精品解析：河南周口市沈丘县两校2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期第一次教学测评 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一．选择题．（每题只有一个正确答案，每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，分母含二次根式，不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，该选项符合题意； D、，被开方数不是整数，不是最简二次根式，该选项不符合题意． 2. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：∵方程的未知数最高次数为1，∴不是一元二次方程； B选项：∵方程整理为，是整式方程，只含一个未知数，且未知数最高次数为2，∴是一元二次方程； C选项：∵方程含有两个未知数，∴不是一元二次方程； D选项：∵方程是分式方程，不是整式方程，∴不是一元二次方程． 3. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将各选项二次根式化为最简形式，根据化简后被开方数是否为3判断能否合并； 【详解】解：A. ，能与合并，不符合题意； B. ，能与合并，不符合题意； C. ，不能与合并，符合题意； D. ，能与合并，不符合题意． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对各选项逐一计算： A、，运算错误，故该选项不符合题意； B、，运算错误，故该选项不符合题意； C、，运算正确，故该选项符合题意； D、，运算错误，故该选项不符合题意． 6. 下列各数中，与互为倒数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘积为的两个数互为倒数，解答即可． 【详解】解：∵ 互为倒数的两数乘积为1， ∴ 的倒数为． 7. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查配方法解一元二次方程，解题关键在于注意解题步骤的正确应用． 根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可． 【详解】解： ， ∴， 故选：D． 8. 关于x的一元二次方程有一个根是，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和解的定义即可求得． 【详解】解：把代入方程，得， 解得或， 该方程是一元二次方程， ， ， ． 9. 已知则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察与的结构特征，逆用积的乘方将原式变形为含的形式，代入计算即可． 【详解】解：， ∵ ， ∴ 原式． 10. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长减去大正方形的边长， 重叠部分也是正方形， 三个小正方形的面积分别为48，32，8， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故选：A． 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 计算：=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：=；故答案为． 点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键． 12. 已知x=2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的一个根，则m=__________． 【答案】4 【解析】 【详解】把x=2代入方程x2﹣4x+m=0，得：22-4×2+m=0，解得m=4， 故答案为4. 13. 已知则a-b=_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式得到的值，再合并同类二次根式得到的值，最后计算即可． 【详解】解： 14. 王诗利用电脑设计了一个程序：当输入实数对时，会得到一个新的实数例如输入时，就会得到实数8（即），若输入实数对时，就会得到实数，则_______． 【答案】或0 【解析】 【分析】根据程序的运算规则列出关于的方程，求解一元二次方程即可得到结果． 【详解】解：根据题意，输入后得到的实数为， 可列方程， 整理得， 因式分解得， 解得或． 15. 对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义实数运算，解题的关键是理解题意，列出方程求解．分类讨论的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可． 【详解】解：当，即时， 方程为：， 即， 解得：（舍去），； 此时， 当，即时， 方程为：， 解得：，（舍去）； ． 故答案为：5或． 三．解答题．（本大题8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1）； （2）（配方法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 解得； 【小问2详解】 解： 解得． 18. 嘉淇有一根铁丝，他用这根铁丝围成一个矩形，其中矩形的宽为，长是宽的倍． （1）求这根铁丝的长度； （2）若嘉淇用这根铁丝首尾相接围成正方形，求这个正方形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：宽为， ∵长是宽的倍， ∴长为， ∴这根铁丝的长度为； 【小问2详解】 解：正方形边长为：， ∴这个正方形的面积为． 19. 若两个最简二次根式与可以合并，求x的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意列出一元二次方程求得x的值，然后再代入原二次根式，检验是否为最简二次根式即可． 【详解】解：∵两个最简二次根式与可以合并， ∴， ， ， ， 检验时，，，符合题意； 当时，，不是最简二次根式，不符合题意，舍去． ． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：当时，方程总有两个实数根； （2）在（1）的结论下，若方程的两个不相等的实数根都是整数，写出一组m、n的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）证明：把代入得，， ∴ ， ∴方程总有两个实数根； （2） ，，根为 【解析】 【分析】（1）先计算判别式得到，则可知，即可得到结论； （2）先将变为，求出两根，再根据方程的两个不相等的实数根都是整数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 由题意得， 解得， ∵根都为整数， ∴为整数，即m为且为整数， ∴， ∴， 当取时，则，，此时根为． 21. 我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个三角形的面积为，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式． 海伦公式：，其中 秦九韶公式：． （1）一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积； （2）一个三角形的三边长分别为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）先由题意得出，再根据海伦公式计算即可得出答案； （2）先求出，，，再由秦九韶公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， 由海伦公式，得； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，，， 由秦九韶公式，得． 22. 安阳某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你仔细阅读，并完成任务． 试题：已知，求的值． 小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设， 则原方程可变形为． 即；解得，，或． 小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法． 任务： （1）已知x、y满足，求的值． （2）若a、b满足，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论； （2）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：设， ， ， ， 因式分解得， 解得，（舍去）， ． 【小问2详解】 ，设， ， ， 因式分解得， 解得，， 或． 23. 如图，将边长为，，，的正方形的面积记为，，，． （1）计算：，，； （2）把边长为的正方形的面积记作，其中是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由； 【拓展应用】在原题的条件下，完成下面问题． （3）①记，，，，，令，的值为___________； ②若将边长变为，，，，，试求的值． 【答案】（1）；； （2）解：，理由如下： ； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据正方形面积公式表示出，，，再利用平方差公式因式分解计算即可； （2）根据正方形面积公式表示出，再利用平方差公式因式分解计算即可； （3）①根据题意先将化为，再利用平方差公式因式分解计算即可；②利用平方差公式因式分解计算即可． 【小问1详解】 解： ； ； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：① ； ② ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次教学测评 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一．选择题．（每题只有一个正确答案，每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各数中，与互为倒数的是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程有一个根是，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 9. 已知则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 计算：=______． 12. 已知x=2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的一个根，则m=__________． 13. 已知则a-b=_______． 14. 王诗利用电脑设计了一个程序：当输入实数对时，会得到一个新的实数例如输入时，就会得到实数8（即），若输入实数对时，就会得到实数，则_______． 15. 对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为________． 三．解答题．（本大题8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）（配方法）． 18. 嘉淇有一根铁丝，他用这根铁丝围成一个矩形，其中矩形的宽为，长是宽的倍． （1）求这根铁丝的长度； （2）若嘉淇用这根铁丝首尾相接围成正方形，求这个正方形的面积． 19. 若两个最简二次根式与可以合并，求x的值． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：当时，方程总有两个实数根； （2）在（1）的结论下，若方程的两个不相等的实数根都是整数，写出一组m、n的值，并求此时方程的根． 21. 我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个三角形的面积为，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式． 海伦公式：，其中 秦九韶公式：． （1）一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积； （2）一个三角形的三边长分别为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 22. 安阳某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你仔细阅读，并完成任务． 试题：已知，求的值． 小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设， 则原方程可变形为． 即；解得，，或． 小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法． 任务： （1）已知x、y满足，求的值． （2）若a、b满足，求的值． 23. 如图，将边长为，，，的正方形的面积记为，，，． （1）计算：，，； （2）把边长为的正方形的面积记作，其中是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由； 【拓展应用】在原题的条件下，完成下面问题． （3）①记，，，，，令，的值为___________； ②若将边长变为，，，，，试求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $