2026～2027学年人教版九年级上学期期中模拟数学试题

2026~2027学年九年级上学期期中模拟数学试题（人教版）【素养培优卷】 （满分 120 分　　考试时间 90 分钟　　共 24 小题） 考试范围：第二十一章 一元二次方程　第二十二章 二次函数　第二十三章 旋转 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若 x＝-1 是关于 x 的一元二次方程 x²＋mx-3＝0 的一个根，则 m 的值为（　　） A．-2　　B．2　　C．-4　　D．4 【答案】 A 【解析】 把 x＝-1 代入方程，得 (-1)²＋m×(-1)-3＝0， 即 1-m-3＝0，解得 m＝-2．故选 A． 2．若 (x²＋y²)²-5(x²＋y²)-6＝0，则 x²＋y² 的值为（　　） A．6　　B．-1　　C．6 或 -1　　D．-6 【答案】 A 【解析】 设 t＝x²＋y²，则原方程可化为 t²-5t-6＝0． 因式分解得 (t-6)(t＋1)＝0，所以 t＝6 或 t＝-1． 因为 x²＋y²≥0，所以 t＝-1 不合题意，应舍去， 所以 x²＋y²＝6．故选 A． 3．某商品原价 200 元，经过连续两次降价后售价为 128 元．若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是（　　） A．16%　　B．18%　　C．20%　　D．25% 【答案】 C 【解析】 设每次降价的百分率为 x，根据题意得 200(1-x)²＝128， 所以 (1-x)²＝0.64，1-x＝±0.8， 解得 x₁＝0.2，x₂＝1.8（不合题意，舍去）， 所以每次降价的百分率是 20%．故选 C． 4．已知二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象开口向下，且经过点 (-1，0) 和 (3，0)，则下列关于该函数性质的判断正确的是（　　） A．对称轴是直线 x＝1　　B．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 C．当 x＝1 时，y 有最小值　　D．图象与 y 轴的交点在 x 轴下方 【答案】 A 【解析】 因为图象经过点 (-1，0) 和 (3，0)， 所以对称轴为直线 x＝＝1，A 正确； 又开口向下，所以抛物线在对称轴左侧上升、右侧下降， 当 x＞1 时 y 随 x 的增大而减小，B 错误； 开口向下时 x＝1 处取最大值，C 错误； 因为 y＝a(x＋1)(x-3)＝a(x²-2x-3)，所以 c＝-3a， 又 a＜0，所以 c＞0，图象与 y 轴的交点 (0，c) 在 x 轴上方，D 错误．故选 A． 5．将抛物线 y＝-2x²＋4x＋1 先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝-2(x-1)²＋4　　B．y＝-2(x-3)² C．y＝-2(x-3)²＋4　　D．y＝-2(x-1)²-2 【答案】 B 【解析】 y＝-2x²＋4x＋1＝-2(x-1)²＋3，顶点为 (1，3)． 向右平移 2 个单位长度，顶点变为 (1＋2，3)＝(3，3)； 再向下平移 3 个单位长度，顶点变为 (3，3-3)＝(3，0)． 因为抛物线开口方向与形状不变（a＝-2）， 所以所得抛物线的解析式为 y＝-2(x-3)²＋0＝-2(x-3)²．故选 B． 6．若直线 y＝2x＋k 与抛物线 y＝x²-4x＋5 只有一个公共点，则 k 的值为（　　） A．-4　　B．-2　　C．2　　D．4 【答案】 A 【解析】 直线与抛物线只有一个公共点，即方程 x²-4x＋5＝2x＋k 有两个相等实根． 整理得 x²-6x＋5-k＝0， 所以判别式 Δ＝(-6)²-4(5-k)＝16＋4k＝0， 解得 k＝-4．故选 A． 7．用一根长为 40 cm 的铁丝围成一个矩形，则该矩形面积的最大值是（　　） A．80 cm²　　B．100 cm²　　C．160 cm²　　D．200 cm² 【答案】 B 【解析】 设矩形的一边长为 x cm，则邻边长为 (20-x) cm， 面积 S＝x(20-x)＝-x²＋20x＝-(x-10)²＋100． 因为 -1＜0，所以当 x＝10 时 S 取最大值 100， 此时矩形为边长 10 cm 的正方形，最大面积为 100 cm²．故选 B． 8．如图，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到△ADE，使点 B 的对应点 D 落在 BC 边上．若∠B＝70°，则∠BAD 的度数是（　　） A．30°　　B．40°　　C．50°　　D．70° 【答案】 B 【解析】 由旋转的性质得 AB＝AD，所以∠ADB＝∠B＝70°． 在△ABD 中，∠BAD＝180°-∠B-∠ADB ＝180°-70°-70°＝40°．故选 B． 9．在平面直角坐标系中，点 A(a，-3) 与点 B(4，b) 关于原点对称，则 a＋b 的值为（　　） A．-7　　B．-1　　C．1　　D．7 【答案】 B 【解析】 因为点 A(a，-3) 与点 B(4，b) 关于原点对称， 所以横、纵坐标都互为相反数，即 a＝-4，b＝3． 所以 a＋b＝-4＋3＝-1．故选 B． 10．如图，二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象开口向上，与 x 轴交于点 A(-1，0)、B(3，0)，对称轴与 x 轴交于点 M．下列结论：① 2a＋b＝0；② 4a＋2b＋c＜0；③ 当-1＜x＜3 时，y＜0；④ 若点 P(m，y₁)、Q(m＋2，y₂) 在图象上，则 y₁＜y₂．其中一定正确的个数是（　　） A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 【答案】 C 【解析】 因为图象过 (-1，0)、(3，0)，所以对称轴为直线 x＝1， 即 -＝1，所以 b＝-2a，2a＋b＝0，① 正确； 当 x＝2 时，由图象（开口向上）知 4a＋2b＋c 取负值，② 正确； 开口向上且与 x 轴交于 -1 和 3，所以 -1＜x＜3 时 y＜0，③ 正确； 对称轴为 x＝1，点 P(m，y₁) 与 Q(m＋2，y₂)， 它们到对称轴的距离分别为 |m-1| 与 |m＋1|，大小关系随 m 变化， ④ 不一定成立．故选 C． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．方程 x(x-3)＝2(x-3) 的解是＿＿＿＿． 【答案】 x₁＝3，x₂＝2 【解析】 移项得 x(x-3)-2(x-3)＝0， 因式分解得 (x-3)(x-2)＝0， 所以 x-3＝0 或 x-2＝0，即 x₁＝3，x₂＝2． 12．设 x₁、x₂ 是方程 x²-5x-2＝0 的两个实数根，则 (x₁-x₂)² 的值为＿＿＿＿． 【答案】 33 【解析】 由根与系数的关系得 x₁＋x₂＝5，x₁x₂＝-2． 所以 (x₁-x₂)²＝(x₁＋x₂)²-4x₁x₂ ＝5²-4×(-2)＝25＋8＝33． 13．已知抛物线 y＝x²＋bx＋c 经过点 (1，0) 和 (3，0)，则该抛物线的顶点坐标是＿＿＿＿． 【答案】 (2，-1) 【解析】 因为抛物线经过点 (1，0) 和 (3，0)， 所以可设 y＝(x-1)(x-3)＝x²-4x＋3． 配方得 y＝(x-2)²-1，所以顶点坐标为 (2，-1)． 14．如图，将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 40° 得到△A′B′C，点 A 的对应点为 A′．若 AC⊥BC，则∠A′CB 的度数是＿＿＿＿． 【答案】 50° 【解析】 由旋转的性质得∠ACA′＝40°（旋转角）， 且∠ACB＝90°． 因为点 A′ 由点 A 绕点 C 顺时针旋转 40° 得到， 所以∠A′CB＝∠ACB-∠ACA′＝90°-40°＝50°． 15．已知二次函数 y＝x²-2x-3，当-2≤x≤2 时，函数值 y 的最大值与最小值之和是＿＿＿＿． 【答案】 1 【解析】 y＝x²-2x-3＝(x-1)²-4，对称轴为直线 x＝1，开口向上， 所以当 x＝1 时 y 取最小值 -4． 在区间 -2≤x≤2 上，点 x＝-2 与 x＝2 到对称轴的距离分别为 3 与 1， 越靠近对称轴函数值越小，所以当 x＝-2 时 y 取最大值， 最大值为 (-2)²-2×(-2)-3＝5． 所以最大值与最小值之和为 5＋(-4)＝1． 16．在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-2，1)、B(2，1)、C(0，4)．若把△ABC 绕原点旋转 180° 得到△A′B′C′，则点 A′ 的坐标是＿＿＿＿，△A′B′C′ 的面积是＿＿＿＿． 【答案】 A′（2，-1）；面积为 6 【解析】 绕原点旋转 180° 就是关于原点中心对称，横、纵坐标都取相反数， 所以 A′ 的坐标为 (-2×(-1)，1×(-1))＝(2，-1)． 在△ABC 中，AB＝2-(-2)＝4，边 AB 上的高为 4-1＝3， 所以 S△ABC＝×4×3＝6． 因为旋转只改变位置、不改变图形的形状和大小， 所以△A′B′C′ 的面积也是 6． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）解下列方程： (1) x²-6x＋5＝0； (2) 2x²-4x-1＝0． 【答案】 (1) x₁＝1，x₂＝5；(2) x₁＝，x₂＝ 【解析】 (1) 因式分解得 (x-1)(x-5)＝0，所以 x₁＝1，x₂＝5． (2) 因为 a＝2，b＝-4，c＝-1， 　　所以 Δ＝(-4)²-4×2×(-1)＝16＋8＝24＞0． 　　代入求根公式得 x＝＝， 　　所以 x₁＝，x₂＝． 18．（6分）某商店销售一种进价为每件 30 元的商品，当售价为每件 50 元时，每天可售出 100 件．为了促进销售，商店决定降价销售．经调查发现，售价每降低 1 元，每天可多售出 10 件．若商店想要每天获得利润 2160 元，且为了尽可能让利于顾客，那么每件商品的售价应定为多少元？ 【答案】 每件售价定为 42 元 【解析】 设每件商品降价 x 元，则每件利润为 (50-x-30)＝(20-x) 元， 每天的销售量为 (100＋10x) 件． 根据题意得 (20-x)(100＋10x)＝2160， 整理得 x²-10x＋16＝0，解得 x₁＝2，x₂＝8． 因为要尽可能让利于顾客，所以取 x＝8， 此时每件商品的售价为 50-8＝42（元）． 检验：售价 42 元时每件利润 12 元，每天售出 180 件， 利润为 12×180＝2160（元），符合题意． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-3，1)、B(-1，1)、C(-2，3)． (1) 作出△ABC 关于原点 O 成中心对称的△A₁B₁C₁，并写出点 A₁、C₁ 的坐标； (2) 将△ABC 绕原点 O 按顺时针方向旋转 90°，画出旋转后的△A₂B₂C₂，并写出点 B₂ 的坐标； (3) 若点 P(a，b) 是△ABC 内的一点，写出点 P 绕原点 O 按顺时针方向旋转 90° 后对应点 P₂ 的坐标（用含 a、b 的式子表示）． 【答案】 (1) A₁(3，-1)、C₁(2，-3)；(2) B₂(1，1)；(3) P₂(b，-a) 【解析】 (1) 关于原点成中心对称，就是把各顶点的横、纵坐标都取相反数， 　　所以 A₁(3，-1)、B₁(1，-1)、C₁(2，-3)，顺次连接即得△A₁B₁C₁． (2) 绕原点 O 按顺时针方向旋转 90°，点 (x，y) 的对应点为 (y，-x)． 　　A(-3，1)→A₂(1，3)，B(-1，1)→B₂(1，1)，C(-2，3)→C₂(3，2)， 　　顺次连接即得△A₂B₂C₂，点 B₂ 的坐标为 (1，1)． (3) 由 (2) 的对应规律，点 P(a，b) 的对应点 P₂ 的坐标为 (b，-a)． 20．（8分）如图，某农场要用一段长为 60 m 的篱笆围成一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为 25 m 的墙（篱笆只围其余三边）．设垂直于墙的一边长为 x m，羊圈的面积为 S m²． (1) 求 S 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2) 当 x 为何值时，羊圈的面积 S 最大？最大面积是多少？ 【答案】 (1) S＝-2x²＋60x（17.5≤x＜30）；(2) x＝17.5 时 S 最大，最大面积为 437.5 m² 【解析】 (1) 平行于墙的一边长为 (60-2x) m， 　　所以 S＝x(60-2x)＝-2x²＋60x． 　　由 60-2x＞0 且 60-2x≤25，得 17.5≤x＜30， 　　所以自变量 x 的取值范围是 17.5≤x＜30． (2) 因为 S＝-2x²＋60x＝-2(x-15)²＋450，开口向下，对称轴为直线 x＝15． 　　因为 15＜17.5，所以当 17.5≤x＜30 时，S 随 x 的增大而减小， 　　所以当 x＝17.5 时 S 取得最大值， 　　S最大＝-2×(17.5-15)²＋450＝-2×6.25＋450＝437.5（m²）． 21．（10分）已知二次函数 y＝x²＋bx＋c 的图象经过点 A(-1，0)，且对称轴为直线 x＝2． (1) 求 b、c 的值； (2) 求该函数图象与 x 轴的另一个交点 B 的坐标； (3) 若点 P(m，n) 在该函数的图象上，且 -2＜m＜4，求 n 的取值范围． 【答案】 (1) b＝-4，c＝-5；(2) B(5，0)；(3) -9≤n＜7 【解析】 (1) 因为对称轴为直线 x＝2，所以 -＝2，解得 b＝-4． 　　把 A(-1，0) 代入 y＝x²-4x＋c，得 1＋4＋c＝0， 　　解得 c＝-5．所以 b＝-4，c＝-5． (2) 令 y＝0，得 x²-4x-5＝0，即 (x＋1)(x-5)＝0， 　　所以 x₁＝-1，x₂＝5，因此另一个交点 B(5，0)． (3) y＝x²-4x-5＝(x-2)²-9，开口向上，对称轴为直线 x＝2． 　　当 -2＜m＜4 时，顶点处 x＝2 取最小值 n＝-9； 　　因为 m＝-2 与 m＝4 到对称轴的距离分别为 4 与 2， 　　所以离对称轴最远的 -2 处取最大值， 　　但 m＝-2 取不到，故 n＜(-2)²-4×(-2)-5＝7． 　　所以 n 的取值范围是 -9≤n＜7． 22．（10分）已知一元二次方程 x²-6x＋k＝0 有两个实数根 x₁、x₂． (1) 求 k 的取值范围； (2) 若 x₁、x₂ 满足 x₁²＋x₂²-x₁x₂＝21，求 k 的值； (3) 在 (2) 的条件下，求 ＋ 的值． 【答案】 (1) k≤9；(2) k＝5；(3) 【解析】 (1) 方程有两个实数根，所以 Δ＝(-6)²-4k＝36-4k≥0， 　　解得 k≤9． (2) 由根与系数的关系得 x₁＋x₂＝6，x₁x₂＝k． 　　x₁²＋x₂²-x₁x₂＝(x₁＋x₂)²-3x₁x₂＝36-3k＝21， 　　解得 k＝5，且 5≤9，符合题意． (3) 当 k＝5 时，x₁＋x₂＝6，x₁x₂＝5． 　　＋＝ 　　＝＝＝． 23．（12分）如图，抛物线 y＝x²-4x＋3 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C． (1) 求点 A、B、C 的坐标； (2) 在抛物线上是否存在点 P，使 S△ABP＝2S△ABC？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 将该抛物线向右平移 3 个单位长度，求平移后抛物线与 y 轴交点的坐标． 【答案】 (1) A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)；(2) P(2＋√7，6) 或 P(2-√7，6)；(3) (0，24) 【解析】 (1) 令 y＝0，得 x²-4x＋3＝0，解得 x₁＝1，x₂＝3， 　　所以 A(1，0)、B(3，0)；令 x＝0，得 y＝3，所以 C(0，3)． (2) AB＝3-1＝2，S△ABC＝×2×3＝3， 　　所以 S△ABP＝2×3＝6．设点 P 的纵坐标为 t， 　　则 S△ABP＝×2×|t|＝|t|＝6，所以 t＝6 或 t＝-6． 　　当 t＝6 时，x²-4x＋3＝6，即 x²-4x-3＝0， 　　x＝＝2±√7，得 P(2＋√7，6)、P(2-√7，6)； 　　当 t＝-6 时，x²-4x＋9＝0，Δ＝16-36＝-20＜0，方程无实根． 　　所以存在点 P，坐标为 (2＋√7，6) 或 (2-√7，6)． (3) 抛物线 y＝x²-4x＋3 向右平移 3 个单位长度，得 　　y＝(x-3)²-4(x-3)＋3＝x²-6x＋9-4x＋12＋3＝x²-10x＋24． 　　令 x＝0，得 y＝24，所以交点为 (0，24)． 24．（12分）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 是 BC 边上一点（不与 B、C 重合），将△ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°，得到△ACE，点 D 的对应点为 E． (1) 求证：CE＝BD； (2) 求证：∠DCE＝90°； (3) 若 BD＝3，DC＝4，求 DE 的长． 【答案】 (1) 见解析；(2) 见解析；(3) DE＝5 【解析】 (1) 因为△ABD 绕点 A 旋转 90° 得到△ACE， 　　所以△ABD≌△ACE，所以 CE＝BD． (2) 因为 AB＝AC，∠BAC＝90°，所以∠ABC＝∠ACB＝45°． 　　由△ABD≌△ACE 得∠ACE＝∠ABD＝∠ABC＝45°． 　　又点 D 在 BC 上，所以∠DCA＝∠BCA＝45°， 　　所以∠DCE＝∠DCA＋∠ACE＝45°＋45°＝90°． (3) 由 (1) 得 CE＝BD＝3．又 DC＝4，且∠DCE＝90°， 　　所以在 Rt△DCE 中， 　　DE＝√(DC²＋CE²)＝√(4²＋3²)＝√25＝5． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年九年级上学期期中模拟数学试题（人教版）【素养培优卷】 （满分 120 分　　考试时间 90 分钟　　共 24 小题） 考试范围：第二十一章 一元二次方程　第二十二章 二次函数　第二十三章 旋转 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若 x＝-1 是关于 x 的一元二次方程 x²＋mx-3＝0 的一个根，则 m 的值为（　　） A．-2　　B．2　　C．-4　　D．4 2．若 (x²＋y²)²-5(x²＋y²)-6＝0，则 x²＋y² 的值为（　　） A．6　　B．-1　　C．6 或 -1　　D．-6 3．某商品原价 200 元，经过连续两次降价后售价为 128 元．若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是（　　） A．16%　　B．18%　　C．20%　　D．25% 4．已知二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象开口向下，且经过点 (-1，0) 和 (3，0)，则下列关于该函数性质的判断正确的是（　　） A．对称轴是直线 x＝1　　B．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 C．当 x＝1 时，y 有最小值　　D．图象与 y 轴的交点在 x 轴下方 5．将抛物线 y＝-2x²＋4x＋1 先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝-2(x-1)²＋4　　B．y＝-2(x-3)² C．y＝-2(x-3)²＋4　　D．y＝-2(x-1)²-2 6．若直线 y＝2x＋k 与抛物线 y＝x²-4x＋5 只有一个公共点，则 k 的值为（　　） A．-4　　B．-2　　C．2　　D．4 7．用一根长为 40 cm 的铁丝围成一个矩形，则该矩形面积的最大值是（　　） A．80 cm²　　B．100 cm²　　C．160 cm²　　D．200 cm² 8．如图，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到△ADE，使点 B 的对应点 D 落在 BC 边上．若∠B＝70°，则∠BAD 的度数是（　　） A．30°　　B．40°　　C．50°　　D．70° 9．在平面直角坐标系中，点 A(a，-3) 与点 B(4，b) 关于原点对称，则 a＋b 的值为（　　） A．-7　　B．-1　　C．1　　D．7 10．如图，二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象开口向上，与 x 轴交于点 A(-1，0)、B(3，0)，对称轴与 x 轴交于点 M．下列结论：① 2a＋b＝0；② 4a＋2b＋c＜0；③ 当-1＜x＜3 时，y＜0；④ 若点 P(m，y₁)、Q(m＋2，y₂) 在图象上，则 y₁＜y₂．其中一定正确的个数是（　　） A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．方程 x(x-3)＝2(x-3) 的解是＿＿＿＿． 12．设 x₁、x₂ 是方程 x²-5x-2＝0 的两个实数根，则 (x₁-x₂)² 的值为＿＿＿＿． 13．已知抛物线 y＝x²＋bx＋c 经过点 (1，0) 和 (3，0)，则该抛物线的顶点坐标是＿＿＿＿． 14．如图，将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 40° 得到△A′B′C，点 A 的对应点为 A′．若 AC⊥BC，则∠A′CB 的度数是＿＿＿＿． 15．已知二次函数 y＝x²-2x-3，当-2≤x≤2 时，函数值 y 的最大值与最小值之和是＿＿＿＿． 16．在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-2，1)、B(2，1)、C(0，4)．若把△ABC 绕原点旋转 180° 得到△A′B′C′，则点 A′ 的坐标是＿＿＿＿，△A′B′C′ 的面积是＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）解下列方程： (1) x²-6x＋5＝0； (2) 2x²-4x-1＝0． 18．（6分）某商店销售一种进价为每件 30 元的商品，当售价为每件 50 元时，每天可售出 100 件．为了促进销售，商店决定降价销售．经调查发现，售价每降低 1 元，每天可多售出 10 件．若商店想要每天获得利润 2160 元，且为了尽可能让利于顾客，那么每件商品的售价应定为多少元？ 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-3，1)、B(-1，1)、C(-2，3)． (1) 作出△ABC 关于原点 O 成中心对称的△A₁B₁C₁，并写出点 A₁、C₁ 的坐标； (2) 将△ABC 绕原点 O 按顺时针方向旋转 90°，画出旋转后的△A₂B₂C₂，并写出点 B₂ 的坐标； (3) 若点 P(a，b) 是△ABC 内的一点，写出点 P 绕原点 O 按顺时针方向旋转 90° 后对应点 P₂ 的坐标（用含 a、b 的式子表示）． 20．（8分）如图，某农场要用一段长为 60 m 的篱笆围成一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为 25 m 的墙（篱笆只围其余三边）．设垂直于墙的一边长为 x m，羊圈的面积为 S m²． (1) 求 S 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2) 当 x 为何值时，羊圈的面积 S 最大？最大面积是多少？ 21．（10分）已知二次函数 y＝x²＋bx＋c 的图象经过点 A(-1，0)，且对称轴为直线 x＝2． (1) 求 b、c 的值； (2) 求该函数图象与 x 轴的另一个交点 B 的坐标； (3) 若点 P(m，n) 在该函数的图象上，且 -2＜m＜4，求 n 的取值范围． 22．（10分）已知一元二次方程 x²-6x＋k＝0 有两个实数根 x₁、x₂． (1) 求 k 的取值范围； (2) 若 x₁、x₂ 满足 x₁²＋x₂²-x₁x₂＝21，求 k 的值； (3) 在 (2) 的条件下，求 ＋ 的值． 23．（12分）如图，抛物线 y＝x²-4x＋3 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C． (1) 求点 A、B、C 的坐标； (2) 在抛物线上是否存在点 P，使 S△ABP＝2S△ABC？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 将该抛物线向右平移 3 个单位长度，求平移后抛物线与 y 轴交点的坐标． 24．（12分）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 是 BC 边上一点（不与 B、C 重合），将△ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°，得到△ACE，点 D 的对应点为 E． (1) 求证：CE＝BD； (2) 求证：∠DCE＝90°； (3) 若 BD＝3，DC＝4，求 DE 的长． 学科网（北京）股份有限公司 $