精品解析：山东济宁市梁山现代高级中学2026-2027学年高三上学期九月月考数学试卷

2024级高三年级九月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用列举法表示出集合A、U，根据集合补集计算方法即可求解． 【详解】易知集合，， 故． 故选：B． 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得， 即函数的定义域为. 故选：D. 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，利用指数函数的单调性比较a，b，再与“1”比较即可. 【详解】，． 因为指数函数单调递增，且， 所以． 又，． 所以． 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式展开待求式，构造关于、的二次齐次分式，代入的值计算. 【详解】 ， 由可得：分子为， 分母为， 因此原式. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，函数的定义域为，关于原点对称， 由，所以为奇函数，排除A； 又，排除C和D. 6. 已知函数是定义域为的偶函数，，且当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得， 所以，. 7. 在平面直角坐标系中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头（开始时与圆盘上点重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为，细绳的粗细忽略不计，当时，点与点之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式，和展开过程中的长度关系即可. 【详解】展开过程中： , , 故选：D. 8. 若不等式对任意恒成立，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知不等式变形得出，分、、三种情况讨论，解不等式，结合恒成立可求出的取值范围. 【详解】由可得， 即对任意的恒成立，即， 令，其中，则对任意的恒成立， 即函数在上为增函数， 考虑当时，，此时， 要使得对任意的恒成立， 当时，则有显然成立； 当时，，由可得或， 此时或； 当时，，由可得或， 由于当时，，则显然不等式，即，则， 综上所述，或，故的最大值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式计算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式依次化简选项即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，,故B正确； 对于C，,故C正确； 对于D，,故D正确. 10. 已知函数的定义域为，满足，．当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是奇函数 C. 在上单调递减 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由即可判断；对于B，由，结合偶函数的定义即可判断；对于C，因为，所以，结合周期性、偶函数性质即可得时的表达式，由此即可得解；对于D，由周期性、偶函数性质即可求解． 【详解】对于A，因为，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，因为，，所以， 且注意到函数的定义域为，所以是偶函数，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以，， 所以在上单调递减，故C正确； 对于D，因为，所以函数的周期是， 而， 所以，故D正确． 11. 函数，关于的方程，下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的单调减区间为， C. 当时，则方程有6个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据分段函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图像，进而直接判断A和B；通过方程的根与图像的公共点之间的联系进行转化，并结合图像即可判断C和D. 【详解】当时，，则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. 当时，，. 当，，在单调递增； 当时，，在单调递减. 故，且恒有. 综上可知，，作出函数大致图象，如下图. 由图像可知函数的值域为，故A正确. 函数的单调递减区间由图可知为，，故B错误. 当时，则方程可化为或， 由，得或，有两个实数根； 由图象可知，由，有4个不相等的实数根，且均不为0，也不为， 所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C正确. 若关于的方程有3个不相等的实数根， 即与共有3个不相等的实数根. 又因为已有两个不相等的实数根0，， 则方程有且仅有一个根，且不为0，. 所以与有且仅有一个公共点， 由图象可知，满足题意，即的取值范围是，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是偶函数，且，当时，，则等于____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的周期，再根据偶函数及已知条件求解即可. 【详解】因为， 所以函数的周期为， 又因为当时，，且是偶函数， 所以. 13. 已知函数的导函数为，且，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】由求导得， 令，则得，解得， 所以，. 14. 已知函数恰有1个极值点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，恰有一个零点.求导并分离参数，构造新函数，将问题转化为直线与函数的图象恰有一个交点，利用导数分析函数的取值情况可得. 【详解】函数的定义域为. . 由函数恰有1个极值点，得恰有一个变号实数根. 即方程恰有一个变号实数根. 令，则直线与函数的图象恰有一个交点. . 当时，，，，函数单调递增； 当时，，，，函数单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值为. 又当时，，所以；， 所以函数的图象如下： 所以或. 当时，. 令，则，在上单调递减. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值为，即恒成立. 所以是减函数，无极值点. 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若在区间上单调，求实数的取值范围. （3）求不等式的解集； 【答案】（1） （2）或 （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义以及偶函数性质分析求解即可； （2）分析可知在上单调，结合二次函数性质分析求解； （3）整理可得，分类讨论，结合一元二次不等式运算求解. 【小问1详解】 由为幂函数，得，解得或， 时，为奇函数，舍去； 时，为偶函数，符合题意， 所以. 【小问2详解】 函数在上单调， 则有或，解得或， 所以实数的取值范围是或. 【小问3详解】 原不等式，即， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 16. 已知函数，且． （1）求的定义域； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，先由条件可得，然后列出不等式即可得到结果； （2）根据题意，由函数的单调性，列出不等式，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 则，解得， 则， 则，解得， 故的定义域为． 【小问2详解】 由（1）知，． 因为函数在上单调递增，所以在上单调递增． 又，所以等价于，解得． 则不等式的解集为． 17. 在单位圆中，已知锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按照逆时针方向旋转，交单位圆于点，点关于轴的对称点为． （1）若，求的值； （2）若，求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由三角函数在单位圆中的定义，结合诱导公式化简求值即可； （2）解法一：根据题意化简可得，平方得到，再根据齐次化得，即，再解方程即可；解法二：根据题意化简可得，再结合三角恒等式，解方程组得或，再由求解即可． 【小问1详解】 由三角函数定义得，． 为锐角，， ， ，； 【小问2详解】 解法一：由题意得，， ， 为锐角，，即， ，即， ，故， ，即， 解得或 解法二：由题意得，， ， 为锐角，，即， ，解得或， 或． 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若与恰有两个交点，求的取值范围. （3）当时，，求a的取值范围. 【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导后构造函数再次求导后可得； （2）变形不等式后令，问题转化为有两个零点，求导分和两种情况结合零点存在定理分析可得； （3）当时显然成立；当时，分离参数可得，构造函数求导结合隐零点分析最值即可. 【小问1详解】 当时，，， 令，则恒成立， 所以在单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ， 令，问题转化为有两个零点， 求导， 若，则，单调递增，在上至多有一个零点，不符合题意； 若，令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 由零点存在定理可得要使有两个零点，则， 当时，，，则； 当，由指数爆炸模型可知， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 当时，，即，整理可得， 当时显然成立； 当时，分离参数可得， 令，求的最大值即可， 求导， 令分子为， 则， 再令， 则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 又， 故存在，使得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又， 所以时，，即，单调递增； 时，，即，单调递增， 所以. 所以a的取值范围为. 19. 已知函数，. （1）证明：； （2）设，证明在上单调递增； （3）求实数的最大值，使得对任意，都有. 【答案】（1）由得． 由基本不等式，，且当时等号不成立，所以． 所以函数是增函数. 又，因此对任意，． （2）设．则． 记，则， 设，则， 设，则． 当时， 因为是增函数，且， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，，所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求导证明导函数大于0，结合在0处的极限为0，得； （2）多次构造辅助函数，利用导数判断相应函数的单调性，进而证明，在上单调递增； （3）分离参数转化为恒成立，由（2）的结论，结合洛必达法则可得；或构造函数，利用导数分析其最小值，即可求得实数的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一：要使对任意，都有，等价于对任意成立， 即对任意成立．由（2）知，在上单调递增，因此． 用洛必达法则计算极限得．因此． 法二：令函数，则． 令，则． 令，则． 时，； 时，. 因为是增函数，且， 当，即时，恒成立， 所以是增函数，且， 所以是增函数，且， 所以是增函数，且， 即使得对任意，都有. 当，即时，在上有解，记为， 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以，且在上存在使得. 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以，且在上存在使得. 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 即存在，使得，不合题意. 综上所述，，所以实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高三年级九月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义域为的偶函数，，且当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 在平面直角坐标系中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头（开始时与圆盘上点重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为，细绳的粗细忽略不计，当时，点与点之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 若不等式对任意恒成立，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式计算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，满足，．当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是奇函数 C. 在上单调递减 D. 11. 函数，关于的方程，下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的单调减区间为， C. 当时，则方程有6个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是偶函数，且，当时，，则等于____. 13. 已知函数的导函数为，且，则_______． 14. 已知函数恰有1个极值点，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若在区间上单调，求实数的取值范围. （3）求不等式的解集； 16. 已知函数，且． （1）求的定义域； （2）求不等式的解集． 17. 在单位圆中，已知锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按照逆时针方向旋转，交单位圆于点，点关于轴的对称点为． （1）若，求的值； （2）若，求． 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若与恰有两个交点，求的取值范围. （3）当时，，求a的取值范围. 19. 已知函数，. （1）证明：； （2）设，证明在上单调递增； （3）求实数的最大值，使得对任意，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $