精品解析：北京师范大学附属实验中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

数学练习 一、单选题（共24分，每题3分） 1. 反比例函数y＝的图象在( ) A. 第一，二象限 B. 第一，三象限 C. 第二，四象限 D. 第三，四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数图象为双曲线，当k＞0，图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小；当k＜0，图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大． 【详解】解：∵k=1>0， ∴该反比例函数图象分布在第一、三象限． 故选：B． 2. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，随增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 3. 如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象过点求出的值，再利用反比例函数的几何意义求解的面积． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∵点是图象上任意一点，轴， ∴． 4. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定二次函数的开口方向与对称轴，比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 5. 水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】C 【解析】 【分析】将高度函数整理为二次函数一般式，结合开口方向，通过对称轴公式计算最高点对应时间. 【详解】解：， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，顶点处取得最大值. 将，代入，得. 6. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 7. 已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的图象经过的象限可以判断的符号，再根据图象与y轴交点位置判断的符号，进而得到的符号；然后根据反比例函数的图象所在象限，判断的符号， 再结合、、的符号，先判断二次函数的开口方向，再用对称轴公式判断对称轴位置，最后根据时的函数值判断与y轴的交点位置，逐一匹配选项即可． 【详解】解：观察函数图象可知：，，， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴直线，与轴的交点在轴正半轴． ∴二次函数的图象可能是 ． 8. 设二次函数（，，是常数，），如表列出了、的部分对应值． … 1 2 3 … … 0 … 则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性求对称轴，找到对应的两个横坐标，结合开口方向确定不等式解集． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵时函数值为， ∴关于直线的对称点横坐标为， 即时函数值为， ∵当时，从增大到，从增大到，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴不等式的解集为． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是_____． 【答案】k<0 【解析】 【分析】由于反比例函数的图象当时，y随x的值增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时， y随x的增大而增大， ∴k＜0， 故答案为：k＜0． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性得出比例系数的正负是解题的关键． 10. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 11. 已知方程的一个根为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ 将代入原方程得 计算整理得 解得． 12. 已知方程的两根为，，则__________，__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用根与系数的关系先求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式变形计算得到所求结果． 【详解】解：方程为，对应得，，， ∴， ， ∵， ∴代入计算得． 13. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则求解即可． 【详解】解：将函数的图象向左平移2个单位长度，得到的函数表达式为，再将得到的图象向下平移1个单位长度得到抛物线的函数表达式为，即． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 15. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线__________（用含的式子表示）；若抛物线上存在两点和，当时，的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】第一空利用二次函数对称轴公式计算即可；第二空将两点坐标代入抛物线解析式得到，，再根据解不等式得到的取值范围． 【详解】解：求对称轴： ∵ 二次函数为，其中二次项系数，一次项系数为， ∴ 对称轴为直线； 求的取值范围： 将和代入， 得，， 整理得： ，， ∵ ， ∴ ， 变形得， 即． 将四个因式按大小排列为：， 分情况讨论： 当四个因式中只有一个负数时， ，解得； 当四个因式中三个负数一个正数时， ，解得； 因此的取值范围是或． 16. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法： ①； ②； ③若，是抛物线上的两点，则； ④； ⑤（其中）． 其中正确的结论是__________． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a，b，c的符号以及关系，利用对称性求出抛物线与x轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴，故④错误； 把代入得：， ∴，故②正确， ∵，抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，抛物线y取得最大值， 当时，，且， ∴，故⑤正确； 综上：①②⑤正确． 三、解答题（17题9分，18，19题4分，20题9分，21题6分，22题5分，23题8分，24题7分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） ， （2） ， （3） 原方程无实数根 【解析】 【小问1详解】 解： ，， ∴原方程的根为，； 【小问2详解】 解：      或   解得或, ∴原方程的根为，； 【小问3详解】 解： ，， 因此原方程无实数根． 18. 已知 ，求代数式的值. 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，利用整体代入法解答是解题的关键．先化简原式，再将变形为，最后将以整体的形式代入原式，即得答案． 【详解】 ， ， ， 原式． 19. 如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： （1）点的坐标； （2）这个二次函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由的坐标可以求出的距离，从而求出点的坐标； （2）已知二次函数过三个点，即可设二次函数的一般式，用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：点，， ． ， ． 点在轴的正半轴上， ∴点的坐标是． 【小问2详解】 解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，， ， 解得， 这个二次函数的解析式为． 20. 已知抛物线． （1）用配方法将化成的形式． （2）补全下方的表格，并在答题纸所给的平面直角坐标系中，画出抛物线； 抛物线 顶点坐标 与轴交点坐标 与轴交点坐标 （3）结合图象回答： ①当 时，随的增大而减小； ②当满足 时，； ③当时，的取值范围是 ． 【答案】（1） （2） 抛物线 顶点坐标 与轴交点坐标 与轴交点坐标 ， 画图如下： （3）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解； （2）根据二次函数的性质补全表格，然后画出图象即可； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点坐标为； 当时，， 解得，， ∴与轴的交点坐标为，； 当时，， ∴与轴的交点坐标为； 【小问3详解】 解：①由图象可得，当时，随的增大而减小； ②由图象可得，当满足时，； ③由图象可得，当时，的取值范围是． 21. 已知抛物线与轴有两个交点． （1）求的取值范围； （2）如果是正整数，且该抛物线与轴的交点的横坐标都是整数，求该抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） 抛物线与轴的交点坐标为和 【解析】 【分析】（1）因为抛物线与轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围； （2）由（1）可知，又因为是正整数，所以或，分情况求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， ， 整理可得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可知， 又是正整数， 或， 当时，方程为， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为和； 当时，方程为， 解得：，， 抛物线与轴的交点的横坐标都是整数， 不符合题意； 综上所述，该抛物线与轴交点坐标为和． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、两点，连接、． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入一次函数表达式即可求出点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数表达式求解；联立一次函数和反比例函数的表达式即可确定点的坐标； （2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出点坐标，再根据计算求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点， ，解得， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； 联立， 整理得，即， 解得，， ∴当时，， ； 【小问2详解】 解：如图，设一次函数与轴相交于点， AI 对于，令，则， ， ， 又，， ． 23. 如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端处弹跳，越过最高点后恰好落在人梯的顶端处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点水平距离为米时，距地面的高度为米． （米） … 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 … （米） … 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15 … 请你解决以下问题： （1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； （2）直接写出演员身体距离地面的最大高度； （3）求起跳点距离地面的高度； （4）在一次表演中，已知人梯到起跳点的水平距离是米，人梯的高度是米，演员弹跳后未能恰好落到人梯的顶端处．为使演出成功，结合所画的图象，分别设计以下两种调整方案： 方案一：将起跳点距离地面的高度调整为 米（结果精确到）； 方案二：保持起跳点高度不变，将人梯到起跳点的水平距离调整为 米（结果精确到）． 【答案】（1） （2）演员身体距离地面的最大高度为米 （3）起跳点距离地面的高度为米 （4）； 【解析】 【分析】（1）以点C为坐标原点，所在直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，将表格中的点描在坐标系内，再用一条平滑的曲线依次连接即可； （2）根据表格中的数据或函数图象分析的最大值即可； （3）利用待定系数法求出函数的解析式，令，求； （4）方案一：计算当时的取值，进而确定函数图象应整体向下平移米，进而得解；方案二：计算当时的取值，再结合“越过最高点后恰好落在人梯的顶端处”确定符合题意的解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象可知，演员身体距离地面的最大高度为米． 【小问3详解】 解：设抛物线的表达式为 ， 将点代入，得， 解得， 该抛物线为， 当时，， 起跳点距离地面的高度为米； 【小问4详解】 解：方案一：当时，（米）， 人梯的高度是米， 需要整体向下平移（米）， 原来的起跳点距离地面的高度为米， 应将起跳点距离地面的高度调整为（米）； 方案二：令，即， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）． 应将人梯到起跳点的水平距离调整为米． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）若，点，在抛物线上，且，直接写出的取值范围； （3）将点沿轴向右平移7个单位长度得到点，若抛物线与线段始终有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围． 【答案】（1）直线. （2）. （3）或. 【解析】 【分析】（1）把抛物线化成顶点式，解答即可； （2）根据点，在抛物线上，且，把坐标代入解析式，借助函数值关系建立不等式，解答即可； （3）根据点沿轴向右平移7个单位长度得到点，继而得到，根据抛物线与线段始终有两个公共点利用分类思想，二次函数的性质，从特殊点入手，解答即可． 【小问1详解】 解：由抛物线， 故， 故抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：根据题意，得点，在抛物线上，且， 故， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：根据点沿轴向右平移7个单位长度得到点， 故点， 当时，把点代入抛物线中，得， 解得， 此时抛物线与的另一个交点为，且， 满足抛物线与线段始终有两个公共点； 根据抛物线的性质，得到的值越大，抛物线的开口越小， 故此时； 当时，把点代入抛物线中，得， 解得， 此时抛物线与只有一个公共点， 根据抛物线的性质，得到的值越小，抛物线的开口越小， 且满足抛物线与线段始终有两个公共点； 此时有； 综上所述，符合题意的的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 一、单选题（共24分，每题3分） 1. 反比例函数y＝的图象在( ) A. 第一，二象限 B. 第一，三象限 C. 第二，四象限 D. 第三，四象限 2. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，随增大而增大 3. 如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 4. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ 　 ） A. B. C. D. 5. 水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 6. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 设二次函数（，，是常数，），如表列出了、的部分对应值． … 1 2 3 … … 0 … 则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是_____． 10. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 11. 已知方程的一个根为，则的值为__________． 12. 已知方程的两根为，，则__________，__________． 13. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为__________． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 15. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线__________（用含的式子表示）；若抛物线上存在两点和，当时，的取值范围为__________． 16. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法： ①； ②； ③若，是抛物线上的两点，则； ④； ⑤（其中）． 其中正确的结论是__________． 三、解答题（17题9分，18，19题4分，20题9分，21题6分，22题5分，23题8分，24题7分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 18. 已知 ，求代数式的值. 19. 如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： （1）点的坐标； （2）这个二次函数的解析式． 20. 已知抛物线． （1）用配方法将化成的形式． （2）补全下方的表格，并在答题纸所给的平面直角坐标系中，画出抛物线； 抛物线 顶点坐标 与轴交点坐标 与轴交点坐标 （3）结合图象回答： ①当 时，随的增大而减小； ②当满足 时，； ③当时，的取值范围是 ． 21. 已知抛物线与轴有两个交点． （1）求的取值范围； （2）如果是正整数，且该抛物线与轴的交点的横坐标都是整数，求该抛物线与轴的交点坐标． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、两点，连接、． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）求的面积． 23. 如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端处弹跳，越过最高点后恰好落在人梯的顶端处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点水平距离为米时，距地面的高度为米． （米） … 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 … （米） … 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15 … 请你解决以下问题： （1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； （2）直接写出演员身体距离地面的最大高度； （3）求起跳点距离地面的高度； （4）在一次表演中，已知人梯到起跳点的水平距离是米，人梯的高度是米，演员弹跳后未能恰好落到人梯的顶端处．为使演出成功，结合所画的图象，分别设计以下两种调整方案： 方案一：将起跳点距离地面的高度调整为 米（结果精确到）； 方案二：保持起跳点高度不变，将人梯到起跳点的水平距离调整为 米（结果精确到）． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）若，点，在抛物线上，且，直接写出的取值范围； （3）将点沿轴向右平移7个单位长度得到点，若抛物线与线段始终有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $