精品解析：江苏泰州市靖江高级中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段考试数学试题

2026—2027学年第一学期阶段考试 高一数学试卷 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求． 1. 已知集合，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合，，， 所以，即，解得. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为命题，所以命题为. 3. 学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有（ ）人. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设同时参加球类比赛和田径比赛的有人，利用文氏图辅助解答. 【详解】不妨设同时参加球类比赛和田径比赛的有人， 结合已知条件可知，只参加游泳比赛的有10人，只参加球类比赛的有人， 只参加田径比赛的有人， 故，解得， 从而只参加球类一项比赛的有8人. 故选：B 4. 以下不等式正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 5. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，化简可得，即， 所以或， 所以或； 解不等式，得或， 而集合或真包含于集合或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 6. 已知集合，设，且，则集合中的元素的和为（ ） A. 或0 B. 或1 C. 0或2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的运算得，即得，分析得出1和2一个是方程的解，另一个是方程的解，然后分类讨论求得值，确定中元素后可得结论. 【详解】因为，所以，所以， 或， 又，所以和不可能都是方程的解， 所以和中的一个是方程的解，另一个是方程的解. 若，即，则，，或， 所以，中所有元素和为， 若，即，则，，或， 所以，中所有元素和为， 所以只有选项A正确. 7. 某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形面积公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】如图所示：设矩形为表演区，，则有， 由题意可知：， 所以， 设矩形的面积为， 所以， 由， 由基本不等式，得， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是. 8. “，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用命题的否定将命题变为真命题，再分离参数后结合均值不等式求的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得， 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最小值为， 所以的最大值为． 二、多项选择题：本大题共3题，每小题6分，共计18分．在每小题列出的四个选项中，只有至少有两项最符合题目要求． 9. 设，，下列选项正确的是（ ） A. 集合的子集个数为4 B. 若，则 C. 存在实数使得为假命题 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求解集合，再结合集合子集性质、交集运算、集合包含关系对各选项逐一分析. 【详解】对于A：，有2个元素，子集个数为，A正确； 对于B：若，则且.由得，解得， 此时，因，故，，，满足条件，B正确； 对于C：由得，即都属于，则，即，无解， 即不存在实数，使得成立，因此存在使得为假命题，C正确； 对于D：若，分情况讨论： ①时，满足； ②时，需，解得； ③时，需，解得； 综上可得，D错误. 10. 已知关于的方程，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为 B. 方程有两个正根的充要条件是 C. 方程无实数根的一个充分不必要条件是 D. 方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，代入a值，先算判别式判断有无实根，再看能否使用韦达定理描述实数根之和； 选项B，两正根需同时满足判别式非负、两根和大于 0、两根积大于 0，联立不等式求解参数范围；选项C，先求出无实根对应的a范围，再通过区间包含关系判断充分不必要条件； 选项D，一正一负根只需两根之积小于0，对比选项给出的参数范围判断正误． 【详解】方程，判别式， 若，则， 当时，，无实根，故A错误； 由题意得， 解得或， 又， 故，故B正确； 方程无实根，故，解得， 区间是的真子集， 故满足一定能推出方程无实根，满足充分性； 但方程无实根，不一定满足，必要性不成立，故C正确； 方程一个正根一个负根的充要条件满足且， 但，故当时显然不成立，故D错误． 11. 已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【详解】已知正实数满足，逐个分析选项： 选项A：，由基本不等式， 得，最小值为，A错误. 选项B：将代入得： ， 当时，等号成立，故B正确； 选项C：变形化简 ，由乘“1”法得： ， ， 所以， 等号成立当，即等号成立，故最大值为，C正确. 选项D：先化简前两项：， 由，得， 故原式， 两个等号均可同时取到（），故最小值为，D正确. 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共计15分． 12. 设集合，，则“”的一个充要条件是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由求出值，再由的取值检验是否满足即得. 【详解】由得，则，解得， 时，，此时，不符合题意， 时，，，符合题意， 所以. 反之，由可得， 所以充要条件是. 13. 设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】而为正实数，则，故的最大值为， 当且仅当时，取得最大值． 令，， ， ， 又， ， 当且仅当时，即时取得最小值， 的最小值为． 14. 若，为假命题，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】写出命题的否定，可转化为不等式恒成立问题，分离参数可得，根据基本不等式可得参数范围. 【详解】，为假命题， 则，为真命题， 即， 又，恒成立， 所以， 设， 则， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 故答案为：. 第Ⅱ卷 四、解答题：本大题共5题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，， （1）若，求，； （2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以或， 所以，． 【小问2详解】 由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 16. （1）已知二次函数的两个不相等的零点都为正数，求实数的取值范围； （2）已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围； （3）当时，求不等式的解集． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或． 【解析】 【分析】（1）结合根与系数关系求解可得； （2）直接将必要条件转化为两个集合的包含关系，再分类讨论可得； （3）直接将不等式分解因式，再根据两根的大小分类讨论可得不等式的解集. 【详解】（1）设二次函数的两个不相等的零点为，且， 所以，解得. 所以实数的取值范围为． （2）设，， 因为是的必要条件，所以， ①当时符合题意，此时，解得； ②当时，则且等号不能同时成立，解得． 综上所述，实数的取值范围为． （3）由不等式化为，， 即得． 因为，所以， ①当，即时，原不等式的解集为或； ②当时，原不等式化为，原不等式的解集为； ③当时，，原不等式的解集为或． 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式解的解集为； 当时，不等式的解集为或. 17. 已知为实数，集合．若命题，；命题q：若，恒成立． （1）若命题是真命题，求实数取值范围． （2）若命题是真命题，求实数取值范围． （3）若命题和命题有且只有一个是真命题，求实数取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构造二次函数，求区间最大值大于0得到p为真的m范围； （2）分离参数用基本不等式求最小值，解绝对值不等式得到q为真的m范围； （3）分p真q假、p假q真两类取交集，合并得到仅有一个真命题时m的范围． 【小问1详解】 设函数，开口向上，对称轴为， 在区间上，得最大值在端点处取得，， 命题为真等价于，即， 解得或，即． 【小问2详解】 不等式对恒成立， 时，恒成立，满足条件； 时，不等式变形为恒成立， ，当且仅当时取等号，故在上的最小值为4， 故，则，解得， 故实数取值范围． 【小问3详解】 为真时，或；为假时，； 为真时，；为假时，或； 当为真，为假时，解得或； 当为真，为假时，解得； 综上可得，． 18. 为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. （1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ （2）是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）人； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出不等式并求解出解集，再根据的范围可求解出结果； （2）分别根据条件①和条件②列出不等式，通过分离参数求解出不等式最值，由此可求解出的取值范围，则结果可知. 【小问1详解】 调整前的人的年总投入为万元， 调整后的研发人员的年总投入为万元， 由题意可知，，解得， 又因为，且，所以调整后的技术人员至少有人. 【小问2详解】 由①可知，所以，所以， 又因为，且，所以，所以； 由②可知，化简可得， 因为，当且仅当，即时（符合条件）取等号， 所以，所以， 由上可知，所以， 所以存在实数满足条件. 19. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为__________． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3． 根据上述材料解决以下问题． （1）已知为正实数，且，求的取值范围； （2）已知，且，则的最小值是多少？ （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少？ 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【小问1详解】 由题设， 当且仅当，等号成立. 故的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 【小问3详解】 ， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期阶段考试 高一数学试卷 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求． 1. 已知集合，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有（ ）人. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 以下不等式正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 5. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知集合，设，且，则集合中的元素的和为（ ） A. 或0 B. 或1 C. 0或2 D. 7. 某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. “，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多项选择题：本大题共3题，每小题6分，共计18分．在每小题列出的四个选项中，只有至少有两项最符合题目要求． 9. 设，，下列选项正确的是（ ） A. 集合的子集个数为4 B. 若，则 C. 存在实数使得为假命题 D. 若，则 10. 已知关于的方程，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为 B. 方程有两个正根的充要条件是 C. 方程无实数根的一个充分不必要条件是 D. 方程有一个正根一个负根的充要条件是 11. 已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共计15分． 12. 设集合，，则“”的一个充要条件是_________． 13. 设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 14. 若，为假命题，则实数的取值范围为_________． 第Ⅱ卷 四、解答题：本大题共5题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，， （1）若，求，； （2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 16. （1）已知二次函数的两个不相等的零点都为正数，求实数的取值范围； （2）已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围； （3）当时，求不等式的解集． 17. 已知为实数，集合．若命题，；命题q：若，恒成立． （1）若命题是真命题，求实数取值范围． （2）若命题是真命题，求实数取值范围． （3）若命题和命题有且只有一个是真命题，求实数取值范围． 18. 为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. （1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ （2）是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为__________． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3． 根据上述材料解决以下问题． （1）已知为正实数，且，求的取值范围； （2）已知，且，则的最小值是多少？ （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $