （）相交于 ， 两点，与 轴相交于点 。 （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接 ，，求 的面积； （3）直接写出当 时，关于 的不等式 的解集。 ◆题型3 反比例函数的实际应用 3．近视眼镜镜片的度数 （单位：度）是关于镜片焦距 （单位：m）的反比例函数，其图象如图所示。 （1）求近视眼镜镜片的度数 关于镜片焦距 的函数解析式； (2)若某近视眼镜的镜片为 度，求其焦距。 4. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防"蚊虫叮咬"，对教室进行"薰药消毒"。已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(mg)与燃烧时间x(min)之间的关系如图所示。根据图象所示信息，解答下列问题： (1) 求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围。 (2) 据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于3mg时，对人体无毒害作用。从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 一、选择题 1.下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数 的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 3. 【易错题】已知点 ，， 都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数 ，当 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若点 在反比例函数 的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点 在反比例函数 （）的图象上， 轴于点 ，若 的面积为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 已知反比例函数 的图象经过点 ，则 ________。 8. 反比例函数 的图象在第二、四象限内，则 的取值范围是________。 9. 已知 与 成反比例，且当 时，，则 关于 的函数解析式为________。 10. 一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点，则 ， 两点的坐标分别为________。 三、解答题 11. 已知 与 成反比例，且当 时，。 (1)写出 关于 的函数解析式； (2)当 时，求 的值。 12. 某蓄水池的排水管的排水速度 （）与排完水池中的水所用的时间 （）成反比例，且当 时，。 (1)写出 关于 的函数解析式； (2)若要 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ (3)如果每小时排水量不超过 ，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？ 13.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点。 (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求 的面积； (3)根据图象直接写出不等式 的解集。 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $