精品解析：广西柳州市柳州地区民族高级中学2027届高三上学期第一次阶段检测数学试题

2027届高三第一学期第一次阶段检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合是全体整数形成的集合， 而中元素都不是整数平方，， 所以. 2. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，，则实数m的取值范围是. 3. 若函数为其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将是增函数转化为恒成立，使用基本不等式求最值. 【详解】的定义域为，， 因为函数为其定义域上的增函数， 所以，即在上恒成立， 因为，，当且仅当时取等号， 所以，即. 4. 已知正实数，满足，则的最大值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数的单调性判断 ，再根据基本不等式求解. 【详解】设为增函数减函数增函数，函数的定义域为， 且满足，所以函数是奇函数， 所以，则，得 ， 即，，得，， 则， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 5. 已知函数为偶函数，则（ ） A. -1 B. 1 C. 1或-1 D. 1或-1或0 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，结合定义域关于原点对称，对a的可能整数值逐一验证. 【详解】函数为偶函数需满足两个条件：①定义域关于原点对称；②对定义域内任意x，均有。 当时，，定义域为，关于原点对称，对任意，都有，满足偶函数定义； 当时，，定义域为，关于原点对称，  ，满足偶函数定义； 当时： ，定义域为，关于原点对称，  ， 满足偶函数定义； 综上，或或 6. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用幂函数的定义与单调性求解. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，在上单调递减，符合题意，所以， 所以，所以. 7. 函数定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数定义域是，所以， 解得，所以的定义域是 8. 高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知方程，则方程的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用将方程转化为不等式，确定的范围，然后分段讨论即可. 【详解】因为，所以， 即，解得或， 当时，，此时（舍去）； 当时，，此时， 解得或（舍去）； 当时，，此时，满足题意. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数a，b，c满足，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设公共值转化方程并用对数值表示，分析参数趋向两端无穷时三者的大小趋势，得到两种序关系；时得；构造辅助函数，用定义判断函数的单调性从而证明C选项中的关系不可能出现. 【详解】设， 则，， ，其中， 令，则， ，，， 当时，，，， 此时，选项D成立； 当时，， 因为，所以，即，选项A成立； 当时，， C选项，，即， ①， 先解，，解得， 再解， ， 任取， 则 因为，所以，则， 所以， 因为，所以，， 即， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，即， 此结果与①中互相矛盾， 不存在使得，选项C错误. 10. 已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（　　） A. 是偶函数 B. C. D. 在上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据偶函数的定义可判断A的正误，利用赋值法结合周期函数的定义可判断B的正误，根据周期性可判断CD的正误. 【详解】由的图象关于直线对称，则， 即，故是偶函数，故选项A正确； 由，令，可得， 则，则的周期，故选项B正确；，故选项C正确； 又在上单调递增，在上单调递减， 因为周期，则在上单调递增，故选项D错误． 故选：ABC． 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 若，则的最小值为 D. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A利用导函数判断单调性；B根据函数对称中心的性质建立方程求解；C根据对称性和单调性以及基本不等式求解；D.根据对称性和单调性以及韦达定理求出. 【详解】选项A，由题意 的定义域为 ， 因为 恒成立，当且仅当时， 所以在定义域内单调递增，A正确； 选项B，设的对称中心为，由对称中心的定义可知 对恒成立，代入 整理得，令， 解得，所以的对称中心为 ，B正确； 选项C，因为， 所以， 则，即， 因为，所以， 等号成立时 ，C正确； 选项D，因为为方程的两个不同根， 所以， 因为，所以 ，则， 故 ，得，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若、，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据解析式得到，可得出，由此可得出结果. 【详解】，，则，， 所以函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为 ， 因为，则， 因此，. 13. 已知函数满足，．则________． 【答案】110 【解析】 【分析】利用赋值法，先求得，再求得，最后用累加法求得. 【详解】函数满足，， 令，得. 令，得， 即. 所以， ， ， …… ， 累加得，， 所以. 14. 已知，，且满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：令，令，变形得到，由基本不等式得最小值为． 方法二：设其中，．令再令，得到，由基本不等式得到最小值为. 【详解】方法一：令，由，得 令 因为，所以，且从而 于是，， ， 因为，所以由基本不等式得， 因此，当且仅当，即 时等号成立． 此时 由，，得 此时，，且，所以所求最小值为． 方法二：设其中，． 由 ，得 因此， ， 令则， 且 再令 则 由基本不等式 所以 当 ，即时等号成立． 此时，所以． 结合，得 故所求最小值为 ． 四、解答题：本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，且为非空集合． （1）当时，，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解对数不等式化简集合，代入化简绝对值不等式得到集合，再根据两集合交集为空列出区间无重叠的不等式，结合求出的范围； （2）令写出集合，由充分条件知此时，转化为两区间有公共元素的不等式，解不等式得到实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得， 而为非空集合，则，， 当时，， 因为，所以或，解得， 故实数的取值范围． 【小问2详解】 若“”，则， 而“”是“”的充分条件， 则 ， 所以或或， 解得或或，即， 所以实数的取值范围． 16. 已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． （1）求函数，的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性变形题中等式，联立解得函数解析式； （2）根据函数的奇偶性和单调性解不等式； 【小问1详解】 是奇函数，是偶函数，，， ，①， 即，②，由①、②解得，． 【小问2详解】 由（1）知是上的奇函数和增函数， 则不等式， 因此，即，解得， 即，所以原不等式的解集为． 17. 已知函数． （1）若的值域为，求实数的取值范围． （2）当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． （3）设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由对数函数的值域可得真数对应的二次函数的判别式大于等于，从而可得所求取值范围； （2）令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得所求取值的范围； （3）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，方法一：根据二次函数的在闭区间的最值问题分类讨论可得；方法二：通过参数分离可得及，分别求两个函数的最值可得. 【小问1详解】 因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值， 所以，解得或， 因此实数的取值范围为． 【小问2详解】 当时，． 令，得或， 又， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立， 所以． 记，则在上单调递增， 所以，所以. 成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为． 18. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）分别写出与时，年利润（万元）与年产量（百件）的关系式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） 当时，；当时， （2）年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元. 【解析】 【分析】（1）结合题意，分和时利用利润=销售收入-成本求出关系式即可； （2）当时，由二次函数求出最值，当时，由基本不等式求出最值，再确定结果即可； 【小问1详解】 由题意可得当时，， 当时， 【小问2详解】 由（1）得时，， 此时（百件）时，（万元）， 当时，， 因为，，所以： ， 即 当且仅当，即时等号成立，（万元）， 而，故（百件）时，利润最大， 综上所述，年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元. 19. 已知函数的定义域是D．对于，定义集合． （1）若，求； （2）对于集合A，若对任意都有，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； （3）若函数的定义域为，对任意,．试求b的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】（1） （2）证明： 必要性：因为是偶函数，所以任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3） 【解析】 【分析】（1）根据的定义，代入数值，解不等式； （2）分必要性和充分性，结合偶函数的定义，以及“对称集”的定义，即可证明； （3）由定义可知，，所以在上单调不减，利用导数分析函数的单调性，求的取值范围. 【小问1详解】 由定义得， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以恒成立. 所以. 当时，，等号仅当时成立，所以单调递增， 而，所以对任意，； 当时，若满足， 即时，，而， 因此当时，，不合题意 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三第一学期第一次阶段检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（     ） A. B. C. D. 3. 若函数为其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知正实数，满足，则的最大值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 5. 已知函数为偶函数，则（ ） A. -1 B. 1 C. 1或-1 D. 1或-1或0 6. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. 3 C. D. 7. 函数定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知方程，则方程的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数a，b，c满足，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（　　） A. 是偶函数 B. C. D. 在上单调递减 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 若，则的最小值为 D. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若、，，则_________． 13. 已知函数满足，．则________． 14. 已知，，且满足，则的最小值为______． 四、解答题：本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，且为非空集合． （1）当时，，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． （1）求函数，的解析式； （2）求不等式的解集． 17. 已知函数． （1）若的值域为，求实数的取值范围． （2）当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． （3）设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 18. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）分别写出与时，年利润（万元）与年产量（百件）的关系式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 已知函数的定义域是D．对于，定义集合． （1）若，求； （2）对于集合A，若对任意都有，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； （3）若函数的定义域为，对任意,．试求b的取值范围，使得对于任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $