湖南省长沙市望城区第二中学2027届高三上学期第一次月考数学试题

望城区第二中学2027届高三年级第一次月考 数学 一、单选题 1.A【解析】由化简得，结合， 由补集定义得. 故选：A. 2.C【解析】由得. 由共轭复数定义得， 由此可得的虚部为. 故选：C. 3.D【解析】由均为单位向量得，对两边平方得，展开得，代入模长化简得. 展开得，代入已知值计算得. 故选：D. 4.A【解析】两间工作站不同，甲乙必须同站， 因此甲乙所在工作站的选择共种. 确定甲乙位置后，该站已有人，满足每站至少人的要求，需从剩余人中选至少人安排至另一工作站，方案数为. 总分配方案数为. 故选：A 5.D【解析】由，两边平方得，展开得. 结合与， 代入得， 整理得. 故选：D. 6.B【解析】设等差数列的公差为， 由得， 整理得， 即. ， 代入， 计算得结果为. 故选：B. 7.D【解析】设正方形的中心为，以为坐标原点，以平行于、的方向分别为轴、轴正方向，以垂直于平面且向上的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，得， 设，其中. 由得， 化简得，结合，得方程组， 两式相减得， 即， 代入得， 由得， 故. 设该四棱锥外接球的球心为， 由得在过正方形中心且垂直于平面的直线上， 设， 由得， 解得. 外接球半径满足， 因此外接球的表面积为. 故选：D. 8.A【解析】因为直线与轴交于点,令得, 所以. 设为直线上任意一点,由圆的切线性质, 过作圆的两条切线、,切点、 满足切线方程, 代入坐标得. 同理得, 故、均在直线上, 即该直线为弦所在直线. 因为为中点, 由圆的几何性质得,且斜率为, 故方程为,即. 联立方程组 消去参数得, 所以点的轨迹是以为圆心、为半径的圆. 点到圆心的距离为, 故的最大值为,最小值为, 所以的取值范围是. 故选:A. 二、多选题 9.ACD【解析】当n=1时，，∴，∴A正确； 当n≥2时，， ∴， ∴，∵上式对n=1也成立，∴(n∈N*)，∴B错误； ∵， ∴数列{an}为递减数列，∴C正确； ∵， ∴，两式相减得， ∴ ， ∴．∴D正确． 故选：ACD． 10.AB【解析】对于选项A:由曲线方程,分象限讨论: 时,方程化为; 时,化为; 时,化为; 时,化为. 曲线经过的整点为,共9个, 故A正确. 对于选项B:由曲线方程,分象限讨论: 时,方程化为; 时,化为; 时,化为; 时,化为. 曲线最高点纵坐标为, 最低点纵坐标为, 而,,故曲线夹在直线和之间,B正确. 对于选项C:曲线的图形由中心正方形和四个半圆组成, 正方形边长为,面积为; 四个半圆半径均为,面积和为,故总面积为. 曲线可化为, 对应正方形边长为,面积为; 四个半圆半径为,面积和为, 总面积为,即面积为9倍,故C错误. 对于选项D:曲线分象限配方: 时,化为; 时,化为. 两圆心坐标分别为和,圆心距为, 曲线两点最大距离为, 而,故D错误. 故选:AB. 11.ACD【解析】法1：抛物线，得，准线方程为，焦点，由抛物线定义得，故A正确. 过作准线的垂线，垂足为，由，，得，结合，，得，故，同理得，由，得，为的斜边，故，B错误. 直线斜率不为，设直线的方程为，，，联立，化简得，由得，，结合，，得，当且仅当时取等号，故C正确. 在与中，，故，得，即，同理得，计算得，又，故，从而，故D正确. 法2：抛物线，得，准线方程为，焦点，由抛物线定义得，故A正确. 过作准线的垂线，垂足为，由，，得，结合，，得，故，同理得，由，得，为的斜边，故，B错误. 当直线斜率不存在时，，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消去得，由得，，计算得，综上得，故C正确. 在与中，，故，得，同理得，当直线斜率不存在时，，，得，当直线斜率存在时，计算得，故，综上得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12.240【解析】展开式的通项为，其中，. 令， 解得， 计算得展开式常数项为. 故答案为：. 13.【解析】双曲线焦点在轴上，渐近线方程为， 由题意得. 结合双曲线基本关系，离心率定义， 可得. 代入， 化简得. 故答案为：. 14. 【解析】设，变形得，即, 因为，所以在延长线上，且， 即轨迹是以为圆心、为半径的圆, 要存在使，则延长线需与该圆有交点，故轨迹与、圆的位置相关, 以为圆心，为半径作圆，过（）作圆切线、，切点、, 连接、，则，由勾股定理，, 中，，故，同理，则. 轨迹图形由两部分组成： 扇形、（为延长线与圆交点 ），圆心角， 半径，面积和为, 三角形、，面积和为. 故. 四、解答题 15. (1)证明：由，，平面，，得平面，又平面， 故. 因为，，平面， 所以平面，结合平面，得平面平面. (2)解：以为原点，分别以平行于的直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 由已知条件得各点坐标为，，，，. 得，， 设平面的法向量为，得，取，得平面的一个法向量. 得， 设平面的法向量为，得，取，得平面的一个法向量. 设平面与平面夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 16. 解：(1)设，，， 代入得， 解得，舍去负根. 由余弦定理得. (2)由得， 因为， 所以. 由得， 即， 从而. 由正弦定理得， 故. 17. 解：(1)由题意得甲校学生答对该题的概率，答错概率为，乙校学生答对该题的概率，答错概率为. 的可能取值为， 计算得，甲乙两校学生答对情况均服从分布， 由期望的可加性得. (2)①设甲校学生真正掌握该知识点的概率为，则未掌握的概率为，掌握知识点时答对概率为，未掌握时盲猜答对概率为，结合全概率公式得， 整理得， 解得. ②由条件概率公式得所求概率为， 代入数据计算得. 18. 解：(1)由离心率得， 故，结合得， 整理得，又， 解得，， 故的方程为. (2)设，， 由得，将坐标代入椭圆方程得，展开整理得. 因为在上， 所以，， 代入得， 化简得， 即， 故. (3)由题意直线的方程为， 设直线的方程为，联立两直线方程得. 将代入椭圆的方程， 化简得， 设，， 由韦达定理得，不妨设， 由在线段上得. 由弦长公式得， 化简得，结合得， 代入整理得. 由椭圆范围得， 故当时，取得最大值， 代入得最大值为，验证得此时在椭圆内且在线段上，符合条件. 19. 解：(1)由求导得，当时，单调递减，当时，单调递增，故时取得极小值，计算得极小值为. (2)对求导得，令，得判别式. 当，即时，恒成立，故，在上单调递减. 当，即时，方程有两个不等实根，，满足，当时，即，单调递增，当或时，即，单调递减. 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在和上单调递减. (3)由，整理不等式得，化简得，因为时，不等式等价于，令，问题转化为存在实数使得对任意恒成立. 若，当时，故，当时，从而，不存在满足条件的实数. 若，则，令，求导得对成立，故在上单调递减，由此可得时，即. 结合得，故，取即可满足条件，由此可得符合要求. 综上，实数的取值范围是. 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 望城区第二中学2027届高三年级第一次月考 数 学 时间：120分钟 总分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集，集合，则（） A. B. C. D. 2.已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（） A. B. C. D. 3.已知均为单位向量，且满足，则（） A.1 B.2 C. D. 4.将含甲、乙在内的名工程师分配至两间不同的工作站工作．若工程师甲、乙必须安排在同一工作站，且每间工作站至少分配人，则不同的分配方案共有（） A.种 B.种 C.种 D.种 5.已知，且，则（） A. B. C. D. 6.在等差数列中，，则的值为（） A.3 B.6 C.9 D.12 7.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，则该四棱锥的外接球的表面积为（） A. B. C. D. 8.设直线与x轴交于点A，圆，过l上一点P作圆O的两条切线，，C，D为切点，中点为M，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题意的。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.已知数列{an}满足，数列{an}的前n项和为，则下列结论正确的是(    ) A.的值为2 B.数列{an}的通项公式为 C.数列{an}为递减数列 D. 10.在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（ ） A.曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点） B.曲线夹在直线和直线之间 C.曲线所围成区域面积是所围成区域面积的5倍 D.曲线上任意两点距离都不超过 11.已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于，两点，过作直线的垂线，垂足为，过且与直线垂直的直线交于点，则（） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的展开式中常数项为                   . 13.已知双曲线的一条渐近线方程是则该双曲线的离心率为                   . 14.已知为平面内一定点且，平面内的动点满足：存在实数，使，若点的轨迹为平面图形，则的面积为                  . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）如图，在三棱锥中，点在上，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 16.（15分）在中，角、、的对边分别为、、，已知． (1)若，求； (2)若，求． 17.（15分）某次联考中，有一道四选一的单项选择题考查了某个核心知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为，乙校学生选择正确的人数为.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题选择正确的人数，求的概率及的数学期望. (2)教育测量学中，常采用如下模型分析单选题：学生如果未掌握该知识点，就会从四个选项中随机盲猜一个作为答案.假设甲校学生只要掌握了该知识点，就能选择正确. ①求甲校学生真正掌握该知识点的概率估计值； ② 已知抽查到的一名甲校学生该题选择正确，求该生实际上是靠“盲猜”答对的概率. 18.（17分）已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长的差为，点，，都在上，为坐标原点，且. (1)求的方程； (2)求直线与的斜率之积； (3)设直线与的另一个交点为，点在线段上运动，过点作斜率为的直线与相交于，两点.若直线的斜率为，求的最大值. 19.（17分）已知函数． (1)求的极小值； (2)讨论的单调性； (3)若存在实数，使得在时恒成立，求实数的取值范围． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $