2026-2027学年沪科版数学七年级上册第一次月考复习讲义

第一次月考复习讲义 沪科版七年级上册 · 第1章 有理数 · 月考真题61题选编 【教师版】 题 型 目 录 模块 题型与考点 题号 题数 正负数与相反意义的量（一） 概念辨析 · 情境应用（行程、质检） 1—5 5 题 数轴、相反数与绝对值（二） 数轴与距离 · 概念综合 · 非负性求值 6—12 7 题 有理数的大小比较（三） 化简后比较 · 含π与乘方 · 数轴排序 13—16 4 题 有理数的运算（四） 加减 · 乘除 · 乘方 · 混合运算与运算律 · 科学记数法与近似数 17—33 17 题 有理数的分类（五） 集合归类 · 0与π的归属辨析 34—36 3 题 相反数、倒数、绝对值综合求值（六） 条件求值 · 整体代入 · 分类讨论 37—38 2 题 新定义运算（七） 自定义符号 · 取整函数 · 分段定义 · 运算律验证 39—43 5 题 规律探究（八） 分数裂项 · 数阵 · 图形计数 · 乘方运算律迁移 · 幻方 44—49 6 题 绝对值化简与分类讨论（九） a/|a|型 · 组合条件化简 · 绝对值方程 50—55 6 题 数轴动点与压轴综合（十） 双动点 · 中点 · 折叠 · 周期跳动 · 定值探究 56—61 6 题 使用说明　本讲义全部试题选自安徽省17份七年级上学期第一次月考数学试卷（2024—2025、2025—2026学年，沪科版），每题题号后标注来源与原卷题号，如（2026蚌埠月考 10）表示2025—2026学年蚌埠市禹会区卷第10题，文末附来源对照表。 教师版每题附原卷完整详解（含分析、详解、点拨），供讲评与备课使用；学生版预留答题空间。 　一、正负数与相反意义的量 考点提示　正负数用来表示具有相反意义的量，规定其中一个为正，则另一个为负；0既不是正数也不是负数，是正负数的分界。实际应用题的三步曲：用正负数记录各次变化，通过依次累计判断最远（最高）的情形，用各次距离的绝对值之和求总路程（总量）。 1.（2025亳州谯城 1）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利10元记作+10元，那么亏本50元记作（　　） A．−50元 B．−10元 C．+50元 D．+10元 【答案】A 【分析】此题考查正数和负数表示相反意义的量，正确理解正负数的定义是解题的关键．根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案． 【详解】解：如果盈利10元记作+10元，那么亏本50元记作−50元， 故选：A． 2.（2025合肥庐江 1）一种面粉的质量标识为"25 ± 0.25千克"，则下列面粉中合格的有（　　） A．25.28千克 B．25.18千克 C．24.69千克 D．24.25千克 【答案】B 【分析】根据一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，可以求出合格面粉的质量的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”， ∴合格面粉的质量的取值范围是：（25−0.25）千克～（25＋0.25）千克， 即合格面粉的质量的取值范围是：24.75千克～25.25千克， 故选项A不合格，选项C不合格，选项B合格，选项D不合格． 故选B． 【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正负数在题目中的实际意义． 3.（2026六安舒城 11）我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数、负数的概念．若水库的水位升高2m时，水位变化记作+2m，则水库的水位下降1.5m时，水位变化记作______m． 【答案】−1.5 【分析】本题考查了正数和负数的意义，理解题意，掌握相反意义的量是解题关键．根据题干中的“水位升高”记作“+”，则“水位下降”记作“−”，即可解答． 【详解】解：∵水库的水位升高2m时，水位变化记作+2m， ∴水库的水位下降1.5m时，水位变化记作−1.5m． 故答案为：−1.5． 4.（2025蚌埠一实9月 21）小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：cm）：+5，−3，+10，−8，−6，+12，−10． (1) 小虫最后是否回到出发点O？ (2) 小虫离开出发点O最远是多少 cm？ (3) 在爬行过程中，如果每爬行 1cm 奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫最后回到出发点O (2)小虫离开出发点最远时是 12cm (3)小虫一共得到54粒芝麻 【分析】本题考查了正数和负数的知识，解题的关键是掌握正负数是表示相反意义的量，如果规定一个量为正，则与它相反的量一定为负；距离即绝对值与正负无关． （1）把记录数据相加，结果为0，说明小虫最后回到出发点O； （2）分别计算出每次爬行后距离O点的距离； （3）小虫一共得到的芝麻数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把绝对值相加，再求得到的芝麻粒数． 【详解】（1）解：∵ +5 − 3 + 10 − 8 − 6 + 12 − 10 = 27 − 27 = 0， ∴小虫最后回到出发点O； （2）解：第一次爬行距离出发点是 5cm， 第二次爬行距离出发点是 5 − 3 = 2(cm)， 第三次爬行距离出发点是 2 + 10 = 12(cm)， 第四次爬行距离出发点是 12 − 8 = 4(cm)， 第五次爬行距离出发点是 |4 − 6| = 2(cm)， 第六次爬行距离出发点是 −2 + 12 = 10(cm)， 第七次爬行距离出发点是 10 − 10 = 0(cm)， 从上面可以看出小虫离开出发点最远时是 12cm； （3）解：小虫爬行的总路程为： |+5|+|−3|+|+10|+|−8|+|−6|+|+12|+|−10| = 5 + 3 + 10 + 8 + 6 + 12 + 10 = 54(cm)， 54 × 1 = 54（粒）， ∴小虫一共得到54粒芝麻． 5.（2025亳州谯城 23）某电路检修小组在东西方向的一道路上检修用电线路，检修车辆从该道路P处出发，如果规定检修车辆向东行驶为正，向西行驶为负，某一天施工过程中七次车辆行驶记录如下：（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 −3 +8 −9 +12 +4 −4 3 （1）检修小组收工时在P的哪个方位？距P处多远？ （2）在第________次记录时距P地最远； （3）若检测车辆每千米耗油0.2升，每升汽油需7.2元，这一天检测车辆所需汽油费多少元？ 【答案】（1）在P的东边，距P处11km；（2）五；（3）这一天检测车辆所需汽油费61.92元 【分析】（1）七次行驶的和即收工时检修小组距离P地的距离； （2）计算每一次记录检修小组离开P的距离，比较后得出检修小组距P地最远的次数； （3）每次记录的绝对值的和，是检修小组一天的行程，根据单位行程的耗油量计算出该检修小组一天的耗油量． 【详解】（1）﹣3+8﹣9+12+4﹣4+3=11（km）， 所以收工时在P的东边，距P处11km （2）第一次后，检修小组距P地3km； 第二次后，检修小组距P地﹣3+8=5（km）； 第三次后，检修小组距P地﹣3+8﹣9=﹣4（km） 第四次后，检修小组距P地﹣3+8﹣9+12=8（km） 第五次后，检修小组距P地﹣3+8﹣9+12+4=12（km） 第六次后，检修小组距P地﹣3+8﹣9+12+4﹣4=8（km） 第七次后，检修小组距P地﹣3+8﹣9+12+4﹣4+3=11（km） 故答案为：五； （3）（3+8+9+12+4+4+3）×0.2×7.2 =43×0.2×7.2 =61.92（元）． 答：这一天检测车辆所需汽油费61.92元． 【点睛】本题考查了，正负数的意义，有理数的加减法在生活中的应用．耗油量=行程×单位行程耗油量．正确的计算是解题的关键． 　二、数轴、相反数与绝对值 考点提示　数轴三要素：原点、正方向、单位长度。只有符号不同的两个数互为相反数，a与−a互为相反数，0的相反数是0；互为相反数的两数绝对值相等。绝对值的非负性：若几个非负数之和为0，则每个非负数都为0，据此可求出字母的值再代入计算。 6.（2026蚌埠月考 8）下列说法：①最小的整数是0；②一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数；③两个数的差是负数，被减数不一定小于减数．其中错误的说法个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了整数的定义、相反数的定义、有理数的减法，熟记相关定义是解题的关键．根据整数的定义、相反数的定义、有理数的减法逐个判断即可． 【详解】解：①没有最小的整数，原说法错误； ②一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，原说法正确； ③ a − b < 0，则 a < b，即两个数的差是负数，被减数一定小于减数，原说法错误； 错误的说法有①③． 故选：B． 7.（2026合肥新桥 1）下列结论正确的是（　　）． A．a一定是正数 B．a的倒数是 C．a的相反数是−a D．−|a|是负数 【答案】C 【分析】本题考查了正数、倒数、相反数及绝对值的基本概念，解题的关键是全面考虑字母a的所有可能取值（正数、负数、0），避免因忽略特殊值（如a=0）导致判断错误． 分析选项A时，需考虑a可能为负数或0，并非一定是正数；分析选项B时，注意a=0时无意义（0没有倒数）；分析选项C时，依据相反数的定义，任意数a的相反数均为−a，与a的取值无关；分析选项D时，考虑a=0时−|a|=0，0不是负数，进而确定正确结论． 【详解】解：A、若a=−2（负数）或a=0（非正非负），则a不是正数，此选项不符合题意； B、若a=0，则无意义（0没有倒数），此选项不符合题意； C、根据相反数的定义，无论a为正数（如a=3，相反数为−3）、负数（如a=−5，相反数为5）还是0（相反数为0），a的相反数都是−a，此选项符合题意； D、若a=0，则−|a|=−0=0，0不是负数，此选项不符合题意； 故选：C． 8.（2026淮北天一 5）下列说法错误的是（ ） A．任何正数都大于它们的相反数 B．0既不是正数，也不是负数 C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定相等 D．绝对值小于3的所有整数的和为0 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，0的意义，有理数的加法计算，只有符号不同的两个数互为相反数，则正数的相反数是负数，再由正数大于负数可判断A；0既不是正数，也不是负数，据此可判断B；互为相反数的两个数的绝对值也相同，据此可判断C；绝对值小于3的所有整数有 ±2、 ±1、0，再利用有理数的加法计算法则求出这几个整数的和即可判断D． 【详解】解：A、任意正数的相反数都是负数，而正数大于负数，故任何正数都大于它们的相反数，原说法正确，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，原说法正确，不符合题意； C、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，原说法错误，符合题意； D、绝对值小于3的所有整数有 ±2、 ±1、0，它们的和为 −2 − 1 + 0 + 1 + 2 = 0，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 9.（2026六安舒城 8）若数轴上A点表示数−5，则与A相距7个单位长度的点表示的数为（　　） A．2或−12 B．−2或−12 C．2或−2 D．12或7 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义可知与A相距7个单位长度的点，分在点A的左边和右边两种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵数轴上A点表示数−5， ①当与A相距7个单位长度的点在A点左边时，则−5−7=−12， ②当与A相距7个单位长度的点在A点右边时，则−5+7=2 故选A． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，分类讨论是解题的关键． 10.（2025亳州谯城 7）数轴上点A表示的数是−3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是（　　） A．4 B．−4或10 C．−10 D．4或−10 【答案】D 【分析】根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可． 【详解】解：点A表示的数是−3，左移7个单位，得−3−7＝−10， 点A表示的数是−3，右移7个单位，得−3＋7＝4， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减． 11.（2025合肥庐江 9）若（a－1）² + |b－2| = 0，则（a－b）²⁰¹²的值是（　　） A．－1 B．1 C．0 D．2012 【答案】B 【分析】根据偶次方和绝对值的非负数性质求解即可． 【详解】∵（a－1）²+|b－2|=0，（a－1）²≥0，|b－2|≥0， 得a－1=0，b－2=0． 解得a=1，b=2． ∴（a－b）²⁰¹²=（1－2）²⁰¹²=1． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，平方的非负性，求代数式的值，掌握非负数原理是解题的关键． 12.（2026宿州砀山 21）已知与|n − 4|互为相反数． (1) 求m，n的值； (2) 若p是最小正整数，求的值． 【答案】(1)m = 2，n = 4 (2)49 【分析】本题考查相反数，绝对值与平方的非负性，含乘方的有理数的运算，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出 + |n − 4| = 0，得到m − 2 = 0，n − 4 = 0，求出m = 2，n = 4，即可解答； （2）由p是最小正整数，得到p = 1，继而将m = 2，n = 4，p = 1代入计算即可． 【详解】（1）解：∵与|n − 4|互为相反数， ∴ + |n − 4| = 0， ∵ ≥ 0，|n − 4| ≥ 0， ∴ = 0，|n − 4| = 0, ∴ m − 2 = 0，n − 4 = 0， ∴ m = 2，n = 4； （2）∵p是最小正整数， ∴ p = 1， ∴ −m − n − p = −2 − 4 − 1 = −7， n − mp = 4 − 2 × 1 = 2， ∴ = = 49． 　三、有理数的大小比较 考点提示　正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。含π、乘方、多重符号、绝对值的混合比较，先化简再比较，常借助数轴定位完成排序。 13.（2026六安舒城 1）下列各数中，比−6小的数是（　　） A．−5 B．−8 C．0 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了有理数比较大小，熟练掌握两个负数比较大小绝对值越大，其值越小是解题的关键．根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大，其值越小逐项比较即可． 【详解】解：∵−8<−6<−5<0<7 ∴比−6小的数是−8 故选：B． 14.（2026阜阳月考 11）在 0.1，0，−π，3这四个数中，最小的数是_______． 【答案】−π 【分析】本题考查了实数的大小比较． 根据负数小于0和正数作答即可． 【详解】解：∵负数小于0和正数，在0.1，0，−π，3这四个数中，只有−π是负数， ∴在0.1，0，−π，3这四个数中，最小的数是−π， 故答案为：−π． 15.（2025六安霍山 9）若a < b < 0 < c < d，则以下四个结论中，正确的是（　　） A．a + b + c + d一定是正数 B．d + c − a − b可能是负数 C．d − c − b − a一定是正数 D．c − d − b − a一定是正数 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的加减法以及正数与负数，根据a，b，c，d的符号得出关系式是解题关键． 根据a<b<0<c<d，即可得出d−c>0, b−a>0，c+d>0, a+b<0，即可得出答案． 【详解】解：A、a+b+c+d符号无法确定，故此选项错误； B、d+c>0，则d+c−a−b=d+c−(a+b)>0，故此选项错误； C、∵a<b<0<c<d， ∴d−c>0，−b−a=−(b+a)>0， ∴d−c−b−a=d−c−(b+a)一定是正数，故此选项正确； D、c−d−b−a符号无法确定，故此选项错误； 故选：C． 16.（2026蚌埠月考 17）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“>”将各数连接起来， −|−1|, −3 , 0.5, −, 4, −(−3) 【答案】见解析， 【分析】本题考查数轴、有理数大小比较，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．先在数轴上表示出各数，再根据数轴上右边的数总比左边的数大，可得答案． 【详解】解：−|−1| = −1，− = −4，−(−3) = 3， 在数轴上表示． ∴ ． 　四、有理数的运算 考点提示　加减法：同号相加取相同的符号并把绝对值相加，减法转化为加法；乘除法：同号得正、异号得负，并把绝对值相乘除；乘方：先定符号再算绝对值。混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。特别提醒：除法没有分配律，应先算括号内或化为乘倒数后再用运算律。科学记数法写成 ，必须满足 。 （一）有理数的加减法 17.（2026宿州砀山 6）下列运算正确的是（　） A．−(−4) − 5 = −9 B．(−8) − |−2| = −10 C．−(+) − (−) = −2 D．|−5| − (−5) = 0 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的减法，求一个数的绝对值，根据运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、−(−4) − 5 = 4 − 5 = −1，故原选项计算错误，不符合题意； B、(−8) − |−2| = −10，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、|−5|−(−5) = 5 + 5 = 10，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 18.（2026合肥新桥 3）寒假的某一天，长丰县早上的温度是−4℃，中午比早上上升了3℃，此时的温度是（　　） A．7℃ B．−1℃ C．1℃ D．−7℃ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，先明确早上的温度，根据上升的度数计算即可． 【详解】解：−4+3=−1， 所以此时的温度是−1℃． 故选：B． 19.（2026宿州萧县 15）计算 (1) (−23) + (−12)； (2) (−0.5) + (+3 ) + 2.75 + (−5 )； 【答案】(1) −35 (2) 0 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握加法交换律和结合律，以及小数与分数的相互转化是解题的关键； （1）利用同号两数相加的法则计算即可； （2）运用加法交换律和结合律对式子进行简便运算；先将分数化为小数，然后把互为相反数或能凑整的数结合在一起进行计算． 【详解】（1）解：(−23) + (−12)， = −(23 + 12)， = −35； （2）解：， = −0.5 + 3.25 + 2.75 + (−5.5)， = [−0.5 + (−5.5)] + (3.25 + 2.75)， = −6 + 6， = 0． （二）有理数的乘除法 20.（2026淮北月考 7）下列式子中，计算正确的有( ) ①(−2) × (−6) = −12；②(−3) × 5 = −15；③(−41) × (−1) = 41；④6 × (−3) = 18． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则，逐一计算判断即可． 【详解】解：① (−2) × (−6) = 12，该项计算错误，不符合题意； ② (−3) × 5 = −15，该项计算正确，符合题意； ③ (−41) × (−1) = 41，该项计算正确，符合题意； ④ 6 × (−3) = −18，该项计算错误，不符合题意； 即计算正确的有②③． 故答案为：B． 21.（2026淮北二中 2）−2025的倒数是（ ） A．2025 B． C．−2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数．倒数的定义是：如果两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴ −2025 的倒数是 ， 故选：B． 22.（2026芜湖无为 12）与−2的积为0的数是_____． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的乘法．根据两数相乘，同号得正；异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0求解即可． 【详解】解：∵ −2 × 0 = 0， ∴与−2的积为0的数是0， 故答案为：0． （三）乘方 23.（2026淮北二中 11）−的底数是______． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的乘方的定义．在 中，表示n个a相乘，其中a叫做底数，n叫做指数． 此题确定底数是关键，要特别注意 （ − 8）¹⁰ 和 − 底数的区别． 【详解】解：− 的底数是8． 故答案为：8． 24.（2026宿州砀山 14）若n为正整数，则 = _____． 【答案】 【分析】本题考查含乘方的有理数的四则运算，掌握知识点是解题的关键． 分类讨论：①当n为奇数时，②当n为偶数时，逐一计算即可． 【详解】解：∵n为正整数， ∴①当n为奇数时， = −1, = 1，则， ②当n为偶数时， = 1, = −1，则． ∴当n为正整数，则的值为． 故答案为：． 25.（2026蚌埠月考 9）若 a 是不为 0 的整数，则 的值为（　　） A．0 或 4ᵃ B．0 或 4a C．4a D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方运算性质，分a为奇数和偶数两种情况：当a为奇数时， = −，当a为偶数时， = ，分别代入式子计算即可解答． 【详解】解：当a为奇数时，可得 = −， ； 当a为偶数时，可得 = ， ； ∴当a是不为0的整数时， 的值为 0 或 ． 故选：A． （四）四则混合运算与运算律 26.（2026淮北天一 17）计算： (1) (−10) + 8 + 2 + (−6)； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) −6 (2) 5 (3) −16 (4) −11 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的运算律，乘除混合运算，含有乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）按照有理数加减的运算法则计算即可； （2）根据乘除法的混合运算计算即可； （3）利用分配律计算即可； （4）按照有理数的乘方混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：(−10) + 8 + 2 + (−6) = −10 − 6 + 8 + 2 = −6． （2）解： = 5． （3）； = 3 − 27 + 8 = −16． （4） = −11． 27.（2026淮北月考 15）计算： (1) (2) ． 【答案】(1) −31 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）原式 = 4 − 30 + 9 − 14 = −31； （2）原式 ． 28.（2026合肥新桥 21）阅读下列材料： 计算： ÷ ( − + )． 解法一：原式 = ÷ − ÷ + ÷ = × 3 − × 4 + × 12 = ． 解法二：原式 = ÷ ( − + ) = ÷ = × 6 = ． 解法三：原式的倒数 = ( − + ) ÷ = ( − + ) × 24 = × 24 − × 24 + × 24 = 4．所以，原式 = ． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：(−) ÷ ( − + − )． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）对比答案解答即可； （2）根据运算法则运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：解法一错误； 故答案为：一； （2）解： 原式 （五）科学记数法与近似数 29.（2026六安舒城 4）中国信息通信研究院测算，2020 − 2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元．其中数据8万亿用科学记数法表示为（　　） A．80000 × B．80 × C．0.8 × D．8 × 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|<10时，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．根据“万亿”表示1万×1亿，即1万=，1亿=，进而表示即可． 【详解】解：8万亿=8××=8×． 故选：D． 30.（2026淮北月考 3）安徽亳州是闻名遐迩的"中华药都"．2024年，亳州现代中医药产业规模突破2102亿元，其中2102亿用科学记数法表示为（ ） A．2102 × B．21.02 × C．2.102 × D．2.102 × 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为 a × 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 为整数，表示时关键是要正确确定 a 的值以及 n 的值． 科学记数法的表现形式为 a × 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 为整数，确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是非负数，当原数绝对值小于1时，n 是负数． 【详解】解：∵ 2102 亿 = 210200000000， ∴ 2102 亿用科学记数法表示为：2.102 × ， 故选：C． 31.（2025合肥庐江 12）近似数1.04亿精确到_____位． 【答案】百万 【分析】掌握近似数的概念是解题关键．根据近似数的精确度求解．一个近似数精确到哪一位，应当看末尾数字实际在哪一位． 【详解】解：近似数1.04亿 = 104000000，精确到百万位． 故答案为：百万． 32.（2026蚌埠月考 12）圆周率 π = 3.1415926……，其定义为：圆形的周长与直径之比，在实际应用中，通常都用 3.14 表示 π 进行运算．数字 3.14 是精确到___________位． 【答案】百分 【分析】本题主要考查近似数和有效数字，解题的关键是掌握近似数的概念．判断最后一个数字所在数位即可． 【详解】解：数字3.14精确到百分位， 故答案为：百分． 33.（2026淮北二中 18）下列是由四舍五入法得到的数，各精确到哪一位？ (1) 50.3； (2) 0.31415； (3) 1.20万； (4) 2.5 × ． 【答案】(1)十分位 (2)十万分位 (3)百位 (4)千位 【分析】本题主要考查了精确度，熟知精确度的定义是解题的关键． （1）近似数 50.3 中，数字3在十分位上，则精确到十分位； （2）近似数 0.31415 中，数字5在十万分位上，则精确到十万分位； （3）近似数 1.20 万中，数字0在百位上，则精确到百位； （4）近似数 2.5 × 中，数字5在千位上，则精确到千位． 【详解】（1）解：50.3 精确到十分位 （2）解：0.31415 精确到十万分位 （3）解：1.20 万精确到百位 （4）解：2.5 × 精确到千位 　五、有理数的分类 考点提示　按定义分：正有理数、0、负有理数；按形式分：整数与分数。易混点：0是整数也是自然数；π是无理数，不属于分数；有限小数和无限循环小数都属于分数。 34.（2026蚌埠月考 1）在数 0, 2, −2.5, −2025 中，属于负分数的是（　　） A．0 B．2 C．−2.5 D．−2025 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类．根据负分数的定义:小于0的分数是负分数，即可判断求解． 【详解】解：在数0.2, −2.5, −2025中，属于负分数的是 −2.5， 故选：C． 35.（2025合肥庐江 2）在15，−3，0，−，−2.5，3.14中，负有理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据负有理数是小于0的整数和分数进行求解即可． 【详解】解：在15，−3，0，，−2.5，3.14中，负有理数有−3，，−2.5，共3个， 故选：C． 36.（2026蚌埠月考 18）把下列各数填入相应的大括号里． −1, 0, 2.5, −1 , 10, −|−|, 1.010101, −(−8) 整数：{ …} 负分数：{ …} 正数：{ …} 负有理数：{ …} 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．整数：包括正整数、0、负整数；负分数：小于0的分数，可以化成负有限小数和负无限循环小数；正数：大于0的数；负有理数：小于0的有理数，包括负整数和负分数利用整数，正数，负分数，以及负有理数的定义判断即可． 【详解】解：，−(−8) = 8， 整数：{−1, 0, 10, −(−8)…}； 负分数集合：； 正数集合：{2.5, 10, 1.010101, −(−8)⋯}； 负有理数集合：． 　六、相反数、倒数、绝对值综合求值 考点提示　互为相反数的两数之和为0；互为倒数的两数之积为1；绝对值具有非负性。此类同型题先用条件求出字母的值（注意分类讨论），再代入代数式求值，能整体代换的优先整体代入。 37.（2026合肥肥东 18）若a，b互为倒数，x，y互为相反数，|m| = 2，求x + y − m + ab − 1的值． 【答案】−2或2 【分析】本题考查倒数，相反数，绝对值，有理数的加减，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据倒数，相反数，绝对值，得到ab = 1，x + y = 0，m = ±2，然后分类讨论，代入求解即可． 【详解】因为a，b互为倒数，x，y互为相反数，|m| = 2， 所以ab = 1，x + y = 0，m = ±2， ①当m = 2时，原式 = 0 − 2 + 1 − 1 = −2， ②当m = −2时，原式 = 0 − (−2) + 1 − 1 = 2． 综上所述，x + y − m + ab − 1的值为−2或2． 38.（2026芜湖无为 19）已知a + 1的相反数是−5，b是最大的负整数，c + 3没有倒数． (1)a的值为 ，b的值为 ，c的值为 ． (2)求4b − 3a − 2c的值． 【答案】(1) 4，−1，−3； (2) −10． 【分析】本题考查了最大负整数、相反数的定义、倒数的定义、有理数混合运算，理解相关的定义及有理数混合运算的法则是解题的关键． (1)由相反数求出a,、由最大的负整数可求b的值，倒数的定义求c即可； (2)由(1)可知 a = 4，b = −1，c = −3 的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵a + 1 的相反数是 −5， ∴ a + 1 = 5， ∴ a = 4， ∵b是最大的负整数， ∴ b = −1， ∵c + 3没有倒数， ∴ c + 3 = 0， ∴ c = −3； （2）由（1）可知 a = 4，b = −1，c = −3， ∴ 4b − 3a − 2c = 4 × (−1) − 3 × 4 − 2 × (−3) = −4 − 12 + 6 = −10． 　七、新定义运算 考点提示　解题关键是把新定义当作使用说明，严格按定义代入计算；分段定义需先比较大小、判断取哪一段法则；定义中含绝对值时注意分类；验证运算律时按定义把两边分别展开再比较。 39.（2025合肥庐江 6）[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.2] = 3，[−2.3] = −3则[5.9] + [−5.9]的值是（　　） A．0 B．−1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用题中的新规定计算即可得到结果． 【详解】解：[5.9] + [−5.9] = 5 − 6 = −1， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握运算法是解题的关键． 40.（2026淮北天一 14）定义新运算"⊕"如下：当a ≥ b时，a ⊕ b = ab − a；当a < b时，a ⊕ b = ab + a．按上述规定计算的值为_____． 【答案】−1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，有理数的大小比较，解题的关键是理解新定义运算，掌握有理数混合运算的法则． 先判断两个数的大小，再根据新定义下的运算进行求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故答案为：−1． 41.（2025蚌埠一实9月 15）用 [a，b] 表示有理数 a，b 中较大的数，用 (a, b) 表示有理数 a，b 中较小的数，则 [−1, −] __________ (0, −) 【答案】> 【分析】本题考查了新定义，有理数的大小比较，由题意可知 ，，再比较即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ，， ∵ ， ∴ ， 故答案为：>． 42.（2026宿州砀山 20）对于有理数m，n，定义新运算“⊕”，规则如下： m ⊕ n = m + n + mn − 3，如2 ⊕ 3 = 2 + 3 + 2 × 3 − 3 = 8． (1) 求−4 ⊕ (−2)的值； (2) 请你判断m ⊕ n = n ⊕ m是否成立？并给出证明． 【答案】(1)−1 (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解新定义是解此题的关键． （1）根据题干中给出的新定义运算计算即可； （2）先根据题干中给出的新定义计算得出n ⊕ m，再和m ⊕ n比较即可得解． 【详解】（1）解：∵m ⊕ n = m + n + mn − 3， ∴ −4 ⊕ (−2) = −4 + (−2) + (−4) × (−2) − 3 = −4 − 2 + 8 − 3 = −1； （2）解：m ⊕ n = n ⊕ m成立． 理由：由题意可得， m ⊕ n = m + n + mn − 3， ∴n ⊕ m = n + m + nm − 3 = m + n + mn − 3， ∴m ⊕ n = n ⊕ m． 43.（2025蚌埠一实 20）若定义一种新的运算“*”，规定有理数 a * b = 2a − 1 + b．如 5 * 3 = 2 × 5 − 1 + 3 = 12． (1) 求 3 * (−4) 的值； (2) 7 * (−3) 与 (−3) * 7 的值相等吗？通过计算说明． 【答案】(1)1； (2) 7 * (−3) 与 (−3) * 7 的值不相等，理由见解析； 【分析】（1）根据题意进行计算即可． （2）根据题意，求出 7 * (−3) 与 (−3) * 7 的值，即可解答． 【详解】（1）根据题意有理数 a * b = 2a − 1 + b， 原式 = 2 × 3 − 1 + (−4) = 1． （2）7 * (−3) 与 (−3) * 7 的值不相等， 理由如下： 7 * (−3) = 2 × 7 − 1 + (−3) = 10， (−3) * 7 = 2 × （ − 3） − 1 + 7 = 0， ∵ 0 ≠ 10， ∴ 7 * (−3) 与 (−3) * 7 的值不相等． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算是解题的关键． 　八、规律探究 考点提示　通用三步：枚举前若干项、观察不变量归纳通项、代回验证。常考类型：分数裂项（及其变式）、数字与数阵规律、图形计数的通项公式、乘方运算律 的阅读迁移、高斯求和、幻方九宫格。 44.（2026淮北二中 23）阅读理解题：我们知道，任意正整数根据乘方的意义： = a ⋅ a， = a ⋅ a ⋅ a． (1)计算： × =_____，=_____； (2)计算： × =_____，=_____； (3)由（1）（2）我们可以得到的结论是什么？请用，，表示； (4)利用（3）的结论求等式中m的值． 【答案】(1)36，36 (2)8，8 (3) × = (4) m = −2 【分析】本题考查了乘方的意义，有理数的乘法，数字类规律探索，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据 = a ⋅ a，并结合有理数的乘法法则计算即可得解； （2）根据 = a ⋅ a ⋅ a，并结合有理数的乘法法则计算即可得解； （3）根据（1）（2）的计算结果，总结出规律即可； （4）先将式子变形为 ，结合 ，得出 m < 0，从而可得 且 m = −2，即可得解． 【详解】（1）解：∵ = a ⋅ a， ∴ × = 2 × 2 × 3 × 3 = 36， = = 6 × 6 = 36； （2）解：∵ = a ⋅ a ⋅ a， ∴ × = (−2) × (−2) × (−2) × (−1) × (−1) × (−1) = 8， = = 2 × 2 × 2 = 8； （3）解：由（1）（2）可得 × = ； （4）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ m < 0， ∴ 且 m = −2， 故 m = −2． 45.（2025合肥庐江 19）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7＋2|＝ ______； ②|−＋|＝ ______； （2）用简单的方法计算：| − |＋| − |＋| − |＋……＋| − |． 【答案】（1）①7+2；②；（2） 【分析】（1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案． 【详解】解：（1）①∵7+2 > 0， ∴|7＋2|＝7+2； ②∵， ∴|－＋|＝； （2）原式＝， ， ＝． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． 46.（2026淮北天一 21）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)请写出第8个等式：______=______； (2)请写出第n个等式（n是正整数）______×______； (3)根据上述规律，计算： 【答案】(1) ； (2) ； (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确找到规律第n个等式为： 是解题的关键． （1）观察所给等式写出结论即可； （2）根据题目中给出的等式，结合（1）中结论找到规律得出 即可． （3）根据（2）中得出的规律，然后裂项求解即可． 【详解】（1）解：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 第8个等式：； （2）解：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 第n个等式：； （3）解： ． 47.（2026蚌埠月考 22）观察下列等式，探究其中的规律． (1) 完成④和⑤后面的填空： ① 1 = 1；② 1 + 3 = 4；③ 1 + 3 + 5 = 9；④ 1 + 3 + 5 + 7 = ___________；⑤ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ___________；… (2) 参照上面的等式写出第10个等式； (3) 计算：57 + 59 + 61 + ⋯ + 299． 【答案】(1)16； 25 (2) 1 + 3 + 5 + ⋯ + 19 = 100 (3)21716 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类以及有理数的混合运算，根据各等式的变化，找出变化规律是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则直接计算即可； （2）由部分点阵图对应的等式，得出规律，即可得出第10个点阵图对应的等式； （3）由（2）的结论结合 57 + 59 + 61 + ⋯ + 299 = 1 + 3 + 5 + ⋯ + 299 − (1 + 3 + 5 + ⋯ + 55)，即可求出结论． 【详解】（1）解：1 + 3 + 5 + 7 = 16， 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25， 故答案为：16；25； （2）解：① 1 = 1 = ， ② 1 + 3 = 4 = ， ③ 1 + 3 + 5 = 9 = ， ④ 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = ， ⑤ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = ， … ∴第10个等式为 1 + 3 + 5 + ⋯ + 19 = = 100， 即 1 + 3 + 5 + ⋯ + 19 = 100； （3）解：57 + 59 + 61 + ⋯ + 299 = 1 + 3 + 5 + ⋯ + 299 − (1 + 3 + 5 + ⋯ + 55) = − = 22500 − 784 = 21716． 48.（2025蚌埠一实9月 22）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，1 + 2 + 3 + 4 + … + n = ? 经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：1 + 2 + 3 + 4 + … + n = ()n(n + 1)，其中 n 是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题： + + + … + = ? 观察下面三个特殊的等式： ① = 1 − ；② = − ；③ = − ； 把①、②、③三个等式相加，于是 + + = 1 − + − + − = 1 − = ． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1) + + + … + = ___________． (2) 根据以上观察，聪明的你发现 + + + … + = ___________． (3) 根据发现的规律并用转化的数学思想计算：1 − − − − − 【答案】(1) ； (2) ； (3) ． 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． （1）仿照题中的例子进行求解即可； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）将原式转化为 ，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 49.（2026阜阳月考 22）“九宫格”是一种填数游戏，对培养学生的逻辑推理能力有很大的帮助． (1) 现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使每行、每列、对角线上的三个数之和都等于15． (2) 利用你在（1）中发现的规律，将1，2，3，4，5，−1, −3, −2，0填入图2的九个方格中，使每行、每列、对角线上的三个数之和都相等． 图1 图2 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了有理数加法的应用，熟知“九宫格”的填法是解题的关键； （1）根据 15 ÷ 3 = 5，确定图1中最中间的数字为5，再根据有理数加法完成其余空格即可； （2）将所给数字按照从小到大的顺序排列，然后按照（1）中发现的九宫格的填图规律填图，最后依据有理数的加法法则验证即可． 【详解】（1）解：如图1所示（答案不唯一）． 8 1 6 3 5 7 4 9 2 图1 （2）如图2所示（答案不唯一）． 0 5 −2 −1 1 3 4 −3 2 图2 　九、绝对值化简与分类讨论 考点提示　化简 先判断a的正负：当 时 ，当 时 ；分类讨论必须写全两种情形，漏解是最主要失分点。绝对值方程借助几何意义（数轴上两点距离）求解更快，注意按区间分段讨论。 50.（2025合肥庐江 10）下列说法正确的有（　　） ①已知a，b，c是非零的有理数，且 = −1时，则 + + 的值为1或−3； ②已知a，b，c是有理数，且a + b + c = 0，abc < 0时，则 + + 的值为−1或3； ③若|a| = |b|且|a − b| = ，则式子a − 2b的值为1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则；根据绝对值的意义以及题中条件，逐个分析论证即可．熟知绝对值的意义是解题的关键． 【详解】①∵a，b，c是非零的有理数，，|abc| ≥ 0， ∴|abc| > 0，abc < 0， 故a，b，c中有1个或3个负数， 令a < 0, b > 0, c > 0时，； 当a < 0, b < 0, c < 0时，， 故该项正确； ②∵a + b + c = 0， ∴a + b = −c, a + c = −b, b + c = −a， 则， ∵abc < 0， ∴当a，b，c都是负数时，此时a + b + c < 0与a + b + c = 0矛盾，故不存在； ∴a，b，c中只有一个负数， 令a < 0, b > 0, c > 0， 原式， 故该项错误； ③∵|a| = |b|且， ∴a，b互为相反数， ∴a + b = 0，即a = −b， ∴， ∴， ∴a − 2b = a + 2a = 3a = ±1，故该项错误； 故选：B 51.（2026淮北天一 19）已知|x| = 5，|y| = 3，若x − y > 0，求x + y的值． 【答案】x+y的值为8或2． 【分析】根据绝对值的性质，得出x=±5，y=±3，再根据x-y＞0可确定x，y，即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：x=±5，y=±3， ∵x-y＞0即x＞y， ∴x=5，y=3或x=5，y=-3， 当x=5，y=3时， ∴x+y=8； 当x=5，y=-3时， ∴x+y=2， 综上所述，x+y=8或2． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算和绝对值的意义，解题的关键是根据绝对值的意义分类讨论． 52.（2026蚌埠月考 16）若 |a| = 6, |b| = 2，且 a < b，求 a, b 的值． 【答案】a = −6，b = 2 或 b = −2 【分析】本题考查绝对值的定义．本题先根据绝对值的定义求出a、b可能的值，再结合 a < b 的条件确定a、b的具体取值． 【详解】解：∵ |a| = 6， ∴ a = ±6， ∵ |b| = 2， ∴ b = ±2， ∵ a < b， ∴ a = −6，b = 2 或 b = −2． 53.（2026合肥新桥 23）请利用绝对值的性质，解决下列问题： (1)已知a，b是有理数，当a > 0时， = ______；当b < 0时， = ______． (2)已知a，b是有理数，且ab < 0，求 + 的值． (3)已知a，b，c是有理数，a + b + c = 0，abc < 0，求 + + 的值． (4)已知a，b，c是有理数，当abc ≠ 0时，求 + + 的值． 【答案】(1)1，−1 (2)0 (3)−1 (4)3或−3或1或−1 【分析】本题主要考查了绝对值是化简，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （1）根据绝对值是性质可得，当a>0时，，当时，，进行化简即可； （2）ab<0，得a、b异号，设a>0，则b<0，和a<0，则b>0，讨论解答即可； （3）a+b+c=0，abc<0，可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a>0，b>0，c<0，解答即可； （4）根据a≠0，b≠0，c≠0，再进行分类讨论①当a、b、c均为正数时，②当a、b、c中两正一负时，③当a、b、c中一正两负时，④当a、b、c中均为负数时，四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当a>0时，则，当b<0时， 故答案为：1，−1； （2）∵ab<0， ∴a、b异号， 若a>0，则b<0， ， 若a<0，则b>0， ； （3）a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc<0 ∴b+c=−a，a+c=−b，a+b=−c，且三个数中必需有两个正数，一个负数， 设：a>0，b>0，c<0， ； （4）解：∵a，b，c是有理数，abc≠0， ∴a≠0，b≠0，c≠0，且三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即a>0，b>0，c>0时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a>0，b<0，c<0， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设a>0，b>0，c<0， 则：； ④当a，b，c三个数都为负数时a<0，b<0，c<0， 则：； 综上所述：的值为3或−3或1或−1． 54.（2026安庆怀宁 11）已知数轴上两点M, N，点M在数轴上表示的数是−6，点N在数轴上表示的数是2，点P在数轴上，且满足点P到点M的距离是点P到点N的距离的2倍，则点P在数轴上表示的数是_________． 【答案】或10 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、一元一次方程的几何应用，正确列出方程是解答的关键．设点P在数轴上表示的数是x，根据数轴上两点距离公式，结合题中距离关系列方程求解即可． 【详解】解：设点P在数轴上表示的数是x， 根据题意，得|x + 6| = 2|x − 2|， 则x + 6 = 2(x − 2)或x + 6 = −2(x − 2)， 解得x = 10或， ∴点P在数轴上表示的数是或10． 故答案为：或10 55.（2026阜阳月考 14）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想．比如，| − | 的几何意义是数轴上表示数 的点与表示数 的点的距离． （1）|4 − (−5)| = _______． （2）若 |x + 2|+|x − 6| = 12，则负整数 x 的值为_____． 【答案】9 −4 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的几何意义并分情况讨论是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义，计算数轴上两点的距离． （2）分情况讨论x的取值范围，求解方程得到负整数x的值． 【详解】解：（1）∵ |4 − (−5)| 的几何意义是数轴上表示4的点与表示−5的点的距离， ∴ |4 − (−5)| = |4 + 5| = 9． 故答案为：9． （2）当 x < −2 时，|x + 2|+|x − 6| = −(x + 2) − (x − 6) = −x − 2 − x + 6 = −2x + 4， 令 −2x + 4 = 12，解得 x = −4； 当 −2 ≤ x ≤ 6 时，|x + 2|+|x − 6| = x + 2 − (x − 6) = x + 2 − x + 6 = 8 ≠ 12，无解； 当 x > 6 时，|x + 2|+|x − 6| = x + 2 + x − 6 = 2x − 4， 令 2x − 4 = 12，解得 x = 8． 所以负整数x的值为−4． 故答案为：−4． 　十、数轴动点与压轴综合 考点提示　动点三件套：用含t的代数式表示动点表示的数（起点加速度乘时间，注意方向）；两点距离转化为绝对值；按点的左右位置分类讨论列方程。常考设问：追及与相遇、中点公式、数轴折叠重合、周期跳动落点、距离和最小值。 56.（2025亳州谯城 14）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A, B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒． （1）点B表示的数是______； （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．当点P运动______秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【答案】（1）−4；（2）或6 【分析】此题考查两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系并分情况讨论是解题关键． （1）根据数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，A,B两点间的距离为10，求出点B表示的数即可； （2）分两种情况：当Q在P点左边时，当P在Q的左边时，分别列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，A,B两点间的距离为10， ∴数轴上点B所表示的数为6−10=−4； 故答案为：−4； （2）设点P运动x秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，由题意得： ①当Q在P点左边时，3x+10−6x=8， 解得：； ②当P在Q的左边时，6x−(3x+10)=8， 解得：x=6， 故答案为：或6． 57.（2026淮北天一 23）已知，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为−10，−4，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)运动前线段AB的长为______；运动1秒后线段AB的长为______； (2)运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为______和______； (3)求t为何值时，点A与点B恰好重合； (4)在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6；4 (2) 5t；3t (3) t 的值为3时，点A与点B恰好重合 (4)t的值为 或 ，理由见解析 【分析】本题考查数轴、一元一次方程等知识，解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式，学会构建方程解决问题． （1）根据两点间距离公式计算即可； （2）根据题意计算即可； （3）由（2）可得，点A表示的数为 −10 + 5t，点B表示的数为 −4 + 3t，令点A和点B表示的数相等构建方程，即可解决问题； （4）分点A在点B左侧和点A在点B右侧两种情形构建方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：AB = |−10 − (−4)| = |−10 + 4| = |−6| = 6， 由题意得，运动1秒后，A表示 −10 + 5 × 1 = −5，B表示 −4 + 3 × 1 = −1， ∴ AB = |−5 − (−1)| = |−5 + 1| = |−4| = 4， 故答案为：6，4； （2）解：由题意得，运动 t 秒后，点 A 运动的距离为 5t，点 B 运动的距离 3t， 故答案为：5t，3t； （3）解：由（2）可得运动 t 秒后，点 A 的位置为 −10 + 5t，点B的位置为 −4 + 3t， 当点A与点B恰好重合时，−10 + 5t = −4 + 3t， 5t − 3t = −4 + 10， 2t = 6， t = 3， 故t的值为3时，点A与点B恰好重合； （4）解：存在，理由如下： 由（3）可知，t秒时点A表示的数为：−10 + 5t，点B表示的数为：−4 + 3t， 当点A在点B左侧时：−4 + 3t − (−10 + 5t) = 5， −4 + 3t + 10 − 5t = 5， 3t − 5t = 5 − 10 + 4， −2t = −1， 解得 ， 当点A在点B右侧时：−10 + 5t − (−4 + 3t) = 5， −10 + 5t + 4 − 3t = 5， 5t − 3t = 5 − 4 + 10， 2t = 11， 解得 ， ∴存在某一时刻t，使得线段 AB 的长为5，t的值为 或 ． 58.（2026淮北月考 23）已知点A，B，C在数轴上，点A在点B的左侧．根据要求，回答下列问题． (1)点A表示的数为−1，若点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍，则数轴上点B对应的数是_____；若点C到点A，B的距离相等，则点C对应的数是_________． (2)点A表示的数为−1，设点B表示的数为m，若动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B，试求(m + 5) − |m − 7|的值． (3) 若数轴上有A，B，C三点，其中点A，B表示的数分别是−16，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A′（点A的对应点）落在点C的右侧，且A′，B两点之间的距离为8，则点C表示的数是多少? 【答案】(1) 3；1 (2) 4 (3) −7 或 1 【分析】本题主要考查了数轴上的点与数的对应关系、数轴上的动点问题以及折叠的性质，熟练掌握数轴上两点间距离公式和折叠性质是解题的关键． （1）先根据点 A 到原点距离及点 B 与原点距离关系求点 B 表示的数，再根据中点公式求点 C 表示的数． （2）先由点 A 移动情况求 m 的值，再代入式子计算． （3）设点 C 表示的数为 x，根据折叠性质及距离关系列方程求解． 【详解】（1）解：∵ 点 A 表示的数为 −1， ∴ 点 A 到原点 O 的距离是 1． ∵ 点 B 到原点 O 的距离是点 A 到原点 O 的距离的 3 倍， ∴ 点 B 到原点 O 的距离是 3， 又∵ 点 A 在点 B 左侧， ∴ 数轴上点 B 对应的数是 3． ∵ 点 C 到点 A，B 的距离相等， ∴ 点 C 对应的数是 ． 故答案为：3， 1； （2）解：由题意可知，点 A 沿数轴向右移动了 4 个单位长度，则 m = −1 + 4 = 3， (m + 5) − |m − 7| = (m + 5) + (m − 7) = 2m − 2 = 2 × 3 − 2 = 4． （3）解：当点 在点 B 的左侧时， 因为 ，B 两点之间的距离为 8， 所以点 表示的数是 2，此时点 C 表示的数是 ， 当点 在点 B 的右侧时， 因为 ，B 两点之间的距离为 8， 所以点 表示的数是 18，此时点 C 表示的数是 ， 综上所述，点 C 表示的数是 −7 或 1． 59.（2026蚌埠月考 23）【知识准备】若 , 分别是有理数 , 在数轴上对应的两点，我们就把 , 叫作 , 的一维坐标．一般地，称 | − | 为点 与点 之间的距离，写作 = | − |．例 M, N 在数轴上对应的点表示的数为 5 和 −1，则 M, N 之间的距离 MN = |−1 − 5| = 6． 【运用拓展】 点 A 对应的数是 3，原点 O 对应的数是 0，点 B, C 为数轴上的动点（点 B 在点 C 的左侧），且 BC = 2． (1) 填空；点 A 到原点 O 的距离为___________；若点 B 对应的数是 −4，则点 C 对应的数是___________； (2) 将一刻度尺放在该数轴上，刻度尺上“5.7cm”和“9cm”分别对应数轴上的点 O 和点 A，AC = 5． （I）求该数轴一个单位长度是多少厘米，并求出点 C 对应刻度尺上的刻度是多少； （II），若在原点左侧的点 B 以 1 单位长度/秒的速度向右运动，同时点 A 向左运动，运动到 3 秒时，点 B 和点 A 到原点 O 的距离相等，求点 A 的运动速度是多少单位长度/秒． 【答案】(1) 3, −2 (2) 1.1, 3.5； 单位长度/秒或 单位长度/秒 【分析】本题考查的知识点有：数轴的概念、数轴上两点间距离的计算、动点问题中的行程与数轴结合的应用(涉及速度、时间、路程的关系以及绝对值的几何意义)． （1）利用数轴上两点间距离公式(对应数差的绝对值)，求出点A到原点的距离为3；再根据点B的位置和BC的长度，得出点C对应的数为−2； （2）先通过刻度尺上点O与点A的实际长度和数轴上的单位数量，算出数轴一个单位长度为1.1厘米；接着结合AC的长度，求出点C对应刻度尺上的刻度为3.5cm；设点A运动速度为v，分析运动3秒后点A和点B在数轴上对应的数，根据两点到原点距离相等(绝对值相等)，分情况求解，点A的运动速度是 单位长度/秒或 单位长度/秒． 【详解】（1）解：∵点A对应的数是3，原点O对应的数是0， ∴点A到原点O的距离为 |0 − 3| = 3； ∵点B,C为数轴上的动点（点B在点C的左侧），且BC = 2， 又∵点B对应的数是−4， ∴点C对应的数是 −4 + 2 = −2． 故答案为：3, −2； （2）（I）∵刻度尺上“5.7cm”和“9cm”分别对应数轴上的点O和点A， 又∵点A对应的数是3， ∴数轴上3个单位长度对应的实际长度是 9 − 5.7 = 3.3cm， 则一个单位长度是 3.3 ÷ 3 = 1.1cm； ∵ AC = 5， ∴AC对应的实际长度是 5 × 1.1 = 5.5cm， 又∵点A对应刻度尺上的“9cm”， ∴点C对应刻度尺上的刻度是 9 − 5.5 = 3.5cm； （II）设点A的运动速度是v单位长度/秒， 运动3秒时，点A向左运动的距离是3v，此时点A对应的数是 3 − 3v； ∵点C对应刻度尺上的刻度是3.5cm，点A对应的数是3，点A刻度尺上对应“9cm”，AC = 5， ∴C在A左侧，点C对应的数是−2， 又∵点B在点C的左侧，且BC = 2， ∴点B对应的数是−4， ∵点B以1单位长度/秒的速度向右运动3秒，运动的距离是 3 × 1 = 3， ∴此时点B对应的数是 −4 + 3 = −1， ∵此时点B和点A到原点O的距离相等， ∴ |3 − 3v| = |−1| = 1， 当 3 − 3v = 1 时，解得 ； 当 3 − 3v = −1 时，解得 ； 答：点A的运动速度是 单位长度/秒或 单位长度/秒． 60.（2026芜湖无为 23）综合与实践 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫作数形结合思想． 【回归课本】 （1）在数轴上，如果A，B两点分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且两点之间的距离是5，那么这两个点表示的数分别是多少？ 【拓展延伸】 （2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点A运动到−9对应的点时． ①求A，B两点之间的距离； ②C是数轴上一点，对应的数是x，当A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离之和为最小值时，x可取的整数共有多少个？请直接写出答案． 【规律探究】 （3）点, , , ⋅ ⋅ ⋅, （n为正整数）都在数轴上，点在原点O的左边，且，O两点之间的距离为1，点在点的右边，且，两点之间的距离为2，点在点的左边，且，两点之间的距离为3……依照上述规律，请直接写出点，表示的数． 【答案】（1）A，B两点表示的数分别是 −2.5 和 2.5；（2）①A，B两点之间的距离是 21.25 个单位长度；②x可取的整数共有22个；（3）点 表示的数为 −1013，点 表示的数为1013 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、列代数式，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用两点之间的距离公式结合相反数的定义即可求解； （2）①先求得运动的时间，再求得A，B两点之间的距离； ②先判断当C点在A，B两点之间时，A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离之和为最小值，据此求解即可； （3）先找到规律，求得表示的数为 （n为奇数），表示的数为 （n为偶数），据此求解即可． 【详解】解：（1）因为A，B两点分别表示互为相反数的两个数， 所以A，B两点在原点异侧. 因为A，B两点之间的距离是5， 所以 5 ÷ 2 = 2.5， 因为点A在点B的左侧，所以A，B两点表示的数分别是 −2.5 和 2.5； （2）①因为 |−9 − (−2.5)| ÷ 2 = 3.25（秒）， 2.5 + 3 × 3.25 = 12.25， |12.25 − (−9)| = 21.25， 所以此时A，B两点之间的距离是 21.25 个单位长度； ②由题意，当C点在A，B两点之间时，A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离之和为最小值， 此时，x可取的整数共有22个； （3）点 ， 分别表示的数为 −1013，1013. 因为点 在原点O的左边，且 ，O两点之间的距离为1， 所以点 表示的数是 −1， 因为点 在点 的右边，且 ， 两点之间的距离为2， 所以点 表示的数是1， 因为点 在点 的左边，且 ， 两点之间的距离为3， 所以点 表示的数是 −2， 因为点 在点 的右边，且 ， 两点之间的距离为4， 所以点 表示的数是2， …… 所以表示的数为 （n为奇数），表示的数为 （n为偶数）， 所以点 表示的数为 −1013，点 表示的数为1013． 61.（2025蚌埠一实 22）如果数轴上有两点 A，B，其表示的数分别为 a，b，那么线段 AB 的长度表示为 |a − b|，线段 AB 的中点表示的数为 ．已知数轴上点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，且 |a − 8|+|b + 6| = 0．动点 P 从点 A 出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点 Q 从点 B 出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点 P 运动时间为 t 秒 (1) 填空：a = ___________；b = ___________；AB 的距离为___________； (2) 点 P 运动多少秒后，BQ = BP 成立？ (3) 当点 P 在 A，B 之间运动时，且 0 ≤ t ≤ 7．如果点 M 为 AP 的中点，请你探究式子 是否是定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)8，−6，14 (2)点P运动 秒或7秒时，BQ = BP (3)当 0 ≤ t ≤ 7 时， 为定值，该定值为2． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，非负数的性质，整式的加减运算，解题的关键是用含t的代数式表示运动后点表示的数． （1）利用非负数的性质求得a，b的值，再利用数轴上两点之间的距离公式即可求得AB的距离； （2）设运动时间为t秒，可得 BP = |14 − 5t|，BQ = 3t，即有 3t = |14 − 5t|，从而解得 或 t = 7，即可得到答案； （3）运动时间为t秒时，点P表示的数为 8 − 5t，点Q表示的数为 −6 − 3t，可以表示出AP中点M所表示的数为 ，再结合 0 ≤ t ≤ 7，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ |a − 8|+|b + 6| = 0． ∴ a = 8，b = −6， ∴点A表示的数为8，点B表示的数为−6， ∴ AB = 8 − (−6) = 14， 故答案为：8，−6，14； （2）解：设运动时间为t秒，则运动后Q表示的数是 −6 − 3t，点P表示的数是 8 − 5t， ∴ BP = |8 − 5t − (−6)| = |14 − 5t|，BQ = 3t， ∵ BQ = BP， ∴ 3t = |14 − 5t|， 解得 或 t = 7； 答：点P运动 秒或7秒时，BQ = BP； （3）解：运动时间为t秒时，点P表示的数为 8 − 5t，点Q表示的数为 −6 − 3t，则AP中点M所表示的数为 ， ∴ ， ∴当 0 ≤ t ≤ 7 时， ； ∴当 0 ≤ t ≤ 7 时， 为定值，该定值为2． 　附：试题来源对照表 讲义中各题的来源简写与原试卷全称对照如下。 来源简写 试卷全称 2025亳州谯城 亳州市谯城中学2024—2025学年七上第一次月考 2026六安舒城 六安市舒城县七星学校2025—2026学年七上第一次月考 2025六安霍山 六安市霍山县宋家河中学2024—2025学年七上月考 2026合肥新桥 合肥市合肥新桥中学2025—2026学年七上第一次月考（沪科版） 2025合肥庐江 合肥市庐江实验中学2024—2025学年七上10月月考 2026合肥肥东 合肥市肥东县2025—2026学年七上第一次月考 2026安庆怀宁 安庆市怀宁县部分学校联考2025—2026学年七上10月月考 2026宿州砀山 宿州市砀山县2025—2026学年七上10月月考 2026宿州萧县 宿州市萧县2025—2026学年七上9月月考 2026淮北月考 淮北市2025—2026学年七上10月月考 2026淮北二中 淮北市二中联考2025—2026学年七上10月月考 2026淮北天一 淮北市相山区天一初中2025—2026学年10月学情检测 2026芜湖无为 芜湖市无为市部分学校2025—2026学年七上10月月考 2026蚌埠月考 蚌埠市禹会区部分学校2025—2026学年七上第一次月考 2025蚌埠一实 蚌埠第一实验学校2024—2025学年七上10月质量检测 2025蚌埠一实9月 蚌埠第一实验学校2024—2025学年七上9月质量检测 2026阜阳月考 阜阳市2025—2026学年七上月考 第一次月考复习讲义 · 教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考复习讲义 沪科版七年级上册 · 第1章 有理数 · 月考真题61题选编 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 日期：______________ 题 型 目 录 模块 题型与考点 题号 题数 正负数与相反意义的量（一） 概念辨析 · 情境应用（行程、质检） 1—5 5 题 数轴、相反数与绝对值（二） 数轴与距离 · 概念综合 · 非负性求值 6—12 7 题 有理数的大小比较（三） 化简后比较 · 含π与乘方 · 数轴排序 13—16 4 题 有理数的运算（四） 加减 · 乘除 · 乘方 · 混合运算与运算律 · 科学记数法与近似数 17—33 17 题 有理数的分类（五） 集合归类 · 0与π的归属辨析 34—36 3 题 相反数、倒数、绝对值综合求值（六） 条件求值 · 整体代入 · 分类讨论 37—38 2 题 新定义运算（七） 自定义符号 · 取整函数 · 分段定义 · 运算律验证 39—43 5 题 规律探究（八） 分数裂项 · 数阵 · 图形计数 · 乘方运算律迁移 · 幻方 44—49 6 题 绝对值化简与分类讨论（九） a/|a|型 · 组合条件化简 · 绝对值方程 50—55 6 题 数轴动点与压轴综合（十） 双动点 · 中点 · 折叠 · 周期跳动 · 定值探究 56—61 6 题 使用说明　本讲义全部试题选自安徽省17份七年级上学期第一次月考数学试卷（2024—2025、2025—2026学年，沪科版），每题题号后标注来源与原卷题号，如（2026蚌埠月考 10）表示2025—2026学年蚌埠市禹会区卷第10题，文末附来源对照表。 请先复习各模块考点提示，再限时完成对应真题；解答题写在预留答题空间内，做完后对照教师版详解订正。 　一、正负数与相反意义的量 考点提示　正负数用来表示具有相反意义的量，规定其中一个为正，则另一个为负；0既不是正数也不是负数，是正负数的分界。实际应用题的三步曲：用正负数记录各次变化，通过依次累计判断最远（最高）的情形，用各次距离的绝对值之和求总路程（总量）。 1.（2025亳州谯城 1）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利10元记作+10元，那么亏本50元记作（　　） A．−50元 B．−10元 C．+50元 D．+10元 2.（2025合肥庐江 1）一种面粉的质量标识为"25 ± 0.25千克"，则下列面粉中合格的有（　　） A．25.28千克 B．25.18千克 C．24.69千克 D．24.25千克 3.（2026六安舒城 11）我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数、负数的概念．若水库的水位升高2m时，水位变化记作+2m，则水库的水位下降1.5m时，水位变化记作______m． 4.（2025蚌埠一实9月 21）小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：cm）：+5，−3，+10，−8，−6，+12，−10． (1) 小虫最后是否回到出发点O？ (2) 小虫离开出发点O最远是多少 cm？ (3) 在爬行过程中，如果每爬行 1cm 奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 5.（2025亳州谯城 23）某电路检修小组在东西方向的一道路上检修用电线路，检修车辆从该道路P处出发，如果规定检修车辆向东行驶为正，向西行驶为负，某一天施工过程中七次车辆行驶记录如下：（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 −3 +8 −9 +12 +4 −4 3 （1）检修小组收工时在P的哪个方位？距P处多远？ （2）在第________次记录时距P地最远； （3）若检测车辆每千米耗油0.2升，每升汽油需7.2元，这一天检测车辆所需汽油费多少元？ 　二、数轴、相反数与绝对值 考点提示　数轴三要素：原点、正方向、单位长度。只有符号不同的两个数互为相反数，a与−a互为相反数，0的相反数是0；互为相反数的两数绝对值相等。绝对值的非负性：若几个非负数之和为0，则每个非负数都为0，据此可求出字母的值再代入计算。 6.（2026蚌埠月考 8）下列说法：①最小的整数是0；②一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数；③两个数的差是负数，被减数不一定小于减数．其中错误的说法个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 7.（2026合肥新桥 1）下列结论正确的是（　　）． A．a一定是正数 B．a的倒数是 C．a的相反数是−a D．−|a|是负数 8.（2026淮北天一 5）下列说法错误的是（ ） A．任何正数都大于它们的相反数 B．0既不是正数，也不是负数 C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定相等 D．绝对值小于3的所有整数的和为0 9.（2026六安舒城 8）若数轴上A点表示数−5，则与A相距7个单位长度的点表示的数为（　　） A．2或−12 B．−2或−12 C．2或−2 D．12或7 10.（2025亳州谯城 7）数轴上点A表示的数是−3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是（　　） A．4 B．−4或10 C．−10 D．4或−10 11.（2025合肥庐江 9）若（a－1）² + |b－2| = 0，则（a－b）²⁰¹²的值是（　　） A．－1 B．1 C．0 D．2012 12.（2026宿州砀山 21）已知与|n − 4|互为相反数． (1) 求m，n的值； (2) 若p是最小正整数，求的值． 　三、有理数的大小比较 考点提示　正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。含π、乘方、多重符号、绝对值的混合比较，先化简再比较，常借助数轴定位完成排序。 13.（2026六安舒城 1）下列各数中，比−6小的数是（　　） A．−5 B．−8 C．0 D．7 14.（2026阜阳月考 11）在 0.1，0，−π，3这四个数中，最小的数是_______． 15.（2025六安霍山 9）若a < b < 0 < c < d，则以下四个结论中，正确的是（　　） A．a + b + c + d一定是正数 B．d + c − a − b可能是负数 C．d − c − b − a一定是正数 D．c − d − b − a一定是正数 16.（2026蚌埠月考 17）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“>”将各数连接起来， −|−1|, −3 , 0.5, −, 4, −(−3) 　四、有理数的运算 考点提示　加减法：同号相加取相同的符号并把绝对值相加，减法转化为加法；乘除法：同号得正、异号得负，并把绝对值相乘除；乘方：先定符号再算绝对值。混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。特别提醒：除法没有分配律，应先算括号内或化为乘倒数后再用运算律。科学记数法写成 ，必须满足 。 （一）有理数的加减法 17.（2026宿州砀山 6）下列运算正确的是（　） A．−(−4) − 5 = −9 B．(−8) − |−2| = −10 C．−(+) − (−) = −2 D．|−5| − (−5) = 0 18.（2026合肥新桥 3）寒假的某一天，长丰县早上的温度是−4℃，中午比早上上升了3℃，此时的温度是（　　） A．7℃ B．−1℃ C．1℃ D．−7℃ 19.（2026宿州萧县 15）计算 (1) (−23) + (−12)； (2) (−0.5) + (+3 ) + 2.75 + (−5 )； （二）有理数的乘除法 20.（2026淮北月考 7）下列式子中，计算正确的有( ) ①(−2) × (−6) = −12；②(−3) × 5 = −15；③(−41) × (−1) = 41；④6 × (−3) = 18． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21.（2026淮北二中 2）−2025的倒数是（ ） A．2025 B． C．−2025 D． 22.（2026芜湖无为 12）与−2的积为0的数是_____． （三）乘方 23.（2026淮北二中 11）−的底数是______． 24.（2026宿州砀山 14）若n为正整数，则 = _____． 25.（2026蚌埠月考 9）若 a 是不为 0 的整数，则 的值为（　　） A．0 或 4ᵃ B．0 或 4a C．4a D．0 （四）四则混合运算与运算律 26.（2026淮北天一 17）计算： (1) (−10) + 8 + 2 + (−6)； (2) ； (3) ； (4) ． 27.（2026淮北月考 15）计算： (1) (2) ． 28.（2026合肥新桥 21）阅读下列材料： 计算： ÷ ( − + )． 解法一：原式 = ÷ − ÷ + ÷ = × 3 − × 4 + × 12 = ． 解法二：原式 = ÷ ( − + ) = ÷ = × 6 = ． 解法三：原式的倒数 = ( − + ) ÷ = ( − + ) × 24 = × 24 − × 24 + × 24 = 4．所以，原式 = ． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：(−) ÷ ( − + − )． （五）科学记数法与近似数 29.（2026六安舒城 4）中国信息通信研究院测算，2020 − 2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元．其中数据8万亿用科学记数法表示为（　　） A．80000 × B．80 × C．0.8 × D．8 × 30.（2026淮北月考 3）安徽亳州是闻名遐迩的"中华药都"．2024年，亳州现代中医药产业规模突破2102亿元，其中2102亿用科学记数法表示为（ ） A．2102 × B．21.02 × C．2.102 × D．2.102 × 31.（2025合肥庐江 12）近似数1.04亿精确到_____位． 32.（2026蚌埠月考 12）圆周率 π = 3.1415926……，其定义为：圆形的周长与直径之比，在实际应用中，通常都用 3.14 表示 π 进行运算．数字 3.14 是精确到___________位． 33.（2026淮北二中 18）下列是由四舍五入法得到的数，各精确到哪一位？ (1) 50.3； (2) 0.31415； (3) 1.20万； (4) 2.5 × ． 　五、有理数的分类 考点提示　按定义分：正有理数、0、负有理数；按形式分：整数与分数。易混点：0是整数也是自然数；π是无理数，不属于分数；有限小数和无限循环小数都属于分数。 34.（2026蚌埠月考 1）在数 0, 2, −2.5, −2025 中，属于负分数的是（　　） A．0 B．2 C．−2.5 D．−2025 35.（2025合肥庐江 2）在15，−3，0，−，−2.5，3.14中，负有理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 36.（2026蚌埠月考 18）把下列各数填入相应的大括号里． −1, 0, 2.5, −1 , 10, −|−|, 1.010101, −(−8) 整数：{ …} 负分数：{ …} 正数：{ …} 负有理数：{ …} 　六、相反数、倒数、绝对值综合求值 考点提示　互为相反数的两数之和为0；互为倒数的两数之积为1；绝对值具有非负性。此类同型题先用条件求出字母的值（注意分类讨论），再代入代数式求值，能整体代换的优先整体代入。 37.（2026合肥肥东 18）若a，b互为倒数，x，y互为相反数，|m| = 2，求x + y − m + ab − 1的值． 38.（2026芜湖无为 19）已知a + 1的相反数是−5，b是最大的负整数，c + 3没有倒数． (1)a的值为 ，b的值为 ，c的值为 ． (2)求4b − 3a − 2c的值． 　七、新定义运算 考点提示　解题关键是把新定义当作使用说明，严格按定义代入计算；分段定义需先比较大小、判断取哪一段法则；定义中含绝对值时注意分类；验证运算律时按定义把两边分别展开再比较。 39.（2025合肥庐江 6）[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.2] = 3，[−2.3] = −3则[5.9] + [−5.9]的值是（　　） A．0 B．−1 C．1 D．2 40.（2026淮北天一 14）定义新运算"⊕"如下：当a ≥ b时，a ⊕ b = ab − a；当a < b时，a ⊕ b = ab + a．按上述规定计算的值为_____． 41.（2025蚌埠一实9月 15）用 [a，b] 表示有理数 a，b 中较大的数，用 (a, b) 表示有理数 a，b 中较小的数，则 [−1, −] __________ (0, −) 42.（2026宿州砀山 20）对于有理数m，n，定义新运算“⊕”，规则如下： m ⊕ n = m + n + mn − 3，如2 ⊕ 3 = 2 + 3 + 2 × 3 − 3 = 8． (1) 求−4 ⊕ (−2)的值； (2) 请你判断m ⊕ n = n ⊕ m是否成立？并给出证明． 43.（2025蚌埠一实 20）若定义一种新的运算“*”，规定有理数 a * b = 2a − 1 + b．如 5 * 3 = 2 × 5 − 1 + 3 = 12． (1) 求 3 * (−4) 的值； (2) 7 * (−3) 与 (−3) * 7 的值相等吗？通过计算说明． 　八、规律探究 考点提示　通用三步：枚举前若干项、观察不变量归纳通项、代回验证。常考类型：分数裂项（及其变式）、数字与数阵规律、图形计数的通项公式、乘方运算律 的阅读迁移、高斯求和、幻方九宫格。 44.（2026淮北二中 23）阅读理解题：我们知道，任意正整数根据乘方的意义： = a ⋅ a， = a ⋅ a ⋅ a． (1)计算： × =_____，=_____； (2)计算： × =_____，=_____； (3)由（1）（2）我们可以得到的结论是什么？请用，，表示； (4)利用（3）的结论求等式中m的值． 45.（2025合肥庐江 19）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7＋2|＝ ______； ②|−＋|＝ ______； （2）用简单的方法计算：| − |＋| − |＋| − |＋……＋| − |． 46.（2026淮北天一 21）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)请写出第8个等式：______=______； (2)请写出第n个等式（n是正整数）______×______； (3)根据上述规律，计算： 47.（2026蚌埠月考 22）观察下列等式，探究其中的规律． (1) 完成④和⑤后面的填空： ① 1 = 1；② 1 + 3 = 4；③ 1 + 3 + 5 = 9；④ 1 + 3 + 5 + 7 = ___________；⑤ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ___________；… (2) 参照上面的等式写出第10个等式； (3) 计算：57 + 59 + 61 + ⋯ + 299． 48.（2025蚌埠一实9月 22）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，1 + 2 + 3 + 4 + … + n = ? 经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：1 + 2 + 3 + 4 + … + n = ()n(n + 1)，其中 n 是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题： + + + … + = ? 观察下面三个特殊的等式： ① = 1 − ；② = − ；③ = − ； 把①、②、③三个等式相加，于是 + + = 1 − + − + − = 1 − = ． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1) + + + … + = ___________． (2) 根据以上观察，聪明的你发现 + + + … + = ___________． (3) 根据发现的规律并用转化的数学思想计算：1 − − − − − 49.（2026阜阳月考 22）“九宫格”是一种填数游戏，对培养学生的逻辑推理能力有很大的帮助． (1) 现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使每行、每列、对角线上的三个数之和都等于15． (2) 利用你在（1）中发现的规律，将1，2，3，4，5，−1, −3, −2，0填入图2的九个方格中，使每行、每列、对角线上的三个数之和都相等． 图1 图2 　九、绝对值化简与分类讨论 考点提示　化简 先判断a的正负：当 时 ，当 时 ；分类讨论必须写全两种情形，漏解是最主要失分点。绝对值方程借助几何意义（数轴上两点距离）求解更快，注意按区间分段讨论。 50.（2025合肥庐江 10）下列说法正确的有（　　） ①已知a，b，c是非零的有理数，且 = −1时，则 + + 的值为1或−3； ②已知a，b，c是有理数，且a + b + c = 0，abc < 0时，则 + + 的值为−1或3； ③若|a| = |b|且|a − b| = ，则式子a − 2b的值为1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 51.（2026淮北天一 19）已知|x| = 5，|y| = 3，若x − y > 0，求x + y的值． 52.（2026蚌埠月考 16）若 |a| = 6, |b| = 2，且 a < b，求 a, b 的值． 53.（2026合肥新桥 23）请利用绝对值的性质，解决下列问题： (1)已知a，b是有理数，当a > 0时， = ______；当b < 0时， = ______． (2)已知a，b是有理数，且ab < 0，求 + 的值． (3)已知a，b，c是有理数，a + b + c = 0，abc < 0，求 + + 的值． (4)已知a，b，c是有理数，当abc ≠ 0时，求 + + 的值． 54.（2026安庆怀宁 11）已知数轴上两点M, N，点M在数轴上表示的数是−6，点N在数轴上表示的数是2，点P在数轴上，且满足点P到点M的距离是点P到点N的距离的2倍，则点P在数轴上表示的数是_________． 55.（2026阜阳月考 14）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想．比如，| − | 的几何意义是数轴上表示数 的点与表示数 的点的距离． （1）|4 − (−5)| = _______． （2）若 |x + 2|+|x − 6| = 12，则负整数 x 的值为_____． 　十、数轴动点与压轴综合 考点提示　动点三件套：用含t的代数式表示动点表示的数（起点加速度乘时间，注意方向）；两点距离转化为绝对值；按点的左右位置分类讨论列方程。常考设问：追及与相遇、中点公式、数轴折叠重合、周期跳动落点、距离和最小值。 56.（2025亳州谯城 14）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A, B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒． （1）点B表示的数是______； （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．当点P运动______秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 57.（2026淮北天一 23）已知，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为−10，−4，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)运动前线段AB的长为______；运动1秒后线段AB的长为______； (2)运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为______和______； (3)求t为何值时，点A与点B恰好重合； (4)在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 58.（2026淮北月考 23）已知点A，B，C在数轴上，点A在点B的左侧．根据要求，回答下列问题． (1)点A表示的数为−1，若点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍，则数轴上点B对应的数是_____；若点C到点A，B的距离相等，则点C对应的数是_________． (2)点A表示的数为−1，设点B表示的数为m，若动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B，试求(m + 5) − |m − 7|的值． (3) 若数轴上有A，B，C三点，其中点A，B表示的数分别是−16，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A′（点A的对应点）落在点C的右侧，且A′，B两点之间的距离为8，则点C表示的数是多少? 59.（2026蚌埠月考 23）【知识准备】若 , 分别是有理数 , 在数轴上对应的两点，我们就把 , 叫作 , 的一维坐标．一般地，称 | − | 为点 与点 之间的距离，写作 = | − |．例 M, N 在数轴上对应的点表示的数为 5 和 −1，则 M, N 之间的距离 MN = |−1 − 5| = 6． 【运用拓展】 点 A 对应的数是 3，原点 O 对应的数是 0，点 B, C 为数轴上的动点（点 B 在点 C 的左侧），且 BC = 2． (1) 填空；点 A 到原点 O 的距离为___________；若点 B 对应的数是 −4，则点 C 对应的数是___________； (2) 将一刻度尺放在该数轴上，刻度尺上“5.7cm”和“9cm”分别对应数轴上的点 O 和点 A，AC = 5． （I）求该数轴一个单位长度是多少厘米，并求出点 C 对应刻度尺上的刻度是多少； （II），若在原点左侧的点 B 以 1 单位长度/秒的速度向右运动，同时点 A 向左运动，运动到 3 秒时，点 B 和点 A 到原点 O 的距离相等，求点 A 的运动速度是多少单位长度/秒． 60.（2026芜湖无为 23）综合与实践 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫作数形结合思想． 【回归课本】 （1）在数轴上，如果A，B两点分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且两点之间的距离是5，那么这两个点表示的数分别是多少？ 【拓展延伸】 （2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点A运动到−9对应的点时． ①求A，B两点之间的距离； ②C是数轴上一点，对应的数是x，当A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离之和为最小值时，x可取的整数共有多少个？请直接写出答案． 【规律探究】 （3）点, , , ⋅ ⋅ ⋅, （n为正整数）都在数轴上，点在原点O的左边，且，O两点之间的距离为1，点在点的右边，且，两点之间的距离为2，点在点的左边，且，两点之间的距离为3……依照上述规律，请直接写出点，表示的数． 61.（2025蚌埠一实 22）如果数轴上有两点 A，B，其表示的数分别为 a，b，那么线段 AB 的长度表示为 |a − b|，线段 AB 的中点表示的数为 ．已知数轴上点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，且 |a − 8|+|b + 6| = 0．动点 P 从点 A 出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点 Q 从点 B 出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点 P 运动时间为 t 秒 (1) 填空：a = ___________；b = ___________；AB 的距离为___________； (2) 点 P 运动多少秒后，BQ = BP 成立？ (3) 当点 P 在 A，B 之间运动时，且 0 ≤ t ≤ 7．如果点 M 为 AP 的中点，请你探究式子 是否是定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由． 　附：试题来源对照表 讲义中各题的来源简写与原试卷全称对照如下。 来源简写 试卷全称 2025亳州谯城 亳州市谯城中学2024—2025学年七上第一次月考 2026六安舒城 六安市舒城县七星学校2025—2026学年七上第一次月考 2025六安霍山 六安市霍山县宋家河中学2024—2025学年七上月考 2026合肥新桥 合肥市合肥新桥中学2025—2026学年七上第一次月考（沪科版） 2025合肥庐江 合肥市庐江实验中学2024—2025学年七上10月月考 2026合肥肥东 合肥市肥东县2025—2026学年七上第一次月考 2026安庆怀宁 安庆市怀宁县部分学校联考2025—2026学年七上10月月考 2026宿州砀山 宿州市砀山县2025—2026学年七上10月月考 2026宿州萧县 宿州市萧县2025—2026学年七上9月月考 2026淮北月考 淮北市2025—2026学年七上10月月考 2026淮北二中 淮北市二中联考2025—2026学年七上10月月考 2026淮北天一 淮北市相山区天一初中2025—2026学年10月学情检测 2026芜湖无为 芜湖市无为市部分学校2025—2026学年七上10月月考 2026蚌埠月考 蚌埠市禹会区部分学校2025—2026学年七上第一次月考 2025蚌埠一实 蚌埠第一实验学校2024—2025学年七上10月质量检测 2025蚌埠一实9月 蚌埠第一实验学校2024—2025学年七上9月质量检测 2026阜阳月考 阜阳市2025—2026学年七上月考 第一次月考复习讲义 · 学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $