16.2线段的垂直平分线（第1课时线段垂直平分线的性质）（教学课件）数学冀教版2024八年级上册

16.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质 第十六章 轴对称与中心对称 冀教版2024 八年级上册 导入●新课 1.什么叫做线段的垂直平分线？ 2.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线或者说中垂线. 1 2 3 会进行线段垂直平分线的性质定理的证明.（重点） 理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题.（难点） 会解决最短路径的问题.（难点） 学习●目标 新知●探究 一起探究 如图 ，已知线段AB和它的垂直平分线l， 0为垂足.在直线l上任取一点P，连接PA， PB.线段PA和线段PB有怎样的数量关系? 请提出你的猜想并说明理由. A B P O l · PA=PB 猜想： 。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 你能证明它吗? 新知●探究 已知:如图16.2-2，线段AB和它的垂直平分线l，垂足为O，P为直线l上任意一点，连接PA，PB. 求证:PA=PB. 证明:在△PAO 和△PBO 中， AO=BO(垂直平分的意线义)， ∠POA=∠POB=90°(同上)， PO=PO(公共边)， ∴△PAO ≌△PBO(SAS). ∴.PA=PB(全等三角形的对应边相等). A B P O l · 新知●探究 线段垂直平分线的性质定理： 总结归纳 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言： ∵　点P 在AB 的垂直平分线上 ∴　PA =PB， 典例●精析 例1 如图16.2-3，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程。那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短? 1.将河岸抽象为直线l，问题便转化为在直线l上选取一点P，使得线段PA与PB的和最短 分析: 2.我们知道两点之间线段最短,那么想办法把将不同线的三点转化为同线的三点。 利用轴对称变换将同侧问题转化为异侧问题。 典例●精析 解:如图16.2-5，作点A关于直线l的对称点A'， 连接A'B，交直线l于点P，则AP+BP最短.理由如下: ∵点A，A'关于直线l对称， ∴直线l为线段AA'的垂直平分线. ∴.AP=A'P(线段垂直平分线的性质定理). ∴AP+BP=A'P+BP=A'B(等量代换). 如图16.2-6，在直线l上任取一点P'， 连接 AP'， BP', A'P'， 则A'P'+BP'≥A'B(两点之间线段最短)， 即AP'+BP'=A'P'+BP'>A'B=AP+BP. ∴AP+BP 最短. 新知●探究 总结归纳 求线段（和）最短问题的实质： （1） 若A、B两点在直线两侧，直接连接A、B两点，直线段最短； （2）若A、B两点在直线的同侧，作其中一个点关于直线的对称点，化同侧为两侧，化折线段为一条直线段； （3）最后利用“两点之间线段最短”加以解决. 新知●探究 做一做 已知:如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD上AB于点D，BE⊥AC 于点E. 求证:AC=AB. 证明:连接BC,如图所示. ∵D为AB的中点,∴AD=BD. 又∵CD⊥AB, ∴CD垂直平分AB. ∴AC=BC.∵E为AC的中点,∴AE=EC. 又∵BE⊥AC,∴BE垂直平分AC.∴AB=BC.∴AC=AB. 基础巩固题 新知●应用 2.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4， 边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的 周长是( ) A．11 B．10 C．9 D．8 B 1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线， 点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB 的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 C P A B C D 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 基础巩固题 新知●应用 3.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是 (　C　) C A.AB＝AD B.AC平分∠BCD C.AB＝BD D.△BEC≌△DEC 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 基础巩固题 新知●应用 　4、如图，在△ABC 中，BC =18，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等于______． A B C D E 18 见垂直平分线，得线段相等 基础巩固题 新知●应用 5.如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是( 　 　) A．AM>CM B．AM＝CM C．AM<CM D．无法确定 B 见垂直平分线，得线段相等 基础巩固题 新知●应用 6.已知:P，Q为线段AB垂直平分线上的两点. (1)如图(1)，当点P，Q在线段AB的两侧时，你认为∠PAQ和∠PBQ相等吗?为什么? (2)如图(2)，当点P，Q在线段AB的同侧时，你认为∠PAQ和∠PBQ相等吗?为什么? 基础巩固题 新知●应用 7.如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，AC=14，△EBC的周长是24，求BC 的长. 解: ∵线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E， ∴BE=AE， ∵△EBC的周长 =BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=14+BC=24 ∴BC=24-14=10. 见垂直平分线，得线段相等 基础巩固题 新知●应用 8．如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABC的周长为22，AE=5，求△ABD的周长. 解： ∵DE垂直平分AC ∴AD=CD，AE=CE ∵AE=5 ∴AC=10 ∴△ABD的周长=AB+BD+AD =AB+BD+CD =AB+BC ∵△ABC的周长为22 ∴△ABD的周长=12 9.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，点A、B到河边的距离分别为AC、BD且AC=BD，点A、B到CD的中点的距离均为500m.牧童从A出把牛牵到河边饮水后再回家，请你设计出最短路线. B A C D A' M' 解：如图，最短路线是A--M′--B. 新知●应用 能力提升题 新知●应用 能力提升题 10.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB的中点，且DE⊥AB,已知△BCD的周长为12，且AC-BC=2，求AC,BC的长. A B C D E 解：∵D是AB的中点，DE⊥AB. ∴DE为AB的中垂线. ∴AE=BE. ∵△BCE的周长为12. ∴BC+CE+BE=12. ∴AC+BC=12. ∵AC-BC=2. ∴AC=7，BC=5. 新知●应用 能力提升题 9.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F. (1)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长； (2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数. 解:(1)∵DM、EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴△CMN的周长＝CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB， ∵△CMN的周长为15 cm， ∴AB＝15 cm. 新知●应用 能力提升题 (2)∵∠MFN＝70°， ∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°， ∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF， ∴∠AMD＋∠BNE＝∠MNF＋∠NMF＝110°， ∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－110°＝70°， ∵AM＝CM，BN＝CN， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝180°－2×70°＝40°. (2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数. 课堂●小结 线段垂直平分线的性质 内容 见垂直平分线，得线段相等 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 路线最短问题 $