精品解析：山东烟台市莱州市第一中学2023-2024学年高三第二次质量检测数学试题

高三数学第二次质量检测(数学) 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，代入题中条件计算即可. 【详解】设, 则 可以化为 故所以则的虚部为， 故选： 2. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象判断函数值的正负，根据函数的单调性判断导数值的正负，即可求得答案. 【详解】由函数图象可知当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 故的解集是， 故选:C. 3. 两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，，根据可得，设与的夹角为，利用即可求解. 【详解】由题意可得，，且， 所以. 设与的夹角为，， 则, 所以. 故选；D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解. 【详解】因为， 所以,且， 所以， 即，， 所以， 故选：B 5. 已知函数的极小值为a，极小值点为b，零点为c．若底面半径为1的圆锥的高，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数判断原函数的单调性，进而可得，令，可得，，结合锥体的体积公式运算求解. 【详解】由题意可知的定义域为，且， 令，解得，则有： 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数的极小值，极小值点， 令，解得，即，所以， 所以该圆锥的体积为． 故选：B． 6. 某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（ ） A. 49% B. 51% C. 65.7% D. 72.9% 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数模型，结合已知数据列出方程求解作答. 【详解】依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为，于是，解得， 因此前6小时过滤后剩余污染物数量为， 所以前6小时共能过滤掉污染物的. 故选：C 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用性质判断a范围，通过估算及指数对数的性质及运算判断b,c的范围，得出结论. 【详解】对于a，由，则，故； 对于b，，故； 对于c，由于，则，从而可得 同理，，则，从而可得 所以有 综上， 故选：A 8. 如图，阴影正方形的边长为1，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作第2个正方形；然后再以第2个正方形的对角线长为边长，各边均经过第2个正方形的顶点，作第3个正方形；依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形，第个正方形的面积为，则（ ） A. 1011 B. C. 1012 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形规律可知是以公比为2，首项为1的等比数列，进而根据，并项求和即可. 【详解】第一个正方形的边长为，面积为， 第二个正方形的边长为，面积为， 第三个正方形的边长为，面积为，……,进而可知：是以公比为2，首项为1的等比数列，所以， 由于 ,所以 ， 故选：B 二、多项选择题：本大题共4小题，共24分. 9. 已知且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为6 D. 的最小值为4 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断AB；先将化为，再妙用“1”可判断C；取特值可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误； 对于B，因为，所以， 即，，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，由得，所以， 因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，令，则，所以的最小值不是4，D错误. 故选：BC. 10. 已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于ACD：结合正方体的结构特征分析判断；对于D：根据线面垂直的性质分析判断. 【详解】对于选项A：若，则或相交， 例如在正方体中，平面平面， 且平面，可知平面，平面，故A不一定成立； 对于选项B：若，由线面垂直的性质可知，故B成立； 对于选项C：若，且，则不一定垂直， 例如在正方体中，平面∥平面， 且平面，平面，，故C不一定成立； 对于选项D：若，且，则不一定成立， 例如在正方体中，平面平面， 且平面，平面，可知，故D不一定成立； 故选：ACD. 11. 已知为坐标原点，点，点为单位圆上的动点，绕原点逆时针旋转 到，再将绕原点逆时针旋转到，则（ ） A. 存在3个使得 B. 存在6个使得 C. 存在4个使得 D. 存在4个使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：解方程可判断；对于B:解方程可判断；对于C:解方程 可判断；对于D: 解方程可判断. 【详解】A选项：由题意得， 解得或，因为，则正确； B选项：由题意得或， 解得或或，因为，则共6个解，正确； C选项： 或， 解得或，因为，则共4个解，正确； 选项： 或， 解得，因为，则共2个解，错误． 故选：ABC． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用二倍角公式从而得到方程，再结合余弦函数的性质判断即可. 12. 已知函数和都是偶函数，当时，，则下列正确的结论是（ ） A. 当时， B. 若函数在区间上有两个零点、，则有 C. 函数在上的最小值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，求出函数在上的解析式，可判断A选项；利用指数函数的单调性结合作差法可判断B选项；利用函数的最值与函数单调性的关系可判断C选项；利用函数的周期性和在上的单调性可判断D选项. 【详解】因为函数和都是偶函数，则，， 所以，，即， 因此是周期为的周期函数． 对于A，当时，，则， 当时，则，则， 综上所述，当时，，A对； 对于B选项，当时，，则， 不妨设，因为函数在上单调递减，则， 由可得， 所以，， 即，则，B错； 对于C，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 由于函数是周期为的周期函数， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 而函数在上单调递增，所以，，则， 所以，当时，， 所以，函数在上的最小值为，C对； 对于D选项，， ， ， 又函数在上单调递减，，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设为等比数列的前项和，，，则__________. 【答案】##0.875 【解析】 【分析】设公比为，由可解得，代入求和公式即可得出结果． 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，则， 由等比数列求和公式可知． 故答案为：． 14. 在矩形中，为对角线的交点，为上一点，且向量在向量上的投影向量为，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】以为基底，结合已知条件把用基底表示，由平面向量基本定理，求出的值即可. 【详解】 在矩形中，因为向量在向量上的投影向量为，所以， 又，所以， 所以，，得. 故答案为： 15. 已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，，，若，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意判断，，分布的位置，结合正弦函数的周期以及对称性确定点M的坐标，代入函数解析式化简，可得答案. 【详解】令，则函数即为函数， 的最小正周期为， 最小正周期为， 作出函数的大致图象，如图， 则函数的图象与直线连续的三个公共点，，， 等价于的图象与直线连续的三个公共点，，， （连续的三个公共点从左到右排列） 由题意不妨设，，位置如图中所示（三点位置可左右平移一个周期）， 即，关于直线对称，， 由于，则，故， 而，关于直线对称，故点横坐标为， 将点横坐标代入，得， 则， 故答案为： 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，P为内一点．若点P满足，且，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形内心的性质与半角公式求解 【详解】由，得， 即， 整理可得， 故点P在的平分线上，同理可得点P在的平分线上， 所以点P为的内心． 如图，延长，交于点D，过点P作，，垂足分别为E，F， 设，， 由，得， 由D，A，C三点共线得， 所以． 因为，所以， 代入得，当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为． 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？ 【答案】6 【解析】 【分析】按侧面放置时，液面以上部分为三棱柱，其体积为原来棱柱的，故可得水的体积为棱柱的，由此可得按底面放置时液面的高． 【详解】设三棱锥的体积为，按侧面水平放置时液面以上部分的体积为，故水的体积为，设按底面放置时液面的高为，则，故． 【点睛】一定形状的几何体容器，按不同位置放置时容器内的液体的体积计算方法不一致，可根据同一体积的不同计算方法得到关键几何量之间的相互关系． 18. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）在中，若，，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由的图象可得，从而可求出，再将点坐标代入中可求出的值，从而可求得，再由三角函数图象变换规律可求出的解析式； （2）由可求出角，然后利用余弦定理可求得. 【小问1详解】 由图象可知，所以． 又因为最高点是，所以，， 即，． 又因为，所以，， 所以． 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到函数的图象． 【小问2详解】 因为，所以． 又，所以， 所以，所以． 由余弦定理，得， 所以． 19. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米． （1）求线段的长度； （2）若，求两条观光线路与之和的最大值． 【答案】（1）3千米 （2）6千米． 【解析】 【分析】（1）在中，根据余弦定理解三角形即可； （2）设，由正弦定理得，，可得，根据可得其最大值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， ，得， 所以线段的长度为3千米． 【小问2详解】 设，因为， 所以，在中，由正弦定理得， ， 所以，， 因此 因为，所以． 所以当，即时，取到最大值6． 所以两条观光线路与之和的最大值为6千米． 20. 如图，第个图形是由棱长为的正方体挖去棱长为的正方体得到的，记其体积为. （1）求证：； （2）求和：. 【答案】（1） 棱长为的正方体的体积为， 棱长为的正方体的体积为， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方体体积作差即可得，化简即可； （2）利用（1）中的结论，再结合分组求和法即可求和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， 则 ， 又， 所以， 即. 21. 对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中；一般地，规定为数列的阶差分数列，其中，且，. （1）已知数列的通项公式，试判断、是否为等差数列或等比数列，并说明理由； （2）若数列的首项，且满足，求数列的通项公式及其前项和 【答案】（1）是等差数列，同时是等差数列和等比数列，理由如下： 由题意，， 所以， 又，所以是首项为4，公差为2的等差数列. 因为不是常数，所以不是等比数列. 故是等差数列. ，为常数， 所以是公差为0的等差数列，同时也是公比为1的等比数列. 所以同时是等差数列和等比数列. （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，，结合等差数列、等比数列的定义判断即可. （2）结合已知条件得，进而得到，两边同除以，可知是等差数列，先求出的通项公式，再求出，再利用错位相减法求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 所以，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，故的通项公式是， 前项和， 则， 所以， 所以. 22. 已知函数，，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值； （3）若恒成立，求的最大值. 【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为：；单调递减区间为：； （Ⅱ） （Ⅲ） 【解析】 【详解】（Ⅰ） ，则. 令得，所以在上单调递增. 令得，所以在上单调递减. （Ⅱ）因为，所以，所以的方程为. 依题意， ， . 于是与抛物线切于点， 由得. 所以 - （Ⅲ）设,则恒成立. 易得 （1）当时， 因为，所以此时在上单调递增. ①若，则当时满足条件，此时； ②若，取且 此时，所以不恒成立． 不满足条件； （2）当时， 令，得由，得； 由，得 所以在上单调递减，在上单调递增. 要使得“恒成立”，必须有 “当时， ”成立. 所以.则 令则 令，得由，得； 由，得所以在上单调递增，在上单调递减, 所以，当时， 从而，当时， 的最大值为.- 【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 （1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可. (2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学第二次质量检测(数学) 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 5 C. D. 2. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的极小值为a，极小值点为b，零点为c．若底面半径为1的圆锥的高，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（ ） A. 49% B. 51% C. 65.7% D. 72.9% 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，阴影正方形的边长为1，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作第2个正方形；然后再以第2个正方形的对角线长为边长，各边均经过第2个正方形的顶点，作第3个正方形；依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形，第个正方形的面积为，则（ ） A. 1011 B. C. 1012 D. 二、多项选择题：本大题共4小题，共24分. 9. 已知且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为6 D. 的最小值为4 10. 已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 11. 已知为坐标原点，点，点为单位圆上的动点，绕原点逆时针旋转 到，再将绕原点逆时针旋转到，则（ ） A. 存在3个使得 B. 存在6个使得 C. 存在4个使得 D. 存在4个使得 12. 已知函数和都是偶函数，当时，，则下列正确的结论是（ ） A. 当时， B. 若函数在区间上有两个零点、，则有 C. 函数在上的最小值为 D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设为等比数列的前项和，，，则__________. 14. 在矩形中，为对角线的交点，为上一点，且向量在向量上的投影向量为，，则__________． 15. 已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，，，若，则________. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，P为内一点．若点P满足，且，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？ 18. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）在中，若，，，求． 19. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米． （1）求线段的长度； （2）若，求两条观光线路与之和的最大值． 20. 如图，第个图形是由棱长为的正方体挖去棱长为的正方体得到的，记其体积为. （1）求证：； （2）求和：. 21. 对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中；一般地，规定为数列的阶差分数列，其中，且，. （1）已知数列的通项公式，试判断、是否为等差数列或等比数列，并说明理由； （2）若数列的首项，且满足，求数列的通项公式及其前项和 22. 已知函数，，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值； （3）若恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $