16.2.1 线段垂直平分线的性质（课件）--2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版八年级上册16.2.1 线段垂直平分线的性质专项练习（1212字） 本节课核心知识点： **线段垂直平分线定义**：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 **性质定理**：线段垂直平分线上的**任意一点**，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：若直线$l$垂直平分线段$AB$，点$P$在直线$l$上，则$\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)}$。 **逆定理**：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$，则点$P$在线段$AB$的垂直平分线上。 理解要点： 1. 性质：**线上一点 ⇒ 到两端距离相等**（用来证线段相等） 2. 逆定理：**到两端距离相等 ⇒ 点在线上**（用来判定点在垂直平分线上） 3. 集合观点：线段的垂直平分线，是**到线段两个端点距离相等的所有点的集合**。 本节考点：利用性质求线段长、角度；利用逆定理判断点的位置；证明线段相等；简单几何证明。 高频易错点：混淆性质与逆定理；漏写垂直、平分条件；认为“到两点距离相等的直线就是垂直平分线”；做题直接跳步骤，缺少几何规范书写。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 点$P$在线段$AB$的垂直平分线上，则一定有（） A.$\(PA>PB\)$ B.$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$ C.$\(PA<PB\)$ D.$\(PA+PB=AB\)$ 2. 已知直线$m$垂直平分$AB$，点$C$在直线$m$上，$\(AC=7\)$，则$BC$长为（） A.$\(3.5\)$ B.$7$ C.$14$ D.无法确定 3. 若$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$，则下列说法正确的是（） A.点$P$一定在线段$AB$的垂直平分线上 B.直线$P$是$AB$的垂直平分线 C.点$P$一定在线段$AB$的上方 D.点$P$一定在线段$AB$上 4. 在$\triangle ABC$中，直线$DE$垂直平分$AC$，交$BC$于$D$，连接$AD$，若$\(AD=5\)$，则$DC$等于（） A.$\(2.5\)$ B.$5$ C.$10$ D.$6$ 5. 下列说法正确的是（） A.线段的垂直平分线是一条线段 B.线段垂直平分线上的点到线段一端距离相等 C.到线段两端距离相等的点一定在垂直平分线上 D.一条直线上有一点到$\(A,B\)$距离相等，则这条直线就是$AB$的垂直平分线 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 线段垂直平分线上的点，到线段两个________的距离相等。 7. 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。 8. 线段$AB$的垂直平分线$l$上有一点$M$，$\(MA=9\)$，则$\(MB=\)$________。 9. 若点$P$满足$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$，点$Q$满足$\(QA=QB\)$，则直线$PQ$是线段$AB$的________。 10. 线段垂直平分线是**____**（直线/射线/线段）。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 如图，直线$MN$垂直平分线段$AB$，点$C$在$MN$上，已知$\(AC=12\)$，求$BC$的长度，并写出依据。 12. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE$垂直平分$BC$，垂足为$E$，交$AB$于$D$。若$\(BD=7\)$，求$DC$的长。 13. 已知：$\(AC=BC\)$，$\(AD=BD\)$。求证：直线$CD$是线段$AB$的垂直平分线。 14. 辨析题：小丽说：“只要有一点$P$满足$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$，那么过点$P$的直线就是线段$AB$的垂直平分线。”判断对错并说明理由。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.B；线段垂直平分线性质，线上任意一点到两端点距离相等。 2.B；$C$在垂直平分线上，故$BC=\(AC=7\)$。 3.A；逆定理：$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\) \Rightarrow P$在$AB$垂直平分线上。 4.B；$DE$垂直平分$AC$，$D$在垂直平分线上，$DC=\(AD=5\)$。 5.C；A垂直平分线是直线；B是到**两个端点**；D只有一个点不能确定整条直线。 **填空题** 6.端点；7.垂直平分线；8.$9$；9.垂直平分线；10.直线。 **解答题** 11.解：$\because$直线$MN$垂直平分$AB$，点$C$在$MN$上 $\therefore BC=\(AC=12\)$（**线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等**）。 答：$\(BC=12\)$。 12.解：$\because DE$垂直平分$BC$，点$D$在$DE$上 $\therefore DC=\(BD=7\)$（线段垂直平分线的性质）。 答：$\(DC=7\)$。 13.证明： $\because \(AC=BC\)$，$\therefore$点$C$在线段$AB$的垂直平分线上（逆定理）。 $\because \(AD=BD\)$，$\therefore$点$D$在线段$AB$的垂直平分线上（逆定理）。 两点确定一条直线，$\therefore$直线$CD$是线段$AB$的垂直平分线。 14.解：小丽说法错误。 由$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$只能说明**点$P$在线段$AB$的垂直平分线上**，过$P$的直线有无数条，只有同时经过$AB$中点并且垂直于$AB$的那条直线，才是$AB$的垂直平分线。仅有一个点$P$不能确定整条垂直平分线。 ## 本节小结 性质：**线上点 ⇒ 距离相等**，多用于证明线段相等；逆定理：**距离相等 ⇒ 点在线上**，用来判定点在垂直平分线上。 关键点：垂直平分线是**直线**；两点确定一条垂直平分线，**单独一个点不能确定垂直平分线**。 高频易错：分不清性质和逆定理；把垂直平分线当成线段；认为只要过$P$的直线就是垂直平分线。 本节是后续等腰三角形、最短路径问题的基础，几何证明书写一定要规范，写清定理依据。 要不要继续下一节**16.2.2线段垂直平分线的尺规作图**专项练习？ 如果你需要，我也可以给你写**线段垂直平分线性质的课堂教学设计**。 冀教版（新教材）数学八年级上册 16.2.1 线段垂直平分线的性质 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十六章 轴对称和中心对称 学习目标 新知●探究 一起探究 如图 ，已知线段AB和它的垂直平分线l， 0为垂足.在直线l上任取一点P，连接PA， PB.线段PA和线段PB有怎样的数量关系? 请提出你的猜想并说明理由. A B P O l · PA=PB 猜想： 。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 你能证明它吗? 新知●探究 已知:如图16.2-2，线段AB和它的垂直平分线l，垂足为O，P为直线l上任意一点，连接PA，PB. 求证:PA=PB. 证明:在△PAO 和△PBO 中， AO=BO(垂直平分的意线义)， ∠POA=∠POB=90°(同上)， PO=PO(公共边)， ∴△PAO ≌△PBO(SAS). ∴.PA=PB(全等三角形的对应边相等). A B P O l · 新知●探究 线段垂直平分线的性质定理： 总结归纳 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言： ∵　点P 在AB 的垂直平分线上 ∴　PA =PB， 知识点1 线段垂直平分线的性质 （第1题） 1. 如图，在四边形中，垂直平分 ， 垂足为 ，下列结论不一定成立的是( ) C A. B. 平分 C. D. 举一反三 5 2. [连云港中考] 如图，在中，， 的垂直平 分线分别交，于点，， 的垂直平分线分别交 ，于点，，则 的周长为( ) C （第2题） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 举一反三 6 3. 如图，在中， 的垂直平分线 交于点,交于点,连接 .若 , ,则 的度数为 ____. 【点拨】 , , , .垂直平分， ， . , . 举一反三 7 典例●精析 例1 如图16.2-3，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程。那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短? 1.将河岸抽象为直线l，问题便转化为在直线l上选取一点P，使得线段PA与PB的和最短 分析: 2.我们知道两点之间线段最短,那么想办法把将不同线的三点转化为同线的三点。 利用轴对称变换将同侧问题转化为异侧问题。 典例●精析 解:如图16.2-5，作点A关于直线l的对称点A'， 连接A'B，交直线l于点P，则AP+BP最短.理由如下: ∵点A，A'关于直线l对称， ∴直线l为线段AA'的垂直平分线. ∴.AP=A'P(线段垂直平分线的性质定理). ∴AP+BP=A'P+BP=A'B(等量代换). 如图16.2-6，在直线l上任取一点P'， 连接 AP'， BP', A'P'， 则A'P'+BP'≥A'B(两点之间线段最短)， 即AP'+BP'=A'P'+BP'>A'B=AP+BP. ∴AP+BP 最短. 新知●探究 总结归纳 求线段（和）最短问题的实质： （1） 若A、B两点在直线两侧，直接连接A、B两点，直线段最短； （2）若A、B两点在直线的同侧，作其中一个点关于直线的对称点，化同侧为两侧，化折线段为一条直线段； （3）最后利用“两点之间线段最短”加以解决. 新知●探究 做一做 已知:如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD上AB于点D，BE⊥AC 于点E. 求证:AC=AB. 证明:连接BC,如图所示. ∵D为AB的中点,∴AD=BD. 又∵CD⊥AB, ∴CD垂直平分AB. ∴AC=BC.∵E为AC的中点,∴AE=EC. 又∵BE⊥AC,∴BE垂直平分AC.∴AB=BC.∴AC=AB. 4. 如图，在中，是 的 平分线，的垂直平分线交于点 ， 交的延长线于点.连接， .求 证： （1） ； 【证明】是的垂直平分线， . . 举一反三 12 （2） . 是的垂直平分线， . . 是 的平分线， . . 举一反三 13 知识点2 线段垂直平分线性质的应用 5. 直线是一条河，,是两个新农村定居点.欲在直线 上的 某点处修建一个水泵站，直接向, 两地供水.现有如下四种 管道铺设方案，则铺设管道最短的方案是( ) D A. B. C. D. 举一反三 14 【点拨】根据两点之间线段最短，可知选项D铺设的管道最 短.故选D. 举一反三 15 6. [邢台模拟] 如图，仓库内有一块缺了一个 角的三角形木板，木工师傅在上边的作图痕 迹 依旧清晰可见，嘉嘉测量后发 现 ，点和点恰好在和 的垂直平分线上，由此可知和 所在直 线相交形成的锐角度数为____． 举一反三 16 【点拨】 如图，设和所在直线的交点为 ， ， ， . 点和点恰好在和 的垂直平 分线上，，， ， ， ， 举一反三 17 ， 即 ， ， 即和 所在直线相交形成的锐角度数为 . 举一反三 （第7题） 7. 如图，是线段 的垂 直平分线，点在外，且与 点在 的同一侧，连接交于点 ，连 接 ，则( ) B A. B. C. D. 举一反三 19 （第8题） 8. 如图，线段， 的垂直平分线 ，相交于点，交于点 .若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 举一反三 20 【点拨】连接，并延长到 ，如图. ， ， . 线段， 的垂直平 分线,相交于点， ， ， . ，， .故选B. 举一反三 21 9. 如图，在中，点在边 上，连接 ，且，，直线是边 的垂直平分线.若 点在直线上运动，连接，，则 周长的最小 值为____. 18 举一反三 22 10. 如图，四边形 是一个长方形的台球桌，有黑、白两 球分别位于， 两点.怎样撞击黑球，能使黑球先碰撞台边 ，反弹后再碰撞台边 ，最后击中白球？请你认真思考， 将黑球移动的路线画在图上，并说明理由. 举一反三 23 【解】 如图，作点关于的对称点，作点 关 于的对称点，连接,分别交， 于点,，连接, ，则黑球移动的路 线为 . 点关于直线的对称点为 ， ， ， 举一反三 24 . ， . 同理可得 ， 黑球先碰撞台边 ，反弹后再碰撞台边 ，最后击中白球. 举一反三 课堂●小结 线段垂直平分线的性质 内容 见垂直平分线，得线段相等 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 路线最短问题 谢谢观看 THANKS $