16.3角的平分线 课件2025－2026学年冀教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角平分线的性质定理、逆定理及尺规作图，通过折纸实验、情境问题导入，引导学生从动手操作发现角平分线上点到两边距离相等，衔接轴对称知识，构建“操作-发现-证明-应用”的学习支架。 其亮点在于融合动手探究与逻辑推理，如用两把直尺交于点P验证角平分线（体现数学眼光的几何直观），通过旅游休息点选址、发射塔位置确定等实际问题（体现数学语言的模型意识），结合性质与逆定理的证明训练（体现数学思维的推理意识）。学生能提升探究与应用能力，教师可借助分层例题和小结系统高效教学。

16.3　角的平分线 第十六章　轴对称和中心对称 初中数学冀教版（2024）八年级上册 1.经历探索角的轴对称性的过程，体会用尺规作已知角的平分线的作图原理.(重点) 2.经历合情推理发现结论，探索角平分线的性质定理及其逆定理的证明，进一步体会合情推理与演绎推理的不同作用.(难点) 学习目标 情境引入 在一张半透明的纸上任意画出一个角，怎样得到这个角的平分线？ 4 一、角平分线的性质定理 问题　拿出一张纸，任意画一个角，然后用折纸的方法作出这个角的平分线.在角平分线上任取一点，分别向角的两边作垂线段.测量这两条垂线段的长度，你发现了什么？ 提示　发现两条垂线段的长度相等. 知识梳理 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离 . 几何语言： 如图，∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE. 相等 例1 如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N，求证：PM=PN. 证明　∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， ∵AB=BC，BD=BD， ∴△ABD≌△CBD， ∴∠MDP=∠NDP， ∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN. 反思感悟 利用角平分线的性质定理可以证明线段相等，角平分线的性质定理常常和全等三角形的判定和性质综合在一起解决问题. 跟踪训练1 (1)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=6，则点D到BC的距离是 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 解析　过点D作DE⊥BC于点E，如图， ∵∠A=90°， ∴DA⊥AB， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD=6， ∴DE=AD=6. (2)∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为4，则点P到OB的距离 A.不大于4 B.大于4 C.等于4 D.小于4 √ (3)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求AC的长. 解　过点D作DF⊥AC于点F，如图. ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DF=DE=2， ∴S△ADB=AB·DE=×4×2=4， ∵S△ABC=7，∴S△ADC=7-4=3， ∴AC·DF=3，∴AC=3. 12 二、角平分线性质定理的逆定理 知识梳理 角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的___ 上. 几何语言： 如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE， ∴OP平分∠AOB. 平 分线 例2 如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，∠B=∠C.求证：点D在∠A的平分线上. 证明　∵D为BC的中点，∴BD=CD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°. 又∵∠B=∠C， ∴△BED≌△CFD(AAS)， ∴ED=FD， ∴点D在∠A的平分线上. 跟踪训练2 (1)如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线OA重合，另一把直尺的边与射线OB重合，两把直尺的另一边在∠AOB的内部交于点P，作射线OP，若∠AOB=50°，则∠AOP的度数为 A.50° B.40° C.30° D.25° √ 解析　过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，如图所示， ∵两把一样的直尺， ∴PM=PN， ∴由角平分线性质定理的逆定理可得OP是∠AOB的 平分线， ∵∠AOB=50°， ∴∠AOP=∠AOB=25°. (2)如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB，OC，若∠OBC+∠OCB=60°，则∠A的度数是 A.30° B.60° C.45° D.70° √ 解析　∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等， ∴OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∵∠OBC+∠OCB=60°， ∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°. (3)如图，CD⊥AB，BE⊥AC，BE，CD交于点O，OB=OC.求证：∠1=∠2. 证明　∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO=90°， ∵∠BDO=∠CEO，∠BOD=∠COE，OB=OC， ∴△BOD≌△COE(AAS)， ∴OD=OE， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OA平分∠BAC， ∴∠1=∠2. 19 三、角平分线的尺规作图 例3 (课本P136例题)如图，已知∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 解　作法：如图. (1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E. (2)分别以点D和点E为圆心，以适当长为半径，在∠AOB内部画弧，两弧相交于点C. (3)作射线OC. 射线OC即为所求. 跟踪训练3 (1)某旅游景区内有一块三角形绿地ABC(AC≠BC)，现要在道路边AB上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，甲、乙、丙三位同学解决该问题的作图如图所示，下列判断正确的是 A.只有甲的正确 B.只有乙的正确 C.只有丙的正确 D.乙、丙的正确 解析　∵休息点M到AC和BC两边的距离相等， ∴点M在∠ACB的平分线上，只有丙的作图正确. √ (2)如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点 M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P， 5 作射线AP交BC于点D，若CD=2，AB=5，则△ABD的面积是　　.  解析　如图，作DE⊥AB于E， ∵∠C=90°，∴CD⊥AC， 由作图步骤可得AD为∠CAB的平分线， ∵DE⊥AB，∴DE=CD=2， ∵AB=5，∴△ABD的面积为AB·DE=×5×2=5. (3)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等， 发射塔应修建在什么位置？在图上标注它的位置(尺规作图，不写作法，保留作图的痕迹). 解　如图，点P即为所求. 课堂小结 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE=4，BC=9，则BD的长为 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 解析　∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°， ∴DC=DE=4， ∵BC=9， ∴BD=BC-DC=5. 课堂练习 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 解析　如图，过点D作DE⊥AB，交AB于点E， ∵AD平分∠BAC，∠C=∠AED=90°， ∴DE=CD. ∵AB=10， ∴S△ABD=AB·DE=15，解得DE=3，∴CD=3. 课堂练习 3.已知射线OQ在∠AOB内部，点P在射线OQ上，PE⊥OA于点E.尺规作图痕迹如图所示.若∠AOP=28°，PD=PE，则∠DPQ的度数为 A.135° B.120° C.118° D.108° 解析　由作图过程可得PD⊥OB， ∵PE⊥OA，PD=PE， ∴OP是∠AOB的平分线， ∴∠BOQ=∠AOP=28°， ∴∠DPQ=∠ODP+∠QOB=118°. √ 课堂练习 4.已知，如图，在四边形ABCD中，BC>BA，∠A+∠C=180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，求证：AD=DC. 证明　如图，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F， ∵DE⊥BC，BD平分∠ABC， ∴DE=DF，∠F=∠DEC=90°， ∵∠BAD+∠C=180°且∠BAD+∠DAF=180°， ∴∠DAF=∠C， 课堂练习 4.已知，如图，在四边形ABCD中，BC>BA，∠A+∠C=180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，求证：AD=DC. 证明　在△ADF和△CDE中， ∴△ADF≌△CDE(AAS)， ∴AD=CD. 课堂练习 谢谢 $