3.4相似三角形的性质第2课时（教学设计）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方及相似多边形类比性质。课堂导入先复习相似三角形对应线段比性质，再结合生活放大照片情境与教材直角三角形计算实例，搭建旧知到新知的学习支架。 资料特色在于以“特殊到一般”推导性质培养推理意识，通过分割多边形类比推广发展抽象能力与创新意识。如用直角三角形计算感知关系，分割多边形证明面积比，平移问题列方程应用，助力学生理解本质提升推理与应用能力，为教师提供清晰教学路径与分层练习设计。

3.4相似三角形的性质第2课时 年级 九年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版九年级上册 教学目标 1.理解并掌握相似三角形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方； 2.会利用相似三角形的性质来解决简单的问题； 3.类比相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，猜想相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体验类比思想。 教学重点 相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方；利用该性质解决简单问题。 教学难点 面积比等于相似比的平方的理解与证明；相似多边形面积比性质的推导；在实际问题中借助相似比建立量的关系。 教材分析 本课为北师大版初中数学九年级上册第三章《图形的相似》第四节《相似三角形的性质》（第2课时）。核心知识点为：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；并能类比得出相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系。本课是在学习了相似三角形的定义、判定以及相似三角形对应线段比性质的基础上，进一步探究相似三角形与相似多边形的度量性质。 本课内容按照“特殊到一般”“类比猜想”的逻辑展开。先通过具体直角三角形实例，直观感受相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系；再从一般相似三角形出发，利用对应边成比例和对应高成比例，严格推导出周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方。随后类比三角形，将结论推广到相似多边形：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。这种从“三角形”到“多边形”的推广，既巩固了相似三角形性质，又渗透了转化与类比的思想。本课知识是后续解决实际测量、比例计算等问题的重要工具，也是几何中“相似比—周长比—面积比”度量体系的核心。教学重点是掌握相似三角形周长比、面积比的性质并能应用；教学难点是面积比等于相似比的平方的推导及其在复杂图形中的应用。 学情分析 学生此前已系统学习了相似三角形的定义、判定方法，掌握了相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比都等于相似比，并具备全等三角形、平移、简单几何推理和计算的能力。对于“相似三角形的周长比等于相似比”，学生通过比例性质可直接理解，较为容易；而“面积比等于相似比的平方”容易与周长比混淆，尤其在列式时容易漏掉平方，需要通过推导和对比强化理解。相似多边形面积比需要将多边形分割成多个相似三角形，再利用面积比相加进行推导，对学生的转化思想和逻辑推理能力要求较高，是本课学习的难点。此外，在应用问题中，如根据面积比求相似比、利用周长和面积关系列方程等，学生可能感到困难，教学中应引导其分清“周长比”与“面积比”的差异，逐步建立解题模型。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【复习回顾】 相似三角形对应线段的性质 出示图形：，、、 分别是 边上的高、 的平分线、 边上的中线；、、 分别是 边上的高、 的平分线、 边上的中线。 填空： 答案：；（为相似比） 知识回顾：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。 【情境引入】 相似三角形的周长与面积 生活情境：把一张三角形图片按相同比例放大，放大前后的图形是相似的。放大前后，照片边框的周长、照片的面积分别有怎样的关系？ 教材情境：如图所示， 与 相似吗？相似比是多少？周长比是多少？面积比是多少？ 因为 所以 ，相似比为 。 由勾股定理，得 ，。 周长比： 面积比： 复习相似三角形对应线段比等于相似比，为本课探究周长比、面积比作好知识与方法的类比铺垫。从生活中的放大现象引入，再用具体数据计算，让学生初步感知“周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方”，明确本课学习方向。 探究点1：相似三角形的周长比与面积比 【问题引入】 （1）如果 ，相似比为 ，那么 与 的周长比是多少？面积比呢？ （2）如果相似比为 ，周长比和面积比分别是多少？ 【师生活动】教师引导设 ，学生合作推出周长比；教师引导学生作高，利用“相似三角形对应高比等于相似比”推导面积比。 【详细过程】 由已知得： 由等比性质，得： 所以相似三角形的周长比等于相似比。 分别作 和 的高 、。 因为 ，所以 于是： 所以相似三角形的面积比等于相似比的平方。 【归纳】 定理：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方。 符号语言：若 ，且相似比为 ，则 【即时练习】 已知 ，且周长比为 ，则它们的面积比为（ B ） A. B. C. D. 从特殊到一般，通过代数推导与作高证明，让学生理解周长比、面积比与相似比的关系，培养逻辑推理能力。 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 【问题引入】 （1）两个相似四边形的周长比等于相似比吗？两个相似 边形呢？ （2）两个相似四边形的面积比等于相似比的平方吗？你能利用相似三角形的性质说明吗？两个相似 边形呢？与同伴进行交流。 【师生活动】 学生分组讨论并猜想：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 教师引导学生把多边形分割成三角形，利用相似三角形性质进行证明。 【详细过程】 如图，四边形 四边形 ，相似比为 。连接 ，，则 ，且相似比均为 。 所以 因此 结论可推广到两个相似 边形。 【归纳】 相似多边形的周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。 【即时练习】 若两个相似多边形的相似比为 ，则它们的周长之比与面积之比分别为（ B ） A. ， B. ， C. ， D. ， 通过类比猜想与三角形分割证明，渗透转化思想，帮助学生将三角形性质推广到一般多边形，培养类比与迁移能力。 探究点3：相似三角形性质的应用 【问题引入】 平移三角形时，常常会出现相似三角形。已知重叠部分与原三角形的面积比，可以求出平移距离。 例题 如图所示，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是S△GEC是S△ABC面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离. 解：根据平移的性质可知，。 所以 因此 所以 即 所以 ，。 因此 即 平移的距离为 。 【反思交流】 对比全等三角形和相似三角形的学习过程，你有什么感悟？积累了哪些经验？ （1）在探究三角形相似的判定定理时，类比了三角形全等的判定方法 、；同时注意，两边成比例且其中一边所对角相等的两个三角形不一定相似。 （2）类比全等三角形的性质，可以得到相似三角形的性质。 【例题巩固】 例1：已知 ，相似比为 ，且 ，求四边形 的面积。 解：因为相似比为 ，所以面积比为 。 则 因此 例2：两个相似多边形的最长边分别为 和 ，它们的周长之和为 ，面积之差为 ，求较小多边形的周长与面积。 解：设较小多边形的周长为 ，面积为 。 则较大多边形的周长为 ，面积为 。 因为两个相似多边形的最长边分别为 和 ， 所以相似比为 。 因此周长比为 ，面积比为 。 所以 解得 ，。 答案：较小多边形的周长为 ，面积为 。 通过平移问题和多边形周长、面积的实际问题，强化相似三角形性质的应用，提高学生分析问题、建立方程解决问题的能力。 课堂小结 板书设计 3.4相似三角形的性质第2课时 一、知识回顾 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。 二、相似三角形的周长比与面积比 定理：相似三角形的周长比等于相似比； 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 符号语言： ∵ △ABC ∽ △A′B′C′，相似比为 k， ∴ C△ABC : C△A′B′C′ = k， S△ABC : S△A′B′C′ = k²。 三、相似多边形的周长比与面积比 相似多边形的周长比等于相似比； 相似多边形的面积比等于相似比的平方。 四、典型应用 例1：由相似比→面积比→求四边形面积。 例2：设未知数，列方程求周长和面积。 随堂练习 1. 已知 ，且 ，则 （ C ） A. 1∶2 B. 2∶1 C. 1∶4 D. 4∶1 2. 如图，在 中，，且 ，已知 的周长为 6 cm，则 的周长为（ B ） A. 12 cm B. 18 cm C. 24 cm D. 26 cm 3. 如图所示，在 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且 ，下列结论正确的是（ D ） A. B. 与 的面积比为 C. 与 的周长比为 D. 4. 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，E，F 为 CD 边的两个三等分点，连接 AF，BE 交于点 G，则 （ A ） A. 1∶9 B. 9∶1 C. 1∶3 D. 3∶1 5. 连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于______。 答案：1∶2；1∶4 6. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm²，则较小三角形的周长______cm，面积为______cm²。 答案：14； 7. 如图，平行于 BC 的直线 DE 把 分成的两部分面积相等，则 ______。 答案： 8. 若 ，它们的周长分别为 60 cm 和 72 cm，且 cm， cm，求 BC，AC，A′B′，A′C′ 的长。 解：∵ ，周长比 ， ∴ 。 ∵ cm， cm， ∴ cm， cm。 由 周长为 60 cm，得 cm； 由 周长为 72 cm，得 cm。 9. 如图，D，E 分别是 的边 AB，BC 上的点，且 ，AE，CD 相交于点 O，若 ，求 与 的比。 解：∵ ， ∴ 。 又∵ ， ∴ 。 ∵ ， ∴ ， ∴ 。 ∵ 与 可分别看作以 BE、CE 为底，且点 D 到 BC 的距离相同， ∴ 。 即 。 10. 如图， 中，，DE 分别交 AB，AC 于点 D，E，，求 。 解：过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 F。 则 。 ∵ ， ∴ ，即 ， 所以 。 又∵ ， ∴ 。 ∴ 。 即 。 教学反思 本课教学目标基本达成。学生对“周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方”掌握较好，通过具体数据和几何证明，概念理解较为扎实。在应用环节，学生能利用相似比求线段和面积，但例2中“设周长、面积为未知数列方程”仍有困难，部分学生不习惯用方程表示比例关系，需加强引导。今后可增加小组合作列方程的时间，并设计阶梯式练习，从直接代公式到间接设元建模，逐步突破难点。同时，类比相似多边形的探索较为顺利，说明类比思想对学生迁移学习有促进作用。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $