3.3相似三角形判定定理的证明第1课时教学设计 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“平行线分线段成比例”基本事实及推论，以梯子图片情境导入，通过方格纸计算、直线平移、动画演示等探究活动，从特殊到一般归纳定理，再特殊化得到推论，构建学习支架。 特色在于情境导入培养数学眼光，探究活动通过特殊到一般归纳推理发展数学思维，例题与练习强化数学语言表达。方格纸计算、动画演示等实例结合归纳推理教学方法，帮助学生提升几何直观和推理能力，为教师提供结构化教学流程。

第三章 图形的相似 3 相似三角形判定定理的证明 第1课时   一、教学目标 1.探索并掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论. 2.会用平行线分线段成比例的事实和推论解决相关的计算和证明问题. 3.进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法. 4.培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值.   二、教学重难点 重点：理解并掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论. 难点：学会用平行线分线段成比例的事实和推论解决相关的计算和证明问题.   三、教学过程 · 情境导入 教师活动：展示常见的梯子图片，提出几何问题. 如图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道AD，BE，CF互相平行，若AB=BC，你能猜想出什么结果呢？ 预设答案：DE=EF. 教师活动：进一步说明这是一个常识性问题，肯定同学们的回答正确，进一步提出问题，如何对这一问题进行几何证明，引入本节课内容，说明学习本节课内容后可以解答这个问题. 设计意图：通过和学生一起讨论生活中出现的问题，引发学生对平行线分线段成比例的初步思考. · 探究新知 活动：平行线分线段成比例 做一做：(1)在下图中，方格纸中每个小方格的边长均为1，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于格点， ，，，，.计算与，与，的值，你有什么发现？ 教师活动：引导学生用勾股定理计算各条线段的长度再求比值. 预设答案：计算步骤如下： 先计算线段的长：， ，. 再计算比值：，， . 追问：你发现了什么？ . 设计意图：引导学生借助方格纸这一工具，通过观察、计算，由特殊到一般地逐步归纳、猜想，进而明确“平行线分线段成比例”的基本事实. (2)将图中的直线向下平移到如图所示的位置，你在(1)中发现的结论还成立吗？如果将直线平移到其他位置呢？ 预设答案：同样方法先计算各线段的长， ，，. . 经计算：. 第(1)小问结论仍然成立. 设计意图：问题(1)和问题(2)是两种特殊情况：平行线与两条直线的交点都在格点上，这样便于通过计算得出结论. (3)在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 教师活动：播放平行线位置变化时，截取线段长度的变化及对应比值变化情况的动画.指导学生注意观察对应线段的比值是否相等. 预设答案：截得的对应线段成比例. 设计意图：问题(3)是更一般化的设置，学生无法通过计算得出结论，但可以通过上面的特殊情况大胆归纳、猜测.教师再通过计算工具的演示佐证结果的正确性. 总结：平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言：当l1∥l2∥l3，则有： 、、、... 可对应记忆为： 、、、... 设计意图：引导学生进一步认识到：归纳需要更多的特殊情况作为基础.帮助学生通过图形中线段的对应位置记忆定理. 拓展：定理适用的几种基本图形 设计意图：理解对应线段的含义，准确记忆定理内容，并了解定理可使用的不同情况. 做一做：如图1，直线a∥b∥c ，分别交直线m，n于点 A1，A2，A3，B1，B2，B3.过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3(如图2).图2中有哪些成比例的线段？ 预设答案：依题意知，四边形A1B1B2C2、A1B1B3C3、C2B2B3C3均为平行四边形.故有：A1C2=B1B2、A1C3=B1B3、C2C3=B2B3，则： … 拓展：将图2中的三角形标注出来并抽离，提出问题：将题目中的三角形单独拿出来，它反映了什么样的几何问题？ 预设答案：∥ 设计意图：通过作平行线构造三角形，将平行线分线段成比例的基本事实特殊化，从而得到它的一个推论. 总结：平行线分线段成比例定理推论： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 符号语言：△ABC中，MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N，则有： . 设计意图：这个推论是后面证明相似三角形判定定理的基础. 拓展： 教师活动：提出问题：平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段成比例吗？将问题转换成几何问题展示： 如图，已知△ABC，MN∥BC，分别与△ABC的两边BA、CA的延长线于点M、N，求证： 预设答案： 证明：过A点做MN的平行线l，由平行线分线段成比例定理可得：. 设计意图：对前面平行线分线段成比例定理使用情况的进一步拓展延伸，巩固定理内容，并培养学生举一反三的能力. 总结：平行线分线段成比例定理推论： 平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交，截得的对应线段成比例. 符号语言：MN∥BC，分别与△ABC的两边BA、CA的延长线于点M、N，则有： 设计意图：培养学生思考问题的全面性和严谨性. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【教材例题】 例1 如图，在△ABC中，E，F分别是边AB和AC上的点，且EF∥BC. (1)如果AE=7，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？ (2)如果AB=10，AE=6，AF=5.那么FC的长是多少？ 分析：依题意知，EF∥BC，可以使用平行线分线段成比例定理的推论: (1)已知AE、EB、FC，直接套用比例关系式可求出AF的长. (2)已知AB、AE、AF，可先求出AC的长，再由AC与AF的差求出FC. 解：(1)∵ EF//BC， ∴(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). ∴ （2）∵ EF//BC， ∴(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). ∴ ∴ 设计意图：通过解决例题让学生一方面巩固对推论的理解，另一方面也为后面证明相似三角形的判定定理做铺垫.解题时注意引导学生阅读、理解题意. · 课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【教材练习】 1. 已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，求x的值. 解：根据题意得. 解得x=. 【自选练习】 2.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式错误的是( ) A. B. C. D. 答案：D 3.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式成立的是( ) A. B. C. D. 答案：C 4.如图，BC∥DE，AB=15，AC=9，BD = 10，AE=______. 答案：15 5.如图，DE∥BC，AB=6，AC=9，AD=2则EC=______. 答案：12 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.平行线分线段成比例定理的内容是什么？ 2.平行线分线段成比例定理的推论是什么？ 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $