2.2.1 直线的点斜式方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线点斜式方程，通过基础选择、中档多选填空、提升解答题分层设计，实现从概念识别到综合应用的知识巩固路径，培养数学推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|斜率、截距等概念识别|8道选择题直接考查点斜式方程基本要素，如斜率计算（题1）、方程形式判断（题4）| |中档|垂直关系、截距应用等性质|3道多选题（如两直线垂直判定题9）+3道填空题（如垂直直线方程求解题12），强化性质应用| |提升|几何图形与方程综合|2道解答题，如根据条件写方程（题15）、证明直线过定点（题16），培养推理与模型意识|

2.2.1 直线的点斜式方程 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知直线l的方程为y+2=3(x-1)，则直线l的斜率为(　　) A.3 B.2 C.-1 D.-5 【答案】A 【解析】由直线的点斜式方程，可得k=3. 2.若直线y=kx+b经过第一、三、四象限，则有(　　) A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0 【答案】B 【解析】∵直线经过第一、三、四象限， ∴图形如图所示， 由图知，k>0，b<0. 3.已知直线l的方程为y+=(x-1)，则l在y轴上的截距为(　　) A.9 B.-9 C. D.- 【答案】B 【解析】由y+=(x-1)， 得y=x-9， ∴l在y轴上的截距为-9. 4.方程y－y0＝k(x－x0)，则(　　) A.可以表示任何直线 B.不能表示过原点的直线 C.不能表示与y轴垂直的直线 D.不能表示与x轴垂直的直线 【答案】D 【解析】方程y－y0＝k(x－x0)是直线的点斜式方程，当直线垂直x轴时，斜率不存在，不能用点斜式表示． 5.若倾斜角为45°的直线l过点(-1，1)，则l的方程为(　　) A.y=-x B.y=x+1 C.y=x-1 D.y=x+2 【答案】D 【解析】因为直线l的倾斜角为45°，所以直线l的斜率k=1，由点斜式方程得y-1=x+1，即y=x+2. 6.与直线2x-y-1=0垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　) A.y=-x+4 B.y=-x+4或y=-x-4 C.y=x+4 D.y=x+4或y=x-4 【答案】A 【解析】由于直线2x-y-1=0，即y=2x-1，可知其斜率为2， 则与直线2x-y-1=0垂直的直线斜率为k=-， 由于所求直线在y轴上的截距为4， 则所求直线的斜截式方程是y=-x+4. 7.以A(2，-5)，B(4，-1)为端点的线段的垂直平分线的方程是(　　) A.y-(-3)=2(x-3) B.y-3=2(x-3) C.y-3=-(x-3) D.y-(-3)=-(x-3) 【答案】D 【解析】由A(2，-5)，B(4，-1)， 知线段AB的中点坐标为(3，-3)， 又由斜率公式可得kAB==2， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为 k=-=-， 所以线段AB的垂直平分线的方程为 y-(-3)=-(x-3). 8.在等腰△AOB中，|AO|=|AB|，O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的点斜式方程为(　　) A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3) C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1) 【答案】D 【解析】设线段OB的中点为M，连接AM，如图， ∵|AO|=|AB|，则AM⊥x轴，则点M(1，0)，故点B(2，0)， ∴直线AB的斜率k==-3， ∴直线AB的点斜式方程为y-3=-3(x-1). 二、多选题（共3小题） 9.已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　) A. B.- C.a D.不存在 【答案】BD 【解析】当a≠0时，由k1·k2=-1知，k2=-，当a=0时，l2的斜率不存在. 10.下列各对直线互相垂直的是(　　) A.l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5) B.l1的斜率为-，l2过点P(1，1)，Q C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2) D.l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3) 【答案】ABD 【解析】A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行， 故两直线垂直； B中，l2过点P(1，1)，Q， kPQ=，故两条直线垂直； C中，kPQ=，故l1不与l2垂直； D中，l1过点M(1，0)，N(4，-5)，kMN=-， l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)， kPQ=，故两条直线垂直. 11.以A(-1，1)，B(2，-1)，C(1，4)为顶点的三角形，下列结论正确的有(　　) A.kAB=- B.kBC=- C.该三角形是以A点为直角顶点的直角三角形 D.该三角形是以B点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【解析】对于A，因为A(-1，1)，B(2，-1)，所以kAB==-，所以A正确； 对于B，因为B(2，-1)，C(1，4)，所以kBC==-5≠-，所以B错误； 对于C，因为kAB=-，kAC==，所以kAB·kAC=-×=-1， 所以AB⊥AC，所以△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确； 对于D，因为kAB=-，kBC=-5，所以kAB·kBC≠-1，所以D错误. 三、填空题（共3小题） 12.已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a=　　　　. 【答案】-1 【解析】由题意可知a·(a+2)=-1， 解得a=-1. 13.已知直线l与直线y=x+4互相垂直,直线l与直线y=x+6在y轴上的截距相等,则直线l的方程为　　　　.  【答案】y=-2x+6 【解析】因为直线l与直线y=x+4垂直, 所以直线l的斜率k=-2. 又因为直线y=x+6在y轴上的截距为6, 所以直线l在y轴上的截距为6. 所以直线l的方程为y=-2x+6. 14.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为　　　　;它与y轴的交点为　　　　.  【答案】y=-x+4　(0,4) 【解析】设所求直线斜率为k,则2k=-1, 即k=-,又在y轴上的截距为4, 则直线为y=-x+4,与y轴交点为(0,4). 四、解答题（共2小题） 15.根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(-4，3)，斜率k=3； (2)经过点B(-1，4)，倾斜角为135°； (3)经过点P(5，-2)，且与x轴平行； (4)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点. 【答案】(1)由点斜式方程可知， 所求直线的点斜式方程为y-3=3(x+4). (2)由题意知，直线的斜率k=tan 135°=-1， 故所求直线的点斜式方程为y-4=-(x+1). (3)过点P(5，-2)，且与x轴平行的直线，其斜率为0，故所求直线的点斜式方程为y+2=0(x-5). (4)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点的直线斜率 kPQ===-1. 由直线过点P(-2，3)，Q(5，-4)， 故所求直线的点斜式方程为y-3=-(x+2)或y+4=-(x-5). 16.已知直线l:y=kx+2k+1. (1)求证:直线l恒过一个定点; (2)当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方,求实数k的取值范围. (1)证明　由y=kx+2k+1, 得y-1=k(x+2). 由直线方程的点斜式可知,直线恒过定点(-2,1). (2)设函数f(x)=kx+2k+1,显然其图象是一条直线(如图所示), 若使当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方, 需满足即 解得-≤k≤1. 所以,实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $  2.2.1 直线的点斜式方程 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.已知直线l的方程为y+2=3(x-1)，则直线l的斜率为(　　) A.3 B.2 C.-1 D.-5 2.若直线y=kx+b经过第一、三、四象限，则有(　　) A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0 3.已知直线l的方程为y+=(x-1)，则l在y轴上的截距为(　　) A.9 B.-9 C. D.- 4.方程y－y0＝k(x－x0)，则(　　) A.可以表示任何直线 B.不能表示过原点的直线 C.不能表示与y轴垂直的直线 D.不能表示与x轴垂直的直线 5.若倾斜角为45°的直线l过点(-1，1)，则l的方程为(　　) A.y=-x B.y=x+1 C.y=x-1 D.y=x+2 6.与直线2x-y-1=0垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　) A.y=-x+4 B.y=-x+4或y=-x-4 C.y=x+4 D.y=x+4或y=x-4 7.以A(2，-5)，B(4，-1)为端点的线段的垂直平分线的方程是(　　) A.y-(-3)=2(x-3) B.y-3=2(x-3) C.y-3=-(x-3) D.y-(-3)=-(x-3) 8.在等腰△AOB中，|AO|=|AB|，O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的点斜式方程为(　　) A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3) C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1) 二、多选题（共3小题） 9.已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　) A. B.- C.a D.不存在 10.下列各对直线互相垂直的是(　　) A.l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5) B.l1的斜率为-，l2过点P(1，1)，Q C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2) D.l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3) 11.以A(-1，1)，B(2，-1)，C(1，4)为顶点的三角形，下列结论正确的有(　　) A.kAB=- B.kBC=- C.该三角形是以A点为直角顶点的直角三角形 D.该三角形是以B点为直角顶点的直角三角形 三、填空题（共3小题） 12.已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a=　　　　. 13.已知直线l与直线y=x+4互相垂直,直线l与直线y=x+6在y轴上的截距相等,则直线l的方程为　　　　.  14.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为　　　　;它与y轴的交点为　　　　.  四、解答题（共2小题） 15.根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(-4，3)，斜率k=3； (2)经过点B(-1，4)，倾斜角为135°； (3)经过点P(5，-2)，且与x轴平行； (4)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点. 16.已知直线l:y=kx+2k+1. (1)求证:直线l恒过一个定点; (2)当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方,求实数k的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $