26.2.3 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 教学设计 2026—2027学年人教版数学九年级上册

26.2.3 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 教学设计 课题 用待定系数法求二次函数的解析式 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课 教学目标 1. 通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法；2. 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用。 教学重点 用待定系数法求二次函数的解析式。 教学难点 理解待定系数法，并能根据不同条件合理设出解析式的形式，用来求二次函数的解析式。 教学方法 类比探究、讲练结合 教学准备 多媒体课件 课后练习 三点求式题、顶点求式题、对称变换题（见教学过程）。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、温故知新 以例代讲 一、温故知新，以例代讲 【问题1】在学习二次函数之前，我们学习过哪些函数？它们的解析式是什么？ 【问题2】二次函数的表达式有哪些形式？ 【问题3】还记得我们是怎样求一次函数和正比例函数的解析式吗？ 学过正比例函数、一次函数和二次函数；二次函数的表达式有一般式 和顶点式 ；求一次函数解析式用待定系数法。 如：一直线经过（2，3）和（−4，5）两点，求这个函数的解析式。 解：设 y＝kx+b。把（2，3）、（−4，5）代入，得 2k+b＝3，−4k+b＝5，解得 ，，所以 。 【例1】已知一个二次函数的图象经过点（−1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式。 解：设这个二次函数的解析式为 （a≠0）。根据题意，得 a−b+c＝10，a+b+c＝4，4a+2b+c＝7。解这个三元一次方程组，得 a＝2，b＝−3，c＝5。 所以所求二次函数的解析式为 。 【例2】已知抛物线的顶点为（−1，−3），与 y 轴交点为（0，−5），求抛物线的解析式。 解：二次函数 通过配方可得 的形式，称为顶点式，（h，k）为抛物线的顶点坐标。因为图象顶点坐标是（−1，−3），因此可设函数关系式为 。由于图象过点（0，−5），代入得 ，解得 a＝−2。所以 。 【例3】已知抛物线与 x 轴交于 A（−1，0），B（1，0）两点，并经过点 M（0，1），求抛物线的解析式。 解：二次函数 与 x 轴的两个交点为（x₁，0）、（x₂，0），所以应设二次函数 （a≠0）。由 A（−1，0），B（1，0），得 。再把 M（0，1）代入，得 −a＝1，即 a＝−1。所以 ，即 。 【方法归纳】用待定系数法求解析式，先明确待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件（最直接的条件是点的坐标），最后代入求解。已知三点设一般式；已知顶点、对称轴或最值设顶点式；已知与 x 轴的交点设两根式。 学生回答复习问题；学生做直线例题，教师检查；观察教师板演三个例题的设法与解法，体会不同条件下解析式形式的选择。 类比待定系数法求一次函数解析式，使本节课学习思路更顺畅；通过例题讲解让学生熟悉二次函数解析式的求法；老师提示思路，让学生具体操作，锻炼根据题目中不同条件设不同解析式的能力。 二、学以致用 应用新知 二、学以致用，应用新知 【例1】已知二次函数的图象经过点（−1，−5），（0，−4）和（1，1），求这个二次函数的解析式。 解：设这个二次函数的解析式为 （a≠0）。依题意得 a−b+c＝−5，c＝−4，a+b+c＝1。解这个方程组得 a＝2，b＝3，c＝−4。所以这个二次函数的解析式为 。 【例2】已知二次函数的图象顶点是（−2，3），且过点（−1，5），求这个二次函数的解析式。 解：设二次函数解析式为 ，图象顶点是（−2，3），所以 h＝−2，k＝3。依题意，得 ，解得 a＝2。所以 ，即 。 【例3】已知二次函数 ，求该函数图象关于 x 轴对称的图象的解析式。 分析：关于 x 轴对称得到的图象与原图象形状不变，开口方向与原开口方向相反；顶点的横坐标不变，纵坐标与原纵坐标互为相反数。 解：，顶点坐标为（3，−13），其图象关于 x 轴对称的图象的顶点坐标为（3，13），且开口方向相反，所以对称后的图象的解析式为 。 【例4】科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表： 温度 t/℃　　−4　　−2　　0　　1　　4 增长量 l/mm　41　　49　　49　　46　　25 科学家经过猜想，推测出 l 与 t 之间是二次函数关系。由此可以推测最适合这种植物生长的温度为　　　　　℃。 解析：设 l 与 t 之间的函数关系式为 。把（−2，49）、（0，49）、（1，46）分别代入，解得 a＝−1，b＝−2，c＝49。所以 ，即 。当 t＝−1 时，l 取得最大值50。即当温度为 −1℃ 时，最适合这种植物生长。 学生尝试解答，教师巡视指导；题目给出抛物线上任意三点，可设一般式；若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式；通过对称变换题理解形状不变、开口相反、顶点纵坐标相反的规律。 由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式；已知顶点坐标为（h，k）时设顶点式；y=a（x-h）2+k 的图象关于 x 轴对称得到的图象的解析式为 y=−a（x-h）2−k；体会二次函数作为数学模型的作用。 三、随堂训练 巩固新知 三、随堂训练，巩固新知 1. 已知抛物线的顶点坐标是（2，−1），且与 y 轴交于点（0，3），这个抛物线的表达式是（　　） A．　　B． C．　　D． 答案：A。（设 ，把（0，3）代入得 4a−1＝3，a＝1。） 2. 已知抛物线 的顶点坐标为（1，3），则抛物线对应的函数解析式为（　　） A．　B．　C．　D． 答案：A。（，所以 b＝−2，c＝4。） 3. 已知二次函数 ，当 x 等于 −2 时，函数值是 −1；当 x＝1 时，函数值是 5。则此二次函数的解析式为　　　　　　　　　　。 参考答案：。（依题意得 4a−8+c＝−1，a+4+c＝5，解得 a＝2，c＝−1。） 4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象经过点（−3，0），（3，3），与 y 轴交于点 C。 ① 求抛物线 C₁ 的解析式； ② 将抛物线 C₁ 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线 C₂，抛物线 C₂ 的顶点为 D，求 △ODC 的面积。 解：① 因为 的图象经过点（−3，0），（3，3），所以 ，。解得 ，。所以抛物线 C₁ 的解析式为 。 ② ，所以抛物线 C₁ 的顶点坐标为（1，4），与 y 轴交于点 。将抛物线 C₁ 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线 C₂，所以抛物线 C₂ 的顶点 D 的坐标为（−2，2）。所以 。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正；按条件选择一般式、顶点式或代入消元，注意区分“顶点式设好后再定 a”与“一般式联立方程组”两条路径。 四道题分别巩固顶点式求式、配方式识别、待定系数法解二元方程组与平移综合应用，全面检验本课目标的达成，发展运算与建模能力。 四、课堂小结 自我完善 四、课堂小结，自我完善 想一想，你的收获是什么？困惑有哪些？说出来，与同学们分享。 1. 用待定系数法求解析式的一般步骤：设（依条件选形式）→ 代（代入已知点的坐标）→ 解（求待定系数）。 2. 设法的选择：已知图象上任意三点，设一般式 ；已知顶点、对称轴或最值，设顶点式 ；已知与 x 轴的两个交点，设两根式 。 师生共同回顾，学生自主表达收获与困惑，梳理“设—代—解”三步与三种设法的选择依据。 通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法；回顾一次函数的求法，总结待定系数法求二次函数解析式的方法，完善知识结构。 五、布置作业 五、布置作业 1. 已知二次函数的图象经过点（0，1），（1，0），（3，4），求这个二次函数的解析式，并把它化为 的形式。 参考答案：设 （a≠0）。依题意得 c＝1，a+b+c＝0，9a+3b+c＝4，解得 a＝1，b＝−2，c＝1。所以 ，即 。 2. 已知抛物线的顶点是（1，4），且经过点（2，2），求这条抛物线的解析式。 参考答案：设 。把（2，2）代入，得 a+4＝2，解得 a＝−2。所以 。 3. 完成对应课时练习。 课后独立完成作业，按条件选择合适的设法，代入求解并检验。 作业从“三点定一般式”到“顶点定顶点式”层层递进，及时巩固待定系数法求二次函数解析式的方法。 板书设计 用待定系数法求二次函数解析式 一、一般步骤 设（依条件选形式）→ 代（代入已知点）→ 解（求待定系数） 二、设法的选择 已知三点：一般式 已知顶点/对称轴/最值：顶点式 已知与 x 轴交点：两根式 三、对称变换 关于 x 轴对称： 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $