14.3 第2课时实数与数轴及实数的性质（课件）2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版数学八年级上册14.3实数（第2课时 实数与数轴及实数的性质）专项练习（1212字） 本节课核心知识点：实数与数轴上的点**一一对应**，每一个实数都可以用数轴上唯一的点表示，数轴上每一个点都对应唯一的实数。在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数完全一样。实数$a$的相反数是$-a$；一个正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；非零实数$a$的倒数是$\dfrac1a$。实数大小比较：数轴上右边的数总比左边的数大；正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然成立。高频易错点：去掉绝对值符号时，没有判断实数正负；混淆无理数的相反数、绝对值；估算无理数大小出错；误认为数轴上的点只代表有理数。习题设置概念选择、填空、化简、大小比较、辨析题，训练实数相关性质，掌握数轴上实数的特征。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 数轴上的点与下列哪个集合的点一一对应（） A. 整数 B. 有理数 C. 无理数 D. 实数 2. $\sqrt{3}$的相反数是（） A.$\sqrt{3}$ B.$-\sqrt{3}$ C.$\dfrac1{\sqrt{3}}$ D.$|\sqrt{3}|$ 3. $|2-\sqrt{5}|$化简结果是（） A.$2-\sqrt{5}$ B.$\sqrt{5}-2$ C.$2+\sqrt{5}$ D.$-\sqrt{5}-2$ 4. 下列大小比较正确的是（） A.$\sqrt{2}>2$ B.$-\sqrt{3}>-\sqrt{2}$ C.$0>\sqrt{5}$ D.$\pi>3.14$ 5. 下列说法正确的是（） A. 无理数没有相反数 B. 实数没有倒数 C. 任何实数都有相反数 D. 负数的绝对值是负数 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 实数与数轴上的点________对应。 7. 实数$a$的相反数是________；若$a eq0$，$a$的倒数是________。 8. $|\sqrt{7}-3|=$________。 9. 数轴上，右边的实数总比左边的实数________。 10. 负实数的绝对值是它的________。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 求下列各数的相反数、绝对值：（1）$-\sqrt{6}$；（2）$\pi-4$。 12. 化简：（1）$|\sqrt{3}-2|$；（2）$|1-\sqrt{2}|+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$。 13. 比较大小：（1）$\sqrt{10}$与$3$；（2）$-\sqrt{7}$与$-3$。 14. 辨析题：小亮说，无理数不能在数轴上表示，只有有理数才能画在数轴上。判断对错并说明理由。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.D；实数和数轴上的点一一对应，有理数、无理数都可以在数轴上表示。 2.B；一个数的相反数只需在前面加负号，$\sqrt{3}$相反数是$-\sqrt{3}$。 3.B；$\sqrt{5}\approx2.236>2$，$2-\sqrt{5}<0$，负数绝对值等于它的相反数，$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$。 4.D；$\sqrt{2}\approx1.414<2$；$-\sqrt{3}\approx-1.732$，$-\sqrt{2}\approx-1.414$，$-\sqrt{3}<-\sqrt{2}$；$\sqrt{5}>0$；$\pi\approx3.1415>3.14$。 5.C；无理数同样有相反数；非零实数才有倒数；负数绝对值是正数。 **填空题** 6.一一；7.$-a$，$\dfrac1a$；8.$3-\sqrt{7}$；9.大；10.相反数。 **解答题** 11.解：（1）$-\sqrt{6}$的相反数是$\sqrt{6}$；$|-\sqrt{6}|=\sqrt{6}$。 （2）$\pi-4$的相反数是$4-\pi$；$\because\pi<4$，$\pi-4<0$，$\therefore|\pi-4|=4-\pi$。 12.解：（1）$\because\sqrt{3}<2$，$\therefore|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$。 （2）原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}=\sqrt{3}-1$。 13.解：（1）$\because3=\sqrt{9}$，$\sqrt{10}>\sqrt{9}$，$\therefore\sqrt{10}>3$。 （2）$\because3=\sqrt{9}$，$\sqrt{7}<\sqrt{9}$，即$\sqrt{7}<3$，$\therefore-\sqrt{7}>-3$。 14.解：小亮说法错误。实数与数轴上的点一一对应，无理数属于实数，因此无理数也可以在数轴上找到对应的点。例如可以用尺规作图在数轴上画出表示$\sqrt{2}$的点，所以无理数能在数轴上表示。 ## 本节小结 引入实数之后，相反数、绝对值、倒数的定义直接延续有理数规则，不用重新记忆，最大难点是**带根号式子的绝对值化简**。化简绝对值第一步：先判断绝对值内部式子的正负；若内部为负，去掉绝对值要写成相反数。实数大小比较常用方法：平方比较法，比较两个正无理数大小，两边同时平方再比较；负数比较，绝对值大的数反而小。数轴上一一对应是核心结论，打破“数轴只有有理数”的固有认知。运算方面，有理数的运算律在实数范围内全部适用，后续实数加减计算可以合并同类根式。高频易错：直接去掉绝对值不判断正负；比较负无理数大小，忽略符号；认为无理数无法在数轴表示。做题遇到绝对值化简，先估算无理数近似值，判断正负，再去绝对值符号。本节是实数章节的重点，选择填空必考相反数、绝对值、实数大小比较，为后面二次根式运算铺垫基础，一定要熟练掌握绝对值化简的步骤，仔细判断正负，减少符号错误。 （全文1212字） 下一节：**15.1二次根式**专项练习，同样1212字吗？ 冀教版（新教材）数学八年级上册 14.3 实数 第2课时 实数与数轴及实数的性质 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十四章 实数 学习目标 新知●探究 观察与思考 1.如图(1)所示，将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B. ● ● ● ● ● ● ● 3 2 1 0 -2 -1 4 ● -3 O A B (1) (1)线段OA，OB的长分别是多少？ (2)点A，B在数轴上对应的数分别是哪两个数? 小正方形的边长为 小正方形的面积为2 OA= 点A对应的数为 点B对应的数为 思考：在数轴上怎样表示，？ OB= 新知●探究 2.如图(2)所示，设一枚5角硬币的直径为1个单位长度，将这枚硬币放置在平面内一条数轴上，使硬币边缘上的一点P与原点O重合.让这枚硬币沿数轴的正方向无滑动滚动一周，这时点P转到数轴上点P′的位置. 观察与思考 ● ● ● ● ● ● ● 3 2 1 0(O) -2 -1 4 ● -3 (2) ● P P′ ● (1)线段OP′的长是多少？ (2)在数轴上与点P′对应的数是哪个数？ 线段OP′的长等于π 与点P′对应的数是π 思考：在数轴上怎样表示？ 新知●探究 通过几个实例的学习，你从中感悟或发现了什么？说说你的看法. π和-π也可以在数轴上表示出来. 和 都可以在数轴上表示. 和 都可以在数轴上表示. 总结：每个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点表示的数是有理数或无理数. 实数和数轴上的点一一对应 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示. 数轴上每一个点都表示唯一的一个实数. 实数： 实数的分类： 实数 有理数 正有理数 零 负有理数 正无理数 负无理数 无理数 你还有其他分类方法吗？ 负实数 正实数 数实 正有理数 负有理数 0 正无理数 负无理数 有理数和无理数统称为实数. 新知●探究 知识点1 实数与数轴上点的对应关系 1. 给出下列结论：①数轴上的点只能表示无理数；②任何一 个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一 对应；④有理数有无限个，无理数有有限个.其中正确的结论 是( ) B A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 举一反三 6 2. 如图，数轴上表示0，1，的点分别为 ， ，，点到点的距离与点到点的距离相等，则点 所 表示的数为( ) C A. B. C. D. 举一反三 7 3. 如图，将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来：- , ,0,,2, . 点表示的数是_____；点表示的数是____；点 表示的数 是___；点表示的数是____；点表示的数是___；点 表示 的数是___. 0 2 举一反三 8 新知●探究 大家谈谈 下列各组实数与所对应的数轴上的点如图所示. (1) 4，一4; (2)，; (3) ，. 1.这些点到原点的距离分别是多少? 2.类比有理数的绝对值的定义，谈谈实数的绝对值的意义. 表示4和一4的点到原点的距离都是4个单位长度 表示和-的点到原点的距离都是个单位长度 表示和-的点到原点的距离都是个单位长度 在数轴上，表示一个实数的点到原点的距离称为这个实数的绝对值(absolute value).实数a的绝对值记为|a|. |-|= ||= |-|= |4|= |-|= ||= 思考：类比有理数的相反数、倒数的定义，谈谈实数的相反数、倒数的意义？ 新知●探究 总结归纳 ★相反数的概念 ★倒数的概念 对于符号不同而绝对值相等的两个实数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.a的相反数可以表示为一a. 如果两个实数的积为1，则这两个实数互为倒数 4和一4互为相反数 和-互为相反数 =1 的倒数是 互为倒数 和-互为相反数 0的相反数是0. 0没有倒数. 知识点2 实数的性质 4. 下列各组数中，互为相反数的是( ) A A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 举一反三 11 5. 求下列各数的相反数、倒数和绝对值： （1） ； 【解】因为,所以的相反数是3，倒数是 ， 绝对值是3. （2） ； 的相反数是 ，倒数是，绝对值是 . 举一反三 12 （3） ； 因为,所以的相反数是，倒数是 ，绝对 值是 . （4） . 的相反数是，倒数是，绝对值是 . 举一反三 13 知识点3 实数的分类 6. 下列说法中正确的是( ) D A. 正实数和负实数统称实数 B. 正数、0和负数统称有理数 C. 带根号的数和负数统称实数 D. 正有理数和正无理数统称正实数 举一反三 14 7. 把下列各数填入相应的集合内：，， ， ， ，，，，， ， （相邻两个1之间依次多一个 ）. （1）有理数集合： ___________________________________ _________， ； ，，，，， 举一反三 15 （2）无理数集合： __________________________________ _________________________________________________ ， ； （3）正实数集合： _ ________________________________， ； ，，，，， （4）负实数集合： __________________________________ _________________________________________________ ， . ，，， ， （相邻两个1之间依次多一个2） ，，， ， （相邻两个1之间依次多一个2） 举一反三 16 8. 如图，已知点，，，，， 在一条没有标明原点的 数轴上，且 . （1）若点， 表示的两数互为相反数，则原点为点___； （2）若点，表示的两数的绝对值相等，且 ，则 点 表示的数为_____. 举一反三 17 9. [北京海淀区模拟] 实数与互为倒数，则 的值是 ____. 【点拨】与互为倒数， ， ，， . 举一反三 18 10. 如图，将面积为7的正方形 放在数轴上，以表示实数2的点 为圆心，以正方形的边长为半径画弧， 交数轴于点，则点 表示的数为____ ___. 【点拨】 正方形的面积为7， . . 点表示的数是2，点在点 的左边， 点表示的数是 . 举一反三 19 11. 对于结论：当时，也成立.若将 看成的立方根，看成 的立方根，由此得出这样的结论： “如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”. 举一反三 20 （1）举一个具体的例子来验证上述结论成立； 【解】例如是2的立方根，是 的立方根， ，，即2与 互为相反数. “如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相 反数”成立. 举一反三 21 （2）若和互为相反数，且 的平方根是 它本身，求 的立方根. 举一反三 22 和 互为相反数， . ，解得 . 的平方根是它本身， . . 的立方根是 . 举一反三 课堂●小结 实数 实数与数轴上的点一一对应 实数及其分类 实数与数轴上的点的关系 按概念分类 实数的性质 按正负性分类 绝对值 相反数 倒数 谢谢观看 THANKS $