第一章 讲义 有理数重点题型汇编（拔高版）2026-2027学年沪科版数学七年级上册

该初中数学讲义通过分点梳理和表格归纳系统构建有理数知识体系，涵盖正数负数、有理数分类、数轴、绝对值等23个知识点，用对比表格呈现正数负数定义及有理数分类，清晰展示知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“举一反三”的题型设计，包含等比数列求和、数表规律等11类重难点题型，通过数形结合题培养几何直观，数轴动点问题提升运算能力与推理意识。每个题型配例题及变式，助力不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学。

1.2 有理数（举一反三）重难点题型汇编 题型汇总 【题型1 规律题：等比数列求和】 8 【题型2 规律题：数表规律】 10 【题型3 规律题：数形结合】 14 【题型4 规律题：杨辉三角】 17 【题型5 规律题：数字的图形表示法】 19 【题型6 有理数的运算规律探索】 22 【题型7 绝对值运算的字母化简】 28 【题型8 数轴上的动点问题】 31 【题型9 绝对值几何意义的运用1：两个绝对值和差的最值】 42 【题型10 绝对值几何意义的运用2：多个绝对值和的最值】 46 【题型11 绝对值几何意义的运用3：系数不为1的绝对值和的最值】 53 一、知识点回顾 知识点1 正数和负数的概念 1. 正数和负数的定义： 定义 示例 补充 正数 大于0的数叫做正数．有时，为了明确表达意义，在正数的前面也加上符号“+”（读作“正”） 3，1.8%，3.5，都是正数 正数前的“+”可以省略不写 负数 在正数前加上符号“”的数叫作负数 3，2.7%，，4.5都是负数 负数前的“”不能省略 2. 注意：0既不是正数，也不是负数． 3. 0的意义 （1）0是正负数的分界； （2）0可以表示“没有”； （3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示． 知识点2 具有相反意义的量 1. 定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量． 2. 表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m,记作+8 848.86 m． 知识点3 有理数 1. 定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数． 2. 有理数的分类： 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 分数 整数 正整数 0 负整数 正分数 有理数 负分数 有理数 正有理数 0 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 可以写成正分数形式的数 可以写成负分数形式的数 3. 各类数的含义： 名称 描述 名称 描述 正整数 大于0的整数 负整数 小于0的整数 正分数 大于0的分数 负分数 小于0的分数 非负数 正数和0 非正数 负数和0 非正整数 负整数和0 非负整数 正整数和0 知识点4 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 知识点5 数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度． 知识点6 相反数 1. 相反数的定义：像和，和这样只有符号不同的两个数，互为相反数． 2. 相反数的表示方法：一般地，a和互为相反数．这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0． 例如：当时，，1的相反数是，同时，的相反数是． 特别地，0的相反数是0. 3. 相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数． 4. 求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数． 5. 多重符号的化简：与“”号个数无关，有奇数个“”号，结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 知识点7 绝对值 1. 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作． 2. 绝对值的判断：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即如果0,那么；如果，那么；如果，那么． 3. 绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则且． 知识点8 有理数的大小比较 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 知识点9 有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 知识点10 有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 知识点11 有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 知识点12 有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 知识点13 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点14 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点15 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点16 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 知识点17 多个有理数相乘的符号法则 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 知识点18 多个有理数相乘的符号法则 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 知识点19 多个有理数相乘的符号法则 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 知识点20 有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 知识点21 有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 知识点22 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 知识点23 近似数 1. 接近实际数值的数，叫作近似数． 2. 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示． 3. 一般地，一个近似数四舍五人到哪一位，就说这个数精确到哪一位．例如（精确到0.01，或叫作精确到百分位）． 2、 题型归纳 【题型1 规律题：等比数列求和】 【例1】观察等式：；；；…．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 为了求 的值，可令，则，因此，所以. 请仿照以上推理计算出的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】为了求的值，可令，则，因此，所以．这种方法称为“错位相减法”．请参考以上方法，计算的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】观察下列各式： ； ； ； ； 根据上述规律计算：=（    ） A． B． C． D． 【题型2 规律题：数表规律】 【例2】将正偶数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 第4行 32 30 28 26 …… …… …… …… …… …… 根据上面的排列规律，则2026应在（    ） A．第508行，第3列 B．第508行，第2列 C．第254行，第2列 D．第254行，第4列 【变式2-1】将正奇数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 9 11 13 15 第3行 17 19 21 23 第4行 25 27 29 31 …… 根据表中的排列规律，101应在（    ） A．12行，4列 B．13行，4列 C．13行．3列 D．25行．1列 【变式2-2】将正整数依次按下表规律排列，则数208应排的位置是（　　） 第1列 第2列 第3列 第4列 第一行 1 2 3 第二行 6 5 4 第三行 7 8 9 第四行 12 11 10 A．第69行第2列 B．第69行第3列 C．第70行第1列 D．第70行第4列 【变式2-3】将正偶数如图排成5列，根据图中规律，2012应在（    ）． A．第125行第2列 B．第126行第3列 C．第251行第1列 D．第252行第4列 【变式2-4】正整数按图中的规律排列，请找出数字2025在第几行，第几列（  ） A．45行4列 B．45行3列 C．45行2列 D．45行1列 【题型3 规律题：数形结合】 【例3】“数形结合”思想是数学中非常重要的数学思想之一，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”如图，请你尝试借助“数形结合”的思想解决以下问题． （1）求的值为___________． （2）___________． 【变式3-1】利用如图所示的图形，可求的值是______； 【变式3-2】我国著名数学家华罗庚说：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的长方形或正方形纸片，请你用“数形结合”的数学思想计算：______． 【变式3-3】数形结合思想在数学中有着广泛的应用，常常借助简单几何图形解决较为复杂的代数问题，比如： 计算 借助图①，设大正方形的面积为1，则阴影部分的面积为： ，同理借助图②可得： ，借助图③可得： ，观察规律，完成填空： ①________ ②________． 【题型4 规律题：杨辉三角】 【例4】如图所示为“杨辉三角”或“贾宪三角”系数表．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，则第100个数记为_____． 【变式4-1】如图所示，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中出现的三角形状的数阵，又称为“杨辉三角形”．该三角形中的数据排列有着一定的规律，按此规律排列下去，第行的左边第个数是_____________． 【变式4-2】下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6、10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则的值为____． 【题型5 规律题：数字的图形表示法】 【例5】用一排6个黑白圆圈来表示数，如图分别表示数，则表示的数是______． 【变式5-1】算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图： 数字形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式                                 横式                            表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图： ，则  表示的数是______． 【变式5-2】如图，教材102页的一个密码盘，这个密码盘在数字和字母之间可建立一种对应关系，其中数字为密文，字母为明文． 小明根据该密码盘，编制了一个密码规则． 例如：密码“21 39 43 64”翻译成明文为“”，按照小明编制的密码规则，“14 2 21 9”将其译为明文为______． 【变式5-3】我国是较早认识负数的国家，金元时期数学家李冶创造了在数字上画斜杠表示负数的方法（如图①）．按照这样的规则，如图②所示的数是______． 【题型6 有理数的运算规律探索】 【例6】观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：： ．．．．．． (1)请写出第8个等式：___________； (2)请写出第个等式（是正整数）___________； (3)根据上述规律，计算： 【变式6-1】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： 按照以上规律，解决问题： (1)写出第5个等式： (2)写出第个等式（用含的式子表示），并通过计算说明你写出的等式的正确性； (3)利用上述规律，计算： 【变式6-2】观察下列各式： 第1个等式： ；第2个等式：－； 第3个等式： ；… (1)根据上述规律写出第5个等式：　　　　； (2)第n个等式：　　　　；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【变式6-3】观察下列等式． …… (1)请写出第 5 个等式： (2)猜想第n（n为正整数）个等式，并计算 的值． 【变式6-4】观察下列等式． 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； … 根据以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)请写出第个等式：______；（（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 【题型7 绝对值运算的字母化简】 【例7】已知有理数，满足，，且． （1）在如图所示的数轴上标出数，，，表示的点的大致位置，并用“＜”连接这四个数． （2）化简：． 【变式7-1】在数轴上表示有理，如图所示． （1）在横线上填入“”，或“”； ______，______0，______，______0； （2）在数轴上表示有理数和； （3）化简：． 【变式7-2】已知有理数满足互为相反数，，． (1)若，用“”或“”填空：______0；______0；______0． (2)若，化简式子：． 【变式7-3】已知有理数，，在数轴上的位置如图所示且 （1）求值：__________；__________． （2）分别判断以下式子的符号（填“>”或“<”或“=”）：__________0；__________0；__________0；__________0． （3）化简：． 【题型8 数轴上的动点问题】 【例8】我们规定：点在线段上，此时共有三条线段，若其中一条线段的长度是另一条线段长度的2倍，则称点为线段的二倍分点．如图，在数轴上有三点，且点表示的数分别为45，55，点在之间．动点从点出发，沿着数轴正方向以1个单位每秒速度匀速运动．设运动时间为秒，回答下列问题： (1)若点恰好为线段的二倍分点，且，则点表示的数为___________； (2)在（1）条件下，当为何值时，点恰好为线段的二倍分点？ 【变式8-1】如图，数轴上有两个动点、，点从数轴上表示处以每秒3个单位的速度向右运动，点从数轴上表示15处以每秒2个单位的速度向左运动． (1)若两点同时运动，用含有的代数式表示；秒后点表示的数为__________，点表示的数为__________． (2)若两点同时运动，经过多少秒能使、两点之间的距离等于5个单位； (3)若、两点的中点为点，两动点、同时运动时，经过多少秒能使、两点之间的距离等于5个单位． 【变式8-2】如图，点A、B是数轴上的两点，点B表示的数为5，且A、B两点之间的距离为15个单位长度，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒． (1)当点Q运动到点A时，求出t的值； (2)直接用含t的代数式分别表示数轴上的点P、Q对应的数； (3)求t为何值时，P、Q两点相遇，并求出此时P点对应的数； (4)当点P、Q间的距离是点A、B间距离的 时，直接写出t的值． 【变式8-3】如图，点，均在数轴上，点所对应的数是，点所对应的数是2，点、是数轴上两个动点，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动，点以每3个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动． (1)若点运动3秒，此时点所对应的数是_____，点、之间的距离是_____； (2)若点、同时开始运动，求经过多少秒，点恰好是的中点； (3)若点先出发3秒后点出发，设点运动时间为秒，当、两点相距2个单位长度，求的值． 【变式8-3】如图，已知点、在数轴上分别对应和15，点为原点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒（）． (1)线段的长度为______； (2)动点在数轴上表示的数为______；（用含的代数式表示） (3)当点、两点之间的距离为3时，求的值： (4)当点，，中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，直接写出的值． 【变式8-4】如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度/秒、个单位长度/秒，设运动时间为． (1)当时，点对应的数是______，点对应的数是______； (2)当为何值时，两点之间相距个单位长度； (3)当时，若线段和线段同时以个单位长度/秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻使得？若存在，求出此时的距离和运动时间，若不存在，请说明理由． 【变式8-5】已知数轴上点、所表示的数分别是、，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向正方向运动，当点遇到数轴上的点后立即原速返回点，总用时． (1)求点所表示的数； (2)设点运动时间为，当时，求的值； (3)若点出发的同时，线段也匀速向正方向运动，此时点用时返回点，求线段的运动速度； (4)在（3）的条件下，点同时从点出发以每秒个单位长度的速度追上点后立即原速返回，当点与点重合时，求此时点所表示的数． 【题型9 绝对值几何意义的运用1：两个绝对值和差的最值】 【例9】已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【变式9-1】数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是____，数轴上表示和的两点之间的距离是________． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____数轴上表示和的两点之间的距离表示为_________． (3)若表示一个有理数，则的最小值_______． (4)若表示一个有理数，且，则满足条件的数的是_______． 【变式9-2】 数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【题型10 绝对值几何意义的运用2：多个绝对值和的最值】 【例10】在学习绝对值后，我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：5表示5在数轴上的对应点到原点的距离.而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为. 请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是________；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是________. （2）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、-3、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为________（用含绝对值的式子表示）；满足的x的值为________； （3）试求的最小值. 【变式10-1】数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______． (2)若代数式的最小值是3，则 ______． (3)探索规律： ①当有最小值是______． ②当有最小值是______． ③当有最小值是______． 【变式10-2】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识储备】同学们都知道，表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离（如图）． 请你利用数形结合的思想探究下列问题： 【探究规律】 (1)求代数式的最小值； (2)代数式的最小值为_____________； (3)代数式的最小值为_____________． 【变式式10-3】同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）|-4+6|=______；|-2-4|=______； （2）找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x-1|=3成立； （3）若数轴上表示数a的点位于-4与6之间，求|a+4|+|a-6|的值； （4）当a=______时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小，最小值是______； （5）当a=______时，|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，最小值是______． 【变式10-4】同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上位可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索： (1) ______；如果，则______． (2)求的最小值，并求此时的取值范围； (3)由以上探索已知，求的最大值与最小值； (4)由以上探索及猜想，计算的最小值． 【题型11 绝对值几何意义的运用3：系数不为1的绝对值和的最值】 【例11】先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 【变式11-1】绝对值的几何意义；在数轴上，表示数a的点到原点的距离可表示为，即．类似地，表示数a的点到表示数3的点的距离可表示为． 【类比探究】 （1）表示数x的点到表示数的点的距离为7．可记为______，那么______． 【解决问题】 （2）当x满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【拓展迁移】 （3）直接写出的最小值． 【变式11-2】放飞自我：思考：数轴上的个点表示的数分别是，，…，，且，是数轴上一个点，其表示的数是，对于代数式，由绝对值的几何意义可得： 若为奇数时，当时，的值可取到最小； 若为偶数，当时，的值可取到最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 【变式11-3】同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)已知，求的最大值 和最小值 ． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并请写出所有符合条件的整数；如果没有，说明理由． 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 有理数（举一反三）重难点题型汇编 题型汇总 【题型1 规律题：等比数列求和】 8 【题型2 规律题：数表规律】 10 【题型3 规律题：数形结合】 14 【题型4 规律题：杨辉三角】 17 【题型5 规律题：数字的图形表示法】 19 【题型6 有理数的运算规律探索】 22 【题型7 绝对值运算的字母化简】 28 【题型8 数轴上的动点问题】 31 【题型9 绝对值几何意义的运用1：两个绝对值和差的最值】 42 【题型10 绝对值几何意义的运用2：多个绝对值和的最值】 46 【题型11 绝对值几何意义的运用3：系数不为1的绝对值和的最值】 53 一、知识点回顾 知识点1 正数和负数的概念 1. 正数和负数的定义： 定义 示例 补充 正数 大于0的数叫做正数．有时，为了明确表达意义，在正数的前面也加上符号“+”（读作“正”） 3，1.8%，3.5，都是正数 正数前的“+”可以省略不写 负数 在正数前加上符号“”的数叫作负数 3，2.7%，，4.5都是负数 负数前的“”不能省略 2. 注意：0既不是正数，也不是负数． 3. 0的意义 （1）0是正负数的分界； （2）0可以表示“没有”； （3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示． 知识点2 具有相反意义的量 1. 定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量． 2. 表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m,记作+8 848.86 m． 知识点3 有理数 1. 定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数． 2. 有理数的分类： 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 分数 整数 正整数 0 负整数 正分数 有理数 负分数 有理数 正有理数 0 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 可以写成正分数形式的数 可以写成负分数形式的数 3. 各类数的含义： 名称 描述 名称 描述 正整数 大于0的整数 负整数 小于0的整数 正分数 大于0的分数 负分数 小于0的分数 非负数 正数和0 非正数 负数和0 非正整数 负整数和0 非负整数 正整数和0 知识点4 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 知识点5 数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度． 知识点6 相反数 1. 相反数的定义：像和，和这样只有符号不同的两个数，互为相反数． 2. 相反数的表示方法：一般地，a和互为相反数．这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0． 例如：当时，，1的相反数是，同时，的相反数是． 特别地，0的相反数是0. 3. 相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数． 4. 求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数． 5. 多重符号的化简：与“”号个数无关，有奇数个“”号，结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 知识点7 绝对值 1. 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作． 2. 绝对值的判断：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即如果0,那么；如果，那么；如果，那么． 3. 绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则且． 知识点8 有理数的大小比较 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 知识点9 有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 知识点10 有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 知识点11 有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 知识点12 有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 知识点13 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点14 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点15 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点16 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 知识点17 多个有理数相乘的符号法则 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 知识点18 多个有理数相乘的符号法则 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 知识点19 多个有理数相乘的符号法则 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 知识点20 有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 知识点21 有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 知识点22 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 知识点23 近似数 1. 接近实际数值的数，叫作近似数． 2. 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示． 3. 一般地，一个近似数四舍五人到哪一位，就说这个数精确到哪一位．例如（精确到0.01，或叫作精确到百分位）． 2、 题型归纳 【题型1 规律题：等比数列求和】 【例1】观察等式：；；；…．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查数字类变化规律，正确得出是解题关键．观察已知等式总结出，将所求式子转化为两个符合该规律的和的差，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵；；；…， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴原式． 故选：B． 【变式1-1】 为了求 的值，可令，则，因此，所以. 请仿照以上推理计算出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.15 【分析】仔细阅读题目中示例，找出其中规律，利用错位相减法求解． 【详解】解：令 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选D 【点睛】本题主要考查学生的分析、总结、归纳能力，规律题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结一般性的规律. 【变式1-2】为了求的值，可令，则，因此，所以．这种方法称为“错位相减法”．请参考以上方法，计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，读懂题目中给出的材料，正确理解“错位相减法”，熟练掌握同底数幂的运算法则是解决问题的关键． 设，则：，两式相减即可得出答案． 【详解】解：设，则： ， 两式相减得： ． 故选：B． 【变式1-3】观察下列各式： ； ； ； ； 根据上述规律计算：=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】根据所给算式得出规律，再把所求式子变形成符合规律的算式，进而利用规律求解． 【详解】解：由所给算式可得：， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了整式乘法中的规律性问题，能够根据所给算式得出规律是解题的关键． 【题型2 规律题：数表规律】 【例2】将正偶数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 第4行 32 30 28 26 …… …… …… …… …… …… 根据上面的排列规律，则2026应在（    ） A．第508行，第3列 B．第508行，第2列 C．第254行，第2列 D．第254行，第4列 【答案】D 【难度】0.65 【分析】此题主要考查有理数的规律探索，解题的关键是根据题意找到规律进行求解，先确定2026是第几个正偶数，再根据每行4个偶数的规律确定所在行数，最后结合奇偶行的排列特点确定所在列数． 【详解】解：∵， ∴2026是第1013个正偶数， ∵每行排列4个正偶数，， ∴前253行共排列了个正偶数，2026是第254行的第1个正偶数， ∵偶数行的排列规律是从第4列向左依次排列，空第5列， ∴2026在第254行第4列． 故选：D． 【变式2-1】将正奇数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 9 11 13 15 第3行 17 19 21 23 第4行 25 27 29 31 …… 根据表中的排列规律，101应在（    ） A．12行，4列 B．13行，4列 C．13行．3列 D．25行．1列 【答案】C 【难度】0.85 【分析】先观察表格，发现规律：每一行有四个奇数，且奇数行排在第1-4列，偶数行排在第2-5列，然后根据规律判断101的位置． 【详解】解：观察表格，每一行有四个奇数，且奇数行排在第1-4列，偶数行排在第2-5列， ∵， ∴101是正奇数列中的第51个数， ∵， ∴101应该在第13行第3列， 故选C． 【点睛】本题主要考查了数字规律，解题关键是会将奇数表示为的形式，并据此判断某个奇数的位置． 【变式2-2】将正整数依次按下表规律排列，则数208应排的位置是（　　） 第1列 第2列 第3列 第4列 第一行 1 2 3 第二行 6 5 4 第三行 7 8 9 第四行 12 11 10 A．第69行第2列 B．第69行第3列 C．第70行第1列 D．第70行第4列 【答案】D 【难度】0.65 【分析】由于每行3个数，而208＝3×69+1，则可判断数208在第70行，然后利用行数为偶数的3个数的排列顺序从第4列开始从右到左，从而得到数208的位置． 【详解】∵208＝3×69+1， ∴数208在第70行， 而行数为偶数的3个数的排列顺序从第4列开始从右到左， ∴数208在第70行第4列． 故选D． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 【变式2-3】将正偶数如图排成5列，根据图中规律，2012应在（    ）． A．第125行第2列 B．第126行第3列 C．第251行第1列 D．第252行第4列 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查了数字的变化规律：先要观察各行各列的数字的特点，得出数字排列的规律，然后确定所给数字的位置．先根据每两行有8个偶数确定2012所在行数，再根据每行有5列确定列数． 【详解】解：∵每两行有8个偶数， ∴2012是第个偶数， ∵， ∴2012在第行． ∵第251行有5个偶数， ∴2012在第252行第4列． 故选D． 【变式2-4】正整数按图中的规律排列，请找出数字2025在第几行，第几列（  ） A．45行4列 B．45行3列 C．45行2列 D．45行1列 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查了数字类规律探索．先根据上图找到每行第一列数字的规律，第n行，第一个数为，然后根据，得出答案即可． 【详解】解：观察数列，发现每一行的第一个数是， ∵， ∴第行的第一个数是． 故选：D． 【题型3 规律题：数形结合】 【例3】“数形结合”思想是数学中非常重要的数学思想之一，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”如图，请你尝试借助“数形结合”的思想解决以下问题． （1）求的值为___________． （2）___________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】（1）将整个正方形的面积看作1，利用数形结合思想，把所求的加数算式各项对应为正方形中依次取走的面积部分，因此所求的和可表示为整体面积1减去第4次取完后剩余的面积，通过计算该面积差得到结果； （2）先分别设出从到的和为、从到的和为，依据数形结合的规律得出和的表达式，再用减去得到所求的区间段数列和，最后对所得代数式进行通分、化简运算，推导出最终结果． 【详解】（1）解：根据图形数形结合思想，将整个正方形的面积看作，每次取走一半， 第4次剩余部分的面积为， ． （2）解：设， 由数形结合的规律可知； 设，同理可知； 则所求的和为 ． 【变式3-1】利用如图所示的图形，可求的值是______； 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了含乘方的混合运算，将转化为求空白图形的面积和即可得解． 【详解】解：令正方形的边长为1，由图可得， ， 故答案为：． 【变式3-2】我国著名数学家华罗庚说：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的长方形或正方形纸片，请你用“数形结合”的数学思想计算：______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了数字类变化规律，通过观察图形可得，代入计算即可，能够利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】由题意可得， ， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】数形结合思想在数学中有着广泛的应用，常常借助简单几何图形解决较为复杂的代数问题，比如： 计算 借助图①，设大正方形的面积为1，则阴影部分的面积为： ，同理借助图②可得： ，借助图③可得： ，观察规律，完成填空： ①________ ②________． 【答案】 【难度】0.45 【分析】根据题干图形规律总结出算式 ，利用该规律分别计算两小题，第二小题需将带分数拆分为整数部分与分数部分分别求和. 【详解】解：①∵，，， ∴； ②由①可知：， . 【题型4 规律题：杨辉三角】 【例4】如图所示为“杨辉三角”或“贾宪三角”系数表．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，则第100个数记为_____． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键． 根据所给数据可得到关系式，代入即可求值． 【详解】解：由已知数据1，3，6，10，15，……，可得， ∴． 故答案为：． 【变式4-1】如图所示，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中出现的三角形状的数阵，又称为“杨辉三角形”．该三角形中的数据排列有着一定的规律，按此规律排列下去，第行的左边第个数是_____________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】观察前几行左边第个数的排列规律，进而推出第100行的左边第个数. 【详解】解：从第3行开始： 第3行：左边第个数是1==； 第4行：左边第个数是3==； 第5行：左边第个数是6==； 第6行：左边第个数是10==； …… 第100行：左边第个数是==4851. 故答案为：4851. 【点睛】本题的关键是找出从第3行开始，每行的左边第3个数的排列规律：1，3，6，10，15…，进而得出第n行左边第个数是，由此得解. 【变式4-2】下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6、10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则的值为____． 【答案】19921 【难度】0.65 【分析】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第n-1个数大n；所以从特殊入手，a1=1，a2=1+2，a3=3+3=1+2+3，a4=6+4=1+2+3+4，…，由此得出一般规律：an=1+2+3+4+…+n，从而可求得结果． 【详解】解：这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第n-1个数大n， 所以a1=1，a2=1+2，a3=1+2+3，a4=6+4=1+2+3+4，…， an=1+2+3+4+…+n． 所以a6=1+2+3+4+5+6=21，a199=1+2+3+4+5+…+198+199==19900， 所以a6+a199=19900+21=19921， 故答案为：19921． 【点睛】本题是一个规律探索题，对于这类题，遵循由特殊到一般的原则，要求学生善于观察并找出规律，这对学生的归纳能力提出了更高的要求． 【题型5 规律题：数字的图形表示法】 【例5】用一排6个黑白圆圈来表示数，如图分别表示数，则表示的数是______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了图形类规律探索，零指数幂，有理数的乘方的应用，解题的关键是将黑圈和白圈转化为二进制的数字． 由图知“”记为数字1，“”记为数字0，将各情况表示为二进制的数字，再进一步转换为十进制即可得． 【详解】解：由图知“”记为数字1，“”记为数字0， 则表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ∵用数字表示为“”， ∴表示的数为， 故答案为：． 【变式5-1】算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图： 数字形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式                                 横式                            表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图： ，则  表示的数是______． 【答案】9167 【难度】0.94 【分析】根据算筹计数法来计数即可． 【详解】解：根据算筹计数法，表示的数是：9167． 故答案为：9167． 【点睛】本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键． 【变式5-2】如图，教材102页的一个密码盘，这个密码盘在数字和字母之间可建立一种对应关系，其中数字为密文，字母为明文． 小明根据该密码盘，编制了一个密码规则． 例如：密码“21 39 43 64”翻译成明文为“”，按照小明编制的密码规则，“14 2 21 9”将其译为明文为______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】根据所给密码和明文的对应关系可知密文的数字减去1的结果所对的字母是对应的明文，据此求解即可． 本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出密码和明文的对应关系是解题的关键． 【详解】解：由题知，密码14对应的明文是M，密码2对应的明文是A，密码21对应的明文是T，密码9对应的明文是H， ∴“14 2 21 9”将其译为明文为 故答案为：． 【变式5-3】我国是较早认识负数的国家，金元时期数学家李冶创造了在数字上画斜杠表示负数的方法（如图①）．按照这样的规则，如图②所示的数是______． 【答案】307 【难度】0.85 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握负数的意义，以及题目中表示负数的符号是解本题的关键． 根据正数和负数表示相反意义的量再结合图①可知，在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，即可得答案． 【详解】解：由图①可知，在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数， 故表示的是 故答案为：307． 【题型6 有理数的运算规律探索】 【例6】观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：： ．．．．．． (1)请写出第8个等式：___________； (2)请写出第个等式（是正整数）___________； (3)根据上述规律，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.77 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确找到规律是解题的关键． （1）观察所给等式写出结论即可； （2）根据题目中给出的等式，结合（1）中结论找到规律得出即可． （3）根据（2）中得出的规律，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为； ； ； …， 所以第n个等式可表示为： 当时， 第8个等式为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， 第n个等式为：． 故答案为：； （3）解：由上述规律可知， ＝ ＝． 故答案为：． 【变式6-1】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： 按照以上规律，解决问题： (1)写出第5个等式： (2)写出第个等式（用含的式子表示），并通过计算说明你写出的等式的正确性； (3)利用上述规律，计算： 【答案】(1) (2) 解：第个等式（用含的式子表示）：， 等式成立理由如下：左边右边 所以，等式左边=右边，等式成立． (3) 【难度】0.85 【分析】本题考查的是含乘方的有理数混合运算的数字类规律探索， （1）根据规律直接写出第5个等式即可； （2）根据规律直接写出第n个等式，并验证即可； （3）利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； （2）略 （3）解：原式 ． 【变式6-2】观察下列各式： 第1个等式： ；第2个等式：－； 第3个等式： ；… (1)根据上述规律写出第5个等式：　　　　； (2)第n个等式：　　　　；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）观察可知两个连续的正整数的负倒数的乘积等于较小数的负倒数加上较大数的倒数，又等于两个正整数乘积的负倒数，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据所得规律把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； ……， 以此类推，可知，第n个等式：（n为正整数）， ∴第5个等式：； （2）解：由（1）可得第n个等式：； （3）解： ． 【变式6-3】观察下列等式． …… (1)请写出第 5 个等式： (2)猜想第n（n为正整数）个等式，并计算 的值． 【答案】(1) (2)2870 【难度】0.65 【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算： （1）根据上述等式写出第5个等式即可； （2）根据上述等式写出第n个等式，并据此计算的值． 【详解】（1）解：第5个等式：， 故答案为：； （2）解：第n个等式：， ∴ ． 【变式6-4】观察下列等式． 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； … 根据以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)请写出第个等式：______；（（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【分析】本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，正确得出规律是解题的关键． （1）根据题目中的等式，可以写出第5个式子即可； （2）根据题目中的等式的特点，可以写出第n个式子； （3）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：∵第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； ∴第5个等式：； （2）解：∵第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：， … ∴； （3）解：原式 ． 【题型7 绝对值运算的字母化简】 【例7】已知有理数，满足，，且． （1）在如图所示的数轴上标出数，，，表示的点的大致位置，并用“＜”连接这四个数． （2）化简：． 【答案】（1）图见解析，；（2） 【难度】0.94 【分析】（1）根据已知得出a＞0，b＜0，|b|＜|a|，再在数轴上标出即可； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）∵有理数，满足，，且， ∴a＞0，b＜0，|b|＜|a|，如图所示： 用“＜”连接这四个数：． （2）由题意，得 ． 【点睛】本题考查了相反数，绝对值，数轴，整式的加减，有理数的大小比较等知识点，能正确在数轴上标出-a，a，-b，b的位置是解题的关键． 【变式7-1】在数轴上表示有理，如图所示． （1）在横线上填入“”，或“”； ______，______0，______，______0； （2）在数轴上表示有理数和； （3）化简：． 【答案】（1），，，；（2）见解析；（3） 【难度】0.65 【分析】（1）利用表示各数的点的位置结合有理数的减法法则、乘法法则和绝对值的性质可得答案； （2）利用相反数的意义可得答案； （3）首先利用绝对值的性质去绝对值符号，然后再合并同类项即可． 【详解】解：（1）由数轴可得a＜−1， ab＜0， |a|＞|b|， b−a＞0， 故答案为： ，，，； （2）在数轴上表示有理数和，如图所示： （3）因为，， 所以原式 ． 【点睛】此题主要考查了有理数的比较大小与化简绝对值，关键是掌握当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 【变式7-2】已知有理数满足互为相反数，，． (1)若，用“”或“”填空：______0；______0；______0． (2)若，化简式子：． 【答案】(1)；； (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了绝对值，相反数，有理数的加法、减法与乘法，整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据相反数的定义可得，，根据乘法法则可得，根据绝对值的性质可得，再根据加减法法则进行判断即可得； （2）先根据（1）可得，，，再化简绝对值，计算整式的加减法即可得． 【详解】（1）解：∵互为相反数，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 故答案为：；；． （2）解：由（1）可知，若，则，，， ∴ ． 【变式7-3】已知有理数，，在数轴上的位置如图所示且 （1）求值：__________；__________． （2）分别判断以下式子的符号（填“>”或“<”或“=”）：__________0；__________0；__________0；__________0． （3）化简：． 【答案】（1）0，-1；（2）；（3）． 【难度】0.65 【分析】（1）由题意得，a，b互为相反数，进而即可求解； （2）根据数轴上点表示的数，得，，，，进而即可求解； （3）根据求绝对值的法则，进行化简，即可． 【详解】（1）由题意得：且， ∴a=-b， ∴0，-1， 故答案是：0，-1； （2）∵，，， ∴，，，， 故答案是：； （3）原式= = =． 【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数以及求绝对值法则，掌握求绝对值法则，是解题的关键． 【题型8 数轴上的动点问题】 【例8】我们规定：点在线段上，此时共有三条线段，若其中一条线段的长度是另一条线段长度的2倍，则称点为线段的二倍分点．如图，在数轴上有三点，且点表示的数分别为45，55，点在之间．动点从点出发，沿着数轴正方向以1个单位每秒速度匀速运动．设运动时间为秒，回答下列问题： (1)若点恰好为线段的二倍分点，且，则点表示的数为___________； (2)在（1）条件下，当为何值时，点恰好为线段的二倍分点？ 【答案】(1) (2)时，点恰好为线段的二倍分点 【难度】0.65 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，能够用含有t的式子表示两点间的距离是解题的关键． （1）设点表示的数为，则，即，再解方程即可； （2）根据题意，分、、三种情况，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设点表示的数为， 点恰好为线段的二倍分点，且， ，即， 解得； 故答案为：； （2）解：由题意可知：在数轴上表示的数为； ①当，此时点恰好为线段的二倍分点， 即：， 解得：； ②当，即，点恰好为线段的二倍分点，即：，解得：； ③当，此时点恰好为线段的二倍分点，即：，解得：； 综上，的值为时，点恰好为线段的二倍分点． 【变式8-1】如图，数轴上有两个动点、，点从数轴上表示处以每秒3个单位的速度向右运动，点从数轴上表示15处以每秒2个单位的速度向左运动． (1)若两点同时运动，用含有的代数式表示；秒后点表示的数为__________，点表示的数为__________． (2)若两点同时运动，经过多少秒能使、两点之间的距离等于5个单位； (3)若、两点的中点为点，两动点、同时运动时，经过多少秒能使、两点之间的距离等于5个单位． 【答案】(1)， (2) 经过7秒或9秒能使M、N两点之间的距离等于5个单位； (3)经过6秒或10秒能使K、M两点之间的距离等于5个单位． 【难度】0.55 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上点的表示以及动点问题，解题的关键是正确分析题目中的等量关系并列出方程求解． （1）根据题意列代数式即可； （2）分点M在点N左边，点M在点N右边，两种情况讨论，分别列出方程求解即可； （3）首先表示出点M，点N和点K表示的数，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，秒后点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：， 设经过t秒能使M、N两点之间的距离等于5个单位， 当点M在点N左边时，，即， 解得， 当点M在点N右边时，，即， 解得， ∴经过7秒或9秒能使M、N两点之间的距离等于5个单位； （3）解：设运动时间为m， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∵点K是点M、N两点的中点， ∴点K表示的数为， ∵K、M两点之间的距离等于5个单位， ∴， 解得：或， ∴经过6秒或10秒能使K、M两点之间的距离等于5个单位． 【变式8-2】如图，点A、B是数轴上的两点，点B表示的数为5，且A、B两点之间的距离为15个单位长度，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒． (1)当点Q运动到点A时，求出t的值； (2)直接用含t的代数式分别表示数轴上的点P、Q对应的数； (3)求t为何值时，P、Q两点相遇，并求出此时P点对应的数； (4)当点P、Q间的距离是点A、B间距离的 时，直接写出t的值． 【答案】(1)秒 (2)点对应的数为，点对应的数为 (3)秒时、两点相遇，点对应的数为 (4)的值为或 【难度】0.65 【分析】本题主要考查两点间的距离及一元一次方程的实际应用能力． （1）根据路程÷速度=时间可得结果； （2）向右运动的点P表示的数在的基础上加上其运动路程，向左运动的点Q在5的基础上减去其运动的路程即可； （3）根据“点P与点Q运动路程之和等于”列方程求解即可； （4）根据两点间的距离及，列方程求解可得． 【详解】（1）解：当点Q运动到点A时，秒； （2）解：∵点B表示的数为5，且A、B两点之间的距离为15个单位长度， ∴点A表示的数为， ∵动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动， ∴点P对应的数为，点Q对应的数为； （3）解：根据题意，得， 解得， 此时点P对应的数为； （4）解：根据题意，得， 解得或， 即当的值为或时，点P、Q间的距离是点A、B间距离的． 【变式8-3】如图，点，均在数轴上，点所对应的数是，点所对应的数是2，点、是数轴上两个动点，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动，点以每3个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动． (1)若点运动3秒，此时点所对应的数是_____，点、之间的距离是_____； (2)若点、同时开始运动，求经过多少秒，点恰好是的中点； (3)若点先出发3秒后点出发，设点运动时间为秒，当、两点相距2个单位长度，求的值． 【答案】(1)8，11 (2)秒 (3)12或16 【难度】0.4 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用点对应的数点对应的数点的运动速度运动时间，可求出点运动3秒时点对应的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出此时点、之间的距离； （2）当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，根据点恰好是的中点时点到点，的距离相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）分及两种情况考虑，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：若点运动3秒，此时点所对应的数是， 点、之间的距离是． 故答案为：8，11； （2）解：当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为， 根据题意得：， 解得：． 答：经过秒，点恰好是的中点； （3）解：当时，点对应的数为，点对应的数为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，点对应的数为，点对应的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：的值为12或16． 【变式8-3】如图，已知点、在数轴上分别对应和15，点为原点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒（）． (1)线段的长度为______； (2)动点在数轴上表示的数为______；（用含的代数式表示） (3)当点、两点之间的距离为3时，求的值： (4)当点，，中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)27 (2) (3)或 (4)或或 【难度】0.65 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及的知识点有两点间的距离，中点的定义，以及一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程并准确解方程是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，即可得到答案； （3）根据、两点之间的距离为3时，列方程或，求解即可； （4）由题意可知其中一个点是另外两个点的中点，分三种情况：①是的中点时；②是的中点；③是的中点；分别求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：27． （2）∵动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动， ∴在数轴上对应的数为， 故答案为：． （3）∵动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动， ∴在数轴上对应的数为， 点的运动时间为：秒，点的运动时间为：秒， 当点、两点之间的距离为3时，或， 当时，解得：， 当时，解得：， 综上，当点、两点之间的距离为3时，或； （4）当点，，中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，即：其中一个点是另外两个点的中点， ①是的中点时，得，解得； ②是的中点，得，解得； ③是的中点，得，解得； 综上，或或． 【变式8-4】如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度/秒、个单位长度/秒，设运动时间为． (1)当时，点对应的数是______，点对应的数是______； (2)当为何值时，两点之间相距个单位长度； (3)当时，若线段和线段同时以个单位长度/秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻使得？若存在，求出此时的距离和运动时间，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当或时，两点之间相距个单位长度 (3)当时，线段和线段同时以个单位长度/秒的速度同时相向匀速运动，第和第时，，此时的距离为和，运动时间为和 【难度】0.65 【分析】（1）根据运算速度与时间即可得到点表示的数； （2）分别用含的式子表示点的数，根据两点之间距离的计算方法，分类讨论：当点在点的左边时，；当点在点的右边时，；解方程即可求解； （3）分别用含的式子表示点的数，根据两点之间距离的计算方法，分类讨论：第一种情况，如图所示，线段在线段左边；第二种情况，如图所示，线段在线段上；第三种情况，如图所示，线段与线段部分重叠或线段在线段右边时；根据数量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，速度分别为个单位长度/秒、个单位长度/秒， ∴当时，点对应的数是，点对应的数是， 故答案为：，； （2）解：点表示的数为，点表示的数为， 当点在点的左边时，， 解得，； 当点在点的右边时，， 解得，； 综上所述，当或时，两点之间相距个单位长度； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， 设线段和线段同时以个单位长度/秒的速度同时相向匀速运动的时间为， ∴ 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 第一种情况，如图所示，线段在线段左边， ∴，， ∴， 解得，， ∴此时点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴运动时间为； 第二种情况，如图所示，线段在线段上， ∴，， ∴，不符合题意； 第三种情况，如图所示，线段与线段部分重叠或线段 在线段右边时， ∴，， ∴， 解得，， ∴此时点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 综上所述，当时，线段和线段同时以个单位长度/秒的速度同时相向匀速运动，第和第时，，此时的距离为和，运动时间为和． 【点睛】本题主要考查数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程与几何问题，数轴上动点问题的综合，掌握数轴的特点，根据数轴上两点之间距离得到数量关系列方程是解题的关键． 【变式8-5】已知数轴上点、所表示的数分别是、，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向正方向运动，当点遇到数轴上的点后立即原速返回点，总用时． (1)求点所表示的数； (2)设点运动时间为，当时，求的值； (3)若点出发的同时，线段也匀速向正方向运动，此时点用时返回点，求线段的运动速度； (4)在（3）的条件下，点同时从点出发以每秒个单位长度的速度追上点后立即原速返回，当点与点重合时，求此时点所表示的数． 【答案】(1)点表示的数为 (2)的值为或 (3)速度为每秒 个单位长度 (4) 【难度】0.4 【分析】（1）设点表示的数为，根据“点从点沿正方向到点后立即原速返回点，总用时”建立方程求解即可； （2）讨论当在整个运动过程中，从点沿正方向到点（向右）和从点返回到点（向左）运动满足两种情况，建立方程求解即可； （3）由题意得此时点移动的距离加上点移动的距离等于点从点出发，以每秒个单位长度的速度向正方向运动，当点遇到数轴上的点后立即原速返回点移动的总距离，由此建立方程求解即可； （4）设秒时点与点重合，由追击问题列方程可求出，然后可求出此时点、表示的数，再由相遇问题列方程求解即可； 本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程与动点问题，行程问题，熟练掌握数轴上两点之间的距离和行程问题中的等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设点表示的数为， 依题意得， 解得． ∴点表示的数为； （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， 当点从点沿正方向到点，即向右运动满足时，，， ∴， 解得； 当从点返回到点，即向左运动满足时，，， ∴， 解得； 故的值为． （3）解：设运动的速度为， 依题意得 解得； 答：速度为每秒 个单位长度； （4）解：设秒时点与点重合， 依题意得， 解得； 此时点表示的数为， 点表示的数为． 设返回秒后与相遇， 依题意得． 解得， 此时表示的数为． 【题型9 绝对值几何意义的运用1：两个绝对值和差的最值】 【例9】已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 【变式9-1】数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是____，数轴上表示和的两点之间的距离是________． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____数轴上表示和的两点之间的距离表示为_________． (3)若表示一个有理数，则的最小值_______． (4)若表示一个有理数，且，则满足条件的数的是_______． 【答案】(1)， (2)， (3)5 (4)或 【分析】本题主要考查绝对值的意义及两点间距离公式，熟练掌握绝对值的意义及两点间距离公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式得出结论即可； （2）根据两点间距离公式得出结论即可； （3）根据绝对值的意义得出结论即可； （4）根据绝对值的意义得出结论即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为，； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为，； （3）解：根据绝对值的定义有：可表示为点到与两点距离之和，根据几何意义分析可知： 当在与之间时，有最小值， 故答案为； （4）解：当时，， 解得：， 此时符合； 当时，， 此时不符合题意，舍去； 当时，， 解得：， 此时符合； 故答案为或． 【变式9-2】 数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或，在数轴上标记x所在的位置如图所示： (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 【题型10 绝对值几何意义的运用2：多个绝对值和的最值】 【例10】在学习绝对值后，我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：5表示5在数轴上的对应点到原点的距离.而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为. 请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是________；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是________. （2）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、-3、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为________（用含绝对值的式子表示）；满足的x的值为________； （3）试求的最小值. 【答案】（1）1；5或-1；（2）；-3或4；（3）2500 【分析】（1）根据在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为，代入即可求解； （2）根据数轴上两点之间的距离公式可得A到B的距离与A到C的距离；满足中x的值分三种情况讨论即可求解； （3）把 化为 分别求出、…在50≤x≤51时去最小值即可求解. 【详解】（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是3-2=1； 数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是2-3=-1或2+3=5； （2）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为； ∵ 当x＜-2时，3-x-x-2=7 ，解得x=-3 当-2≤x≤3，x不存在 当x＞3时，x-3+x+2=7,解得x=4 故满足的x的值为-3或4; （3）= 当1≤x≤100，有最小值为=99； 当2≤x≤99，有最小值为=97； ... 当50≤x≤51，有最小值为=1； ∴当50≤x≤51，有最小值为99+97+95+…+3+1=（99+1）+（97+3）+（95+5）+…+（51+49）=100×25=2500. 【点睛】此题主要考查绝对值的应用，解题的关键是熟知熟知的性质及绝对值的意义. 【变式10-1】数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______． (2)若代数式的最小值是3，则 ______． (3)探索规律： ①当有最小值是______． ②当有最小值是______． ③当有最小值是______． 【答案】(1)①4；②，1或 (2)或1 (3)①1；②5；③4 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键． （1）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）①数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：4； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， 当，即， 所以或， 解得或， 故答案为：1或； （2）若代数式的最小值是3， 即， 所以或， 解得或， 故答案为：或1； （3）①当有最小值是， 故答案为：1； ②当时，有最小值，最小值为， 故答案为：5； ③当时，有最小值，最小值为， 故答案为：4． 【变式10-2】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识储备】同学们都知道，表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离（如图）． 请你利用数形结合的思想探究下列问题： 【探究规律】 (1)求代数式的最小值； (2)代数式的最小值为_____________； (3)代数式的最小值为_____________． 【答案】(1)1 (2)2 (3)2024 【分析】此题考查了运用数形结合思想进行实数运算的能力． （1）根据题目中的几何意义进行求解． （2）根据题目中的几何意义进行求解． （3）根据题目中的几何意义进行求解． 【详解】（1）解：表示在数轴上表示数x的点到表示1的点与表示2的点的距离之和， ∴当时，代数式的值最小，最小值为； （2）解：表示在数轴上表示数x的点到表示1的点，表示2的点，表示3的点的距离之和， ∴当时，代数式的值最小，最小值为； 故答案为：2 （3）解：表示在数轴上表示数x的点到表示1的点，表示2的点，表示3的点，……，表示2025的点的距离之和， ∴当时，代数式的值最小，最小值为． 故答案为：2024 【变式式10-3】同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）|-4+6|=______；|-2-4|=______； （2）找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x-1|=3成立； （3）若数轴上表示数a的点位于-4与6之间，求|a+4|+|a-6|的值； （4）当a=______时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小，最小值是______； （5）当a=______时，|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，最小值是______． 【答案】（1）2，6；（2）-2，-1，0，1；（3）10；（4）1， 9；（5）1， 4n+1. 【分析】（1）用绝对值定义可以求解； （2）即整数x与-2的距离加x与1的距离和为3，则-2≤x≤1，则所有符合条件的整数x有：-2，-1，0，1； （3）即：-4≤x≤6，则|a+4|+|a-6|=10； （4）取-5，1，4三个数的中间值即可，即a=1，则最小值为9； （5）依据（4）取-2n，-2n+1，…1，2，3…，2n+1的中间值1，则最小值为2n+1-（-2n）=4n+1． 【详解】（1）2，6； （2）即整数x与-2的距离加x与1的距离和为3，则-2≤x≤1， 则所有符合条件的整数x有：-2，-1，0，1； （3）即：-4≤x≤6，则|a+4|+|a-6|=10， 故答案为10； （4）取-5，1，4三个数的中间值即可，即a=1， 则最小值为9， 故答案为1，9； （5）依据（4）取-2n，-2n+1，…1，2，3…，2n+1的中间值1， 则最小值为2n+1-（-2n）=4n+1， 故答案为1，4n+1． 【点睛】本题考查的是绝对值的定义，按照题目的逻辑思路即可求解，本题难度较大． 【变式10-4】同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上位可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索： (1) ______；如果，则______． (2)求的最小值，并求此时的取值范围； (3)由以上探索已知，求的最大值与最小值； (4)由以上探索及猜想，计算的最小值． 【答案】(1)3，3或； (2)当时，的值有最小值，最小值为2； (3)的最大值是，最小值是； (4)当时，式子取得最小值，为． 【分析】本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据绝对值的意义直接计算即可； （2）把理解为：在数轴上表示到和的距离之和，根据两点间的距离公式，点在线段上，则有最小值，从而得结论； （3）先确定、的取值范围，再分类讨论． （4）观察已知条件可以发现，表示到的距离，要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的的值，此时式子得出的值则为最小值． 【详解】（1）解：， ， 或 或 故答案为：，或； （2）解：理解为：在数轴上表示到与的距离之和， 当在与之间的线段上（即）时，有最小值，最小值为，此时的取值范围为：． （3）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴，且， ∴当，时，取最小值，此时， 当，时，取最大值，此时 ∴的最大值是，最小值是． （4）解：由已知条件可知，表示到的距离，只有当到的距离等于到的距离时，式子取得最小值． 当时，式子取得最小值， 此时， ． 【题型11 绝对值几何意义的运用3：系数不为1的绝对值和的最值】 【例11】先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，解题的关键熟练掌握绝对值的意义． （1）一共有123个数，求出，代入求值即可； （2）将原式变形后，得出，代入求值即可． 【详解】（1）解：一共123个数，当时，的值最小， 此时，； （2）解： 有2个，3个，5个，7个，9个，共个数， ，当取第13个数时，的值最小， 此时， ． 【变式11-1】绝对值的几何意义；在数轴上，表示数a的点到原点的距离可表示为，即．类似地，表示数a的点到表示数3的点的距离可表示为． 【类比探究】 （1）表示数x的点到表示数的点的距离为7．可记为______，那么______． 【解决问题】 （2）当x满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【拓展迁移】 （3）直接写出的最小值． 【答案】（1），或；（2）当时，的值最小，最小值为5；（3）12 【分析】本题考查了绝对值的几何意义以及化简绝对值： （1）直接利用距离公式列方程求解； （2）利用数轴上两点距离和的最小值原理，当点位于两点之间时和最小； （3）通过绝对值的几何意义得出当时，最小，当时，最小，再分别求解之后比较即可． 【详解】解：（1）表示数x的点到表示数的点的距离为7．可记为， ∴或， ∴或， 故答案为：，或；． （2）表示点到的距离，表示点到的距离． ∴表示点到和的距离之和． 当点在和之间时，距离之和最小，最小值为到的距离，即． ∴当时，的值最小，最小值为． （3）， 当时，取最小值， 当时，取最小值， 所以，当时，取最小值为． 【变式11-2】放飞自我：思考：数轴上的个点表示的数分别是，，…，，且，是数轴上一个点，其表示的数是，对于代数式，由绝对值的几何意义可得： 若为奇数时，当时，的值可取到最小； 若为偶数，当时，的值可取到最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 【答案】(1)30 (2) 【分析】（1）根据为奇数时，当时，的值可取到最小，当时，最小，求出最小值即可； （2）先将原式化为，可得共16个绝对值相加，根据为偶数，当时，的值可取到最小，即时，最小，求出最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得：当时， 最小，最小值是： ； （2）解： 共个绝对值相加， 即时， 最小，令，得： ． 【点睛】本题考查了绝对值的意义及代数式求值，读懂题意，先求出x的值是解题关键． 13． 【变式11-3】同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)已知，求的最大值 和最小值 ． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并请写出所有符合条件的整数；如果没有，说明理由． 【答案】(1) (2)、、、、； (3)， (4)有最小值，，符合条件的整数为： 【分析】本题考查绝对值的意义；整式的加减、数轴、绝对值； （1）根据距离公式即可解答； （2）利用绝对值和数轴求解即可； （3）由于，可知，，依此得到的最大值和最小值． （4）|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，当在与之间的线段上（即）时，取得最小值，进而即可求解． 【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为， 故答案为； （2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、， 故答案为、、、、； （3）， ，， 的最大值为，最小值为． 故的最大值，最小值． （4）有最小值， 理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和， ∴当在与之间的线段上（即）时： ∴符合条件的整数为 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $