精品解析：天津市第五十七中学2026-2027学第一学期第一次月检测高二数学（2026.09）

五十七中学2026～2027学年度第一学期第一次月检测 高二数学 （2026.09） 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 在平行六面体中，（ ） A. B. C. D. 2. 已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A. B. C. D. 5. 已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或 C. D. 与相交但不垂直 9. 已知向量，，且与互相垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 12. 下列三点在同一直线上的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 已知，，，若、和共面，则实数________． 14. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 15. 若，则与共线反向的单位向量=___________. 16. 已知向量，若，则________． 17. 已知空间中的三个点，则点到直线的距离为____________. 18. 已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 三、解答题 19. 如图，在平行六面体中，，，，是的中点，点在上，且，用，，表示下列向量： （1）； （2）； （3）． 20. 如图，在直三棱柱中，，分别是的中点．已知，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 21. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 22. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五十七中学2026～2027学年度第一学期第一次月检测 高二数学 （2026.09） 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 在平行六面体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 所以. 2. 已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合向量数量积的运算即可求解. 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 3. 已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 4. 如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 5. 已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 6. 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 7. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 8. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或 C. D. 与相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以， 所以或. 9. 已知向量，，且与互相垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 已知，， 则，； 由与互相垂直，可得 ， 代入坐标计算得： 整理得，解得. 10. 已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】平面的法向量与平面内所有向量垂直，故， 解得，故． 11. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 12. 下列三点在同一直线上的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD：利用斜率来判断三点是否共线；对于C：根据三点结合直线分析判断. 【详解】对于选项A：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故A错误； 对于选项B：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故B错误； 对于选项C：显然三点在同一直线上，故C正确； 对于选项D：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故D错误； 故选：C. 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 已知，，，若、和共面，则实数________． 【答案】 【解析】 【详解】若、和共面，则且， 所以，则，可得. 14. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】已知，， 则 ， . 故向量在向量上的投影向量为. 15. 若，则与共线反向的单位向量=___________. 【答案】 【解析】 【详解】∵ ，∴ . ∵ 单位向量与共线且反向， ∴ . 16. 已知向量，若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 即， 解得，则． 17. 已知空间中的三个点，则点到直线的距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由点到直线距离的空间向量法计算即可 【详解】，， ， 所以． 所以点到直线的距离为． 故答案为：． 18. 已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率的定义和斜率垂直的知识计算即可. 【详解】因为直线与经过，两点的直线垂直，直线的斜率为. 所以直线的斜率为. 三、解答题 19. 如图，在平行六面体中，，，，是的中点，点在上，且，用，，表示下列向量： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以根据向量加法的法则可得，. 【小问2详解】 根据向量加法的法则可得． 【小问3详解】 由向量的减法法则及已知得. 20. 如图，在直三棱柱中，，分别是的中点．已知，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 方法一：因为，， 由，可得， 如图，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则 设平面的法向量为， 则， 故可取， 因，因平面，故平面. 方法二：连结，交于点，连结， 因为点分别是的中点，所以， 平面平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：利用勾股定理证，建系，求出平面的法向量，由即可证得；方法二：连结，交于点，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证得线面平行即可； （2）根据（1）的方法一建系，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 仿照（1）方法一建系，则， 于是， 设平面的法向量为， 所以，故可取， 设与平面所成角为， 则， 因，则， 即直线与平面所成角的大小为． 21. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再由向量法求解； （2）求出向量，再由向量法求解. 【小问1详解】 因为平面，且， 所以，如图以点为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得， 因为为棱的中点，所以， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 则， 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问2详解】 因为， 所以点到平面的距离， 即点P到平面的距离为. 22. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 依题意，以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 可得,,,,, . 依题意，,, 从而, 所以，即 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)建立适当的空间直角坐标系，利用向量垂直证明线段垂直. (2)求出平面ACF的法向量，以及的坐标，即可求解. (3)假设线段DE上存在一点，再根据条件求出，再利用向量的投影即可求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，,, 设为平面ACF的法向量， 则， 不妨设可得， 因为, 设直线EC与平面ACF所成角为，则 ， 所以直线EC与平面ACF所成角的正弦值为. 【小问3详解】 假设线段DE上存在一点，使得直线BG与AD所成角的余弦值为，则. 依题意则， ，解得. 所有存在点满足条件， 所以可得, 由（2）可知平面ACF的一个法向量为， 所以点G到平面ACF的距离为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $