2026—2027学年人教版九年级数学上册10月份第一次月考学情自测卷.培优卷

人教版2026—2027学年九年级数学上册10月份第一次月考学情自测卷.培优卷 （测试范围：第25、26章，考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 4．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 5．某种商品原来每件售价为144元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为100元设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 7．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．其图像的开口向上 B．其图像的对称轴为直线 C．其最小值为5 D．当时，y随x的增大而增大 8．已知关于的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C．或a>0 D．或a>0 9．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（    ） A．18 B．20 C．36 D．24 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 12．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___________． 13．已知，则的值为________． 14．已知方程的两个根分别是，，则的值为____________． 15．如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为________．    16．在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图1，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程的图解，如图2，若，则的值为______． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程： (1)． (2) 18．抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点坐标，并判断函数有最大值还是最小值，求出这个最值． 19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 20．在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点． (1)求点坐标； (2)若抛物线经过点，求的值； (3)已知，若，有最大值9，求的值； 21．某商贸公司购进某种商品的成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来30天的销售单价y（元）与时间x（天）之间的函数关系式为（x为整数），且日销量与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如表： 时间x（天） 1 3 6 10 … 日销量 142 138 132 124 … (1)求m与x的函数关系； (2)哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？ (3)在实际销售中，公司决定每销售商品就捐赠n元利润给当地福利院，后发现：在这30天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围． 22．今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措．某商家在2026年“五一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． (1)原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ (2)经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台；如果售价每降价元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求m的值． 23．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)判断方程是否为“伴根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 24．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．A 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2．B 【详解】解：， ， ． 3．D 【详解】解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 4．A 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 5．C 【详解】解：∵每次降价率为x， ∴第一次降价后售价为元， 第二次降价后售价为元， 又∵最终售价为100元， ∴． 故选：C． 6．A 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 7．D 【详解】解：∵，， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时y取得最大值，故选项C不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意； 故选：D． 8．C 【详解】解：原方程变形为，这是一个以为未知数的一元二次方程． 当|x-3|<0时，x无解； 当|x-3|=0时，只有1解； 当|x-3|有2个大于0的根时，x有4解． 所以关于的一元二次方程有且只有1个大于0的实数根． ①当关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即△＝0时， ，解得=-2 ②当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时： ，解得即a>0． 综合上面两种情况，a的取值范围是a>0或者a=-2． 9．C 【详解】解：开口向下，， 对称轴在轴的右侧，、异号，则， 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴，所以①正确； 当时，，即， 即，所以②不正确； 因为抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 所以抛物线与轴的另一个交点在和之间， 则时，， 即，所以③正确； 因为对称轴为直线，则，而， 则，，所以④正确； 开口向下，当，有最大值； 当时，， 则， 即，所以⑤错误． 故①③④正确，共3个． 故选：C． 10．C 【详解】解：将代入抛物线， 得或，即， 故抛物线向右每次平移距离为4， 设，，，，，的横坐标分别为，，，，，， ，同时在抛物线和直线上， 即，的横坐标为的根， ， ， ， 直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和． 故选C． 11．且 【详解】解：方程 是一元二次方程， ， 一元二次方程有实数根， ， 解得 ， 故 的取值范围是 且 ． 12． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得， ∴． 13． 【详解】解：设， ∵任何数的平方都是非负数， ∴， 将代入原方程得：， 根据平方差公式展开得：，整理得：， 解得或， ∵， ∴舍去，因此． 14． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ，， ． 15． 【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，    设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线经过、， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点M坐标为， 故答案为：． 16．6 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 17．【详解】（1）解：原方程移项得， 因式分解得， 则或， 解得，； （2）解：原方程因式分解得， 整理得， 则或， 解得，． 18．【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴将两点坐标代入解析式，得， 整理得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为． 19．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 20．【详解】（1）解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴点的横坐标为， 将代入，得， ∴； （2）解：∵抛物线经过点和， ∴将两点坐标代入解析式，得 整理得 两式相加得， 解得， 将代入， 得． （3）解：∵， ∴， ∴抛物线解析式为．抛物线的对称轴为， ∵， ∴分两种情况讨论：①当时，抛物线开口向上，在范围内，的最大值出现在离对称轴较远的端点． ∵，，， ∴当时，取得最大值， 将，代入解析式，得， 解得，符合， ②当时，抛物线开口向下，在范围内，的最大值出现在顶点处． ∴当时，取得最大值， 将，代入解析式，得， 整理得， 解得，符合． 综上所述，的值为或． 21．【详解】（1）解：设，将，代入可得： ，解得， ∴； （2）解：设日销售利润为元，根据题意可得： 当且为整数时， ， 此时当时，取得最大日销售利润为1568元， 综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元； （3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，由题意得： ， 其对称轴为直线， ∵在30天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，且只能取整数， ∴，求得， 又∵， ∴的取值范围是：． 22．【详解】（1）解：设该款电视机每次降价的百分率是x， 由题意得： 解得：，不符合题意，舍去， 答：该款电视机每次降价的百分率是； （2）解：由题意得： 整理得： 解得：，. 尽可能让利于顾客， . 答：m的值为 23．【详解】（1）解：， ， 或， 解得，， ∵， ∴方程是“伴根方程”； （2）解：①∵， ∴或， ∴，， ∵方程（m是常数）是“伴根方程”， ∴， ∴或； ②∵， ∴， ∴关于t的方程为， ∴， ∴． 24．【详解】（1）解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， 设点的坐标是， 抛物线的对称轴为直线， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标是， 把点、、的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 当时，； （3）解：设点的坐标是， 如下图所示，过点作直线轴，交直线于点， 则点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 整理可得：， 当时有最大面积，最大面积是， 此时，即点的坐标是． 学科网（北京）股份有限公司 $