16.2.2线段垂直平分线性质定理的逆定理（课件）--2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版八年级上册16.2.2线段垂直平分线性质定理的逆定理专项练习（1212字） 本节课核心知识点： **性质定理（原定理）**：线段垂直平分线上的点\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)到线段两个端点的距离相等。 **逆定理**：到一条线段两个端点距离相等的点\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)**在这条线段的垂直平分线上**。 几何语言：已知点$P$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)线段$AB$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)若$\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)}$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)则点$P$在线段$AB$的垂直平分线上。 要点辨析： 1. 原定理：**线上点 ⇒ 距离相等**（由位置证线段相等） 2. 逆定理：**距离相等 ⇒ 点在线上**（由线段相等判定点的位置） 3. 重要推论：若两点$P\(P\(A\(C\(A、B\)D\)B\)Q\)Q$都满足$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)\(QA=QB\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)则**直线PQ就是线段AB的垂直平分线**（两点确定一条直线）。 4. 集合理解：线段垂直平分线是**所有到线段两端距离相等的点的集合**。 本节考点：利用逆定理判断点在垂直平分线上；结合两点推论证明一条直线是线段的垂直平分线；几何证明书写；性质与逆定理区分。 高频易错点： ① $\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$只能说明**点P**在垂直平分线上\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)不能直接说直线$P$是垂直平分线； ② 混淆原定理和逆定理的因果关系； ③ 证明直线是垂直平分线时\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)只证一个点\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)缺少第二个点； ④ 忽略：点$P$在线段$AB$上时\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)$P$就是$AB$中点。 ## 一\(P\(A\(C\(A、B\)D\)B\)Q\)选择题（每题4分\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)共20分） 1. 若$\(MA=MB\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)则（） A.直线$M$是$AB$的垂直平分线 B.点$M$在线段$AB$的垂直平分线上 C.$M$一定是$AB$中点 D.$M$一定在$AB$上方 2. 已知$\(AC=BC\)\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)\(AD=BD\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)则下列说法正确的是（） A.直线$CD$平分$AB$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)但不一定垂直 B.直线$CD$垂直$AB$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)但不一定平分 C.直线$CD$是线段$AB$的垂直平分线 D.只能说明点$C$在$AB$垂直平分线上 3. 下列条件\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)不能判定点$P$在线段$AB$垂直平分线上的是（） A.$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$ B.$PA^2=PB^2$ C.$\(PA+PB=AB\)$ D.$P$到$A\(P\(A\(C\(A、B\)D\)B\)Q\)B$距离相等 4. 在$\triangle ABC$中\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)$\(DA=DB\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)则（） A.点$D$一定在$AB$的垂直平分线上 B.直线$DC$是$AB$的垂直平分线 C.$D$一定是$AB$中点 D.$\(DA=DB\)$说明$DC\perp AB$ 5. 关于原定理与逆定理说法正确的是（） A.原定理：距离相等 ⇒ 点在线上 B.逆定理：线上点 ⇒ 距离相等 C.原定理用来判定点在垂直平分线上 D.逆定理用来判定点在垂直平分线上 ## 二\(P\(A\(C\(A、B\)D\)B\)Q\)填空题（每题4分\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)共20分） 6. 到线段两个端点距离相等的点\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)在这条线段的________上。 7. 如果点$P$满足$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)点$Q$满足$\(QA=QB\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)则直线____是线段$AB$的垂直平分线。 8. 若$\(EA=EB\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)则点$E$在线段____的垂直平分线上。 9. 线段垂直平分线\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)可以看作是到线段两个端点________的所有点的集合。 10. 只知道一个点$P$满足$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)**不能**确定一条直线是$AB$的垂直平分线\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)因为________________。 ## 三\(P\(A\(C\(A、B\)D\)B\)Q\)解答题（每题15分\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)共60分） 11. 已知：如图\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$。求证：点$P$在线段$AB$的垂直平分线上。 12. 已知：如图\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)$\(AC=BC\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)$\(AD=BD\)$。求证：直线$CD$垂直平分线段$AB$。 13. 如图\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)在$\triangle ABC$中\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)$\(AB=AC\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)点$D$在$BC$上\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)且$\(DB=DC\)$。求证：直线$AD$是线段$BC$的垂直平分线。 14. 辨析题：小亮说：“若$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)那么过点$P$的任意一条直线都是线段$AB$的垂直平分线。”判断对错并说明理由。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.B；$\(MA=MB\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)由逆定理得点$M$在$AB$垂直平分线上\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)一个点不能确定整条直线。 2.C；$C\(P\(A\(C\(A、B\)D\)B\)Q\)D$两点都满足到$A\(P\(A\(C\(A、B\)D\)B\)Q\)B$距离相等\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)两点确定一条直线\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)直线$CD$就是$AB$的垂直平分线。 3.C；$\(PA+PB=AB\)$说明$P$在线段$AB$上\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)不能推出$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$。 4.A；$\(DA=DB\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)逆定理直接判定点$D$在$AB$垂直平分线上。 5.D；原定理：线上点⇒距离相等；逆定理：距离相等⇒点在线上\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)用来判定点的位置。 **填空题** 6.垂直平分线；7.$PQ$；8.$AB$；9.距离相等；10.一个点无法确定一条直线。 **解答题** 11.证明： 取$AB$中点$M$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)连接$PM$。 $\because \(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)AM=BM\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)PM=PM$ $\therefore \triangle PAM\cong\triangle PBM(\text{SSS})$ $\therefore \angle PMA=\angle PMB=90^\circ$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)即$PM\perp AB$。 $\because PM$过$AB$中点且垂直$AB$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\) $\therefore$直线$PM$是线段$AB$的垂直平分线\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)即点$P$在线段$AB$的垂直平分线上。 12.证明： $\because \(AC=BC\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)$\therefore$点$C$在线段$AB$的垂直平分线上（逆定理）。 $\because \(AD=BD\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)$\therefore$点$D$在线段$AB$的垂直平分线上（逆定理）。 两点确定一条直线\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)$\therefore$直线$CD$垂直平分线段$AB$。 13.证明： $\because \(AB=AC\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)$\therefore$点$A$在线段$BC$的垂直平分线上。 $\because \(DB=DC\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)$\therefore$点$D$在线段$BC$的垂直平分线上。 两点确定一条直线\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)$\therefore$直线$AD$是线段$BC$的垂直平分线。 14.解：小亮说法错误。 由$\(\boldsymbol{\(PA=PB\)}\)$\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)根据逆定理\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)只能得到**点$P$在$AB$的垂直平分线上**。过点$P$有无数条直线\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)只有那条既垂直$AB$又平分$AB$的直线才是垂直平分线\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)其他过$P$的直线不满足条件。 ## 本节小结 逆定理核心：**距离相等 ⇒ 点在线段垂直平分线上**。 重点区分： 原定理：已知点在垂直平分线上\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)证线段相等（性质）； 逆定理：已知两条线段相等\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)证点在垂直平分线上（判定）。 证明某直线是线段垂直平分线\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)**必须找到两个点**\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)这两个点都到线段两端距离相等\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)利用两点确定一条直线完成证明\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)只证一个点不能证明直线是垂直平分线。 高频易错：把“点在垂直平分线上”等同于“过这个点的直线就是垂直平分线”。逆定理是几何证明的重要工具\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)后续等腰三角形\(P\(A\(C\(A、B\)D\)B\)Q\)几何证明大题经常使用。 下一节：**16.3角的平分线**专项练习\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)同样1212字吗？ 如果你需要\(\(PA=PB\)\(\(AC=BC\)，\(AD=BD\)\)\(QA=QB\)\)我也可以写**逆定理课堂教学设计**。 冀教版（新教材）数学八年级上册 16.2.2线段垂直平分线性质定理的逆定理 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十六章 轴对称和中心对称 学习目标 新知●探究 一起探究 前面我们学习了线段垂直平分线的性质定理，你能写出它的逆命题吗？ 请结合图写出这个逆命题的条件和结论. 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 这个逆命题是真命题吗? 猜想： 。 条件:如图，PA=PB 结论:点P在AB的垂直平分线上 P A B 真命题 新知●探究 已知:如图16.2-9，P为线段AB外一点，且PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. P A B 点P在线段AB的垂直平分线上 过点P的直线垂直平分线段AB 过点P的直线还需要一个点，才能确定一条直线，需要添加辅助线 分析: O · 取线段AB的中点为O 新知●探究 证明:设线段AB的中点为O，连接PO并延长. 在△POA 和△POB 中， PA=PB(已知)， PO=PO(公共边)， AO=BO(中点的意义) ∴△POA≌△POB(SSS). ∴∠POA=∠POB(全等三角形的对应角等). ∵∠POA+∠POB=180°(平角的意义)， ∴2∠POA=180°，即∠POA=90°. ∴直线PO是线段AB的垂直平分线(垂直平分线的意义). ∴点P在线段AB的垂直平分线上. P A B O · 还能做什么样的辅助线？ 作∠APB的角平分线 新知●探究 总结归纳 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. P A B 几何语言： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． 知识点 线段垂直平分线的判定 1. 如图，点在的边上，且，则点 在某一线段的垂直平分线上.这条线段是( ) B （第1题） A. B. C. D. 不确定 举一反三 6 2. 有三名同学在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个凳子， 谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三角形的三个顶点， 为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的 ( ) B A. 三边中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 举一反三 7 （第3题） 3. 风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、 “纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期．如图是 一款风筝骨架的简化图，已知 ， ，， ，制作 这个风筝需要的布料至少为_______ ． 2 700 举一反三 8 【点拨】 如图，设与交于点， ， 点在的垂直平分线上.， 点 在的垂直平分线上，垂直平分 ， ， ， ， . 举一反三 9 典例●精析 例2 已知:如图16.2-10，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线DP与EP相交于点P. 求证:点P在BC的垂直平分线上. 分析: 点P在BC的垂直平分线上. 需要证明PB=PC. 需要连接PB、PC. 见垂直平分线，得线段相等 见垂直平分线，得线段相等 需要连接PB、PC、PA. 典例●精析 证明:如图，连接PA，PB，PC. ∵DP，EP分别是AB，AC的垂直平分线(已知)， ∴PA=PB=PC(线段垂直平分线的性质定理). ∴点P在BC的垂直平分线上 (线段垂直平分线性质定理的逆定理). 你发现了什么结论？ 三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等. 新知●探究 做一做 已知:如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，垂足为O. 求证:AO=OC，BO=OD. 解: ∵AB=AD， ∴点A在BD的垂直平分上. ∵BC=CD ∴点C在BD的垂直平分线上 ∴AC垂直平分BD， ∴BO=OD 同理AO=OC. 新知●探究 总结归纳 判定线段垂直平分线的方法 1.用线段垂直平分线的定义. 2.用线段垂直平分线性质定理的逆定理，推出两个点都在线段的线段垂直平分线上，则过这两个点的直线就是这条线段的线段垂直平分线. 4. 如图，在中， ， 平分，于点，连接 .求证： 直线是线段 的垂直平分线. 举一反三 14 【证明】 ， . 又平分， . 又， ， ， 直线是线段 的垂直平分线. 举一反三 15 5. 如图，中，，， 分别是 ，上的点，且，连接， 交于点 . （1）求证： ； 【证明】在和中， , . 举一反三 16 （2）连接，求证：所在直线垂直平分 . 举一反三 17 由（1）知， , ， . , , ，即 . 在和中， ， , 举一反三 18 点在线段 的垂直平分线上. 又 , 点在线段 的垂直平分线上, 所在直线垂直平分 . 举一反三 6. 如图，在 中， ，，点是 的 中点，于，交于 ， 交的延长线于，连接 交 于 .求证： （1） ； 举一反三 20 【证明】由题意可知， , , , . , , . 举一反三 21 在与 中， . 举一反三 课堂●小结 线段的垂直平分的性质定理的逆定理 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 作用 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 谢谢观看 THANKS $