2.2.1 直线的点斜式方程 同步练习题-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2.1　直线的点斜式方程 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可； （3）由直线与轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程. 【详解】（1）直线的点斜式方程为：. （2）由倾斜角是，则直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为：. （3）由于直线与轴垂直，斜率不存在， 所以该直线的方程为． 【例2】直线的方向向量，直线过点 (1)若直线与直线平行，求出直线的斜截式方程，并求出直线的倾斜角的值 (2)若直线与直线垂直，求出直线的斜截式方程，并写出直线在轴上的截距. 【答案】(1)直线的斜截式方程为，倾斜角， (2)所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为. 【分析】（1）由直线的方向向量求直线的斜率，根据平行直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线的点斜式方程，化为斜截式，2由倾斜角与斜率关系求该直线的倾斜角； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线的点斜式方程，化为斜截式，再确定直线在轴上的截距. 【详解】（1）因为直线的方向向量， 所以直线的斜率存在，设直线的斜率为，则， 若直线与直线平行，则直线的斜率存在， 设直线的斜率为，则， 又直线过点， 所以直线的方程为， 化为斜截式可得， 因为直线的斜率，所以，又， 所以， 所以直线的斜截式方程为，倾斜角， （2）若直线与直线垂直， 由（1）可得直线的斜率存在，且，又， 所以， 所以直线的方程为， 化为斜截式可得， 所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为. 【例3】已知直线与直线垂直，且与直线在轴上的截距相同，求的值． 【答案】 【分析】根据直线垂直及截距相同列出方程组计算即可求参. 【详解】由题意得 解得或， 所以． 【例4】已知直线的斜率为，且与坐标轴围成的图形面积是12，求直线的方程． 【答案】． 【分析】设直线的方程为，根据面积得到方程，求出，得到直线方程. 【详解】设直线的方程为，令，得，令，得， 故，解得，即直线的方程为． 【基础夯实】 一、单选题 1．已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题干中的垂直关系得出两直线斜率之积为即可求解. 【详解】已知直线： ，其斜率为，直线：，其斜率为， 因为，所以，解得． 2．已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用直线的斜截式方程求解. 【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为3，而直线过点， 所以直线的方程是. 故选：D 3．若直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜截式特征，结合直线倾斜角和斜率的关系进行求解即可. 【详解】由直线的方程可知该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 所以有， 的补角为， 所以l的倾斜角为. 故选：B 4．过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求斜率再由点斜式写出直线方程，最后求出截距即可. 【详解】由题知的斜率为，所以的方程为， 令，得. 故选：B. 5．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切的和角公式与直线方程的点斜式求解即可 【详解】设直线的倾斜角为，则， 又直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线， 所以直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 故直线的方程是，即， 故选：D． 6．已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】先写出直线AB的方程；再利用基本不等式即可求解. 【详解】由，可得：， 则直线AB的方程为：，即. 又因为动点在线段AB上运动， 所以， 则，当且仅当，即，时等号成立， 所以.最大值为3. 故选：C. 二、多选题 7．已知直线l：，则（　　） A．直线l过点 B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1 【答案】BC 【分析】根据直线方程逐项判断. 【详解】对于A，将代入，可知不满足方程，故A不正确； 对于B，由，知直线l的斜率为，故B正确； 对于C，设直线l的倾斜角为α，则，可得，故C正确； 对于D，由，令，可得直线l在轴上的截距为－1，故D不正确． 故选：BC 8．下列说法正确的有（    ） A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B．直线过定点 C．过点斜率为的点斜式方程为 D．斜率为，在y轴截距为3的直线方程为． 【答案】ABC 【解析】由直线过一、二、四象限，得到斜率，截距，可判定A正确；由把直线方程化简为，得到点都满足方程，可判定B正确；由点斜式方程，可判定C正确；由斜截式直线方程可判定D错误． 【详解】对于A中，由直线过一、二、四象限，所以直线的斜率，截距， 故点在第二象限，所以A正确； 对于B中，由直线方程，整理得， 所以无论a取何值点都满足方程，所以B正确； 对于C中，由点斜式方程，可知过点斜率为的点斜式方程为，所以C正确； 由斜截式直线方程得到斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为， 所以D错误． 故选：ABC． 【点睛】本题主要考查了直线的方程的形式，以及直线方程的应用，其中解答中熟记直线的点斜式的概念及形式，以及直线的斜率与截距的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 9．经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可知直线的斜率为，分两种情况，由点斜式得到直线方程. 【详解】由题意可知直线的斜率为， 当直线的斜率为1时，直线方程为，化简得； 当直线的斜率为时，直线方程为，化简得. 故选：BC 三、填空题 10．过点且倾斜角为的直线方程是_____． 【答案】 【详解】由已知直线倾斜角为，所以直线斜率不存在，则直线方程为. 11．与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是__________. 【答案】 【分析】根据垂直关系可得所求直线的斜率，进而可得斜截式方程. 【详解】由题意可知：直线的斜率为， 因为所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率， 且在轴上的截距为4，所以所求直线的斜截式方程是. 故答案为：. 12．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________. 【答案】[，＋∞) 【分析】先根据一次函数的图象不过第一象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则 故答案为：[，＋∞). 【点睛】本题考查的是直线的图象与系数的关系，熟知直线y=kx+b中，当 时函数的图象在二、三、四象限是解答此题的关键． 四、解答题 13．直线的斜率为3且它在轴上的截距为． (1)求直线的方程； (2)求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由斜截式得到直线方程； （2）令求出直线与轴上的截距，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为直线的斜率为3且它在轴上的截距为， 由斜截式得直线的方程为，即． （2）在中，令，即，解得，即直线与轴上的截距为1， 则直线与坐标轴所围成的三角形面积． 14．已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出的中点坐标，进而得到所求直线斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （2）先求出直线的斜率，进而得到高的斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （3）根据（1）的中点坐标及（2）的斜率得到方程即可． 【详解】（1）由题意得的中点坐标， 所以， 所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为. （2）所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率， 又上的高过点， 则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为. （3）由（2）得，与垂直的直线斜率为， 由（1）得的中点坐标， 所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1　直线的点斜式方程 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【例2】直线的方向向量，直线过点 (1)若直线与直线平行，求出直线的斜截式方程，并求出直线的倾斜角的值 (2)若直线与直线垂直，求出直线的斜截式方程，并写出直线在轴上的截距. 【例3】已知直线与直线垂直，且与直线在轴上的截距相同，求的值． 【例4】已知直线的斜率为，且与坐标轴围成的图形面积是12，求直线的方程． 【基础夯实】 一、单选题 1．已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 2．已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 3．若直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 5．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 二、多选题 7．已知直线l：，则（　　） A．直线l过点 B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1 8．下列说法正确的有（    ） A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B．直线过定点 C．过点斜率为的点斜式方程为 D．斜率为，在y轴截距为3的直线方程为． 9．经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．过点且倾斜角为的直线方程是_____． 11．与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是__________. 12．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________. 四、解答题 13．直线的斜率为3且它在轴上的截距为． (1)求直线的方程； (2)求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 14．已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $