16.3 角的平分线（课件）--2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版八年级上册16.3角的平分线专项练习（1212字） 本节课核心知识点： ## 1. 角平分线定义 从一个角的顶点引出一条射线\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)把这个角分成两个相等的角\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)这条射线叫做这个角的角平分线。 ## 2. 角平分线的性质定理 角平分线上的**任意一点**\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)到角两边的距离相等。 几何语言： 若$OC$平分$\angle AOB$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)点$P$在$OC$上\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$PD\perp OA$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$PE\perp OB$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)则$\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(PD=PE\)}\)}$。 > 注意：距离指**垂线段长度**\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)不是点到边上任意线段。 ## 3. 角平分线性质定理的逆定理（判定定理） 在角的内部\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)到角两边距离相等的点\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)在这个角的平分线上。 几何语言： 点$P$在$\angle AOB$内部\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$PD\perp OA$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$PE\perp OB$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$\(\boldsymbol{\(PD=PE\)}\)$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)则$OP$平分$\angle AOB$。 ## 4. 尺规作角平分线 步骤： ① 以角顶点$O$为圆心\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)适当长为半径画弧\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)交$OA$于$M$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)交$OB$于$N$； ② 分别以$M\(M、N\)N$为圆心\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)**大于$\dfrac12MN$**的长为半径画弧\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)两弧在角内部交于点$C$； ③ 画射线$OC$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)射线$OC$就是$\angle AOB$的平分线。 原理：SSS全等\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)得到对应角相等。 考点：性质\(M、N\)逆定理的应用；尺规作角平分线；利用角平分线求线段长\(M、N\)角度；几何证明书写。 高频易错点： ① 忘记“距离是垂线段”\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)直接用斜线段； ② 逆定理缺少条件：**在角的内部**； ③ 尺规作图擦掉圆弧痕迹； ④ 混淆角平分线与线段垂直平分线的性质。 ## 一\(M、N\)选择题（每题4分\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)共20分） 1. $OC$平分$\angle AOB$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)点$P$在$OC$上\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$PD\perp OA$于$D$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$PE\perp OB$于$E$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)若$\(PD=4\)$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)则$PE$长为（） A.$2$ B.$4$ C.$8$ D.无法确定 2. 点$P$在$\angle AOB$内部\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$PD\perp OA$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$PE\perp OB$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$\(\boldsymbol{\(PD=PE\)}\)$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)则（） A.$OP$平分$\angle AOB$ B.$\(OA=OB\)$ C.$\(OP=PD\)$ D.$\angle A=\angle B$ 3. 尺规作角平分线\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)画弧时\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)以$M\(M、N\)N$为圆心\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)半径要求（） A.大于$\dfrac12MN$ B.小于$\dfrac12MN$ C.等于$\dfrac12MN$ D.任意长度 4. 下列说法正确的是（） A.角平分线是一条线段 B.角平分线上的点到角两边线段长度相等 C.在角内部\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)到角两边距离相等的点在角平分线上 D.到角两边距离相等的点一定在角平分线上（不需要角内条件） 5. 在$\triangle ABC$中\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$AD$平分$\angle BAC$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$DE\perp AB$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$DF\perp AC$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$\(DE=3\)$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)则$DF$等于（） A.$3$ B.$6$ C.$\(1.5\)$ D.$4$ ## 二\(M、N\)填空题（每题4分\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)共20分） 6. 角平分线上的点\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)到角两边的________相等。 7. 在角的内部\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)到角两边距离相等的点\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)在这个角的________上。 8. 尺规作角平分线\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)最后的成果是一条________（射线/直线/线段）。 9. 角是轴对称图形\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)它的对称轴是**角平分线所在的____**。 10. 点在角平分线上\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)必须作**____线段**\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)才是点到边的距离。 ## 三\(M、N\)解答题（每题15分\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)共60分） 11. 已知：如图\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$OP$平分$\angle AOB$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)点$C$在$OP$上\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$CD\perp OA$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$CE\perp OB$。求证：$\(CD=CE\)$。 12. 已知：点$P$在$\angle AOB$内部\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$PM\perp OA$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$PN\perp OB$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$\(PM=PN\)$。求证：$OP$平分$\angle AOB$。 13. 简述尺规作$\angle AOB$角平分线的完整步骤。 14. 辨析题：小红说：“若一点到角两边距离相等\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)这个点一定在这个角的平分线上。”判断对错并说明理由。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.B；角平分线性质\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)垂线段相等。 2.A；逆定理\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)角内部到两边距离相等\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)则$OP$平分角。 3.A；半径大于$\dfrac12MN$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)两弧才能在角内相交。 4.C；A角平分线是射线；B必须是垂线段；D缺少“角内部”\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)角外部也存在满足距离相等的点。 5.A；角平分线性质\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$DF=\(DE=3\)$。 **填空题** 6.距离；7.角平分线；8.射线；9.直线；10.垂直。 **解答题** 11.证明： $\because OP$平分$\angle AOB$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$CD\perp OA$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$CE\perp OB$ $\therefore \(CD=CE\)$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 12.证明： $\because PM\perp OA\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)PN\perp OB$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)$\therefore \angle OMP=\angle ONP=90^\circ$。 在$\text{Rt}\triangle OMP$和$\text{Rt}\triangle ONP$中 $\begin{cases}OP=OP\\\(PM=PN\)\end{cases}$ $\therefore \text{Rt}\triangle OMP\cong\text{Rt}\triangle ONP(\text{HL})$ $\therefore \angle MOP=\angle NOP$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)即$OP$平分$\angle AOB$。 13.解： ①以$O$为圆心\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)适当长为半径画弧\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)交$OA$于点$M$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)交$OB$于点$N$； ②分别以$M\(M、N\)N$为圆心\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)大于$\dfrac12MN$的长为半径画弧\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)两弧在$\angle AOB$内部交于点$C$； ③画射线$OC$\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)射线$OC$就是$\angle AOB$的平分线。 14.解：小红说法错误。 逆定理前提条件：**点必须在角的内部**。如果点在角外部\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)也可以存在到角两边距离相等的点\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)但不在这个角的平分线上。 完整表述：**在角的内部**\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)到角两边距离相等的点\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)在这个角的平分线上。 ## 本节小结 口诀：**角平分线\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)线上点\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)垂线段\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)距离等；内部点\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)距离等\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)必在角平分线上。** 性质：点在角平分线上$\Rightarrow$垂线段相等（证线段相等） 逆定理：角内部\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)垂线段相等$\Rightarrow$点在角平分线上（证角相等\(M、N\)证射线是角平分线） 高频易错：忽略“垂线段”；逆定理漏掉“角的内部”；混淆射线\(M、N\)直线。 角平分线和垂直平分线经常综合出题\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)是几何证明重点。 下一节：**16.4等腰三角形**专项练习\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)同样1212字吗？ 也可以给你本节课堂教学设计。 冀教版（新教材）数学八年级上册 16.3 角的平分线 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十六章 轴对称和中心对称 学习目标 新知●探究 一起探究 1.在一张半透明纸上画出一个角，将纸对折，使这个角的两边重合，从中你能得出什么结论? 角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴. 新知●探究 2.按图所示的过程，将你画出的∠AOB依上述办法对折后，设折痕为直线OC;再折纸，设折痕为直线n，直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交于点P;将纸展开铺平后，猜想线段PD与线段 PE，线段OD 与线段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由. PD= PE 你能说明理由吗? 新知●探究 想一想，当折痕n与OB垂直时，它的展开图是怎样的呢？ 猜想线段PD与线段 PE还相等吗？ PD= PE 通过折叠和分析，你能得到什么结论？ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 新知●探究 验证结论 已知:如图16.3-2，OC是∠AOB的平分线， P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证:PD=PE. 证明:在△PDO 和△PEO中， ∠1=∠2(已知)， ∠PDO=∠PEO=90°(已知) OP=OP(公共边)， ∴△PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE(全等三角形对应边相等). 典例●精析 总结归纳 角平分线的性质定理: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 P A O B C E D 1 2 符号语言 ∵∠1= ∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE. 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。 你知道它的逆命题吗? 知识点1 角平分线的性质 （第1题） 1. 如图，在中， , ,平分, ．若 ，则 的周长是( ) C A. 6 B. C. 8 D. 9 举一反三 7 2. 如图，在三角形中， , 平分 交于点,且,,点是 上一动点， 连接,则 的最小值为___. 2 （第2题） 举一反三 8 【点拨】如图，当时， 有最小值， ，，平分 ， ，，， 的最小值为2. 举一反三 9 3. [滨州中考] 如图，的两个外角的平分线， 相 交于点.若点到的距离为，，则 的面积 为___. 7 （第3题） 举一反三 10 （第3题） 【点拨】 的两个外角的平分线 ，相交于点， 点到 的距离 等于点到的距离，且点到 的距 离等于点到的距离， 点到 的 距离等于点到的距离. 点到 的 距离为， 点到的距离为， 的 面积为 . 举一反三 11 新知●探究 做一做 (1)写出角平分线的性质定理的逆命题。 (2)根据这个逆命题的内容，画出图形。 逆命题:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. O E B A D P ∟ ∟ 结合图形，提出你对这个逆命题是否正确的猜想 试着证明你的猜想. 猜想：正确的，是真命题。 新知●探究 已知：如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，若PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上。 证明：过点O，P作射线OC. 因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， OP=OP, PD=PE, 所以Rt△PDO≌Rt△PEO(斜边、直角边)， 从而∠AOC=∠BOC. O E B A D P C ∟ ∟ 新知●探究 总结归纳 角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 符号语言 P A O B C E D 1 2 ∵PD=PE，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴∠1= ∠2. 即点P∠AOB的平分线OC上。 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。 典例●精析 例 如图16.3-3，已知∠AOB. 求作:∠AOB 的平分线. (1)以点0为圆心、适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E. (2)分别以点D和点E为圆心，以适 当长为半径，在∠AOB内部画弧， 两弧相交于点C. (3)作射线OC. 则射线 OC 即为所求. 你能证明 OC 是 ∠AOB 的平分线吗?请试试看. 知识点2 角平分线的判定 （第4题） 4. [廊坊模拟] 如图，点在 内，且到 三边的距离相等，连接， ，若 ，则 的度数是 ( ) B A. B. C. D. 举一反三 16 （第4题） 【点拨】 点在 内，且到三边的距 离相等，,分别是, 的平分 线， , ， .故选B. ，， 举一反三 17 5. 小明将两把完全相同的长方形直尺（单位： ）如图放 置在上，两把直尺的接触点为，边 与其中一把直 尺边缘的交点为，已知 ,则 的度数是____. 举一反三 18 知识点3 角平分线的画法 6. 在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线 平分 的是( ) B A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ① 举一反三 19 【点拨】在题图①中，利用基本作图可判断 平 分 ；在题图③中，如图，利用作法得 , . 在和中， ， . 举一反三 20 ，， ， 即.在和 中， ， .又 , ， ， ， 举一反三 是 的平分线；在题图②中，利用基本 作图得到点为的中点，则为 边上的中 线.则①③可得出射线平分 .故选B. 举一反三 7. [陕西中考] 如图，已知 ，点在边 上.请 用尺规作图法，在的内部求作一点 ，使得 ，且 .（保留作图痕迹，不写作法） 【解】如图，点 即为所求. 举一反三 23 （第8题） 8. 如图，是 三条角平分线的交点， 的面积记为，的面积记为 ， 的面积记为，且，则 的 值可能为( ) D A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 举一反三 24 （第8题） 【点拨】是 三条角平分线的交点， ,和的边,, 上的高 相等.设这个相等的高长为 ， ， ， ，，， .由三角形三 边关系得，， . 又， 的值可能为10.故选D. 举一反三 25 （第9题） 9. 如图，直线，， 表示三 条公路，现要建一个货物中转站，要求它 到三条公路的距离相等，则可供选择的地 址有( ) D A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 举一反三 26 【点拨】三角形内到三角形三边所在直线的距离相等的点有 1个，平面内到三角形三边所在直线的距离相等的点有4个 （三角形外角的平分线的交点到三角形三边所在直线的距离 也相等）.本题易因认为满足条件的点只有一个而导致漏解. （第9题） 举一反三 27 课堂●小结 谢谢观看 THANKS $