精品解析：陕西西安市多校2026-2027学年高三上学期8月测试数学试卷

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用标准方程得，然后计算出离心率. 【详解】由题意椭圆的标准方程为，所以，， 所以，则. 3. 若曲线（）关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数的奇偶性可得，继而即可求解. 【详解】由题意可得，解得，又因为， 所以的最小值为. 4. 若是周期为的函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为是周期为的函数，且当时，， 所以. 5. 若一组样本数据的中位数为，则这组样本数据的极差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用中位数的定义，分类讨论，求得，结合数据极差的定义与求法，即可求解. 【详解】由题意知，数据，共有7个数据组成， 根据数据中位数的定义，可得数据的中位数为第4个数据， 将数据除去，剩余的数据排序为， 要使得7个数据的中位数为，即为第4个数据， 若，则排序后第4位为，这与中位数为矛盾，舍去； 若，则排序后数据为，此时满足数据的中位数为，符合题意；当时，排序后的第4位为，这与中位数为矛盾，舍去， 综上可得，实数满足， 所以数列的极差为. 6. 若复数，，在复平面内对应的三个点构成一个正三角形，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，根据为正三角形可求出点的坐标，进而可求得的值． 【详解】由题意得复数，在复平面内对应的点分别为，， 由于，，在复平面内对应的三个点构成一个正三角形， 如图所示，复数在复平面内对应的点为或， 显然两种情况对应的值相等，不妨只考虑对应点的情况， 过点作轴于点， 由于，则，， 故点的坐标为，因此． 7. 若向量与的夹角为，，为随机变量，且，设，则的数学期望为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】展开向量数量积，推导出，再由题意确定的所有可能取值及对应概率，从而计算数学期望. 【详解】，因为与的夹角为，， 所以，， 所以， ， 当时，，，， 当时，，，， 当时，，，， ​ 当时，，， ， 所以. 8. 已知点在正方形的外部，平面，，，则当取得最大值时，正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过旋转构造等腰直角三角形，并利用三角形边长条件求解最大值时的情况，通过余弦定理求解边长即可 . 【详解】 将 按点顺时针旋转成，连接，可知为等腰直角三角形，，， 因为，根据三角形边长间的关系可知，，可知当三点一线时最大. 因为，所以，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线，的焦点分别为，，则（ ） A. B. 与有两个交点 C. 的准线方程为 D. 点到的准线的距离为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合抛物线的几何性质，以及联立方程组的解的个数，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由抛物线，可得，所以， 所以的焦点坐标为，准线方程为，所以C错误； 又由抛物线，可得，所以， 所以的焦点坐标为，准线方程为， 可得，所以A正确； 联立方程组，解得或， 所以抛物线和有两个公共点，交点坐标分别为，所以B正确； 由且抛物线准线方程为，可得点到的准线的距离为，所以D正确. 10. 在三棱台中，底面，，，，且，与底面所成的角分别为，，则（） A. B. C. 三棱台的体积为 D. 以为球心，为半径的球与棱无公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】设为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用线面角公式计算可判断A，B；利用棱台体积计算公式计算可判断C；计算到线段的最短距离，与半径比较可判断D. 【详解】在三棱台中，因为底面， 且上、下底面平行，所以也是三棱台的高，因为， 且，所以，即也是直角三角形. 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为轴建立空间直角坐标系. 已知，，且相似比为， 所以下底面的边是上底面对应边的2倍， 点的坐标为，点的坐标为，其中， 侧棱在底面上的投影为到在底面投影的距离，即投影长度为， 已知与底面所成的角为， 可得：，所以，选项A正确； 设点的坐标为，则点的坐标为， 侧棱在底面上的投影长度为， 已知与底面所成的角为，根据正切关系： 即的坐标为， ， 所以，而不是，选项B错误； 三棱台下底面积， 三棱台上底面积， 由三棱台的体积公式得： ，选项C正确； 已知点，点，所以， 设点为线段上的一点，有，其中， 即， 解得：， 故，其中， 球心到点的距离平方为： ， 当时，距离平方取得最小值，即最小距离， 因为最小距离等于球的半径，所以球与棱恰好相切，即存在唯一的公共点（切点），选项D错误. 11. 若函数的图象在点处的切线斜率为，则（ ） A. B. 的零点之和为10 C. D. 是大于1800的偶数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复合函数求导方法，求出函数导数，进而逐一求出各点的切线斜率，判断各选项正误. 【详解】已知，则， 则，解得， 所以，所以，A错误； 函数的零点有，所以零点之和为10，B正确； ，，所以C正确； 可知， 由，解得， 所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________，__________． 【答案】 ①. ②. 7 【解析】 【详解】， . 13. 《虞美人·春花秋月何时了》是“千古词帝”李煜的代表作，此词在后世收获极高评价，其内容如下： 春花秋月何时了？ 往事知多少． 小楼昨夜又东风， 故国不堪回首月明中． 雕栏玉砌应犹在， 只是朱颜改． 问君能有几多愁？ 恰似一江春水向东流． 此词共有8行，若从这8行中任意选取3行，则至少有1行出现“春”字或“月”字的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】8行诗中有5行诗中没有“春”、“月”，利用考虑反面的方法，结合组合数的计算求解即可. 【详解】8行诗中有5行诗中没有“春”、“月”， 所以至少有1行出现“春”字或“月”字的概率为. 14. 直线：绕着点旋转一周所不能经过的点构成的平面区域的面积为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析出符合要求的点构成的平面区域是以点为圆心，以点到直线的距离为半径的圆内部，再使用圆的面积公式求解. 【详解】点到直线的距离为：， 直线：绕着点旋转一周所不能经过的点， 等价于到该点的距离小于点到直线的距离， 即不能经过的点构成的平面区域是一个以点为圆心，以为半径的圆的内部， 则不能经过的点构成的平面区域的面积为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求的最大值． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）2 【解析】 【小问1详解】 易得的定义域为，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为恒成立，所以，解得. 故的最大值为2. 16. 如图，在三棱锥中，，，，，． （1）证明：平面平面． （2）证明：直线，，两两垂直． （3）若，，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为，， 所以，则， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）证明：因为，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由（1）知．又， 所以直线，，两两垂直； （3） 【解析】 【分析】（1）由题设及线面垂直判定定理求证平面，进而可求证平面平面； （2）利用线面垂直判定定理求证平面可得到，由（1）平面即可得到，再结合题设即可得证； （3）建立适当空间直角坐标系分别求平面与平面的一个法向量，由空间角向量法公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，， 所以，， 设平面的一个法向量为，则， 即， 令，得， 易知平面的一个法向量为， 由， 得平面与平面所成角的正弦值为. 17. 已知数列满足，且． （1）证明为等比数列，并求的通项公式； （2）设集合且，记中元素的个数为，求数列的前项和． 【答案】（1）因为， 所以，又，所以 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，则； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设递推式变形得，再由等比数列定义即可判断求证； （2）先由所给集合属性分析得到即可求解得到数列的通项公式，再由等比数列前n项和公式即可计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 若，则，又，所以， 则为偶数，从而为奇数， 由，得，则， 从而， 所以. 18. 已知甲选择参加A，B工厂面试的概率分别为，，乙选择参加A，B工厂面试的概率分别为，．设甲选择参加A工厂面试与选择参加B工厂面试相互独立，乙选择参加A工厂面试与选择参加B工厂面试相互独立，且甲的选择与乙的选择互不影响． （1）求甲和乙都选择参加A工厂面试的概率； （2）设甲、乙两人中至少参加A，B工厂中的一个工厂面试的人数为，求的分布列； （3）已知，甲和乙通过A工厂面试的概率分别为，，甲和乙通过B工厂面试的概率分别为，，且两人面试通过与否相互独立，在甲选择参加面试的工厂只有A或B其中1个的前提下，甲通过面试的概率为，在乙选择参加面试的工厂只有A或B其中1个的前提下，乙通过面试的概率为，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 （3）【解析】 【分析】（1）已知甲与乙的选择互不影响，直接用独立事件的乘法公式求解； （2）先确定的取值为0，1，2，表示两个人都不参加，表示两个人中恰好一个人两个工厂都不参加，另一个人至少参加1个，表示两个人各自都至少参加1个，据此直接计算概率即可； （3）根据题目条件，先计算甲和乙都只参加A，B工厂面试其中1个的概率，再计算他们参加面试并通过的概率，即可利用条件概率求出，，由列出不等式，结合，，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 设事件“甲选择参加A工厂面试”，“甲选择参加B工厂面试”，则，， 设事件“乙选择参加A工厂面试”，“乙选择参加B工厂面试”，则，． 故甲和乙都选择参加A工厂面试的概率. 【小问2详解】 由题意知，的所有可能取值为0，1，2， 则， ， . 故的分布列为 0 1 2 【小问3详解】 设事件“甲只选择参加A或B其中1个工厂面试”，“乙只选择参加A或B其中1个工厂面试”， 则， . 设事件“面试通过”， 则， ， 则， ， 若，则，解得. 又，，所以的取值范围是. 19. 在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为． （1）求的方程． （2）设点，，过点的直线与交于，两点，点，均在轴上，且与，均不重合，，直线，，，的斜率之积为． （i）证明：直线与的斜率之和为定值． （ii）求与的面积之和的最小值． 【答案】（1）（） （2）（i）设（，），则，即， 则，同理可得， 因为，所以， 所以．又，所以， 则，故直线与的斜率之和为定值. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义求解； （2）（i）设（，），计算，，然后可求得，再结合已知可得证； （ii）设：，设，，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，计算出与的面积之和并代入转化为关于的函数，结合导数知识得最值. 【小问1详解】 因为， 所以点的轨迹是以，为焦点且实轴长为的双曲线的上支， 由，，得，， 故的方程为（）. 【小问2详解】 （i）略 （ii）依题意可得直线的斜率必然存在，设：，代入， 得，则恒成立， 设，，，， 则，，则， 因为，所以的面积 由（i）知，则，同理得的面积． 不妨设，，则与的面积之和如下， 为 ， 令，， 则 ． 因为，所以，则在上单调递增， 所以， 从而与的面积之和的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 若曲线（）关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 若是周期为的函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若一组样本数据的中位数为，则这组样本数据的极差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若复数，，在复平面内对应的三个点构成一个正三角形，则（ ） A. B. C. D. 5 7. 若向量与的夹角为，，为随机变量，且，设，则的数学期望为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在正方形的外部，平面，，，则当取得最大值时，正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线，的焦点分别为，，则（ ） A. B. 与有两个交点 C. 的准线方程为 D. 点到的准线的距离为4 10. 在三棱台中，底面，，，，且，与底面所成的角分别为，，则（） A. B. C. 三棱台的体积为 D. 以为球心，为半径的球与棱无公共点 11. 若函数的图象在点处的切线斜率为，则（ ） A. B. 的零点之和为10 C. D. 是大于1800的偶数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________，__________． 13. 《虞美人·春花秋月何时了》是“千古词帝”李煜的代表作，此词在后世收获极高评价，其内容如下： 春花秋月何时了？ 往事知多少． 小楼昨夜又东风， 故国不堪回首月明中． 雕栏玉砌应犹在， 只是朱颜改． 问君能有几多愁？ 恰似一江春水向东流． 此词共有8行，若从这8行中任意选取3行，则至少有1行出现“春”字或“月”字的概率为__________． 14. 直线：绕着点旋转一周所不能经过的点构成的平面区域的面积为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求的最大值． 16. 如图，在三棱锥中，，，，，． （1）证明：平面平面． （2）证明：直线，，两两垂直． （3）若，，求平面与平面所成角的正弦值． 17. 已知数列满足，且． （1）证明为等比数列，并求的通项公式； （2）设集合且，记中元素的个数为，求数列的前项和． 18. 已知甲选择参加A，B工厂面试的概率分别为，，乙选择参加A，B工厂面试的概率分别为，．设甲选择参加A工厂面试与选择参加B工厂面试相互独立，乙选择参加A工厂面试与选择参加B工厂面试相互独立，且甲的选择与乙的选择互不影响． （1）求甲和乙都选择参加A工厂面试的概率； （2）设甲、乙两人中至少参加A，B工厂中的一个工厂面试的人数为，求的分布列； （3）已知，甲和乙通过A工厂面试的概率分别为，，甲和乙通过B工厂面试的概率分别为，，且两人面试通过与否相互独立，在甲选择参加面试的工厂只有A或B其中1个的前提下，甲通过面试的概率为，在乙选择参加面试的工厂只有A或B其中1个的前提下，乙通过面试的概率为，若，求的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为． （1）求的方程． （2）设点，，过点的直线与交于，两点，点，均在轴上，且与，均不重合，，直线，，，的斜率之积为． （i）证明：直线与的斜率之和为定值． （ii）求与的面积之和的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $