陕西西北工业大学附属中学2026-2027学年第一学期高三年级第一次模考数学试题

西北工业大学附属中学2026-2027学年第一学期 高三年级第一次模考数学试题参考答案 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.A 2.B 3.B 4.B 5.c 6.A 7.D 8.B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2 个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分) 9.BC 10.ABD 11.BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.y=-x-1 13.59158 14.[e3,+∞) 四、解答题：本题共5题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题 17分) 15.(1)设A=“第次成功取款”（i=1,2)，事件A=“不超过2次就成功取款”，则A=A1UA1A2,且 A1与A1A2互斥。 P(A)=P(A)+P(A1 A2) =+品 11 =10+10 (2)由题意得X的可能取值为1,2,3，设B=“最后一位密码为偶数”，则： rx=)= 411 P(X=2)=5×4=5 P(X=3)=1- 113 5-5-5 X的分布列为： 1 3 P 1 5 数学期望： EX=1×5+2x17 f店+3×312 5=5 16.解：(1)证明：由题意AB=2CD=2AD=2BC=2, 则∠ABC=60°， 因为BC=1,AB=2, 所以∠ACB=90°，AC⊥BC, 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PABn平面ABCD=AB, 且PA⊥AB,PAC平面PAB, 所以PA⊥平面ABCD,因为BCC平面ABCD, 所以PA⊥BC,且AC∩PA=A,AC,PAC平面PAC, 所以BC⊥平面PAC,又BCC平面PBC, 所以平面PAC⊥平面PBC: (2)如图，以A为原点，AP,AB所在直线分别为x轴，y轴，在平面ABCD内过点A作平面ABC的垂 线为轴，建立空间直角坐标系 D 则P1,00.B0,2.D0.分9).c0,号9). 所以4P=1,0,叭.Bc=0,-),AD=0,9.PB=(-1,2,0. 设平面PAD的一个法向量n1=(c,y,2), n1·AP=x=0 则〈 ,令z=-1,得1=(0，√3，-1)， （mb=昌+：=0 →9 2 设平面PBC的法向量n2=(m,n,p), (→ n2·PB=-m+2n=0 则/ 令p=1,得=(2V3.V3,1), ·Bc=-号+V2=0 → 2 设平面PAD与平面PBC的夹角为B 则cos0=|n1n2=2-1 nien2l =2×4=4) 所以平面PAD与平面PBC夹角的正弦值为V1-cOs9=压 4 17.(1)解：由正弦定理得2 sin Acos C=2sinB+sinC, 因为B=T-(A+C),所以sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C, 代入得2 sin AcosC=2 sin AcosC+2 cos Asin C+sinC, 化简得2 cos Asin C+sinC=0, 因为Ce0,mSmC0,所必2.cosA+1E0,即cos4上号 又A∈(0，，所以A=2」 3。 (2)解：因为D在AB的垂直平分线上，所以AD=BD=2,∠DAB=∠B, BC=BD+CD=2+3=5, coS∠ADC=-cos∠ADB=-cos(T-2B)=cos2B, 在△ADC中，由余弦定理得： b2=22+32-2×2×3×cos2B=13-12cos2B, 在△ABC中，由余弦定理得： 2bccosbc. 由cos2B=2cos2B-1得b2=25-24cos2B, 由正弦定理b 5 10 得=100 1-cos2B), sin B n2πV3 3 sin- 3 联立得25-2=1四1-oms2B. 25 解得cos2B= 28 因为Be0孕.所以sB=5v7 14o 18,解：(1)由题意得G=号T,1GP到=号S1,且T+S=6, 故GR+GN=号×6=4>FF=2V3, 故点G的轨迹为以F(-√3,0)，F2(V3,0)为焦点的椭圆（除去两个与x轴的两个交点）， 其中2a=4,2c=2V5,解得a=2,c=V3,故=a2-c2=4-3=1, 故曲线E的方程为号+=1g≠0)： ②0设Pm,.ne-1,0u01,则Y+2=1, 则直线PC方程为y=V2=2(亿-2)，令y=0得x=2-V2m-2 n-v2 直线PD方程为y-2mY2+2.令=附=V2m+2 n-V3+v②m+2 +2到=14+4v2 n32, 则|MW=2-V2m-2 "n-v2 n-V2 因为n∈-1,0)U(0,,所以MW=4+4V2 1=14 n-v发1原” 故当n=1时，MNImaz=4V2+4; ②AM2+|BN2为定值，理由如下： Ar+BN=2-V2号+2y+3m+2 n-v -2-29 =(4-V2m2P+(-Vm+2-4 n-V2 n-v② 8V2(m-2) =16- n-√2 +2m-212+16+￥2A2+2(√2)2 `n-W2 n-V2 =32+ 32V2,4m2+16_4m2+16+32v2n-64+32n2-64V2n+64 n-v2(m-√②)2 (n-√2)2 -4m2+16+32m2-32V2m (n-√2)2 因为m2+n2=1,所以m2=4-4n2, 4 故AMP+BNp=16m2_32y2n+32_16(n-V②2 (n-v②)2 =16 (n-V2)2 19.(1)函数f(x)的定义域为(0，+o∞)， fe=7-1-是-+- x2 令△=4m2-4: ·当0<m≤1时，△≤0，f'(x)≤0恒成立，f(x)在(0，+o∞)上单调递减； ·当m>1时，△>0，方程x2-2mx+1=0的两根为x1=m-Vm2-1,x2=m+Vm2-1 当x∈(0，x1)U(x2,+oo)时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x∈(x1,x2)时，f'(x)>0,f(x)单调递增。 (2)设h(z)=ln(1+x)-x,x>0, 1-1=1+ ()=1+ <0 故h(x)在(0，+oo)单调递减，h(x)<h(O)=0,即ln(1+x)<x。 含：=点之8eN,得1+)<有 a++动u+-+宫 32 又< 1 11 故(1+ 1+ 。).(1+二)<e2<e,原不等式得证 n2 (3)g(x有三个不同零点等价于m21n2r--1+2=0有三个不同正根，即f=1和f=-1 共有三个不同正根。 ·当0<m≤1时，f(x)在(0，+∞)单调递减，f(x)=1和f(x)=-1最多各1个根，不符合要求； ·当m>1时，f(x)的极小值f(x1)<0,极大值f(x2)>0,且x→0+时f(x)→+oo,x→+∞ 时f(x)→-0o,故f(x)=1有2个根，f(x)=-1有1个根，共3个根，符合要求。 综上，m的取值范围是(1，+o∞)。西北工业大学附属中学2026-2027学年第一学期 高三年级第一次模考数学试题 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每个小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数z满足z(1+2i)=i,则复数z在复平面内对应点所在的象限是() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.已知集合M={xy=V√1-E},N={xlx2-2x<0},则MnN=() A.{xl0<x<1}B.{xl0<x≤1}C.{x|1<x<2}D.{x1≤x<2} 3.当c=1,函数f()=alnr+。取得最大值2,则f(4)=0 1 A0B.-8C.2D1 4.若f(a)=a,则称a为函数f(x)的幸福点。设函数f(x)= 2x+1,:<0则a=1是a是fe)的幸福点”的0 2x-1,x≥0 A.充要条件B.充分不必要条件C,必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 5.定义在R上的函数y=f(x)是奇函数,y=f(2-x)为偶函数,若f(1)=1,则f(2025)+f(2027)=() A.-2B.0C.2D3 6.已知函数f(m)=e2-e,若正实数m,n满起f(2m)+fm-5)=f0),则2+1 mn+11 的最小值是() ABc 6 7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为k的直线经过点F,并且与抛物线C交于A,B两点,与y轴交于点M ,与抛物线的准线交于点N,若AF=2MN,k=() A.V3 B.V2 c. V2 D. V3 log2 x,>0 8.已知函数f(x) ,2≤0'9@)=5-z-1,当关于实数的方程fg(c》-m=0有6个根时,实数 2 m的取值范围是() A[1,2)B.[1,2)U{1og25}C.[1,2)D.[1,2U{1og25} 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选 项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,有选错的得0分,若只有2 个正确选项,每选对一个得3分,若只有3个正确选项,每选对一个得2分) 9E吸8G若若-%:装-君-1,共a>06>0,n≠6则0 A.C1和C2有相同的实轴 B.C1和C2有相同的焦距 C.C1和C2有相同的渐近线 D.C1和C2有相同的离心率 10.已知正实数a,b满足a十b=2,则() A.va+Vb≤2B.24+2≥4 C.a-b>1D.a2+2b≥3 11.设0为坐标原点,已知对任意实数a,直线,:a.x-y+2-2a=0与圆C:(x-4)2+(y-1)2=2(r>0) 都有两个交点M,N,则() A.直线过定点(2,1)】 B.r∈(v5,+∞) C.当r=5时,CM.CN的最小值为-25 D.当r=3时,lMN|∈[5,6 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.) 12.若函数f(x)=nx+ml(其中m∈R)为偶函数,则曲线y=f(x)在x=一1处的切线方程为 13.设数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}为公比为q(g>0)的等比数列,若a1=b1=2,a2+b2=10, a3+bg=24,记数列{an+bn}的前n项和为Tn,则T0= 14.若方程ex=aln(x-2)+alna-2a在x∈(2,+o)上有解,则实数a的取值范围是 四、解答题:本题共5题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.(第15题13分,第16题15分,第17题15分,第18题17分,第19题 17分) 15.某银行储蓄卡的密码由6位数字组成,在该银行自助取款机上取款时,若密码输入正确,则可成功取款,若密码连续 输错3次,则不能继续输密码,取款失败。 甲利用储蓄卡在该银行自助取款机上取款时,忘记了密码的最后1位数字。 (1)任意按最后1位数字,不超过2次就成功取款的概率; (2)如果记得密码的最后1位是偶数,记X表示取款时输密码的次数,求随机变量X的分布列和数学期望。 16.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB,AB‖CD,且 AB=2CD=2AD=2BC=2AP=2. D (1)证明:平面PAC⊥平面PBC (2)求平面PAD与平面PBC夹角的正弦值。 17.在 ABC中,角A、B、C的对边分别为a、6、c,已知cosC=2b+C 2a。 (1)求A; (2)设AB的垂直平分线交BC边于D,若CD=3,AD=2,求cosB的值。 18.已知 FQF2的两个顶点F(-V3,0),F(V3,0),点G为 QF2的重心,边Q,QF2上的两条中线的长 度之和为6,记点G的轨迹为曲线E。 (1)求曲线E的方程; (2)若点P是曲线E上的任意一点,A(-2,0),B(2,0),C(2,√②),D(-2,√②),直线PC,PD与轴分别交于点 M,N. @求MN的最大值; ②判断AM2+|BN?是否为定值。若为定值,求出该定值;若不为定值,求出它的最大值。 19.已知函数fa)=2mlh2-g+2m>0. (1)讨论f(x)的单调性; 2②证明:(1+)(1+)(+)<ea∈N,n≥3) (3)若函数g()=m21n2x-x- 十2有三个不同的零点,求m的取值范围。 2.