精品解析：陕西省西安藤信高级中学等联考2026-2027学年高一上学期9月阶段检测数学试题

高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是由歌曲名《双双草鞋送红军》中的所有字组成的集合，则中元素的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知：正整数能被4整除，：正整数能被6整除，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 若实数，满足，，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围是 C. 的最小值是 D. 的最大值是9 8. 某班共有58名学生，学校开设了数学、物理和化学三个兴趣小组，已知报数学小组的有36人，报物理小组的有30人，报化学小组的有20人，有15人同时报数学、物理两个小组，有10人同时报数学、化学两个小组，有8人同时报物理、化学两个小组，三个小组都没有报的有3人，则同时报这三个小组的学生人数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. 所有能被10整除的数都是偶数 C. ， D. ， 10. 已知二次函数的大致图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，且，若对于任意的，恒成立，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，则使成立的的值是________． 13. 若集合中只含有一个元素，则的值为________；若的子集个数是，则的取值集合是________． 14. 已知，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值集合． 16. 已知集合，，其中，是关于的方程的两个不同的实数根． （1）是否存在实数，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值集合． 17. 已知，，且． （1）证明：． （2）求的最小值． 18. 某农户计划靠一面足够长的墙，用篱笆围出一块矩形菜地（墙作为矩形的一条长边，无需篱笆）．设垂直于墙的一条边长为x米，平行于墙的一条边长为y米，且． （1）已知所用的篱笆长为60米． ①当菜地面积为400平方米时，求x的值． ②设菜地面积为S平方米，当y为何值时，S有最大值？并求出这个最大值． （2）若要围成面积为128平方米的菜地，需要用的篱笆长最少是多少米？ 19. 已知有限集，若，为不等于的常数，则称为“关联集”． （1）判断集合是否为“关联集”． （2）若是“关联集”，且，均为正数，证明：，中至少有一个大于2． （3）是否存在由个不同正整数组成的“关联集”？若存在，请写出满足条件的所有集合；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是由歌曲名《双双草鞋送红军》中的所有字组成的集合，则中元素的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】因为双，草，鞋，送，红，军，所以中元素的个数是6． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题． 即原命题的否定命题为“，”. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次不等式求解出集合，根据集合的运算计算交集． 【详解】因为， 由可得，解得， 因为，所以． 4. 已知正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由基本不等式计算可得. 【详解】因为正数，满足，由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，即时等号成立. 即，所以，当且仅当时，等号成立． 因此的最大值为. 5. 已知：正整数能被4整除，：正整数能被6整除，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】因为8能被4整除，不能被6整除，且6能被6整除，不能被4整除，所以是的既不充分也不必要条件． 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立. 又 ，当且仅当 时，等号成立. 两个等号可以同时取到，所以 ，当且仅当 时，等号成立. 7. 若实数，满足，，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围是 C. 的最小值是 D. 的最大值是9 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD. 【详解】对于A，由，，两式相加得，即，故A错误； 对于B，由，得，又， 两式相加得，所以，故B错误； 对于C，D，设， 由，解得，即． 因为，所以，又，所以，故C正确，D错误． 8. 某班共有58名学生，学校开设了数学、物理和化学三个兴趣小组，已知报数学小组的有36人，报物理小组的有30人，报化学小组的有20人，有15人同时报数学、物理两个小组，有10人同时报数学、化学两个小组，有8人同时报物理、化学两个小组，三个小组都没有报的有3人，则同时报这三个小组的学生人数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】设同时报这三个小组的学生人数是．由图可知，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. 所有能被10整除的数都是偶数 C. ， D. ， 【答案】AB 【解析】 【分析】A 直接解二元一次方程组；B 根据整除与偶数的定义判断；C 可取特殊值举反例；D 利用一元二次方程的判别式判断是否存在实数解． 【详解】A：由方程组解得 ，故该方程组的解集为 ，A 正确； B：设整数 能被 整除，则存在整数 ，使 ，所以 为偶数，B 正确； C：取 ，则 ，故 C 错误； D：方程 的判别式 ，所以该方程无实数解，D 错误． 10. 已知二次函数的大致图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据开口方向判断的正负，利用对称轴得到与的关系，根据图象对称轴判断与的大小． 【详解】因为抛物线的开口向上，所以，故A正确． 由，得，故B错误． 因为，所以，则，即，故C正确． 因为当时，，所以．又，所以，故D正确． 11. 已知，且，若对于任意的，恒成立，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】因为，所以或（舍去）. 由或，都有. 当时，恒成立，可得，所以（当时取等号）. 所以BCD选项满足条件，A选项不满足条件. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，则使成立的的值是________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以或， 若，解得，当时，集合中元素不满足互异性； 若，解得或，当时，集合中元素不满足互异性，所以 13. 若集合中只含有一个元素，则的值为________；若的子集个数是，则的取值集合是________． 【答案】 ①. 或 ②. 且 【解析】 【详解】若中只有一个元素，则只有一个解， 当时，方程为一元一次方程，只有一个解，此时； 当时，方程为一元二次方程，由，解得． 若的子集个数是4，则集合中有两个元素，即方程有两个根， 所以，解得且． 14. 已知，，则的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】将两个分母分别设为新的变量，反解出 a、b，将原式化为适合应用基本不等式的形式，再利用基本不等式求最小值，并结合等号成立条件判断最小值可以取得． 【详解】设，，则，， 故． 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值集合． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，求出集合，再根据并集的概念，求出结果； （2）由集合的运算结果，判断集合的包含关系，进而列出不等式组，求出结果即可. 【小问1详解】 当时，． 因为，所以． 【小问2详解】 由，得． 因为， 所以，解得， 所以的取值集合为． 16. 已知集合，，其中，是关于的方程的两个不同的实数根． （1）是否存在实数，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值集合． 【答案】（1）存在， （2） 【解析】 【分析】（1）根据充要条件关系判断集合相等，根据方程的根和集合相等的概念，列出方程求出参数值； （2）根据必要不充分条件的关系判断集合的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围即可. 【小问1详解】 存在满足条件的． 因为“”是“”的充要条件，所以， 可知方程的两个不同的实数根为， 所以，解得． 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以为的真子集． 则必须满足，解得， 即的取值集合为． 17. 已知，，且． （1）证明：． （2）求的最小值． 【答案】（1）证明：因为，所以． 又，所以，当且仅当时，等号成立，故． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 所以． 又， 所以，所以，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为． 18. 某农户计划靠一面足够长的墙，用篱笆围出一块矩形菜地（墙作为矩形的一条长边，无需篱笆）．设垂直于墙的一条边长为x米，平行于墙的一条边长为y米，且． （1）已知所用的篱笆长为60米． ①当菜地面积为400平方米时，求x的值． ②设菜地面积为S平方米，当y为何值时，S有最大值？并求出这个最大值． （2）若要围成面积为128平方米的菜地，需要用的篱笆长最少是多少米？ 【答案】（1）①；②当时，取得最大值为450平方米 （2）32米． 【解析】 【分析】（1）（2）根据题意列出相互间的等量关系，再利用基本不等式求其最值. 【小问1详解】 因为所用的篱笆长为60米，所以． ①因为菜地面积为400平方米，所以． 联立，解得或， 依题意，，则； ②因， 当且仅当，即，时，取得最大值为450平方米； 【小问2详解】 因需要用的篱笆长为米．且， 则， 当且仅当时等号成立，即需要用的篱笆长最少是32米． 19. 已知有限集，若，为不等于的常数，则称为“关联集”． （1）判断集合是否为“关联集”． （2）若是“关联集”，且，均为正数，证明：，中至少有一个大于2． （3）是否存在由个不同正整数组成的“关联集”？若存在，请写出满足条件的所有集合；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）是“关联集”． （2）证明：因为是“关联集”，，， 所以， 所以，即． 若，中没有一个大于2，即，，则（因，不可能相等）， 这与矛盾，所以，中至少有一个大于． （3）存在满足条件的集合，分别是，，，四个． 【解析】 【分析】（1）由“关联集”的定义判断即可； （2）由“关联集”的定义，结合基本不等式可得，利用反证法证明结论； （3）设存在满足条件，不妨设，且，结合不等式性质证明，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 即该集合是“关联集”． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假设存在由个不同正整数组成的“关联集”，， 不妨设，且， 则，即． 因为，所以，即， 又，所以． 当时，则．若，则由，解得（舍去）； 若，则，无解； 若，同理得，且，符合条件； 若，同理得，且，符合条件； 若，同理得，且，符合条件； 若，同理得，此时，不符合条件； 若，则，舍去． 当时，只能是或． 若，由，得，符合条件； 若，由，得，舍去． 当时，因为，所以，，最小分别为，，， 此时，与矛盾，不符合条件． 综上，存在满足条件的集合，分别是，，，四个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $