九年级数学上学期期中分层模拟·巩固培优卷（新教材沪科版九上全册：二次函数与反比例函数+相似形+解直角三角形）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若两个相似多边形的一组对应边的长分别为3和，则它们的相似比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出两个相似多边形的一组对应边的比，根据相似多边形的性质得到答案． 【详解】解：由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为， ∴它们的相似比为． 2．将抛物线向左平移5个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律：向左平移5个单位长度，顶点横坐标减5，即可得到新抛物线的顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴向左平移5个单位长度后，新抛物线的顶点坐标为，即． 3．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解： ， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则． 4．如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得，，在中可求出． 【详解】解：设， 在中，， ， ， 在中，， 解得． 5．关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】先确定反比例函数的比例系数k，再结合其定义、性质及图象上点的坐标特征逐一判断． 【详解】解：∵， ∴该函数是反比例函数，其中，故A正确，不符合题意； ∴函数图象位于第二、四象限，且当时，随的增大而增大，故B、D正确，不符合题意； 将代入，得，故C错误，符合题意． 6．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 7．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ． 8．若，，在二次函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小，利用图象的对称性求出对称点进行判断即可． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，在对称轴右侧，随的增大而减小， 点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为，， ． 9．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】过点作交于点，再利用平行线分线段成比例定理建立线段比例关系求解，即可解题． 【详解】解：过点作交于点， 是的中点，， ∴ ， ，即是的中点， ∵，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴． 10．已知，是二次函数图象上的两点，当时，均有；当时，的最小值是8，则的值为（    ） A． B． C．或1 D．或 【答案】A 【分析】首先求出二次函数的对称轴为直线，然后判断出抛物线开口向下，即，然后根据对称性得到当时，y取得最小值8，然后代入表达式求解即可． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线， ∵当时，均有， ∴在对称轴左侧y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向下，即， ∵当时，，，， ∴当时，y取得最小值8， ∴， 解得或（舍去）， ∴的值为． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若抛物线（为常数）的开口向下，则的值可以是__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】抛物线开口向下时，二次项系数小于0，据此求出的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得， 因此可取，符合要求即可． 12．如果线段是、的比例中项，且，则___________． 【答案】4 【详解】根据比例中项的概念，得，再利用比例的基本性质计算得到的值． 【解答】解：是、的比例中项， ， 又， ， 解得． 又为线段的长度， 舍去； 即． 13．若点是函数和图象的一个交点，则的值为________． 【答案】10 【分析】点是两个函数交点，因此坐标满足两个函数解析式，可得和的值，利用完全平方公式变形即可求出的值． 【详解】解：∵点是两个函数图象的交点， ∴点坐标满足两个函数解析式， ∴，即，同时，即， ∵， ∴代入，，得：． 14．如图，在矩形中，E为边上一点，将沿翻折至，且点落在边上，连接且交于点F，连接且交于点G，设． （1）_______（用含的代数式表示）． （2）若，则_______． 【答案】 【分析】（1）由折叠，矩形的性质得到，根据代入计算即可求解； （2）过点作平分交于点H，过点H作于点M，设，则，设，则，由面积关系得到，根据解直角三角形的计算得到，由矩形的性质得到，由此得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）由折叠知为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点作平分交于点H，过点H作于点M， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分）计算：． 【答案】 【分析】计算三角函数，负整数幂，零指数幂，二次根式，绝对值，最后合并计算即可． 【详解】解： ． 16．（8分）如图，，直线、与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F． (1)若，，求的长； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例； （2）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， ； （2）， ， 又，，， ， ； ． 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：①如图，为所作， ②如图，为所作， (2)是位似图形，如图，点为所求， 点的坐标为 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：由图可知，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点， ∴点的坐标为． 18．（8分）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据垂直的定义和平行线的性质可证，，根据两个角对应相等的两个三角形相似可证； （2）利用勾股定理求出，再根据相似三角形对应边成比例即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，，， ， ， ， ， ． 19．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、两点，连接、． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为； (2) 【分析】（1）将代入一次函数表达式即可求出点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数表达式求解；联立一次函数和反比例函数的表达式即可确定点的坐标； （2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出点坐标，再根据计算求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， ，解得， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； 联立， 整理得，即， 解得，， ∴当时，， ； （2）解：如图，设一次函数与轴相交于点， AI 对于，令，则， ， ， 又，， ． 20．（10分）综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度． 【问题背景】如图，村到公路的乡村小路为，为进一步方便通行，现准备新建一条公路，连接村和公路（所在的直线为）． 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等． 【测量过程】测得，且点在同一平面上． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：． 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数找边和角的关系．过点作于点，过作于点则构造了、和矩形，进而利用三角函数计算线段的长即可求得答案． 【详解】 解：如图，过点作于点，过作于点 四边形为矩形， ， 在中，， ， 答：新建公路的长约为． 21．（12分）气体的密度是指单位体积内所含气体的质量．现有质量为的某种气体，将这的气体注入容积为的储气罐后，罐中气体的密度为． (1)写出用V表示的函数表达式 (2)当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为多大？ (3)要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为多少立方米的储气罐？ (4)在图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图象回答： ①当储气罐的容积增大时，罐中气体的密度将怎样变化？ ②把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度在什么范围内？ 【答案】(1) (2) (3) (4) ①这些气体的体积增大时，密度变小；②． 【分析】（1）根据题意，结合密度公式可得函数表达式为； （2）把代入函数表达式求解即可； （3）把代入函数表达式求解即可； （4）根据列表，描点，连线即可画出函数图像；①根据函数图像即可解答；②根据图像以及反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，即函数表达式为． （2）解：当时，． 答：当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为． （3）解：当时，，解得：． 答：要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为的储气罐． （4）解：函数的图像是反比例函数在第一象限的一支， 列表： V …… 1 2 3 4 5 6 7 …… …… 7 1 …… 描点，连线如下： ①∵在第一象限，V增大，ρ减小， ∴这些气体的体积增大时，密度变小； ②∵容积不超过2m3，即， 当时，，且V越小，ρ越大， ∴，即把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度的范围为． 22．（12分）【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【答案】 【分析】根据直角三角形的面积，求出，再根据勾股定理求出，进而结合等积变换求出，根据矩形性质得，，，即可得，，再根据，即可证明，，根据相似性质得 ， ，设，则，进而得，，即可求出，设矩形的面积为，再根据矩形面积公式即可得，配方后根据偶次方的非负性即可得矩形台面面积的最大值． 【详解】解：如图， ∵直角三角形木板的面积为，一条直角边长为， ∴,即：，解得：， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， 在矩形中有：，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 设矩形的面积为，则： ，   ∵， ∴， ∴当时，， ∴矩形台面面积的最大值为． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． (1)填表： 图象 对应的函数解析式（注明自变量的取值范围） 顶点坐标 (_____，____) ———————————— (_____，____) (2)观察图象，解答下列问题． ①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围； (3)已知为上一点，横坐标为；为上一点，横坐标为；为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，图象上，两点之间的部分（含，两点）的最低点到直线的距离记为．直接写出当的取值在哪个范围时，的值保持不变． 【答案】(1)；；；； (2)①或；② (3)或 【分析】（1）根据顶点式写出点的坐标，根据抛物线的平移规律写出的解析式，进而根据顶点式写出顶点的坐标，即可求解； （2）①根据函数图象，即可求解； ②令，求得的值，结合函数图象即可求解； （3）根据横坐标，代入函数解析式，分别求得点的坐标，根据的图象，分三段讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，根据函数图象，找到最低点，即可求解． 【详解】（1）解：函数：的顶点坐标为， ∵将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象， ∴函数的解析式为，顶点坐标为． （2）解：①根据函数图象可得当或时，随的增大而减小； ②令， 解得：（舍去），， 又∵， 根据函数图象可得：当时，． （3）解：∵， 点为上一点，横坐标为，则， 点为上一点，横坐标为，即， ∵点为上一点，横坐标为3． 当时，，则， ∵过点作轴的平行线， ∴直线的解析式为， 在函数中，当时，， 情形一：如图，当，即时，最低点为， ，值不变，符合题意； 情形二：如图，当，即时，最低点为， ，值变化，不符合题意； 情形三：如图，当，即时，最低点为， ，值不变，符合题意； 综上所述，当的值保持不变时，或． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年七年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 2 5 6 > 8 9 10 A C D B B B B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.-2(答案不唯一，满足n<-1即可) 12413.1014.450-1g 2V5 3 三、解答题（本大题共9小题，满分90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.【详解】解45in60°-2-3引+-号 +π-3.149 =4×3-23-3-2+1 2 =-4.(8分) 16.【详解】(1)解：.AD‖BE‖CF, AB_DE ·BCEF (1分) 又.'AB=BC=4,DE=5, 45 4 EF ∴.EF=5;(3分) (2)AD‖BE‖CF, ABDE ·BCEF 又'AB=5,BC=6,DE=7, 6 EF' (5分) 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF=42 (6分) ∴DF=DE+EF=7+42=77 (8分) 55 17.【详解】(1)解：①如图，△OA1B为所作， y B (2分) ②如图，△O2A2B2为所作， A2 A B (4分) (2)是位似图形，如图，点M为所求， 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (6分) (2)解：由图可知，直线A1A2、BB2、OO2交于同一个点， △OA1B1与△O2A2B2是位似图形，且交点即为点M, ∴.点M的坐标为-4,2(8分)· 18.【详解】(1)证明：，'AD⊥AB, ∴∠BAD=90°， .∠C=90°， ∴.∠BAD=∠C,(2分) .BD‖AC, ∴.∠ABD=∠BAC .△ABC一△BDA:(4分) (2)解：.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4, ∴AB=VAC2+BC=32+42=5'（6分) .△ABC一△BDA, .ABAC ··BDAB' 53 ·BD51 .BD=25 (8分) 19.【详解】(1)解：.一次函数y=-x+1的图象经过点P-1,a, 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.--1+1=a,解得a=2, ∴.P-1,2,(1分) .反比例函数y= 的图象经过点P-1,2, X ∴.k=-2,(2分) 一反比例函数的表达式为y=-2 y=-X+1 联立 y=-2 整理得x-x-2=0,即x+1x-2=0, 解得X1=-1,X2=2, ∴.当x=2时，y=-1, ∴.Q2,-1:(4分) (2)解：如图，设一次函数y=-x+1与x轴相交于点A, 3 P .A -4-3-2-1234x -2 -3 -4 AI 对于y=-x+1,令y=0,则x=1, ∴.A1,0,(7分) ∴.OA=1, 又.P-1,2,Q2,-1, ∴.SAPO0=S△A0P+S△A00= ×1×2+分1×1-2 2 (10分) 20.【详解】 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 100° A260 E 0 解：如图，过点B作BE⊥AD于点E,过C作CF⊥BE于点F, :∠ADC=90, 四边形DEFC为矩形， ∴.∠DCF=90°，DE=CF 在Rt△ABE中，AB=500m,∠BAE=26°， AE=AB×cos26≈500×0.90=4501m,3分) 在Rt△BCF中，BC=200m, BCF=100-90=10,(6分) CF=BC×cos10°≈200×0.98=196|m(8分) ∴.AD=AE+DE=AE+CF=450+196=646m(10分) 答：新建公路AD的长约为646m 21.【详解】(1)解：p= v' 当m=7g时，B-子甲旺数表达式为0子V>0.2分) （2解：当v=4m时，p=子=1万kgml4分) 答：当把这些气体注入容积为4m3的储气罐时，罐中气体的密度为1.75kgm 3)解：当p=2gm新，2-名熊得：V=35m《6分) 答：要使罐中气体的密度p=2kg/m3,需把这些气体注入容积为3.5m的储气罐. 7 (4)解：函数p= 的图像是反比例函数在第一象限的一支， 列表： 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 2 3 4 5 个 > 3.5 7 7 7 3 1 4 5 6 描点，连线如下： p/(kg/m) 12 10叶 6 6 2H 0246810127m2(8分) ①，在第一象限，V增大，p减小 ∴这些气体的体积增大时，密度变小：(10分) ②，容积不超过2，即0<V≤2， 当V=2时，p= =3.5kgm2,且r越小，p越大，(12分) 2 ∴p≥3.5kg/m,即把这些气体注入容积不超过2m3的储气罐，罐中气体的密度p的范围为P≥3.5kgm3. 22.【详解】解：如图， B M G E H ,直角三角形木板ABC的面积为13.5m2,一条直角边AB长为4.5m, ABBC=135即：) 1×4.5BC=13.5,解得：BC=6m,(2分) AC-VAB2+BC-4.5+62=7.5m'(3分) BH⊥EF, :AB-BC=ACBH,即：45×6=75BH,解得：BH=18m,4分) 5 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在矩形DEFG中有：DG=EF,DE=MH=GF,DG‖EF, ∴.BH⊥DG, :DG‖EF, ∴.∠BDM=∠BAC,∠BGM=∠BCA, .∠BMD=∠ABC=∠GMB=90, ∴.△BDM一△ABC,△GBM一△ABC(6分) BM_BC BMAB DM AB'GM RC ,(7分) 设DE=MH=GF=x,则BM=BH-M=18- 5七， 18- 18- .5 =6,5 =45,(8分) DM 4.5 GM 6 DM=27、3 104x,GM= 244 53x, ·DG=DM+GM=15-25 2121 设矩形DEFG的面积为S,则： S=DE·DG= 1525 22x= 25x2+15x 25 (10分) 12 2 =- X一 12 9+2 9/2 X- 0 25 X- ≤0 12 当x=9时，S= 25x-92+27≤27m2 5 12x 5 4 4 27 一矩形台面面积的最大值为子m。(12分) 23.【详解】(1)解：函数Gy=(x+1P-1(-3≤x≤0)的顶点坐标为A-1,-1旷 (1分) 将G1向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象G2, 7/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷函数G,的解析式为y=(x-2}-4(0≤x≤3，顶点坐标为B2,-4（2分) (2)解：①根据函数图象可得当-3≤x≤-1或0≤x≤2时，y随x的增大而减小： ②令G2y=x-22-4=-1' 解得：x=3+2(舍去)，X,=-3+2°（3分) 又A(-1,-1), 根据函数图象可得：当-1≤y≤0时，-1≤n≤2-/3.(4分) (3)解：“G1:y=(x+12-1=x2+2x,G:y=(x-22-4=X-4x 点p为G,上一点，横坐标为m'则pm,m2+2m 点0为G,上一点，横坐标为m+3,m+32-4m+3)=m2+2m-3即Q1m+3,m2+2m-3 ,点C为G2上一点，横坐标为3. 当x=3时，y=(x-2Y-4=1-4=-3则c(3,-35分) 过点C作x轴的平行线l, ∴.直线的解析式为y=-3,(6分) 在函数G2中，当y=-1时，x=-V3+2, 情形一：如图，当0≤X,≤2-3：即-3≤m≤-1-3时，最低点为A(-1,-1 ∴.h=-1--3=2,值不变，符合题意； 3 P 2 O, 434g2.34 -2 B (8分) 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 情形=：如图，当2-3<X。<2即-1-3<m<-1时，最低点为Qm+3,m2+2m-3 ∴.h=yo-yc=m2+2m-3--3=m2+2m值变化，不符合题意； 3 2 -4-3-2入1 1234 -4 B -5 (10分) 情形三：如图，当2≤xo≤3，即-1≤m≤0时，最低点为B2,-4, ∴.h=yc-y=-3--4=1值不变，符合题意； 3 2 1 -4-3-2人1g 1234x 综上所述，当h的值保持不变时，-3≤m≤-1-3或-1≤m≤0.(14分) 9/9………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪科版九年级数学上册全册。 5．难度系数：0.65 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若两个相似多边形的一组对应边的长分别为3和，则它们的相似比为（     ） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移5个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（     ） A． B． C． D． 5．关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 6．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 7．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．若，，在二次函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 10．已知，是二次函数图象上的两点，当时，均有；当时，的最小值是8，则的值为（    ） A． B． C．或1 D．或 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若抛物线（为常数）的开口向下，则的值可以是__________．（写出一个即可） 12．如果线段是、的比例中项，且，则___________． 13．若点是函数和图象的一个交点，则的值为________． 14．如图，在矩形中，E为边上一点，将沿翻折至，且点落在边上，连接且交于点F，连接且交于点G，设． （1）_______（用含的代数式表示）． （2）若，则_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分）计算：． 16．（8分）如图，，直线、与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F． (1)若，，求的长； (2)若，，，求的长． 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 18．（8分）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、两点，连接、． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)求的面积． 20．（10分）综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度． 【问题背景】如图，村到公路的乡村小路为，为进一步方便通行，现准备新建一条公路，连接村和公路（所在的直线为）． 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等． 【测量过程】测得，且点在同一平面上． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：． 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路的长． 21．（12分）气体的密度是指单位体积内所含气体的质量．现有质量为的某种气体，将这的气体注入容积为的储气罐后，罐中气体的密度为． (1)写出用V表示的函数表达式 (2)当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为多大？ (3)要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为多少立方米的储气罐？ (4)在图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图象回答： ①当储气罐的容积增大时，罐中气体的密度将怎样变化？ ②把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度在什么范围内？ 22．（12分）【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． (1)填表： 图象 对应的函数解析式（注明自变量的取值范围） 顶点坐标 (_____，____) ———————————— (_____，____) (2)观察图象，解答下列问题． ①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围； (3)已知为上一点，横坐标为；为上一点，横坐标为；为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，图象上，两点之间的部分（含，两点）的最低点到直线的距离记为．直接写出当的取值在哪个范围时，的值保持不变． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪科版九年级数学上册全册。 5．难度系数：0.65 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若两个相似多边形的一组对应边的长分别为3和，则它们的相似比为（     ） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移5个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（     ） A． B． C． D． 5．关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 6．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 7．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．若，，在二次函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 10．已知，是二次函数图象上的两点，当时，均有；当时，的最小值是8，则的值为（    ） A． B． C．或1 D．或 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若抛物线（为常数）的开口向下，则的值可以是__________．（写出一个即可） 12．如果线段是、的比例中项，且，则___________． 13．若点是函数和图象的一个交点，则的值为________． 14．如图，在矩形中，E为边上一点，将沿翻折至，且点落在边上，连接且交于点F，连接且交于点G，设． （1）_______（用含的代数式表示）． （2）若，则_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分）计算：． 16．（8分）如图，，直线、与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F． (1)若，，求的长； (2)若，，，求的长． 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 18．（8分）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、两点，连接、． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)求的面积． 20．（10分）综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度． 【问题背景】如图，村到公路的乡村小路为，为进一步方便通行，现准备新建一条公路，连接村和公路（所在的直线为）． 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等． 【测量过程】测得，且点在同一平面上． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：． 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路的长． 21．（12分）气体的密度是指单位体积内所含气体的质量．现有质量为的某种气体，将这的气体注入容积为的储气罐后，罐中气体的密度为． (1)写出用V表示的函数表达式 (2)当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为多大？ (3)要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为多少立方米的储气罐？ (4)在图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图象回答： ①当储气罐的容积增大时，罐中气体的密度将怎样变化？ ②把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度在什么范围内？ 22．（12分）【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． (1)填表： 图象 对应的函数解析式（注明自变量的取值范围） 顶点坐标 (_____，____) ———————————— (_____，____) (2)观察图象，解答下列问题． ①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围； (3)已知为上一点，横坐标为；为上一点，横坐标为；为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，图象上，两点之间的部分（含，两点）的最低点到直线的距离记为．直接写出当的取值在哪个范围时，的值保持不变． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $