2026～2027学年人教版八年级上学期期中模拟数学试题

2026~2027学年八年级上学期期中模拟数学试题（人教版）【素养培优卷】 （满分 120 分　　考试时间 90 分钟　　共 24 小题） 考试范围：第十三章 三角形　第十四章 全等三角形　第十五章 轴对称 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．一个三角形中，最小内角的度数为 50°，则这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形　　B．直角三角形　　C．钝角三角形　　D．等边三角形 2．如图，∠A＝68°，∠ABD＝16°，∠ACD＝24°，则∠BDC 的度数是（　　） A．100°　　B．104°　　C．108°　　D．112° 3．如图，在△ABC 中，∠A＝60°，∠ABC 的平分线与∠ACD（△ABC 的外角）的平分线交于点 P，则∠P 的度数是（　　） A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．90° 4．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，CE 是 AB 边上的高．若 AB＝8，CE＝5，BC＝10，则 AD 的长是（　　） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 5．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．下列结论：① BD＝CE；② ∠ABD＝∠ACE；③ ∠BAD＝∠CAE．其中一定正确的是（　　） A．①②　　B．①③　　C．②③　　D．①②③ 6．如图，△ABC≌△ADE，点 D 在 BC 上，AC 与 DE 交于点 F．下列结论一定正确的是（　　） A．∠BAD＝∠CAE　　B．AB＝CD　　C．∠B＝∠E　　D．BD＝DE 7．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F．若 AB＝8，AC＝6，则 S△ABD∶S△ACD＝（　　） A．4∶3　　B．3∶4　　C．16∶9　　D．9∶16 8．如图，在△ABC 中，∠BAC＝100°，边 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，边 AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，则∠DAE＝（　　） A．10°　　B．15°　　C．20°　　D．25° 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的锐角为 40°，则它的顶角度数是（　　） A．50°　　B．130°　　C．50° 或 130°　　D．40° 或 140° 10．如图，在△ABC 中，∠B＝2∠C，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D．下列结论正确的是（　　） A．AB＋BD＝AC　　B．AB＋AC＝BD　　C．AB＝BD　　D．AC＝2AB 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．若一个三角形的三边长分别为 3、4、x（x 为整数），则整数 x 的值共有＿＿＿＿个． 12．如图，五角星的五个角分别为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E，则它们的和为＿＿＿＿． 13．如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，PD∥AB，PE∥AC，分别交 BC 于点 D、E．若 BC＝8，则△PDE 的周长是＿＿＿＿． 14．如图，△ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高，点 E 在 AD 上，连接 BE、CE．若∠BEC＝140°，则∠ACE＝＿＿＿＿． 15．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 P，∠PBC 与∠PCB 的平分线交于点 Q．若∠A＝64°，则∠BQC＝＿＿＿＿． 16．在△ABC 中，AB＝AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D．若∠BDC＝105°，则∠A＝＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，在△ABC 中，∠A＝50°，∠B＝60°，CE 平分∠ACD（∠ACD 是△ABC 的外角），交 BA 的延长线于点 E．(1) 求∠ACD 的度数；(2) 求∠E 的度数． 18．（6分）如图，△ABC 与△A′B′C′ 关于某条直线对称．(1) 用尺规作图：作出这条对称轴（保留作图痕迹，不写作法）；(2) 若∠A＝80°，∠B′＝45°，求∠C 的度数． 19．（8分）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于点 E，AD 与 BE 交于点 F，且 BF＝AC．求证：△BDF≌△ADC． 20．（8分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F．(1) 求证：DE＝DF；(2) 求证：△DEF 是等边三角形． 21．（10分）如图，AD 是△ABC 的 BC 边上的中线．(1) 求证：AB＋AC＞2AD；(2) 若 AB＝5，AC＝7，求 AD 的取值范围． 22．（10分）在△ABC 中，AB＝AC，BD 是 AC 边上的中线，且这条中线把△ABC 的周长分成 15 与 12 两部分，求△ABC 各边的长． 23．（12分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D 是 BC 的中点，点 E、F 分别在 AB、AC 上，且 AE＝CF，连接 DE、DF．(1) 求证：△ADE≌△CDF；(2) 若∠BDE＝65°，求∠EDF 的度数． 24．（12分）如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 m 经过点 A，BD⊥m 于点 D，CE⊥m 于点 E．(1) 求证：DE＝BD＋CE；(2) 若 BD＝4，CE＝2，求四边形 BDEC 的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年八年级上学期期中模拟数学试题（人教版）【素养培优卷】 （满分 120 分　　考试时间 90 分钟　　共 24 小题） 考试范围：第十三章 三角形　第十四章 全等三角形　第十五章 轴对称 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．一个三角形中，最小内角的度数为 50°，则这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形　　B．直角三角形　　C．钝角三角形　　D．等边三角形 【答案】 A 【解析】 设这个三角形的三个内角为 α≤β≤γ，其中 α＝50°． 由内角和定理得 β＋γ＝180°-50°＝130°． 又 β≥α＝50°，所以 γ＝130°-β≤130°-50°＝80°， 即三个内角都小于 90°，所以这个三角形一定是锐角三角形．故选 A． 2．如图，∠A＝68°，∠ABD＝16°，∠ACD＝24°，则∠BDC 的度数是（　　） A．100°　　B．104°　　C．108°　　D．112° 【答案】 C 【解析】 连接 AD 并延长交 BC 于点 E． 因为∠BDE 是△ABD 的外角，所以∠BDE＝∠BAD＋∠ABD； 因为∠CDE 是△ACD 的外角，所以∠CDE＝∠CAD＋∠ACD． 所以∠BDC＝∠BDE＋∠CDE＝(∠BAD＋∠CAD)＋∠ABD＋∠ACD ＝∠A＋∠ABD＋∠ACD＝68°＋16°＋24°＝108°．故选 C． 3．如图，在△ABC 中，∠A＝60°，∠ABC 的平分线与∠ACD（△ABC 的外角）的平分线交于点 P，则∠P 的度数是（　　） A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．90° 【答案】 A 【解析】 设∠ABC＝2x，则∠ACD＝∠A＋∠ABC＝60°＋2x． 因为 BP 平分∠ABC，所以∠PBC＝x； 因为 CP 平分∠ACD，所以∠DCP＝(60°＋2x)＝30°＋x． 所以∠BCP＝180°-∠DCP＝150°-x． 在△PBC 中，∠P＝180°-∠PBC-∠BCP＝180°-x-(150°-x)＝30°．故选 A． 4．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，CE 是 AB 边上的高．若 AB＝8，CE＝5，BC＝10，则 AD 的长是（　　） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 【答案】 B 【解析】 因为 S△ABC＝AB·CE＝BC·AD， 所以 AB·CE＝BC·AD， 即 8×5＝10×AD，解得 AD＝4．故选 B． 5．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．下列结论：① BD＝CE；② ∠ABD＝∠ACE；③ ∠BAD＝∠CAE．其中一定正确的是（　　） A．①②　　B．①③　　C．②③　　D．①②③ 【答案】 D 【解析】 因为∠BAC＝∠DAE，两边同减去∠DAC，得∠BAD＝∠CAE，③ 正确； 又 AB＝AC，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE（SAS）， 所以 BD＝CE，① 正确；且∠ABD＝∠ACE，② 正确．故选 D． 6．如图，△ABC≌△ADE，点 D 在 BC 上，AC 与 DE 交于点 F．下列结论一定正确的是（　　） A．∠BAD＝∠CAE　　B．AB＝CD　　C．∠B＝∠E　　D．BD＝DE 【答案】 A 【解析】 因为△ABC≌△ADE，所以∠BAC＝∠DAE． 两边同减去∠DAC，得∠BAD＝∠CAE，A 正确； B 中 AB 与 CD 不是对应边，不一定相等； C 中∠B 的对应角是∠ADE，不是∠E，所以∠B 与∠E 不一定相等； D 中 BD 与 DE 也没有对应关系．故选 A． 7．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F．若 AB＝8，AC＝6，则 S△ABD∶S△ACD＝（　　） A．4∶3　　B．3∶4　　C．16∶9　　D．9∶16 【答案】 A 【解析】 因为 AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， 所以 DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 因为 S△ABD＝AB·DE，S△ACD＝AC·DF， 所以 S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC＝8∶6＝4∶3．故选 A． 8．如图，在△ABC 中，∠BAC＝100°，边 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，边 AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，则∠DAE＝（　　） A．10°　　B．15°　　C．20°　　D．25° 【答案】 C 【解析】 在△ABC 中，∠B＋∠C＝180°-∠BAC＝80°． 因为点 D 在 AB 的垂直平分线上，所以 DA＝DB，∠DAB＝∠B； 因为点 E 在 AC 的垂直平分线上，所以 EA＝EC，∠EAC＝∠C． 所以∠DAE＝∠BAC-∠DAB-∠EAC＝100°-(∠B＋∠C)＝100°-80°＝20°．故选 C． 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的锐角为 40°，则它的顶角度数是（　　） A．50°　　B．130°　　C．50° 或 130°　　D．40° 或 140° 【答案】 C 【解析】 设这个等腰三角形的顶角为 α，腰上的高与另一腰的夹角为 40°，需分类讨论： ① 当△ABC 是锐角三角形时，高在三角形内部，α＝90°-40°＝50°； ② 当△ABC 是钝角三角形（顶角为钝角）时，高在三角形外部， 　 α＝90°＋40°＝130°．所以顶角度数是 50° 或 130°．故选 C． 10．如图，在△ABC 中，∠B＝2∠C，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D．下列结论正确的是（　　） A．AB＋BD＝AC　　B．AB＋AC＝BD　　C．AB＝BD　　D．AC＝2AB 【答案】 A 【解析】 在 AC 上截取 AE＝AB，连接 DE． 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD＝∠EAD；又 AD＝AD， 所以△ABD≌△AED（SAS），所以 BD＝DE，∠AED＝∠B＝2∠C． 因为∠AED 是△DEC 的外角，所以∠AED＝∠C＋∠EDC， 所以∠EDC＝∠AED-∠C＝2∠C-∠C＝∠C，所以 DE＝EC． 所以 BD＝EC，从而 AC＝AE＋EC＝AB＋BD．故选 A． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．若一个三角形的三边长分别为 3、4、x（x 为整数），则整数 x 的值共有＿＿＿＿个． 【答案】 5 【解析】 由三角形的三边关系得 4-3＜x＜4＋3，即 1＜x＜7． 因为 x 为整数，所以 x 可以取 2、3、4、5、6，共 5 个． 12．如图，五角星的五个角分别为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E，则它们的和为＿＿＿＿． 【答案】 180° 【解析】 设∠B 与∠D 所对的五角星内部的两个角分别为∠1、∠2． 由三角形外角的性质，可得∠1＝∠C＋∠E，∠2＝∠A＋∠C． 提示：利用五角星中三角形外角定理逐步转化， 在由∠B、∠D 及∠1、∠2 所在的三角形中， 可得∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°． 13．如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，PD∥AB，PE∥AC，分别交 BC 于点 D、E．若 BC＝8，则△PDE 的周长是＿＿＿＿． 【答案】 8 【解析】 因为 PD∥AB，所以∠BPD＝∠ABP； 因为 BP 平分∠ABC，所以∠ABP＝∠PBD，所以∠BPD＝∠PBD， 所以 PD＝BD．同理可证 PE＝CE． 所以△PDE 的周长＝PD＋DE＋PE＝BD＋DE＋EC＝BC＝8． 14．如图，△ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高，点 E 在 AD 上，连接 BE、CE．若∠BEC＝140°，则∠ACE＝＿＿＿＿． 【答案】 40° 【解析】 因为△ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高， 所以 AD 垂直平分 BC，所以 EB＝EC． 所以∠EBC＝∠ECB＝(180°-∠BEC)＝×40°＝20°． 又∠ACB＝60°，所以∠ACE＝∠ACB-∠ECB＝60°-20°＝40°． 15．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 P，∠PBC 与∠PCB 的平分线交于点 Q．若∠A＝64°，则∠BQC＝＿＿＿＿． 【答案】 151° 【解析】 因为∠ABC＋∠ACB＝180°-∠A＝180°-64°＝116°， 且 BP、CP 分别平分∠ABC、∠ACB， 所以∠PBC＋∠PCB＝×116°＝58°，∠BPC＝180°-58°＝122°． 同理∠QBC＋∠QCB＝×58°＝29°， 所以∠BQC＝180°-29°＝151°． 16．在△ABC 中，AB＝AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D．若∠BDC＝105°，则∠A＝＿＿＿＿． 【答案】 80° 【解析】 设∠ABD＝x，则∠ABC＝2x． 因为 AB＝AC，所以∠C＝∠ABC＝2x，∠A＝180°-4x． 因为∠BDC 是△ABD 的外角，所以∠BDC＝∠A＋∠ABD， 即 180°-4x＋x＝105°，解得 x＝25°， 所以∠A＝180°-4×25°＝80°． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，在△ABC 中，∠A＝50°，∠B＝60°，CE 平分∠ACD（∠ACD 是△ABC 的外角），交 BA 的延长线于点 E．(1) 求∠ACD 的度数；(2) 求∠E 的度数． 【答案】 (1) 110°；(2) 75° 【解析】 (1) 因为∠ACD 是△ABC 的外角， 　　所以∠ACD＝∠A＋∠B＝50°＋60°＝110°． (2) 因为 CE 平分∠ACD，所以∠ACE＝∠ACD＝55°． 　　在△ACE 中，∠CAE＝∠BAC＝50°（点 E 在 BA 的延长线上）， 　　所以∠E＝180°-∠CAE-∠ACE＝180°-50°-55°＝75°． 18．（6分）如图，△ABC 与△A′B′C′ 关于某条直线对称．(1) 用尺规作图：作出这条对称轴（保留作图痕迹，不写作法）；(2) 若∠A＝80°，∠B′＝45°，求∠C 的度数． 【答案】 (1) 见解析；(2) ∠C＝55° 【解析】 (1) 连接 AA′，分别以点 A、A′ 为圆心、大于 AA′ 的长为半径画弧， 　　两弧交于点 M、N，作直线 MN，则直线 MN 就是所求的对称轴． 　　（连接 BB′ 或 CC′，用同样的方法也可以作出） (2) 因为△ABC 与△A′B′C′ 关于直线 l 对称，所以△ABC≌△A′B′C′， 　　所以∠B＝∠B′＝45°． 　　在△ABC 中，∠C＝180°-∠A-∠B＝180°-80°-45°＝55°． 19．（8分）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于点 E，AD 与 BE 交于点 F，且 BF＝AC．求证：△BDF≌△ADC． 【答案】 见解析 【解析】 因为 AD⊥BC，BE⊥AC，所以∠BDF＝∠ADC＝90°． 在 Rt△BCE 中，∠DBF＝90°-∠C； 在 Rt△ADC 中，∠DAC＝90°-∠C，所以∠DBF＝∠DAC． 在△BDF 和△ADC 中， ∠BDF＝∠ADC，∠DBF＝∠DAC，BF＝AC， 所以△BDF≌△ADC（AAS）． 20．（8分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F．(1) 求证：DE＝DF；(2) 求证：△DEF 是等边三角形． 【答案】 (1) 见解析；(2) 见解析 【解析】 (1) 因为 AB＝AC，D 是 BC 的中点，所以 AD⊥BC，AD 平分∠BAC． 　　因为 DE⊥AB，DF⊥AC， 　　所以 DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）． (2) 因为∠AED＝∠AFD＝90°，∠EAF＝∠BAC＝120°， 　　所以∠EDF＝360°-90°-90°-120°＝60°． 　　又 DE＝DF，所以△DEF 是等边三角形． 21．（10分）如图，AD 是△ABC 的 BC 边上的中线．(1) 求证：AB＋AC＞2AD；(2) 若 AB＝5，AC＝7，求 AD 的取值范围． 【答案】 (1) 见解析；(2) 1＜AD＜6 【解析】 (1) 延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，连接 BE． 　　因为 AD 是 BC 边上的中线，所以 BD＝CD． 　　又∠BDE＝∠CDA，DE＝AD， 　　所以△BDE≌△CDA（SAS），所以 BE＝AC． 　　在△ABE 中，AB＋BE＞AE，即 AB＋AC＞2AD． (2) 由(1)得 BE＝AC＝7．在△ABE 中， 　　因为 AB＝5，BE＝7，所以 7-5＜AE＜7＋5，即 2＜2AD＜12， 　　所以 1＜AD＜6． 22．（10分）在△ABC 中，AB＝AC，BD 是 AC 边上的中线，且这条中线把△ABC 的周长分成 15 与 12 两部分，求△ABC 各边的长． 【答案】 AB＝AC＝10，BC＝7 或 AB＝AC＝8，BC＝11 【解析】 设 AB＝AC＝2x，则 AD＝CD＝x，中线 BD 把周长分成两部分： AB＋AD＝3x 与 BC＋CD＝BC＋x． ① 若 3x＝15，则 x＝5，AB＝AC＝10，BC＝12-5＝7， 　 此时 7＋10＞10，三条线段能构成三角形； ② 若 3x＝12，则 x＝4，AB＝AC＝8，BC＝15-4＝11， 　 此时 11＋8＞8，三条线段能构成三角形． 所以 AB＝AC＝10，BC＝7 或 AB＝AC＝8，BC＝11． 23．（12分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D 是 BC 的中点，点 E、F 分别在 AB、AC 上，且 AE＝CF，连接 DE、DF．(1) 求证：△ADE≌△CDF；(2) 若∠BDE＝65°，求∠EDF 的度数． 【答案】 (1) 见解析；(2) ∠EDF＝40° 【解析】 (1) 因为 AB＝AC，D 是 BC 的中点，所以 AD⊥BC，AD 平分∠BAC， 　　所以∠DAC＝∠BAC＝45°． 　　又∠C＝(180°-∠BAC)＝45°，所以∠DAC＝∠C， 　　所以 AD＝CD（等角对等边）． 　　在△ADE 和△CDF 中， 　　∠DAE＝∠C＝45°，AE＝CF，AD＝CD， 　　所以△ADE≌△CDF（SAS）． (2) 由(1)得∠ADE＝∠CDF． 　　因为 AD⊥BC，所以∠ADB＝90°， 　　所以∠ADE＝∠ADB-∠BDE＝90°-65°＝25°， 　　所以∠CDF＝25°， 　　所以∠EDF＝∠ADC-∠ADE-∠CDF＝90°-25°-25°＝40°． 24．（12分）如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 m 经过点 A，BD⊥m 于点 D，CE⊥m 于点 E．(1) 求证：DE＝BD＋CE；(2) 若 BD＝4，CE＝2，求四边形 BDEC 的面积． 【答案】 (1) 见解析；(2) 18 【解析】 (1) 因为 BD⊥m，CE⊥m，所以∠BDA＝∠AEC＝90°． 　　因为∠BAC＝90°，所以∠BAD＋∠CAE＝90°． 　　又∠BAD＋∠ABD＝90°，所以∠ABD＝∠CAE． 　　在△ABD 和△CAE 中，∠BDA＝∠AEC，∠ABD＝∠CAE，AB＝CA， 　　所以△ABD≌△CAE（AAS），所以 BD＝AE，AD＝CE． 　　所以 DE＝AD＋AE＝CE＋BD． (2) 由(1)得 DE＝BD＋CE＝4＋2＝6． 　　因为 BD∥CE，所以四边形 BDEC 是梯形， 　　所以 S四边形BDEC＝(BD＋CE)·DE＝×(4＋2)×6＝18． 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