精品解析：安徽合肥市第七中学2027届高三第一学期9月质检数学试卷

合肥市第七中学2027届高三第一学期9月质检数学试卷 命题人：钱良辰 汪煦 审题人：秦丽 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，所以，所以， ，所以，则，，且， 所以， 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定为“，”. 3. 已知函数，若，则的值是（ ）． A. B. 1 C. 1或0 D. 或0或1 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 若，则，可得， 则，所以； 若，则，可得，解得或（舍去）； 综上所述：的值是1或0. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】对求导得，代入，求解即可. 【详解】， 故， 所以． 5. 函数 ，的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合余弦函数的性质逐一排除即可. 【详解】当， ， 所以该函数是奇函数，图象关于原点对称，排除AD. 当时，，可以排除C. 故选：B 6. 已知，，，则、、的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，，， 所以. 7. 医学规定：服用某药物后，100mL血液中药物浓度不超过14mg时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（ ） 参考数据：，， A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立不等式，结合对数的运算法则，代入参考数据后即可求解. 【详解】由题意得，血液中药物浓度不超过时，可正常驾驶机动车， 设患者服药后经过小时可正常驾驶，由题意得， 即，两边同时取对数得， 即，， ，代入参考数据得， 整理得，故至少经过小时后可正常驾驶. 8. 已知定义在上的奇函数，满足.当时，，则方程的所有根之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原方程可整理为，令，由条件得出的对称性和周期性，画出两个函数的图像，交点个数为4，再由交点的对称性即可得到方程根的和. 【详解】由是定义在上的奇函数得，结合可得： ，因此, 即4为函数的一个周期，且其图象关于对称． 原方程可整理为，令， 因 则关于中心对称，故关于中心对称， 当时，的值域为， 结合对称性和周期性可知的值域是， 当时，在时取最小值2，如图所示： 当时，与共有2个交点，结合函数对称性可知， 时，两函数也有2个交点，共4个交点，且交点关于对称， 即原方程有4个实数根，所有根之和为8． 【点睛】本题的核心是利用函数的奇偶性、对称性、周期性简化方程根的计算，不需要直接求解每个根，利用对称点的横坐标之和直接得到总根之和． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用作差法来比较大小可判断A；举反例判断BC；利用基本不等式可判断D． 【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，因为， 所以取，则，此时，故B错误； 对于C，因为，当时，指数函数是减函数， 则，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当时取等号，即，故D正确． 10. 已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的取值范围是 B. 若的值域为，则的取值范围是 C. 若，则的单调减区间为 D. 若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由恒成立判断A，由有解判断B，结合对数函数的单调性求减区间判断C，由对数函数性质判断D． 【详解】选项A，恒成立，，解得，A正确； 选项B，有解，因此，解得或，B正确； 选项C，时，，由得或，因此其减区间是，C错； 选项D，在上单调递减，则，解得，D正确． 故选：ABD． 11. 已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（ ） A. B. 为周期函数 C. 是奇函数 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】令得，由即可判断A；令，得，再求得，根据奇偶性定义判断B；由递推式得，进而有，应用错位相减法求判断D；由，假设为的最小正周期，而不能恒成立判断B. 【详解】令，则，而， 所以，A对； 令，则，令，则， 令，则，故，故是奇函数，C对； 由 ， 由，则，故， 所以， 所以， 所以，D错. 假设为的最小正周期， 由，则，故， 显然，对于，，，不能恒成立， 即不能恒成立，与前提矛盾，B错. 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知函数满足，则______. 【答案】 【解析】 【详解】令，得，代入， 得， 即的解析式为． 13. 若函数在上的最大值为2，则实数____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】令，则在上的最大值， 最小值． 当时，，解得． 当时，，解得（舍去）． 综上，． 故答案为：2 14. 设分别是与的零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，运用转化法、同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，结合对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，因为函数是实数集上的增函数， 所以函数是实数集上的增函数， 因为是的唯一零点， 所以， 即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标. 当时，因为是的零点， 所以， 设， 当时，因为函数是正实数集上的增函数， 所以是正实数集上的增函数， 即是对数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标， 显然函数与函数的图象关于直线对称，如下图所示： 显然，由数形结合思想可知：， 的中点在上， 所以， ，设 ， 由对勾函数的单调性可知该函数在时，单调递减，在时，单调递增 即时， 所以的取值范围是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. （1）求的解析式； （2）设，若在上有最小值，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）观察题意，知二次方程 的两根为和1，因此可设 ，再把点代入可求得； （2）函数是二次函数，需根据对称轴与区间的位置关系判断是否存在最小值，由此列不等式求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意可设，即 ， 由的图象过点，知 ，从而 ， 即 ； 【小问2详解】 ，开口向上，其对称轴为， 若，即时， 在上单调递增，取不到，所以不存在最小值； 若，即时，对称轴落在内，存在最小值； 若，即时， 在上单调递减，所以在处取得最小值； 综上所述，的取值范围为. 16. 已知函数． （1）当时，若直线与曲线相切，求； （2）若直线与曲线恰有两个公共点，求． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）此类问题，通过设切点坐标，求导数，利用切点处的导数等于切线斜率，以及切点在切线上也在曲线上，解联立方程组即可； （2）由已知问题等价于方程，即方程有两个不等实根，显然是方程的一个根，所以当时，方程可化为（*），它还有不等于的唯一根，根据一元二次方程的根的性质即可解决问题． 【小问1详解】 当时，，， 因为直线与曲线相切， 设切点为，则切线斜率， 可得，解得或， 所以或． 【小问2详解】 因为直线与曲线恰有两个公共点， 所以方程， 即方程有两个不等实根， 因为是方程的一个根； 当时，方程可化为（*）， 依题意，方程（*）有不等于的唯一根， 因为，若，则（*）即，，满足条件； 若，则由，解得：． 综上所述，或． 17. 已知函数. （1）求函数的对称中心. （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用中心对称的定义求解. （2）由（1）确定复合函数的单调性，再利用对称性等价转化不等式并求解. 【小问1详解】 由，得，解得，因此， 函数的定义域为，且， 所以函数图象的对称中心为. 【小问2详解】 由（1）知，的定义域为， 函数在上单调递减，函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，又，即， 则不等式， 于是，解得， 所以原不等式的解集为. 18. 城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】（1），人； （2）发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大为元. 【解析】 【分析】（1）由题设，有当时，，且，，求值，进而写出其分段函数的形式，再求. （2）由（1）写出解析式，讨论、求最大值即可. 【小问1详解】 由题设，当时，令， 又发车时间间隔为3分钟时的载客量为333人，10分钟时的载客量为480人， 所以，解得， 所以， 当时，， 所以， 故时，， 所以当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量为人； 【小问2详解】 （2）因为， 所以由（1）可得： 当时，， 当且仅当等号成立， 则时，（元）， 当时，在递减， 则（元） 综上，发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为112元. 19. 固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为. （1）求的值； （2）证明：当时，； （3）若函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：由，求导得， 由，求导得， 令函数，求导得， 由函数都是增函数，得函数在上单调递增， 则，，函数在上单调递增， 所以，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）运用平方差公式，结合指数运算性质计算即得. （2）构造函数，再利用导数推理证明. （3）根据函数单调性的性质，结合一元二次方程根与系数的关系、根的判别式进行求解即可. 【小问1详解】 由，， 得 . 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 函数在上的值域是， 函数在上单调递增，函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 因此，整理得， 则是关于的方程的两个不等正根， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市第七中学2027届高三第一学期9月质检数学试卷 命题人：钱良辰 汪煦 审题人：秦丽 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，若，则的值是（ ）． A. B. 1 C. 1或0 D. 或0或1 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5 5. 函数 ，的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则、、的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 7. 医学规定：服用某药物后，100mL血液中药物浓度不超过14mg时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（ ） 参考数据：，， A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知定义在上的奇函数，满足.当时，，则方程的所有根之和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的取值范围是 B. 若的值域为，则的取值范围是 C. 若，则的单调减区间为 D. 若在上单调递减，则的取值范围是 11. 已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（ ） A. B. 为周期函数 C. 是奇函数 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知函数满足，则______. 13. 若函数在上的最大值为2，则实数____________． 14. 设分别是与的零点，则的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. （1）求的解析式； （2）设，若在上有最小值，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）当时，若直线与曲线相切，求； （2）若直线与曲线恰有两个公共点，求． 17. 已知函数. （1）求函数的对称中心. （2）解不等式. 18. 城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 19. 固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为. （1）求的值； （2）证明：当时，； （3）若函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $