北京师范大学附属实验中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学模拟

北京师范大学附属实验中学2026-2027学年九年级上学期 9月学情自测数学模拟试卷 （卷面总分100分 考试用时100分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共16分） 1．反比例函数y=的图象分别位于（    ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】A 【分析】根据反比函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵6＞0， ∴反比例函数y=的图象分别位于第一、第三象限． 故选：A 【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 2．对于二次函数 ，下列说法中正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．图象的对称轴为直线 D．图象的顶点坐标是 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．根据二次函数顶点式性质，时开口向上，对称轴为，顶点为，且当时y随x增大而增大． 【详解】解：∵是顶点式，，，， ∴抛物线的开口向上，故A错误； 对称轴为直线，故C错误； 顶点坐标为，故D错误； 当时，y随x增大而增大，故B正确 故选：B． 3．如图，点在反比例函数的图像上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为2，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的相关知识，难度不大但需注意最后所求k值的符号，此为易错点． 根据反比例函数的性质，将k用、表示出来；再根据线段之间的关系得出两个同高的三角形的面积关系，进而求出，再根据，即可求出解． 【详解】解：∵轴， ∴，， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，即， ∵， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 5．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 6．如图所示三个二次函数的图象中，分别对应的是①y=a1x2；②y=a2x2；③y=a3x2，则a1，a2，a3的大小关系是（    ） A．a1a2a3 B．a1a3a2 C．a3a2a1 D．a2a1a3 【答案】A 【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：①y=a1x2的开口小于②y=a2x2的开口，则a1a20， ③y=a3x2，开口向下，则a30， 故a1a2a3． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键． 7．根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由二次函数图象可得到，由此可判断反比例函数和一次函数的图象所过象限． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 由二次函数图象知， ∴， 令得， 图象与轴交于， 由二次函数图象知抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴反比例函数过一、三象限，一次函数过一、二、四象限． 故选：B． 8．二次函数（，，，为常数）的部分对应值列表如下： 则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数和不等式的关系，根据表格可得抛物线开口向下，顶点为，进而可得的解集 【详解】解：根据表格可得抛物线开口向下，顶点为，过点 ∴不等式的解集为或 故选：B． 二、填空题（每题 2 分，共16分） 9．已知反比例函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则m取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要查了反比例函数的性质，根据题意列不等式求解即可． 【详解】∵反比例函数，当时，的值随值的增大而减小 ∴ ∴． 故答案为：． 10．当______时，函数是二次函数． 【答案】3 【分析】根据二次函数的定义，最高次项次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得． 11．已知是方程的一个根，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到的值． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入方程得：， 整理得 ， 移项得 ， 系数化为得． 12．已知，是方程的两个根．则_______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子配方变形后代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 13．将二次函数的图象向下平移1个单位长度，则平移后所得图象的函数表达式为______． 【答案】 【分析】利用二次函数图象平移的“上加下减”规律，向下平移1个单位，直接在原函数解析式后减去1即可得到结果． 【详解】解：原二次函数的解析式为， ∵将函数图象向下平移1个单位长度， ∴平移后所得图象的函数表达式为． 14．如图，抛物线与直线两个交点分别为，，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数、一次函数与不等式的关系，理解二次函数与一次函数的交点与不等式解集的关系是解答本题的关键．根据二次函数的图象在一次函数的图象的上方直接写出不等式的解集即可． 【详解】解：由不等式， 可得：， 由函数图象可知在点的左侧，点的右侧时，二次函数的图象在一次函数图象的上边， 当或时， 不等式成立． 故答案为： 或． 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为______（用含的式子表示）； （2）设，为该抛物线上的两点，若，，且，则的取值范围为______． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数对称轴的求解，解决本题的关键是分类讨论的正负． （1）通过将抛物线方程化为顶点式或利用对称轴公式，可求得对称轴； （2）根据抛物线开口方向分类讨论：当时，抛物线开口向上，利用点与对称轴的位置关系及值不等式求解；当时，抛物线开口向下，验证条件是否成立，最终确定的取值范围． 【详解】解：（1）抛物线（）的对称轴公式为， 其中，，代入得， 故对称轴为直线； 故答案为：； （2）设点和在抛物线上，且，， 满足 ， 当时，抛物线开口向上，对称轴为 ， 由和，得 ， 由于，且开口向上，点离对称轴越远 值越大， 故，即 ， 代入和：，简化得 ，即 ， 又，即， 代入得， 因式分解为， 由于，需，解得 ， 综上，； 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 由和，得和，两点均在对称轴右侧， 开口向下时，右侧函数递减，需才能满足， 即 ，解得 ， 但与 结合得 ， 此时验证：即， 但在范围内，，，， 乘积为负，不满足不等式，故无解； 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 16．二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 【答案】２ 【分析】先根据抛物线开口方向判断的符号，因为对称轴公式为，所以可推导的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，验证结论①；由对称轴，变形后可验证结论②；把结论③的不等式变形为，因为该式对应时的函数值，结合抛物线对称性和已知零点判断函数值符号，验证结论③；先根据抛物线开口方向确定离对称轴越近的点函数值越大，再分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小后判断的大小关系，验证结论④． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ， ， ，①错误，②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， 当时，， ， 即，③错误； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点离对称轴最远， ∴最小， 点B离对称轴最近， ∴最大， ，④正确， ∴正确的结论有2个． 三、解答题（共68分） 17．解一元二次方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）原方程移项得， 配方得， 开方得， 解得，． （2）原方程移项得， 因式分解得， 即或， 解得，． 18．已知，求代数式的值． 【答案】11 【分析】本题考查整式的乘法，平方差公式等知识，按照相关的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 当，即时， 原式． 19．已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)、、 、或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴；；， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为或； 当时，，解得或， ∴点Q的坐标为或， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为、、 、或 ． 20．已知二次函数． (1)用配方法化成的形式，并指出该二次函数图象的顶点坐标与对称轴； (2)画出此函数的图像； (3)利用图象回答：当x取什么值时，． (4)当时，y的取值范围是什么？ 【答案】(1)，顶点坐标为，对称轴为直线； (2) 画出函数图象如下： (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了画二次函数的图象，把二次函数的一般式化为顶点式，熟练掌握利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，二次函数图象的画法是解题的关键． （1）用配方法即可求解； （2）先求出该函数图像上点的坐标，再用描点法画出图象即可； （3）根据函数图象，找出函数图象在x轴上方的时候x的取值范围即可； （4）根据图象得到时图象的最高点和最低点的函数值即可求解． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：列表如下： x 0 1 2 3 4 y 3 0 0 3 （3）解：由图象可得， 当或时，； （4）解：由图象可得， 当时，． 21．已知二次函数与轴有两个交点． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数时，求此时的二次函数的解析式，并化为顶点式，画出该函数的图象． 【答案】(1)且 (2)， 画出该函数的图象如下： 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）由二次函数与轴有两个交点可知，， 从而可求得的取值范围； （2）先求得的最大整数值，从而可求得二次函数的解析式，将二次函数的解析式化成顶点式，再利用描点法画出函数图象即可． 【详解】（1）解：二次函数与轴有两个交点， ，， 解得且； （2）解：由（1）知，且， 取最大整数， ，此时， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 当时，即， 当时，即，解得 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为y．一次函数的表达式为y (2)点坐标为或 【分析】（1）先把代入反比例函数求出，得到反比例解析式，再将代入反比例函数求出；最后把、两点坐标代入，解方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点，设为；设，以为公共底边，利用列式计算，解出． 【详解】（1）解：把代入反比例函数， ，解得， 反比例函数解析式：． 将代入： ， ． 把，代入得方程组： ， 解得， 一次函数解析式：． （2）解：设直线与轴交于点，如图所示， 令， 解得， ． 设点坐标，则． 的高为点纵坐标6，的高为点纵坐标的绝对值． ， 解得或， 点坐标为或． 23．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板与水面相距3米，在离起跳点（点A）水平距离1米时达到距水面最大高度4米． (1)请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出这条抛物线的函数表达式． (2)求运动员落水点E与点C的距离． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)运动员落水点E与点C的距离为5米 【分析】本题考查了二次函数的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）依据题意，可以为横轴，为纵轴建立直角坐标系，根据抛物线顶点坐标为，可设抛物线解析为：，将点代入可得； （2）在（1）中函数解析式中令，求出x即可． 【详解】（1）解：根据题意，以为横轴，为纵轴建立直角坐标系， ∴可得抛物线顶点坐标为，， ∴设抛物线解析为：， ∴， ∴， ∴（答案不唯一）； （2）解：由题意可得：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴交点为：， 答：运动员落水点E与点C的距离为5米． 24．在平面直角坐标系中，已知拋物线． (1)当时， ①该抛物线的对称轴为__________； ②点和是抛物线上的两点，比较和的大小关系，并说明理由； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据题意得到二次函数解析式，从而得到二次函数的对称轴； ②结合函数图象，当，对称轴左侧的图象随的增大而减小，从而得到，的大小； （2），由题意分时，根据抛物线的开口方向及对称轴可知抛物线的增减性，再结合自变量和函数值的大小关系得出不等式，求出解集即可；当时，仿照上述解答过程解答即可． 【详解】（1）解：①当时，， 抛物线的对称轴是． 它的对称轴为直线； ②∵抛物线的图象开口向上，对称轴为直线， ∵点和是抛物线上的两点，且 ，两点关于对称轴直线对称 ； （2）解：当时，抛物线的对称轴是， 此时抛物线的开口方向向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小 ∵点和是抛物线上的两点，都有， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， 解得； 当时，抛物线的对称轴是， 此时抛物线的开口方向向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大 ∵点和是抛物线上的两点，都有， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴， 综上：a的取值范围是或 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学附属实验中学2026-2027学年九年级上学期 9月学情自测数学模拟试卷 （卷面总分100分 考试用时100分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共16分） 1．反比例函数y=的图象分别位于（    ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 2．对于二次函数 ，下列说法中正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．图象的对称轴为直线 D．图象的顶点坐标是 3．如图，点在反比例函数的图像上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为2，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 5．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 6．如图所示三个二次函数的图象中，分别对应的是①y=a1x2；②y=a2x2；③y=a3x2，则a1，a2，a3的大小关系是（    ） A．a1a2a3 B．a1a3a2 C．a3a2a1 D．a2a1a3 7．根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 8．二次函数（，，，为常数）的部分对应值列表如下： 则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 二、填空题（每题 2 分，共16分） 9．已知反比例函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则m取值范围是__________． 10．当______时，函数是二次函数． 11．已知是方程的一个根，则的值为_______． 12．已知，是方程的两个根．则_______． 13．将二次函数的图象向下平移1个单位长度，则平移后所得图象的函数表达式为______． 14．如图，抛物线与直线两个交点分别为，，则关于的不等式的解集为_____． 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为______（用含的式子表示）； （2）设，为该抛物线上的两点，若，，且，则的取值范围为______． 16．二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 三、解答题（共68分） 17．解一元二次方程： (1)； (2) 18．已知，求代数式的值． 19．已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 20．已知二次函数． (1)用配方法化成的形式，并指出该二次函数图象的顶点坐标与对称轴； (2)画出此函数的图像； (3)利用图象回答：当x取什么值时，． (4)当时，y的取值范围是什么？ 21．已知二次函数与轴有两个交点． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数时，求此时的二次函数的解析式，并化为顶点式，画出该函数的图象． 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 23．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板与水面相距3米，在离起跳点（点A）水平距离1米时达到距水面最大高度4米． (1)请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出这条抛物线的函数表达式． (2)求运动员落水点E与点C的距离． 24．在平面直角坐标系中，已知拋物线． (1)当时， ①该抛物线的对称轴为__________； ②点和是抛物线上的两点，比较和的大小关系，并说明理由； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，都有，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $