精品解析：湖南涟源市部分学校2027届高三上学期第一次月考数学试题

湖南省涟源市部分学校2027届高三第一次月考 数学试题 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解不等式，，. 2. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且为第二象限角， 所以， 所以. 3. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“1的代换”的方法，结合基本不等式求解即可. 【详解】将等式两边同时除以，可得：， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即， 结合，可得时取等号， 故的最小值为4. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用倍角公式，将条件代入计算即可. 【详解】 故选：D. 5. 函数在定义域上的奇偶性为（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶 D. 非奇非偶 【答案】A 【解析】 【详解】定义域为， ， 所以，所以函数在定义域上为奇函数. 6. 已知曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用切线斜率，结合导数直接求解即可. 【详解】由题得，， 令，即， 解得或， 代入原函数得，或， 即点的坐标为或. 7. 在中，角对边分别为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由余弦定理得：，所以， 因为，所以，所以 由正弦定理得：， 所以，， 所以， 因为，所以, 所以， 因为，所以， . 8. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上大于等于零恒成立，（不恒为零），等价于恒成立， 令，则， 易得当时，单调递减；当时，单调递增， 所以， 当时，，当时，， 所以. 二、多选题（共3题，每题6分，部分对的得部分分，选错得0分） 9. 下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】利用基本不等式和重要不等式，逐个选项判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 对于C，因为，， 所以，即，C正确； 对于D，因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 而，所以，符合该式，D正确. 10. 关于函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 将向右平移个单位得到 【答案】AC 【解析】 【详解】 选项A. 函数的最小正周期为，选项A正确； 选项B. 将代入，得到， 所以函数的图象不关于点对称，故选项B错误； 选项C. 因为，所以，所以， 设， 因为是单调递增函数，在内是单调递增函数， 所以在上单调递增，故选项C正确； 选项D. 将向右平移个单位， 得到，故选项D错误. 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的极大值为 B. 有两个不同的零点 C. D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，结合分析函数单调性，进而确定极值；选项B，结合函数零点定义判断即可；选项C，根据在区间的单调性判断大小；选项D，结合选项A和函数图象，判断和的关系，进而判断大小. 【详解】选项A：由，， 得，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， 即，A正确； 选项B：由，则只有一个零点， B错误； 选项C： 因为和都在区间内，且在上单调递增. 因为，所以，即， C正确； 选项D： 由A知，在上单调递增，在上单调递减，且时，， 画出的图象，由， 可知必位于两侧，即， 则恒成立，D错误. 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知关于x的不等式的解集为，则______ 【答案】0 【解析】 【详解】已知不等式：的解集为， 由此可知：一元二次方程的两个根为，，且， 由韦达定理得，解得， 所以. 13. 在中，，，，为中点，则的长度为______ 【答案】 【解析】 【分析】借助向量的线性运算、模长与数量积的关系计算即可. 【详解】因为为中点，则， 所以 ，所以的长度为. 14. 若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】同构思想：把不等式两边整理成同一个函数的形式，利用单调性脱去外层函数，转化为普通恒成立求最值问题. 【详解】首先， ， 令，则， 所以在定义域内严格单调递增， 所以若有成立，则必有， 即对于任意的恒成立， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 从而，所以m的取值范围是，即实数m的最大值为． 三、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角对边分别为，已知 （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，求出； （2）由面积公式得出，再根据余弦定理得到. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 左边为， 因为，所以，即，又，得. 【小问2详解】 由面积公式，得， 由余弦定理， 代入，得，得． 16. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若在处取得极值，证明：当时，． 【答案】（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2） 因为在处取得极值，所以， 所以， 令， 则， 因为，所以，函数单调递增， 所以，所以， 【解析】 【分析】（1）求导，对与的大小进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间； （2）利用极值点求出的值，令，求导进行证明； 【小问1详解】 ， 令，因为恒成立，所以或， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 略 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值，以及对应的x的值. 【答案】（1）， （2）时，有最大值2，当时，有最小值． 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以， 则， 因为， 所以，解得， 则的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 则时，有最大值2， 当时，有最小值． 18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD 为直角梯形，AB∥CD， ，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点. （1）证明：； （2）当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为. 【答案】（1） 过作，垂足为， 由题意知：为矩形，可得， 由，则为等边三角形，且F为线段BC的中点，则， 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 可得平面ABCD，且平面， 所以. （2）2 【解析】 【分析】（1）过作，垂足为，分析可知为等边三角形，可得，结合面面垂直的性质可得平面ABCD，即可得结果； （2）取线段的中点，连接，建系，设，求平面PAD的法向量，利用空间向量处理线面夹角的问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：平面ABCD， 取线段的中点，连接，则∥，， 又因为，可知， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为E为线段PF上一点，设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理得，解得， 所以当，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为. 19. 已知常数，函数. （1）若，求的取值范围; （2）若、是的零点，且，证明:. 【答案】（1） （2） 由（1）知，的定义域为， 在上单调递减，在上单调递增，且是的极小值点. 、是的零点，且， 、分别在、上，不妨设， 设， 则 当时，，即在上单调递减. ， ，即， ， ， ， ， 又，在上单调递增， ，即. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的最小值，依题意，即可求出的取值范围； （2）由（1）不妨设，设，利用导数说明函数的单调性，即可得到，结合及的单调性，即可证明. 【小问1详解】 由已知得的定义域为， 且 ， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 所以在处取得极小值即最小值， ， ， ，即的取值范围为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值构造函数，利用函数的单调性可比较大小； （2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省涟源市部分学校2027届高三第一次月考 数学试题 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 3. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数在定义域上的奇偶性为（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶 D. 非奇非偶 6. 已知曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 7. 在中，角对边分别为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，每题6分，部分对的得部分分，选错得0分） 9. 下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 将向右平移个单位得到 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的极大值为 B. 有两个不同的零点 C. D. 若，则 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知关于x的不等式的解集为，则______ 13. 在中，，，，为中点，则的长度为______ 14. 若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为______ 三、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角对边分别为，已知 （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的值． 16. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若在处取得极值，证明：当时，． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值，以及对应的x的值. 18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD 为直角梯形，AB∥CD， ，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点. （1）证明：； （2）当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为. 19. 已知常数，函数. （1）若，求的取值范围; （2）若、是的零点，且，证明:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $